专题03 实数（期末复习知识清单，5知识9题型1易错3方法）七年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学实数专题知识清单系统梳理了实数的核心概念、运算及应用，涵盖算术平方根、平方根、立方根、实数分类与运算五大知识范畴，搭建了从概念辨析到运算技巧再到实际应用的递进式学习支架。 清单以“知识清单+题型分类+易错突破+方法总结”四维架构呈现，如平方根与算术平方根对比表突出关联，9类题型含地方期末真题培养运算能力与推理意识，方法清单中“非负性应用”策略助力学生自主突破，教师可精准定位教学重难点。

专题03 实数（5知识&9题型&1易错&3方法清单） 【清单01】算术平方根 算术平方根定义 一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的 表示方法 非负数a的算术平方根记作 ，读作根号a 性质 ①正数只有一个算术平方根，并且恒为正 ②0的算术平方根为 ，即 ③负数 ，当式子有意义时，a一定是一个 【清单02】平方根 平方根定义 如果一个数x的平方等于a，即：那么数x就叫做a的 ，记作 平方根表示方法 一个数a（a≧0）的平方根记作 ，读作根号a,“正负根号a” 平方根性质 ①一个正数有 平方根，它们互为 ②0只有一个平方根，是它本身 ③负数没有平方根 开平方 定义:求一个数a的平方根的运算，叫做 ，a叫做被开方数 区别与联系 取值范围不同 中a为 ； 中 被开方数不同 中被开方数为； 中被开方数为 运算顺序不同 先 再开方；先 再平方 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【清单03】立方根 立方根定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的 （如果，那么叫做的立方根） 立方根的表示 一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数 开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方（开立方和立方互为逆运算） 性质 ①任何数都有立方根：正数的立方根是正数，负数的立方根是 ，0的立方根是0 ②一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的 ③两个互为相反数的数的立方根也互为相反数 ④ ，， 【清单04】实数 实数的概念 有理数和 统称为实数 实数的分类 按定义分 按与0的大小关系分 实数 实数 实数与数轴的关系 ①实数与数轴上的点一一对应 ②数轴上的任何一个点都对应一个实数 ③任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 【清单05】实数的运算 ·运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 【题型一】无理数的判断与实数的分类 【例1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列四个实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C．2 D．0 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列选项中是无理数的是（   ） A． B．5 C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）在 （每两个 0 之间依次增加一个 1 ） 中， 无理数的个数是 （      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）在实数，3.14，，，，（相邻两个6之间依次增加一个2）中，无理数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型二】求一个数的平方根、算术平方根、立方根 【例2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．4的算术平方根是 C．的倒数是3 D．8的立方根是2 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）下列各种说法中，不正确的是（   ）． A．是一个无理数 B．的立方根是 C．只有正数才有算术平方根 D．和都是正数13的平方根 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）的相反数是 ，25 的平方根是 ， 的立方根是 ． 【例3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，则 ． 【变式3-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 【变式4-1】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知和是a的两个不同的平方根，是a的立方根. (1)求x，y，a的值. (2)求的立方根. 【题型三】估算无理数的大小 【例5】（24-25七年级上·浙江金华·期末）若整数满足，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）的大小在两个相邻整数之间，这两个整数是（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【变式5-2】已知一个边长为a米的正方形，面积是27平方米，则a在（   ） A．4与5之间 B．5与6之间     C．6与7之间 D．7与8之间 【变式5-3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，则实数在（      ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【例6】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知、均为正整数，若，，则的最大值为 ． 【变式6-1】已知，，均为正整数．若，，则满足条件的的个数总比的个数少 个． 【题型四】用数轴上的点表示实数 【例7】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点所表示的数为（   ）    A． B．1.8 C． D． 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点，点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为 ． 【题型五】比较实数的大小 【例8】若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【变式8-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）实数 、 在数轴上表示的点位置如图所示，则下列代数式中最大的是 （    ） A． B． C． D． 【题型六】程序流程图与有理数的计算 【例9】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为时，则输出的值为 ． 【变式9-1】如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（　　） A． B．9 C．3 D． 【题型七】实数的混合运算 【例10】（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算： 【变式10-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）计算： (1)； (2)． 【变式10-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算： (1)； (2)； (3) ． 【变式10-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)； (3) 【题型八】算术平方根的实际应用 【例11】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）教材第页的合作学习，首次利用图形引进了带开平方符号的无理数．请用教材中同样的方法思考解答下列问题（设每一方格的边长为个单位）． (1)求方格（图）中阴影正方形的面积和它的边长； (2)求方格（图）中阴影正方形的边长． 【变式11-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在方格中有一个阴影正方形，设每一方格的边长为1个单位长度． (1)求阴影正方形的面积； (2)请估算阴影正方形的边长的值．（精确到0.1） 【变式11-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块可以锻造为一个边长为 的立方体铁块（不计锻造过程中的损耗）． 【题型九】与实数的性质有关的新定义问题 【例12】定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ． 【变式12-1】定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是 ． 【变式12-2】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值； (3)若______，，这三个数是“完美组合数”，请直接写出用含n(，且n为整数)的代数式来表示横线上的数． 【题型一】因混淆算术平方根中的被开方数而出错 ·概念辨析：正数a的算术平方根为，a是被开方数。 ·步骤：求一个数的算术平方根先求这个数再求其算术平方根。 【例1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（　　） A．是3的算术平方根 B．的算术平方根是 C．没有立方根 D．的平方根是 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）“9的算术平方根是3”，用数学式子表达为（   ） A． B． C． D． 【题型一】算术平方根的非负性 ·适用条件：题目中出现含参数的绝对值代数式. ·方法总结：①对绝对值内的代数式进行“正”、“负”的分类讨论； ②三个重要的非负数： 1. 遇“非负数和为0”题型，直接列方程：每个非负项均等于0； 2. 求解后代入验证 【例1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点A，B是数轴上两点，，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【变式1-1】若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【变式1-2】若，为有理数且，则的平方根为 ． 【题型二】无理数整数部分和小数部分的计算 ·方法总结：①一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数；②小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【变式2-1】若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【变式2-2】【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 【题型三】与实数运算相关的规律题 ·求解方法：①根据题干中的例子总结规律；②应用规律 【例3】观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【变式3-1】（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数（5知识&9题型&1易错&3方法清单） 【清单01】算术平方根 算术平方根定义 一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根 表示方法 非负数a的算术平方根记作，读作根号a 性质 ①正数只有一个算术平方根，并且恒为正 ②0的算术平方根为0，即 ③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数 【清单02】平方根 平方根定义 如果一个数x的平方等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作 平方根表示方法 一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a” 平方根性质 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数 ②0只有一个平方根，是它本身 ③负数没有平方根 开平方 定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数 区别与联系 取值范围不同 中a为任意实数； 中a 被开方数不同 中被开方数为； 中被开方数为a 运算顺序不同 先平方再开方；先开方再平方 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【清单03】立方根 立方根定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根 （如果，那么叫做的立方根） 立方根的表示 一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数 开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方（开立方和立方互为逆运算） 性质 ①任何数都有立方根：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 ②一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同 ③两个互为相反数的数的立方根也互为相反数 ④ ，， 【清单04】实数 实数的概念 有理数和无理数统称为实数 实数的分类 按定义分 按与0的大小关系分 实数 实数 实数与数轴的关系 ①实数与数轴上的点一一对应 ②数轴上的任何一个点都对应一个实数 ③任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 【清单05】实数的运算 ·运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 【题型一】无理数的判断与实数的分类 【例1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列四个实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】无理数 【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据有理数、无理数的定义判断即可．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式． 【详解】解：A、是无理数，故此选项符合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、2是有理数，故此选项不符合题意； D、0是有理数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列选项中是无理数的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查无理数的定义，求一个数的算术平方根，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：A、是分数，为有理数，不符合题意； B、5是整数，为有理数，不符合题意； C、是整数，为有理数，不符合题意； D、是无理数，符合题意， 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）在 （每两个 0 之间依次增加一个 1 ） 中， 无理数的个数是 （      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查了实数的分类，求立方根，根据无理数的定义判断即可．定义：无限不循环小数叫做无理数． 【详解】解：， 在 （每两个 0 之间依次增加一个 1 ） 中， 无理数有（每相邻的两个0之间依次增加一个1），共3个． 故选：B． 【变式1-3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）在实数，3.14，，，，（相邻两个6之间依次增加一个2）中，无理数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】无理数 【分析】本题考查的是有理数和无理数的定义，根据无理数的定义判断出正确答案即可． 【详解】解：在实数，3.14，，，，（相邻两个6之间依次增加一个2）中，无理数为，，（相邻两个6之间依次增加一个2），所以有3个 故选：B． 【题型二】求一个数的平方根、算术平方根、立方根 【例2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．4的算术平方根是 C．的倒数是3 D．8的立方根是2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】倒数、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、倒数、立方根，根据平方根、算术平方根、倒数、立方根的定义逐项计算即可．熟练掌握这几个定义是解题的关键． 【详解】解：A、9的平方根是，故此选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，故此选项不符合题意； C、的倒数是，故此选项不符合题意； D、8的立方根是2，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）下列各种说法中，不正确的是（   ）． A．是一个无理数 B．的立方根是 C．只有正数才有算术平方根 D．和都是正数13的平方根 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查无理数，立方根，算术平方根，平方根，熟练掌握相关概念是解题的关键． 根据无理数、立方根、算术平方根、平方根的概念逐项判定即可． 【详解】解：A、是一个无理数，正确，故此选项不符合题意； B、的立方根是，正确，故此选项不符合题意； C、因为0也有算术平方根，0的算术平方根是0，所以只有正数才有算术平方根说法不正确，故此选项符合题意； D、和都是正数13的平方根，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）的相反数是 ，25 的平方根是 ， 的立方根是 ． 【答案】 / 【难度】0.85 【知识点】相反数的定义、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，求一个数的平方根和立方根，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得第一空答案；对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是； ∵， ∴25 的平方根是； ∵， ∴ 的立方根是； 故答案为；；；． 【例3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，则 ． 【答案】9.649 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：根据可得， 根号下的数扩大了100倍，则结果扩大10倍， 故， 故答案为：9.649． 【变式3-1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根的估算，被开立方的数的小数点向右每移动3位，则开立方的结果的小数点向右移动1位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 【答案】25 【难度】0.85 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、平方根的应用 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数、平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴这一个正数为25． 【变式4-1】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知和是a的两个不同的平方根，是a的立方根. (1)求x，y，a的值. (2)求的立方根. 【答案】(1),, (2) 【难度】0.85 【知识点】求一个数的立方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根和立方根的综合问题，掌握相关结论即可求解． （1）由题意得，即可求解； （2）由（1）求出即可求解． 【详解】（1）解：∵和是a的两个不同的平方根， ∴， 解得：， ∴ ∴， ∵是a的立方根， ∴， ∴； （2）解：， ∴的立方根为． 【题型三】估算无理数的大小 【例5】（24-25七年级上·浙江金华·期末）若整数满足，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据逼近法估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴， 故选：D． 【变式5-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）的大小在两个相邻整数之间，这两个整数是（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理的大小估算，掌握无理数的大小估算是解题的关键．根据无理数的大小估算，可知，求算术平方根即可． 【详解】解： 故选：C． 【变式5-2】已知一个边长为a米的正方形，面积是27平方米，则a在（   ） A．4与5之间 B．5与6之间     C．6与7之间 D．7与8之间 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，根据一个边长为a米的正方形，面积是27平方米，得出，结合，得，即可作答． 【详解】解：∵一个边长为a米的正方形，面积是27平方米， ∴， ∵， ∴， 即a在5与6之间， 故选：B． 【变式5-3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，则实数在（      ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了对无理数大小的估算能力，能准确理解并运用算术平方根知识是解题的关键．先化简的值，再运用算术平方根知识进行估算、求解． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：C ． 【例6】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知、均为正整数，若，，则的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握夹逼法是解题关键．先估算出的范围，得到，进而得到，求出，即可求解． 【详解】解：， ， 为正整数，， ， ， ， ， ， 为正整数， 的最大值为， 故答案为：． 【变式6-1】已知，，均为正整数．若，，则满足条件的的个数总比的个数少 个． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，根据题意，可得是三个连续的自然数，由此可得，根据自然数的乘方运算找出规律即可求解． 【详解】解：已知均为正整数，， ∴，且为三个连续的自然数， ∴， ∵， ∴与之间的整数有个，与之间的整数有个， ∴满足条件的的个数总比 的个数少个， 故答案为： ． 【题型四】用数轴上的点表示实数 【例7】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点所表示的数为（   ）    A． B．1.8 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应，求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键．设含角的三角板直角边为，由面积法即可求解三角板直角边为，即可表示数轴上点所表示的数． 【详解】解：设含角的三角板直角边为， 则， 则， ∵直角顶点与数轴上表示的点重合， ∴数轴上点所表示的数为， 故选：C． 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点，点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根的意义，由算术平方根的意义可得小正方形的边长为，再根据题意并结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵边长为2的正方形的面积为4， ∴小正方形的面积为2， ∴小正方形的边长为， ∵在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点， ∴点所表示的数是， 故选：A． 【变式7-2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据题意可得四边形是正方形，利用割补法求出四边形的面积，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，四边形是正方形，且其面积为， ∴， ∴点表示的实数为， 故答案为：． 【题型五】比较实数的大小 【例8】若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数比较大小时，可通过比较其平方的大小来确定原数的大小是解题的关键． 通过比较平方值来确定大小关系，因为所有数都是正数，平方后大小关系不变． 【详解】解：， ； ， ； ， ， ，即，且均为正数， ． 故选：D． 【变式8-1】比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的估算，根据实数的性质，运用比差法计算是解题的关键． 先估算，则，再由作差法得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， ∴，即， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）实数 、 在数轴上表示的点位置如图所示，则下列代数式中最大的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，根据图示，可得：，且，据此判断即可． 【详解】解：根据图示，可得：，且， ∴ ∴最大的数是， 故选：D． 【题型六】程序流程图与有理数的计算 【例9】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为时，则输出的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】程序流程图与有理数计算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，无理数，绝对值，理解框图中的运算法则是解题的关键． 当输入的值为时，根据数值转换机示意图运算法则计算，如果结果为无理数，则输出，否则再求其算术平方根，直至结果为无理数为止． 【详解】解：当输入的值为时，，，是有理数， 的算术平方根是，为无理数， ∴输出的值为， 故答案为：． 【变式9-1】如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（　　） A． B．9 C．3 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，理解题意，按照数值转换器规定的运算计算是解题的关键．根据数值转换器输入x的值，直到输出y的值不是有理数为止． 【详解】解：第一次输入，则，是有理数； 第二次输入，则，是有理数； 第三次输入，则不是有理数，所以输出， 故选：A． 【题型七】实数的混合运算 【例10】（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一个数的立方根、有理数的加减混合运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先算乘方，开方，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】解：， ， ， ． 【变式10-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】含乘方的有理数混合运算、实数的混合运算、求一个数的立方根 【分析】本题考查的是实数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算乘方，利用分配律进行简便运算，最后计算加减运算即可； （2）先计算乘方，立方根，绝对值，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式10-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算： (1)； (2)； (3) ． 【答案】0 【难度】0.85 【详解】 (1)原式． (2)解：原式 (3)解： 【变式10-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【难度】0.65 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解： ． 【题型八】算术平方根的实际应用 【例11】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）教材第页的合作学习，首次利用图形引进了带开平方符号的无理数．请用教材中同样的方法思考解答下列问题（设每一方格的边长为个单位）． (1)求方格（图）中阴影正方形的面积和它的边长； (2)求方格（图）中阴影正方形的边长． 【答案】(1)阴影正方形面积为，阴影正方形边长为； (2)阴影正方形边长为． 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、算术平方根的实际应用 【分析】（）先出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可； （）先出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可； 本题考查了算术平方根的应用，掌握算术平方根的概念是解题的关键． 【详解】（1）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为： ， 所以，阴影正方形边长为； （2）解：由于每一方格边长为，可得图中阴影正方形面积为： ， 所以，阴影正方形边长为． 【变式11-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在方格中有一个阴影正方形，设每一方格的边长为1个单位长度． (1)求阴影正方形的面积； (2)请估算阴影正方形的边长的值．（精确到0.1） 【答案】(1)13 (2)3.6 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的性质． （1）利用阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个相同大小的三角形面积求解即可． （2）根据求一个根的算术平方根以及无理数的估算求解即可． 【详解】（1）解： 则阴影正方形的面积为13； （2）解：由（1）可知，阴影正方形的边长：． 【变式11-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块可以锻造为一个边长为 的立方体铁块（不计锻造过程中的损耗）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，设立方体的棱长为，设立方体的棱长为，则，根据立方根的概念求解即可，正确理解立方根的概念是解题的关键． 【详解】解：设立方体的棱长为， 则， ∴， ∴， ∴立方体棱长为， 故答案为：． 【题型九】与实数的性质有关的新定义问题 【例12】定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． 根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得； 综上所述，的值为． 故答案为：。 【变式12-1】定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是 ． 【答案】141 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握“开方对称数对”的定义以及立方根、算术平方根的运算规则是解题的关键． 根据“开方对称数对”的定义，分两种情况讨论，判断哪种情况符合条件，进而求出、的值，最后计算． 【详解】情况一：若， ∵， ∴． ∵， ∴，但时，矛盾，无解． 情况二：若 ∵， ∴，即，故． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式12-2】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值； (3)若______，，这三个数是“完美组合数”，请直接写出用含n(，且n为整数)的代数式来表示横线上的数． 【答案】(1)是，见解析 (2) (3)(，且n为整数) 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据“完美组合数”的定义进行求解判断即可； （2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“完美组合数”的定义进行判断即可． （3）设x，，这三个数是“完美组合数”， 再根据“完美组合数”的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”，理由如下： ∵，，，且4，6，12都是整数， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这两个数的乘积为144， 当时，则， ∵， ∴，此时符合题意； 当时，则不符合题意； 综上所述，． （3）解：设x，，这三个数是“完美组合数”， ∴， ， ∵x是负整数，且是整数， ∴(，且n为整数)． 【题型一】因混淆算术平方根中的被开方数而出错 ·概念辨析：正数a的算术平方根为，a是被开方数。 ·步骤：求一个数的算术平方根先求这个数再求其算术平方根。 【例1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（　　） A．是3的算术平方根 B．的算术平方根是 C．没有立方根 D．的平方根是 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根，算术平方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．根据立方根，算术平方根，平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 是3的算术平方根，故该选项正确，符合题意；     B. 的算术平方根是，故该选项不正确，不符合题意； C. 的立方根是，故该选项不正确，不符合题意；     D. 的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）“9的算术平方根是3”，用数学式子表达为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握定义是解题的关键．根据算术平方根和平方根的定义进行解答即可． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，表示“9的算术平方根是3”，故选项正确，符合题意；     C. ，表示“9的平方根是”，故选项不符合题意；         D. ，表示“9的算术平方根的相反数是”，故选项不符合题意；     故选：B 【题型一】算术平方根的非负性 ·适用条件：题目中出现含参数的绝对值代数式. ·方法总结：①对绝对值内的代数式进行“正”、“负”的分类讨论； ②三个重要的非负数： 1. 遇“非负数和为0”题型，直接列方程：每个非负项均等于0； 2. 求解后代入验证 【例1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点A，B是数轴上两点，，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3)的平方根为 【难度】0.65 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根、实数与数轴 【分析】本题考查的是实数与数轴，非负数的性质，平方根的含义； （1）根据数轴上两点之间的距离可得答案； （2）由数轴可知：，再根据绝对值的意义化简即可； （3）根据非负数的性质求解，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵点B在数轴上点A右右侧，点A表示的数为，， ∴， （2）解：由数轴可知：， ∴，， ∴； （3）解：∵与互为相反数， ∴， 又，均为非负数，故且， 即，， ∴， ∴的平方根为． 【变式1-1】若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的加法运算． 由于平方、绝对值和算术平方根都具有非负性，且它们的和为零，因此每个部分都必须为零，从而可求出，，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 故选：B． 【变式1-2】若，为有理数且，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根及平方根的定义，根据算术平方根的定义得到被开方数为非负数，即可确定的值，再求的值，进而确定的平方根．掌握算术平方根及平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 故答案为：． 【题型二】无理数整数部分和小数部分的计算 ·方法总结：①一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数；②小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则__________； __________ (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：即， 则，； （2）解：， ， 是整数，， ，， ． （3）解：， 根据题意得：，， ． 【变式2-1】若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了估算无理数．解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 先估算的大小，再根据不等式的基本性质判断的大小，从而求出，最后代入所求式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴ ， 故选：B． 【变式2-2】【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，而， ， 的整数部分是4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：，而， ， 的整数部分，小数部分为， ； （3）解：， ， 又，其中x是整数，且， ， ， 故答案为：. 【题型三】与实数运算相关的规律题 ·求解方法：①根据题干中的例子总结规律；②应用规律 【例3】观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 【变式3-1】（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】实数与数轴、与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 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