专题02 有理数的运算（期末复习知识清单，6知识7题型1易错2方法）七年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学有理数运算专题清单全面涵盖加减、乘除、乘方等6大知识模块，7类典型题型，1个易错点及2种解题方法，构建了从基础法则到综合应用的递进式学习支架。 清单以结构化知识清单（如乘除法则分点列项）、分层题型（例+变式）及方法指导（如数轴判断式子正负技巧）组织内容，标注混合运算“先定符号再求值”要点，结合票房计算等实际情境题培养应用意识，助力师生高效复习，提升运算能力与数学思维。

专题02 有理数的运算（6知识&7题型&1易错&2方法清单） 【清单01】有理数的加减运算 加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两个数相加得0 一个数同0相加，仍得这个数 加法交换律 a＋b=b＋a 加法结合律 a＋b＋c=(a＋b)＋c=a＋(b＋c) 减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数：a－b=a＋(﹣b) 【清单02】有理数的乘除法 乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 任何数同0相乘，都得0 先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值 多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负数 多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0 乘积为1的两个数互为倒数. 即若ab=1，则a、b互为倒数，b= 乘法交换律 a×b＝b×a 乘法结合律 a×b×c＝(a×b)×c＝a×(b×c) 乘法分配律 a×(b＋c)＝a×b＋a×c 除法法则 除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数 两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 0除以任何一个不等于0的数，都得0 【清单03】有理数的乘方 乘方 底数 指数 幂 一个数同0相加，仍得这个数 幂的计算 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数：(﹣1)2n-1=-1，(﹣1)2n=1 0的任何正整数次幂都是0 【清单04】有理数的混合运算 ·有理数混合运算的顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减。 ②同级运算，从左到右的顺序进行。 ②如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 注意：在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【清单05】科学计数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=2×105 【清单06】近似数与精确度 近似数 接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值. 取近似数 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入 精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度 精确度是指近似数与准确数的接近程度 精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字 【题型一】有理数的加减运算的应用 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）一辆玩具赛车在一条水平直线上先向东行驶，再向西行驶，规定向东行驶为正，向西行驶为负，下列算式能表示赛车相对于起点位置的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】有理数加法在生活中的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加法的应用，能准确理解正负数的意义是解题关键．根据正负数是表示一对意义相反的量、有理数的加法求解即可得． 【详解】解：由题意得：赛车相对于起点位置的是， 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 利用去括号法则省略括号后即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 【题型二】有理数的乘除运算 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下： 其中步骤错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则进行判断即可． 【详解】解： ∴出错的是乙． 故选：B． 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 根据乘法分配律逐个判定即可 【详解】解：①，故①适合运用分配律来简化计算； ②不适合运用分配律来简化计算； ③，故③适合运用分配律来简化计算； ④，故④适合运用分配律来简化计算； 故选：D． 【变式2-3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）从，，，7，5，a（，且a为整数）这6个数中取其中3个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（   ） A． B． C．168 D．无法确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】多个有理数的乘法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．根据有理数的乘法解决此题． 【详解】解：∵要使它们积的最小， ∴要取奇数个负数，且绝对值尽可能的大， ∴取，7，5， ∴积的最小值为． 故选A． 【题型三】有理数的乘方 【例3】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则代数式的值为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 【变式3-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用数轴上的点表示有理数、乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查数轴上点的分布与数的正负性，幂的符号法则．在数轴上，原点右边的点表示的数是正数，原点左边的点表示的数是负数，原点为0．正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂是负数．熟练掌握幂的符号法则是解决本题的关键．确定题目中给出每个数的正负性即可回答此题． 【详解】解：，，， ∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的数是，共1个， 故选：A． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列各组数中，计算结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、化简多重符号 【分析】本题考查的知识点是去括号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则．根据去括号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：、，，即，运算结果不相等，不符合题意； 、，，即，运算结果相等，符合题意； 、，，即，运算结果不相等，不符合题意； 、，，即，运算结果不相等，不符合题意，． 故选：． 【题型四】有理数的混合运算 【例4】（24-25七年级上·浙江·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算．解题的关键是熟练掌握运算顺序和法则． （1）化简符号后相加减，即得； （2）先变除为乘，计算乘方，再计算乘法，最后计算减法，即得． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.94 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先去绝对值，求算术平方根，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式4-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)2 【难度】0.85 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算和混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减运算法则计算即可． （2）根据有理数混合运算法则，先算乘方，然后计算乘除，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式4-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． 【题型五】有理数加减运算的实际应用 【例6】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下表是筐蔬菜的质量记录，每筐以为标准质量（高于标准质量记为“”），则这筐蔬菜总质量为 ． 筐数 与标准质量比较/kg 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正负数的应用，解题的关键是掌握相关知识．用筐标准质量的重量加上筐实际蔬菜重量与标准质量相差的总和即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）自2014年至2024年（除2020年外），《熊出没》系列电影每年均安排在春节档，至今已上映了十部．下表将这十部《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房作比较： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2021 2022 2023 2024 《熊出没》的票房 2.5 2.9 5.2 6.1 7.2 6.0 10.0 15.0 20.1 动画票房冠军的票房 2.5 10.0 15.3 6.1 50.4 6.0 10.0 15.0 20.1 票房差 0 0 0 0 0 注：票房单位均为“亿元”，票房差指《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房之差． (1)上表中__________，__________，__________； (2)《熊出没》系列电影最高票房出现在哪一年？并指出《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份； (3)据统计这十部《熊出没》电影总票房为78.4亿元，求这十年动画票房冠军的总票房． 【答案】(1)；；0 (2)熊出没》系列电影最高票房出现在2024年，《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份有2014年，2018年，2021年，2022年，2023年，2024年 (3)亿元 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数减法的实际应用： （1）根据票房差等于对应年份《熊出没》的票房减去对应年份动画票房冠军的票房列式计算即可； （2）根据表格可得2024年为熊出没》系列电影最高票房的年份，票房差为0的年份即为《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的年份； （3）用这十部《熊出没》电影总票房加上所有票房差的绝对值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴； （2）解：由表格中的数据可知，《熊出没》系列电影最高票房出现在2024年，《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份有2014年，2018年，2021年，2022年，2023年，2024年； （3）解：亿元， ∴这十年动画票房冠军的总票房为亿元 ． 【题型六】有理数乘除运算的实际应用 【例7】（24-25七年级上·浙江温州·期末）毛利率的计算公式为：毛利率，若商品每千克进价为元，售价为元，则商品每千克的毛利率为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解： ， 即商品每千克的毛利率为， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若一对整数的和为一个两位数，且该两位数的个位数字与十位数字相同，这对整数的积是一个三位数，且该三位数的个位、十位和百位数字都相同，则这对整数可以是 （写出一对即可）． 【答案】3与74 【难度】0.4 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，加法运算，正确理解题意是解题的关键． 先确定三位数的因数中一定有111，再根据可知这两个非零自然数中一定有一个数是3的倍数，而另一个数则是37的倍数，然后讨论分析即可． 【详解】解：一个百位数字、十位数字与个位数字相同的三位数一定是111的倍数， 所以它的因数中一定有111， 而， 由此可知这两个非零自然数中一定有一个数是3的倍数，而另一个数则是37的倍数， 因为两个非零自然数的和是一个十位数字与个位数字相同的两位数， 所以说明这两个非零自然数可能是一位数，也可能是两位数， 而在两位数中，37 的倍数只有37 和74，大于 37且十位数字与个位数字相同的两位数有44、55、66、77、88、99， 所以：经尝试发现 (18是3的倍数），， 因此，这两个自然数分别是37与18或3与74， 故答案为：3与74． 【变式7-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）以下有5张数字卡片，请你按要求取出卡片，解决下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ． (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方混合运算，使运算结果为24（每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子： ① ．         ② ． 【答案】(1)8 (2) (3)； 【难度】0.85 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，找出积最大值即可； （2）根据题意列出算式，找出商最小值即可； （3）利用“24点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ． 故答案为：8； （2）解：由题意，得 ． 故答案为：； （3）解：由题意，得 ；． 故答案为：；． 【变式7-3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）在某次研学活动中，小慧负责订购全班48位同学的营养午餐，每份营养午餐的单价为20元，现有如下两种订购方式： 订购方式 优惠活动 配送费 方式一： 电话订购 每购买10份，免费赠送1份 免费 方式二： 外卖APP下单 1．9.2折优惠 2．红包立减折扣，一个订单只允许使用一个红包． 注：优惠可叠加使用 订单总价满20元起送，每单配送费2元 (1)若小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，则需花费多少元？ (2)若小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费多少元？ (3)小聪同学说，在同样条件下他能以更低的价格买到，你认为可能吗？如果可能，请制定购买方案，并算出费用（写出一个即可）；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)元； (2)元； (3)可能，方案见解析，费用为元 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，理解题意并正确列式计算是关键． （1）按照电话订购的方式计算即可； （2）按照外卖APP购买方式付款即可； （3）制定方案，计算费用即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，需花费元； （2）（元）， 答：小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费元； （3）可能， 方案：通过外卖APP购买两单，一个三份，一个一份，再通过电话订购40份，需要花费 （元） 【题型七】程序框图与有理数的计算 【例8】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图是小南设计的的一个运算程序，当她输入1时，输出的结果是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据题意列式计算，直至结果小于0即可． 【详解】解：输入1时，，输出结果， 故答案为：． 【题型八】定义新运算 【例9】（24-25七年级上·浙江温州·期末）定义“*”运算：，如：，则的运算结果是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据题意可得，据此计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式9-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）用“”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有．例如：，那么 ； ． 【答案】 16 【难度】0.85 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解新定义运算规则，掌握有理数混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．根据新定义运算法则进行逐个列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式9-2】（24-25七年级上·浙江·期末）在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“”表示相加．例如：向右转向左转立正，向左转向左转向后转，等等．分别用数字符号0，1，，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表． 0（立正） 1（向右转） （向左转） 2（向后转） 0（立正） 0 1 2 1（向右转） 1 2 0 n （向左转） 0 2 1 2（向后转） 2 x y m 请完成下面问题： (1)上述表格中， ， ， ． (2)若用字母a表示任何一种体育口令，则 ． (3)判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）． 【答案】(1)；1；0 (2) (3)都符合，举例见解析 【难度】0.65 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了新定义： （1）根据新定义分别求出向后转向右转，向后转向左转，向后转向后转的结果即可得到答案； （2）根据任意口令立正该任意口令即可得到答案； （3）只需要证明向右转向左转立正，向左转向右转立正，向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转）即可． 【详解】（1）解：∵向后转向右转向左转， ∴； ∵向后转向左转向右转， ∴ ∵向后转向后转立正， ∴； （2）解：∵任意口令立正该任意口令， ∴； （3）解：由表可知向右转向左转立正，向左转向右转立正， ∴符合加法的交换律； ∵向右转向左转立正，立正向后转向后转， ∴向右转向左转+向后转向右转， ∵向右转（向左转+向后转）向右转向右转向后转， ∴向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转）， ∴符合加法交换律． 【变式9-3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，图1表示的是的计算过程，则图2所表示的等式是 ； 【答案】 【难度】0.85 【知识点】有理数加法运算、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正数和负数，有理数的加法运算，理解图中的含义并熟练应用是解题的关键． 依据题意写出算式即可． 【详解】解：根据题意，图表示的计算过程是：， 故答案为：． 【变式9-4】（24-25七年级上·浙江金华·期末）在古代数学名著里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1表示计算的过程，按照这种方法，图2的计算过程表示的算式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数是解题的关键．先由图1可得白色表示正数，黑色表示负数，然后观察图2列式即可． 【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数， ∴图2表示的过程是在计算． 故选：A． 【题型一】因为没有对参数进行分类讨论 考虑不够全面而出错 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】有理数加法中的符号问题、有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用，理解相关运算法则是解题关键．由已知条件得出，再分三种情况讨论即可． 【详解】解：，， ，, ， ， ， ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上可知，，，中正数的个数为2个， 故选：C． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江·期末）点A，O，B是数轴上的三个点，其中O是原点，点A表示的数为，且． 则点B所表示的数为 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减计算，先求出的长，进而求出的长，再根据数轴上两点距离计算公式即可得到答案． 【详解】解：∵O是原点，点A表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴点B表示的数为或， 故答案为：或． 【题型一】根据点在数轴的位置判断式子的正负 ·法一：①判正负；②根据数轴比较未知数大小；③根据数轴上的位置比较绝对值大小 ·法二：①根据数轴上的位置取合适的特殊值；②代入式子中求值再比较大小 【例5】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了数轴上两数比较大小及有理数运算，解题关键是正确得出a，b的信息并熟练掌握有理数的加法法则和乘法法则. 先观察数轴可知：，根据得，然后然后对四个选项逐一分析即可. 【详解】观察数轴可知：， ∵， ∴， A．，，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．，所以，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； D．，所以，，此选项的结论正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式5-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的减法运算、有理数加法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，进而判断出式子的符号即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴，，， ∴四个选项中只有B选项正确，符合题意． 故选：B． 【变式5-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题主要考查了在数轴上比较有理数的大小， 观察数轴可知，且，再逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，得，且， 可知． 所以A，B，C不正确，D正确． 故选：D． 【变式5-3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴上表示点，解题关键是根据数轴上点的位置，逐项判断即可． 【详解】解：∵实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示， ∴，， ∴，，， 故选：C． 【变式5-4】有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算、绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查了运用数轴判断式子的正负性，绝对值的意义．有理数的乘法，加法，先根据数轴得，且，再依次判断每个选项，即可作答． 【详解】解：由数轴上点的位置得，， ∴，故A选项不符合题意； ∴，故B选项不符合题意； ∴，故C选项符合题意； ∴，故D选项不符合题意； 故选：C． 【题型二】与有理数运算有关的新定义问题 ·求解方法： ①理解定义中的运算规则（运算顺序、运算条件）； ②代入数值时（注意符号）； ③多步运算； ④注意新运算中字母的取值范围 【例1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算． 例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？ 虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时． 如果用符号“ ”表示钟表上的加法，则 ． 若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号“ ”表示钟表上的减法，则 ． （注：此处用 0 时代替 12 时）． 根据上述材料解决下列问题： (1) _____， _____． (2)在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数． 如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？ (3)规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由； 若不一定成立，写出一组反例加以说明． 【答案】(1)3；9 (2)5 的相反数是 7 (3)不一定成立， 理由见解析 【难度】0.85 【知识点】相反数的定义、有理数加减混合运算的应用 【分析】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算法则进行求解． （1）根据钟表的定义及钟表上的加减法定义即可求解； （2）根据钟表运算中相反数的定义即可求解； （3）根据钟表运算的定义举出反例即可验证． 【详解】（1）解：表示9点钟再过去6小时，故为小时，即为3时； 表示4点钟之前7小时，故为小时，即为9时； （2）解：在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，在钟表中，用0时代替12时， ∴在钟表中，相加为12的两个数互为相反数， ∴在钟表中，5的相反数是． （3）解：不一定成立，理由如下， 当，，时，，，则， ∴当时，不一定成立． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①0或1；②6 (3)0，， 【难度】0.65 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加减混合运算的应用、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新定义的含义，并能灵活应用； （1）根据题干中给出的定义进行计算即可； （2）①根据题意可分两种情况：一是为整数时，，，故，二是不是整数时，等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去，故； ②可知不是整数，再由①可知，从而有，列出算式进行计算即可； （3）由时，可知，与的小数部分相同，即的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值，即可解答． 【详解】（1）， ； （2）①， 当为整数时，， ， ， 当不是整数时，由题意得 等于的小数部分，等于的整数部分加后再减去， ∴ 故答案是：或； ②， ， ； （3）时，， 与的小数部分相同， 的小数部分只能是或使得倍后小数部分不变的值， 即的小数部分为或或， 或或． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算（6知识&7题型&1易错&2方法清单） 【清单01】有理数的加减运算 加法法则 同号两数相加， ，并 异号两数相加，取 的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两个数相加得 一个数同0相加，仍得这个数 加法交换律 a＋b=b＋a 加法结合律 a＋b＋c=(a＋b)＋c=a＋(b＋c) 减法法则 减去一个数，等于 ：a－b=a＋(﹣b) 【清单02】有理数的乘除法 乘法法则 两数相乘， ，并把绝对值相乘 任何数同0相乘，都得0 先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值 多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为 ；负因数的个数是奇数时，积为 多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0 乘积为1的两个数 ， 即若 ，则a、b互为倒数，b= 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 除法法则 除以一个（不等于0）的数，等于 两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 0除以任何一个不等于0的数，都得0 【清单03】有理数的乘方 乘方 底数 指数 幂 一个数同0相加，仍得这个数 幂的计算 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数：(﹣1)2n-1= ，(﹣1)2n= 0的任何正整数次幂 【清单04】有理数的混合运算 ·有理数混合运算的顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减。 ②同级运算，从左到右的顺序进行。 ②如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 注意：在进行有理数的运算时，要分两步走：先 ，再求值。 【清单05】科学计数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中 ，n是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=2×105 【清单06】近似数与精确度 近似数 接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值. 取近似数 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入 精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度 精确度是指近似数与准确数的接近程度 精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字 【题型一】有理数的加减运算的应用 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）一辆玩具赛车在一条水平直线上先向东行驶，再向西行驶，规定向东行驶为正，向西行驶为负，下列算式能表示赛车相对于起点位置的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】有理数的乘除运算 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下： 其中步骤错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式2-3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）从，，，7，5，a（，且a为整数）这6个数中取其中3个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（   ） A． B． C．168 D．无法确定 【题型三】有理数的乘方 【例3】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足，则代数式的值为 ． 【变式3-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数：，，，0，在数轴上所对应的点在原点右边的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列各组数中，计算结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型四】有理数的混合运算 【例4】（24-25七年级上·浙江·期末）计算： (1)； (2)． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)． (2)． 【变式4-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1) (2) 【变式4-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1) ； (2) ． 【题型五】有理数加减运算的实际应用 【例6】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下表是筐蔬菜的质量记录，每筐以为标准质量（高于标准质量记为“”），则这筐蔬菜总质量为 ． 筐数 与标准质量比较/kg 【变式6-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）自2014年至2024年（除2020年外），《熊出没》系列电影每年均安排在春节档，至今已上映了十部．下表将这十部《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房作比较： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2021 2022 2023 2024 《熊出没》的票房 2.5 2.9 5.2 6.1 7.2 6.0 10.0 15.0 20.1 动画票房冠军的票房 2.5 10.0 15.3 6.1 50.4 6.0 10.0 15.0 20.1 票房差 0 0 0 0 0 注：票房单位均为“亿元”，票房差指《熊出没》的电影票房与当年动画票房冠军的票房之差． (1)上表中__________，__________，__________； (2)《熊出没》系列电影最高票房出现在哪一年？并指出《熊出没》系列电影夺得当年动画票房冠军的所有年份； (3)据统计这十部《熊出没》电影总票房为78.4亿元，求这十年动画票房冠军的总票房． 【题型六】有理数乘除运算的实际应用 【例7】（24-25七年级上·浙江温州·期末）毛利率的计算公式为：毛利率，若商品每千克进价为元，售价为元，则商品每千克的毛利率为 ． 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若一对整数的和为一个两位数，且该两位数的个位数字与十位数字相同，这对整数的积是一个三位数，且该三位数的个位、十位和百位数字都相同，则这对整数可以是 （写出一对即可）． 【变式7-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）以下有5张数字卡片，请你按要求取出卡片，解决下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ． (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方混合运算，使运算结果为24（每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子： ① ．         ② ． 【变式7-3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）在某次研学活动中，小慧负责订购全班48位同学的营养午餐，每份营养午餐的单价为20元，现有如下两种订购方式： 订购方式 优惠活动 配送费 方式一： 电话订购 每购买10份，免费赠送1份 免费 方式二： 外卖APP下单 1．9.2折优惠 2．红包立减折扣，一个订单只允许使用一个红包． 注：优惠可叠加使用 订单总价满20元起送，每单配送费2元 (1)若小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，则需花费多少元？ (2)若小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费多少元？ (3)小聪同学说，在同样条件下他能以更低的价格买到，你认为可能吗？如果可能，请制定购买方案，并算出费用（写出一个即可）；若不可能，请说明理由． 【题型七】程序框图与有理数的计算 【例8】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图是小南设计的的一个运算程序，当她输入1时，输出的结果是 ． 【题型八】定义新运算 【例9】（24-25七年级上·浙江温州·期末）定义“*”运算：，如：，则的运算结果是 ． 【变式9-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）用“”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有．例如：，那么 ； ． 【变式9-2】（24-25七年级上·浙江·期末）在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“”表示相加．例如：向右转向左转立正，向左转向左转向后转，等等．分别用数字符号0，1，，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表． 0（立正） 1（向右转） （向左转） 2（向后转） 0（立正） 0 1 2 1（向右转） 1 2 0 n （向左转） 0 2 1 2（向后转） 2 x y m 请完成下面问题： (1)上述表格中， ， ， ． (2)若用字母a表示任何一种体育口令，则 ． (3)判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）． 【变式9-3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，图1表示的是的计算过程，则图2所表示的等式是 ； 【变式9-4】（24-25七年级上·浙江金华·期末）在古代数学名著里，记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1表示计算的过程，按照这种方法，图2的计算过程表示的算式为（   ） A． B． C． D． 【题型一】因为没有对参数进行分类讨论 考虑不够全面而出错 【例1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江·期末）点A，O，B是数轴上的三个点，其中O是原点，点A表示的数为，且． 则点B所表示的数为 ． 【题型一】根据点在数轴的位置判断式子的正负 ·法一：①判正负；②根据数轴比较未知数大小；③根据数轴上的位置比较绝对值大小 ·法二：①根据数轴上的位置取合适的特殊值；②代入式子中求值再比较大小 【例5】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【题型二】与有理数运算有关的新定义问题 ·求解方法： ①理解定义中的运算规则（运算顺序、运算条件）； ②代入数值时（注意符号）； ③多步运算； ④注意新运算中字母的取值范围 【例1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）钟表中蕴含着有趣的数学运算． 例如，现在是 10 时，问 4 小时以后是几时？ 虽然 ，但在表盘上看到的是 2 时． 如果用符号“ ”表示钟表上的加法，则 ． 若问 3 时之前 5 小时是几时，就得到钟表上的减法概念，若用符号“ ”表示钟表上的减法，则 ． （注：此处用 0 时代替 12 时）． 根据上述材料解决下列问题： (1) _____， _____． (2)在有理数运算中，相加得 0 的两个数互为相反数． 如果在钟表运算中沿用这个概念，那么 5 的相反数是多少？ (3)规定在钟表运算中也有 ，对于钟表上的任意数字 ， ， ，若 ，判断 是否一定成立，若一定成立，说明理由； 若不一定成立，写出一组反例加以说明． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义，如图，表示2与的点A，B重合，所以；表示与的点C，D距离为，所以． (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为_______； ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $