专题04 代数式（期末复习知识清单，5知识10题型1易错3方法）七年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学代数式专题知识清单系统涵盖代数式概念、运算及应用，包含5大知识清单、10类典型题型、1个易错点及3种解题方法，构建了从概念辨析（单项式、多项式）到运算技巧（合并同类项、整式加减）再到实际应用（规律探究、情境建模）的递进式学习支架。 清单以“知识清单-题型突破-方法总结”三级架构呈现，如将“同类项判定”标注为重点，通过“整体代入法”示例培养运算能力，“与x无关问题”步骤解析强化逻辑思维。设计“易错点警示”（如去括号变号）和“方法清单”（如最值问题策略），助力学生精准突破，教师可直接用于分层教学，提升课堂效率。

专题04 代数式（5知识&10题型&1易错&3方法清单） 【清单01】代数式的相关概念 单项式 概念：由数与字母的积组成的代数式叫做 ，单独的一个数或一个字母也叫做单项式 单项式的系数：单项式中的 叫做单项式的系数 单项式的次数：一个单项式中 叫做单项式的次数 在判别单项式的系数时，要注意数字前面的符号，形如a或﹣a的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式 多项式 概念:几个单项式的和叫做 ，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做 多项式的次数：多项式中 叫做多项式的次数。 一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式 【清单02】列代数式与代数求值 列代数式 注意事项 ①在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量 ②在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写 ③在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面 ④含有字母的除法，一般不用“÷”，而是写成分数的形式 代数求值 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值 代数式求值步骤：①代入；②计算（如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值） 【清单03】同类项与合并同类项 同类项 所含 ，并且 ，这样的项叫做同类项 ·注意事项：①所含字母相同并且相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项。 合并同类项 把多项式中的同类项合成一项，叫做合并同类项 法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 【清单04】整式的加减运算 ·步骤：①去括号；②合并同类项 ·先化简后求值问题中的注意事项： ①未化简直接代入数值计算，导致计算繁琐且易出错； ② 代入负数/分数时未加括号，符号错误（如x=-1，代入-x²写成-1²=-1，正确为-(-1)²=-1，此处虽结果相同，但需规范）； ③ 化简过程中步骤跳跃，遗漏关键运算导致错误； ④ 代入后忽视运算顺序（如先算加减再算乘除） 【清单05】在实际应用中列代数式 ·步骤：①表示实际数量关系时，先梳理数量间的运算关系（和、差、倍、分）；②再用字母替代未知量；注意：图形相关问题可结合图形草图辅助分析。 【题型一】根据字母的值代入代数式求值 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）将代数式的值记为P，对于以下3个结论：①当时，；②P一定比2小；③当a越大时，P越大．其中正确的是（   ） A．① B．①② C．②③ D．①③ 【变式1-1】当时，代数式的值是 ． 【变式1-2】已知，c是最小的自然数，d是最大负整数，则代数式的值是 ． 【题型二】根据式子的值求代数式的值 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若代数式的值是2，则代数式的值是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知整式，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】如果代数式的值为3，那么代数式的值等于 ． 【变式2-3】当时，式子的值为2025，则当时，式子的值为（   ） A．2020 B． C． D． 【题型三】列代数式 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）圆圆跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为16份意大利面，x杯饮料，y个蛋挞，则他们点了几份A餐（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级上·浙江·期末）“x的3倍与y的平方的和”用代数式表示为 ． 【变式3-2】一个长方形花圃的形状如图所示，则花圃中空白部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）a，b，c三种物体质量关系如图所示，若在天平一边放物体a，另一边放物体c，并使天平保持平衡，则摆放物体数量最少的方案是（   ） A．一边放4个a，另一边放9个c B．一边放6个a，另一边放9个c C．一边放6个a，另一边放4个c D．一边放8个a，另一边放18个c 【例4】（24-25七年级上·浙江台州·期末）现代数学符号系统的建立经历了漫长的演变与发展过程，例如在清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．小临尝试用上述方式来表示图中正方形内的阴影部分面积，下列表示方式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）我国在清朝学堂的课本《代微积拾级》中用“”来表示代数式，观察其中的规律，则“”表示的代数式是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图是两个未完成的二阶幻圆的模型，要求内外两个圆上的四个数之和及外圆直径上的四个数之和都相等，则图1中 ，图2中 （用含a，b，c的代数式表示）． 【题型四】单项式与多项式的概念辨析 【例5】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列叙述中，正确的是（    ） A．8是单项式 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．是五次多项式 【变式5-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）单项式的系数是 ． 【题型五】同类项与合并同类项 【例6】（24-25七年级上·浙江温州·期末）与单项式是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列各组单项式中，是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式6-2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）（多选）下列单项式中能与合并的是（  ） A． B． C． D． 【例7】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【例8】（24-25七年级上·浙江金华·期末）若与的和是关于，的单项式，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若单项式与是同类项，则 ． 【变式8-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若与是同类项，则 ． 【变式8-3】已知为常数，若单项式与多项式相加得到的和是单项式，则= ． 【题型六】整式加减——去括号 【例9】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）代数式，添上一个括号后值不变的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型七】整式加减与化简求值 【例10】（24-25七年级上·浙江温州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式10-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式10-2】（24-25七年级下·湖南株洲·开学考试）先化简，再求值：，其中． 【变式10-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【题型八】整式加减的应用 【例11】（24-25七年级上·浙江温州·期末）小苍去商店买球类用品，若购买4个篮球，则他所带的钱还缺12元；若购买2个篮球和3个排球，则他所带的钱还缺4元．若购买6个排球，则他所带的钱还剩（   ） A．4元 B．8元 C．12元 D．16元 【变式11-1】（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）一家商店售某种服装，每件的进货价为m元，商店以进货价提高标价，以打八折优惠出售，这时每件服装的利润是 元． 【变式11-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图是一面墙与篱笆围成的长方形园子，园子的宽为a米，篱笆的总长度为b米，门的宽度为1米，则园子的长是 米（用含a，b的代数式表示）． 【变式11-3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）李阿姨负责某小区住宅楼一个单元的卫生保洁，每天要乘电梯到各楼层打扫卫生，规定向上走一层记为，向下走一层记为，该单元电梯的示意图如图所示，李阿姨在一次工作中从第1层出发，电梯上下的层数依次记录为：，，，． (1)求李阿姨在这次工作中最后到达的楼层； (2)已知李阿姨在低楼层每层停留打扫的时间为分钟，在高楼层每层停留打扫的时间为分钟（，），请求出李阿姨在这次工作中（不包括第1层）在低楼层和高楼层停留的总时间（用含，的代数式表示）． 【例12】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，在一个大长方形中放入了标号为①，②，③，④，⑤五个四边形，其中①，②为两个长方形，③，④，⑤为三个正方形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙．若想求得长方形②的周长，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法： 甲说：只需要知道①与③的周长和；乙说：只需要知道①与⑤的周长和； 丙说：只需要知道③与④的周长和；丁说：只需要知道⑤与①的周长差； 下列说法正确的是（    ） A．只有甲正确 B．甲和乙均正确 C．乙和丙均正确 D．只有丁正确 【变式12-1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图所示的一个大长方形，它被分割成个大小不同的正方形①，②，③，④和一个长方形⑤，正方形①，②，③，④的周长分别为，，，，长方形⑤的周长为，整个大长方形的周长为，则下列关系式不正确的是(　　) A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，若需求出没有覆盖的阴影部分的周长，则下列说法中错误的是（　　） A．只需知道③号正方形的边长即可 B．只需知道④号正方形的边长即可 C．只需知道⑤号长方形的周长即可 D．只需知道图1中大长方形的周长即可 【变式12-3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图所示，一个长为，宽为的大长方形中放入①号长为，宽为的长方形和②号边长为的正方形，若已知两个阴影部分周长的差，则下列结论可求出的是（  ） A． B． C． D． 【变式12-4】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图是一个长方形休闲区，长，宽．其中：两个半圆形为休息区，直径为，长方形内有一块小长方形娱乐区，长，宽，其他的地方都是绿化草地． (1)用代数式表示绿化草地的面积（结果保留）； (2)当时，求绿化草地的面积（取3）． 【例13】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，在日历表中框出的4个数之和为4的倍数的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图是2025年1月份的日历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“横3”覆盖的数字之和为，“竖3”覆盖的数字之和为，若，则的最小值为 ． 【变式13-3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学课上，老师让同学们任意写一个三位数，然后把它的个位数字与百位数字对调，计算对调后的三位数与原三位数的差．有四位同学给出下列四个计算结果，其中正确的是（   ） A．891 B．694 C． D． 【题型九】列代数式表示数字变化规律 【例14】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（   ） 题号学生 1 2 3 4 得分 甲 乙 丙 丁 A．50 B．40 C．30 D．20 【变式14-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）把一列数：、、、、、……放置在如图所示的小圆圈内，则从上到下第行，且从左到右第个小圆圈内的数是（   ） A． B． C． D． 【例15】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ； （2）当时，多项式前200项的和为 ． 【变式15-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，则第个数是 用含的式子表示． 【变式15-2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）观察下列等式： ①；②；③；④． (1)根据以上规律写出第⑤个等式：_____； (2)根据以上规律填空：； (3)应用： ①若表示两个连续的正奇数，则的值可能为（   ） A．2022    B．2023    C．2024    D．2025 ②小聪发现：，利用这种方法可得出“当，是两个任意正奇数时，的值都是8的倍数”．请问的值是8的多少倍？仿照小聪的方法说明理由． 【题型十】列代数式表示图形规律 【例16】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，小明将若干个实心球和空心球（●是实心球，O是空心球）按照一定的规律排列，其中说法正确的是（   ） A．第46个是空心球 B．第47个是空心球 C．第105个是实心球 D．第106个是实心球 【变式16-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将形状、大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【变式16-2】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）九连环作为一种中国传统民间玩具，由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成（如图1），从上往下看，可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环（如图2），若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为，整个九连环的宽度为，则一个圆环的直径可以表示为 （用含、的代数式表示）． 【变式16-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一块长方形的瓷砖标准尺寸为，出于美观和保护瓷砖等原因，需要在瓷砖周边以及瓷砖之间的缝隙（缝隙宽度忽略不计）中填入美缝剂，例如图1是由两块瓷砖铺设而成，需要在、、、、处共填入的美缝剂．如果地面按图2所示的方式铺设瓷砖，当铺设5块瓷砖时，需填入 的美缝剂．现在按照相同的方式给一条宽为的走廊地面铺设瓷砖后，共填入了的美缝剂，则该走廊的面积是 ． 【变式16-4】（24-25七年级上·浙江·期末）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存在怎样的数量关系．   小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形（）时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中 ， ． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系． (2)请根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形（）时，写出探索过程，并归纳出m，t之间满足的等量关系． (3)当多边形的边数为n时，请直接写出时n，m，t之间满足的等量关系． 【题型十一】涉及到整式加减运算的新定义问题 【例17】（24-25七年级上·浙江金华·期末）若一个四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，同时满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数为“对称数”． （1）当一个四位数的个位数字与千位数字之和为3时，这个“对称数”为 ． （2）记某个“对称数”为，若存在一个自然数，满足且除以9后余数为2．当取得最大值时，这个“对称数”的值为 ． 【变式17-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）对于一个三位自然数（，，是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352____________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（为9以内的正整数），则是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以___________，___________，______________． 所以______________________， 所以是“好六数” (3)已知三位自然数是“好六数”，且，是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，请说明与的和能被3整除． 【题型一】含整体代入的整式化简问题中时去括号时没有变号 ①直接代入法：先明确字母取值，再逐一代入代数式，按“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的顺序计算； ② 整体代入法：当已知式子的值时，将代数式转化为含已知式子的形式 【例1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知，． (1)化简代数式； (2)若，，求代数式的值． 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知 (1)化简 ． (2)当 为最大负整数时，求 的值． 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知， (1)求． (2)当，时，求的值． 【变式1-3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知 (1)化简：； (2)若，求（1）中代数式的值． 【题型一】代数式的化简——整体思想的运用 ·求解方法：将一个式子看成整体，再进行整体代入。“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来。 【例1】数学课上，黄老师给同学们布置了这样一道思考题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照小明的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则__________． （2）已知当时，的值是2023；求当时，的值． 【拓展提高】 （3）已知，求的值． （4）关于的一元一次方程的解是，求关于的一元一次方程的解． 【变式1-1】【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理，它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用：某问题按常规不容易直接求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：，求的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 类似的，若我们把看成一个整体，则有． 这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”． 【方法运用】 （1）把看成一个整体，求的值； 【拓展应用】 （2）将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④四个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y．若图中⑤号小长方形的周长为10，试求③号正方形的周长． （3）若，求代数式的值． 提示：我们知道，反之也成立．这种解决问题的方法渗透了数学中的“逆向思维”，它是解决问题的一种重要思维方式．例如：． 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学中运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则________； (2)已知，求代数式的值． 【题型二】“与x无关”的取值问题 ·方法步骤： ① 对整式进行加减运算，化简为最简整式； ② 找出与题目指定字母相关的所有项，将其系数合并（视为一个整体）； ③ 根据‘与该字母无关’可知其系数为0，列出一元一次方程； ④ 解方程求出未知字母的取值”。 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知 (1)求整式； (2)设，当取何值时，的值与的取值无关． 【变式2-1】已知多项式，多项式，代数式． (1)先化简，再求值：当时，求的值； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 【变式2-2】已知，且． (1)求多项式； (2)若多项式的值与b的取值无关，求的值； (3)若a，b满足，且，求（1）中多项式的值． 【题型三】代数式的最值问题 【例3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知． （1）的值为 ；   （2）的最小值为 ． 【变式3-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为 ；的最小值为 ．（用含的式子表示） 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 代数式（5知识&10题型&1易错&3方法清单） 【清单01】代数式的相关概念 单项式 概念：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数 单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数 在判别单项式的系数时，要注意数字前面的符号，形如a或﹣a的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式 多项式 概念:几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项 多项式的次数：多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数。 一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式 【清单02】列代数式与代数求值 列代数式 注意事项 ①在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量 ②在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写 ③在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面 ④含有字母的除法，一般不用“÷”，而是写成分数的形式 代数求值 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值 代数式求值步骤：①代入；②计算（如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值） 【清单03】同类项与合并同类项 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项 ·注意事项：①所含字母相同并且相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项。 合并同类项 把多项式中的同类项合成一项，叫做合并同类项 法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 【清单04】整式的加减运算 ·步骤：①去括号；②合并同类项 ·先化简后求值问题中的注意事项： ①未化简直接代入数值计算，导致计算繁琐且易出错； ② 代入负数/分数时未加括号，符号错误（如x=-1，代入-x²写成-1²=-1，正确为-(-1)²=-1，此处虽结果相同，但需规范）； ③ 化简过程中步骤跳跃，遗漏关键运算导致错误； ④ 代入后忽视运算顺序（如先算加减再算乘除） 【清单05】在实际应用中列代数式 ·步骤：①表示实际数量关系时，先梳理数量间的运算关系（和、差、倍、分）；②再用字母替代未知量；注意：图形相关问题可结合图形草图辅助分析。 【题型一】根据字母的值代入代数式求值 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）将代数式的值记为P，对于以下3个结论：①当时，；②P一定比2小；③当a越大时，P越大．其中正确的是（   ） A．① B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的值．根据题意利用有理数加法法则及代数式求值的定义逐一判断即可． 【详解】解：①当时，则，故此说法正确； ②当时，，故此说法错误； ③当时，，当时，则，故越大时，越小，故此说法错误； 综上分析可知：正确的只有①． 故选：A． 【变式1-1】当时，代数式的值是 ． 【答案】17 【分析】本题考查了代数式求值． 将代入代数式进行计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为17． 【变式1-2】已知，c是最小的自然数，d是最大负整数，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值． 根据非负数的性质，由给定等式求出a和b的值，再根据自然数和负整数的定义求出c和d的值，最后代入代数式计算． 【详解】由，根据非负数的性质，得且， 解得，， 是最小的自然数， 即； 是最大负整数， 即． 代入代数式， 得． 故答案为：． 【题型二】根据式子的值求代数式的值 【例2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若代数式的值是2，则代数式的值是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意得到的值，再由代值计算即可． 【详解】解：∵代数式的值是2， ∴， ∴ ， 故选：A． 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知整式，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了求代数式的值，整体代入是解题的关键．由得到，把原式变形后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：A 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江·期末）如果代数式的值为3，那么代数式的值等于 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题主要考查了代数式求值，解题的关键是首先得到，然后把变形为，代入计算． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：2． 【变式2-3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）当时，式子的值为2025，则当时，式子的值为（   ） A．2020 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，计算出的值是解答关键．根据时，式子的值为2025中，求出，再将代入中计算即可求解． 【详解】解：时，式子的值为2025， ∴ ∴， ∴时，． 故选：D． 【题型三】列代数式 【例3】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）圆圆跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为16份意大利面，x杯饮料，y个蛋挞，则他们点了几份A餐（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，解题关键是明确题目中的数量关系，列出代数式表示点了几份A餐． 【详解】解：点了16份意大利面，就是一共点了16份套餐，点了x杯饮料，B和C套餐一共x份，则点A餐份， 故选：A． 【变式3-1】（24-25七年级上·浙江·期末）“x的3倍与y的平方的和”用代数式表示为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查列代数式，正确理解题意是解题的关键．根据题意即可得出答案． 【详解】解：由题意，可列代数式为：． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）一个长方形花圃的形状如图所示，则花圃中空白部分的面积可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】列代数式 【分析】本题考查列代数式，通过割补后发现空白部分是一个边长为的正方形，据此求解即可． 【详解】解：空白部分合并以后是一个边长为的正方形，则花圃中空白部分的面积可以表示为， 故选：D． 【变式3-3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）a，b，c三种物体质量关系如图所示，若在天平一边放物体a，另一边放物体c，并使天平保持平衡，则摆放物体数量最少的方案是（   ） A．一边放4个a，另一边放9个c B．一边放6个a，另一边放9个c C．一边放6个a，另一边放4个c D．一边放8个a，另一边放18个c 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式表达式，先得，，整理得，即，故摆放物体数量最少的方案是一边放4个a，另一边放9个c，即可作答． 【详解】解：依题意，得出，， 则， ∴， 即， ∵在天平一边放物体a，另一边放物体c，并使天平保持平衡， 则摆放物体数量最少的方案是一边放4个a，另一边放9个c， 故选：A． 【例4】（24-25七年级上·浙江台州·期末）现代数学符号系统的建立经历了漫长的演变与发展过程，例如在清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．小临尝试用上述方式来表示图中正方形内的阴影部分面积，下列表示方式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了用字母表示数，由题意可得甲、乙、丙、丁分别代表，表示，表示，进而根据表示方式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，甲、乙、丙、丁分别代表，表示，表示， ∵， ∴表示方式为， 故选：． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）我国在清朝学堂的课本《代微积拾级》中用“”来表示代数式，观察其中的规律，则“”表示的代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】列代数式 【分析】本题考查的是列代数式，理解题意列出正确的运算式是解本题的关键． 由题意得到答案即可． 【详解】 解：由题意可得：“”表示：， 故选：C 【变式4-2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图是两个未完成的二阶幻圆的模型，要求内外两个圆上的四个数之和及外圆直径上的四个数之和都相等，则图1中 ，图2中 （用含a，b，c的代数式表示）． 【答案】 0.2/ 【难度】0.65 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，理解题中所给二阶幻圆的定义是解题的关键．根据二阶幻圆的定义，依次得出m及n即可． 【详解】解：由图1可知， ， 解得． 由图2知， ， 则． 故答案为：0.2，． 【题型四】单项式与多项式的概念辨析 【例5】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列叙述中，正确的是（    ） A．8是单项式 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．是五次多项式 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】单项式的判断、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得答案． 【详解】解：A、8是单项式，原说法正确，符合题意； B、单项式的次数是2，原说法错误，不符合题意； C、单项式的系数是，原说法错误，不符合题意； D、是三次多项式，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式5-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）单项式的系数是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的系数，熟记定义是解题关键．根据单项式的系数的定义（单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数）即可得． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 【题型五】同类项与合并同类项 【例6】（24-25七年级上·浙江温州·期末）与单项式是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键； 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解． 【详解】解：由同类项的定义可知，的a的指数是1，b的指数是2， 解：A、在中，a的指数是1，b的指数是1，与不是同类项，故本选项不符合题意； B、在中，a的指数是1，b的指数是1，c的指数是1，与不是同类项，故本选项不符合题意； C、在中，a的指数是1，与不是同类项，故本选项不符合题意； D、在中，a的指数是2，b的指数是2，与是同类项，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式6-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列各组单项式中，是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 【详解】解：A、所含字母不相同，不是同类项，故该选项不符合题意； B、相同字母的指数不相同，不是同类项，故该选项不符合题意； C、符合同类项的定义，是同类项，故该选项符合题意； D、所含字母不相同，不是同类项，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式6-2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）（多选）下列单项式中能与合并的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义；所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：A、符合同类项的定义，是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、所含字母不相同，不是同类项； D、符合同类项的定义，是同类项； 故选：AD 【例7】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项法则即可求出答案．解题的关键是熟练掌握合并同类项的发展，本题属于基础题型． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项．按照合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母连同指数不变，逐项分析即可． 【详解】解：，没有同类项，不能合并，故A 错误，不符合题意； ，没有同类项，不能合并，故B错误，不符合题意； ，故C正确，符合题意； ，没有同类项，不能合并，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式7-2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变，逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算正确； C．，原计算错误； D．，原计算错误； 故选：B． 【例8】（24-25七年级上·浙江金华·期末）若与的和是关于，的单项式，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义可得关于、的方程，解方程求出、的值即可． 【详解】解：与的和是关于，的单项式， 与是同类项， ， 解得：，． 故选：A． 【变式8-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若单项式与是同类项，则 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项的定义和代数式求值，掌握同类项的定义是解题的关键． 所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得，，再代值计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【变式8-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若与是同类项，则 ． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键；因此此题可根据“含有相同字母并且相同字母的指数也相同”进行求解即可． 【详解】解：由与是同类项，可知：， ∴； 故答案为5． 【变式8-3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）已知为常数，若单项式与多项式相加得到的和是单项式，则= ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的运算法则是解题的关键．根据题意，得到或，得到系数和指数的对应关系，求出，的值，得到结果． 【详解】解：单项式与多项式和是单项式， 当时， ，， ，， 当， ，， ∴，， ． 综上所述：或 故答案为：或． 【题型六】整式加减——去括号 【例9】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）代数式，添上一个括号后值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】去括号 【分析】本题考查了添加括号和去括号，分别根据去括号的性质化简各个选项，再与代数式进行比较，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式9-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算．根据合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、与不是同类项不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：D． 【题型七】整式加减与化简求值 【例10】（24-25七年级上·浙江温州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先去括号，再合并同类项，然后代入计算求值即可． 【详解】解：． 当，时， 原式． 【变式10-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【难度】0.85 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把，的值代入化简后的式子进行计算即可．解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【变式10-2】（24-25七年级下·湖南株洲·开学考试）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键；根据去括号法则，合并同类项法则化简整式，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式10-3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先去括号，再计算整式的加减，然后将，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将，代入得：原式． 【题型八】整式加减的应用 【例11】（24-25七年级上·浙江温州·期末）小苍去商店买球类用品，若购买4个篮球，则他所带的钱还缺12元；若购买2个篮球和3个排球，则他所带的钱还缺4元．若购买6个排球，则他所带的钱还剩（   ） A．4元 B．8元 C．12元 D．16元 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式及整式的加减，令一个篮球的价格为a元，进而可表示出小苍带的钱的总数及一个排球的价格，据此求出买6个排球后剩下的钱即可． 【详解】解：令一个篮球的价格为a元，则小苍带的总钱数为元． 又因为购买2个篮球和3个排球，则他所带的钱还缺4元， 则一个排球的价格为：（元）， 所以购买6个排球时的总费用为：元， 则他剩下的钱为：（元）． 故选：A． 【变式11-1】（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）一家商店售某种服装，每件的进货价为m元，商店以进货价提高标价，以打八折优惠出售，这时每件服装的利润是 元． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查的知识点是列代数式，整式的加减运算，解题关键是掌握销售问题中的成本价、标价、售价、利润之间的关系．根据销售问题中的数量关系分别表示出标价、售价，售价减去进货价即为利润． 【详解】解：由题意得：标价为， 售价为， 则利润为． 故答案为：． 【变式11-2】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图是一面墙与篱笆围成的长方形园子，园子的宽为a米，篱笆的总长度为b米，门的宽度为1米，则园子的长是 米（用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，用篱笆门的长度和减去园子的2个宽即可． 【详解】解：由题意，得 园子的长是米． 故答案为：． 【变式11-3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）李阿姨负责某小区住宅楼一个单元的卫生保洁，每天要乘电梯到各楼层打扫卫生，规定向上走一层记为，向下走一层记为，该单元电梯的示意图如图所示，李阿姨在一次工作中从第1层出发，电梯上下的层数依次记录为：，，，． (1)求李阿姨在这次工作中最后到达的楼层； (2)已知李阿姨在低楼层每层停留打扫的时间为分钟，在高楼层每层停留打扫的时间为分钟（，），请求出李阿姨在这次工作中（不包括第1层）在低楼层和高楼层停留的总时间（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)8 (2) 【难度】0.65 【知识点】正负数的实际应用、列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查正负数的意义及应用，解题的关键是熟练掌握位置是正负数相加，路程是绝对值相加． （1）利用所有记录数字相加即可得到答案； （2）分别计算出楼层，根据题意算出高低楼层的时间，相加可得到答案 【详解】（1）由题意可得， ， ∴李阿姨在这次工作中最后到达的楼层数是8层； （2）， ∴此次工作楼层分别是：6层，3层，12层，8层， ∴低层时间为：， 高层时间为：， ， ∴在低楼层和高楼层停留的总时间为分钟． 【例12】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，在一个大长方形中放入了标号为①，②，③，④，⑤五个四边形，其中①，②为两个长方形，③，④，⑤为三个正方形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙．若想求得长方形②的周长，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法： 甲说：只需要知道①与③的周长和； 乙说：只需要知道①与⑤的周长和； 丙说：只需要知道③与④的周长和； 丁说：只需要知道⑤与①的周长差； 下列说法正确的是（    ） A．只有甲正确 B．甲和乙均正确 C．乙和丙均正确 D．只有丁正确 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，正方形和矩形的性质，解题关键是通过设③的边长为，④的边长为，②的宽为，求出各个图形的周长． 设③的边长为，④的边长为，②的宽为，根据图形求出⑤的边长为，②的长为：，①的长为，宽为，然后先求出②的周长，再分别算出①③④⑤的周长，最后通过计算①与③的周长和、①与⑤的周长和、③与④的周长和、⑤与①的周长差，与②的周长比较，再进行判断即可． 【详解】解：设③的边长为，④的边长为，②的宽为， ⑤的边长为，②的长为：，①的长为，宽为， ②的周长为：， ①的周长，③的周长为， ①与③的周长和为：， 甲的说法正确； ①的周长，⑤的周长为， ①与⑤的周长和为：， 乙的说法错误； ③的周长，④的周长， ③与④的周长和为：， 丙的说法错误； ⑤的周长为，①的周长， ⑤与①的周长差为：， 丁的说法错误； 综上可知：说法正确的只有甲， 故选：． 【变式12-1】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图所示的一个大长方形，它被分割成个大小不同的正方形①，②，③，④和一个长方形⑤，正方形①，②，③，④的周长分别为，，，，长方形⑤的周长为，整个大长方形的周长为，则下列关系式不正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则，数形结合是解题的关键．根据题意，设正方形①②的边长分别为，，结合图形，表示出四个正方形，和长方形的周长，即可判断各选项． 【详解】解：设正方形①②的边长分别为，， 则正方形③的边长为， 正方形④的边长为， 长方形⑤的长为，宽为， 大长方形的长为，宽为， ， ， ， ， ．，该关系式成立，不符合题意； ．，该关系式成立，不符合题意； ．，故关系式不成立，符合题意； ．，该关系式成立，不符合题意． 故选：C． 【变式12-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，若需求出没有覆盖的阴影部分的周长，则下列说法中错误的是（　　） A．只需知道③号正方形的边长即可 B．只需知道④号正方形的边长即可 C．只需知道⑤号长方形的周长即可 D．只需知道图1中大长方形的周长即可 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，则③号正方形的边长为，④号正方形的边长为，⑤号长方形的长为，宽为，根据图2得没有覆盖的阴影部分的周长，计算即可得到结果． 【详解】 解：设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，则③号正方形的边长为，④号正方形的边长为，⑤号长方形的长为，宽为，，， 根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长 ， ③号正方形的边长为， ④号正方形的边长为， ⑤号长方形的周长； 图1中大长方形的周长； 选项A，C，D说法正确，不符合题意，选项说法错误，符合题意． 故选：B． 【变式12-3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图所示，一个长为，宽为的大长方形中放入①号长为，宽为的长方形和②号边长为的正方形，若已知两个阴影部分周长的差，则下列结论可求出的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先利用代数式表示出两阴影部分的周长，再利用整式的加减运算表示出两个阴影部分周长的差，然后利用已知两个阴影部分周长的差可对各选项进行判断． 【详解】解：∵左边的阴影部分为长方形，其长为，宽为，右边的阴影部分为长方形，其长为，宽为， ∴两个阴影部分周长的差为， ∴当已知两个阴影部分周长的差时，可求出． 故选：C 【变式12-4】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图是一个长方形休闲区，长，宽．其中：两个半圆形为休息区，直径为，长方形内有一块小长方形娱乐区，长，宽，其他的地方都是绿化草地． (1)用代数式表示绿化草地的面积（结果保留）； (2)当时，求绿化草地的面积（取3）． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】本题考查了代数式，代数式的运算，熟练掌握面积公式是解题的关键． （1）利用大长方形面积休息区面积娱乐区面积即可求解； （2）代数运算即可． 【详解】（1）； （2）当时，． 【例13】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，在日历表中框出的4个数之和为4的倍数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】整式加减的应用 【分析】此题考查了整式的加法的应用，准确计算是解题的关键．设其中最小的一个数是，分别求出每个选项4个数之和即可得到答案． 【详解】解：设其中最小的一个数是， A、4个数之和为，不是4的倍数，不符合要求； B、4个数之和为，不是4的倍数，不符合要求； C、4个数之和为，是4的倍数，符合要求； D、4个数之和为，不是4的倍数，不符合要求； 故选：C． 【变式13-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图是2025年1月份的日历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“横3”覆盖的数字之和为，“竖3”覆盖的数字之和为，若，则的最小值为 ． 【答案】51 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减的应用，设“横3”中间数为，“竖3”中间数为，求出,，根据，得出，根据日历得出y的最小值为8，即可得出x的最小值为，然后求出结果即可． 【详解】解：设“横3”中间数为，“竖3”中间数为， 由题意得：, ， ∴， ∴， ∴x、y为同一横行上，相邻的两个数， ∵， ∴当最小时，最小， 根据图可知，y的最小值为8， ∴x的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 故答案为：51． 【变式13-3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学课上，老师让同学们任意写一个三位数，然后把它的个位数字与百位数字对调，计算对调后的三位数与原三位数的差．有四位同学给出下列四个计算结果，其中正确的是（   ） A．891 B．694 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】整式加减的应用 【分析】此题考查了整式的加减法计算，设这个三位数为，然后把它的个位数字与百位数字对调，变为，且a、b、c为1至9的整数，即可得：，且，据此即可作答． 【详解】解：设这个三位数为，然后把它的个位数字与百位数字对调，变为，且a、b、c为1至9的整数， ∴，， ∴， ∵a、b、c为1至9的整数， ∴， 又∵，，，， ∴符合要求， 即正确的是D， 故选：D． 【题型九】列代数式表示数字变化规律 【例14】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（   ） 题号学生 1 2 3 4 得分 甲 乙 丙 丁 A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】数字类规律探索、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数加减运算，根据乙同学答对了一半以上，得出乙同学至少答对了3道题，即，求出，然后根据四个同学的答案，进行推理，得出答案即可． 【详解】解：∵乙同学答对了一半以上， ∴乙同学至少答对了3道题， ∴， ∴， ∴甲、丙至少答对了2道题， 假设乙同学第3题答错，则另外3题都答对，而甲、丙的答案中另外3题答案都与乙不同，因此甲、丙一道题也没有答对，即，不符合题意； ∴第3题的答案一定是B， 假设乙同学4道题都答对，则甲、丙最多答对1道题，即，不符合题意； ∴乙同学答对了3道题， 假设第1题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意； 假设第4题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意； 假设第1题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意； 假设第4题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意； 假设第2题甲答对，乙答错，丙也答对了，则甲丙都答对了2道题，符合题意； ∴第1，4两个题甲、丙都答错，第2题甲、丙都答对了，乙答错了，即乙答对了另外3个题， ∴第1题答案为D，第2题答案为C，第3题答案为B，第4题答案为A， ∴甲、丙、丁都答对了2题，即，， ∴． 故选：B． 【变式14-1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）把一列数：、、、、、……放置在如图所示的小圆圈内，则从上到下第行，且从左到右第个小圆圈内的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的规律题，合理分析出规律是解题的关键． 第一行有个数，第行有个数，第行有个数第行有个数，求出第行的第个数后即可推出第个数． 【详解】解：∵第一行有个数，第行有个数，第行有个数第行有个数， ∴第行有个数， ∴第行的第个数为：， ∴第行的第个数为：， 故选：B． 【例15】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ； （2）当时，多项式前200项的和为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）由原多项式，观察其x的指数由一次到二次……次数逐渐增大，次数为连续的自然数，系数的绝对值为连续的奇数，在奇次项为正数，偶次项为负数，从而得到结果； （2）当时，得到，共200个数相加，相邻两个数之和为，共分为100组，从而得到结果． 【详解】解：（1）∵多项式 ∴经观察可知：x的指数由一次到二次……次数逐渐增大，次数为连续的自然数， 系数为1，，5，……系数的绝对值为连续的奇数，在奇次项为正数，偶次项为负数， ∴多项式的第5项是， 故答案为：； （2）∵当时，多项式的前200项和为， ∴ ． 故答案为：． 【变式15-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，则第个数是 用含的式子表示． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类的变化规律，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型．观察数的规律可知，每一项都是分数，且分子为序号的平方，分母为奇数，符号为循环，再归纳即可． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； … ∴第n个数：； 故答案为：． 【变式15-2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）观察下列等式： ①；②；③；④． (1)根据以上规律写出第⑤个等式：_____； (2)根据以上规律填空：； (3)应用： ①若表示两个连续的正奇数，则的值可能为（   ） A．2022    B．2023    C．2024    D．2025 ②小聪发现：，利用这种方法可得出“当，是两个任意正奇数时，的值都是8的倍数”．请问的值是8的多少倍？仿照小聪的方法说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①C；②99倍，理由见详解 【难度】0.65 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字规律探索、有理数混合运算等知识，结合题意确定等式变化规律是解题关键． （1）根据所给等式的规律，直接写出即可； （2）通过观察可得，即可获得答案； （3）①结合（2）可知，若表示两个连续的正奇数，则的值为8的倍数，然后逐项分析判断即可；②根据题意，可知，整理即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题目中的规律，可写出第⑤个等式为． 故答案为：； （2）根据以上规律，可得． 故答案为：； （3）①结合（2）可知，若表示两个连续的正奇数，则的值为8的倍数， ∵，，，， ∴的值可能为2024． 故答案为：C； ②根据题意，可知 ， 所以，的值是8的99倍． 【题型十】列代数式表示图形规律 【例16】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，小明将若干个实心球和空心球（●是实心球，O是空心球）按照一定的规律排列，其中说法正确的是（   ） A．第46个是空心球 B．第47个是空心球 C．第105个是实心球 D．第106个是实心球 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知空心球的个数（相邻在一起）是从1开始的连续的奇数，实心球的个数（相邻在一起）是从2开始的连续的偶数，那么计算出前45个球和前105个球是1到哪个数字的和即可得到答案． 【详解】解：观察可知，空心球的个数（相邻在一起）是从1开始的连续的奇数，实心球的个数（相邻在一起）是从2开始的连续的偶数， ∵， ∴第46个球和第47个球都是实心球，故A、B说法错误，不符合题意， ∵， ∴第105个是实心球，第106个是空心球，故C说法正确，符合题意，D说法错误，不符合题意， 故选：C． 【变式16-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，将形状、大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据图形变化的规律归纳总结出，然后代入式子变形求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， ， ， ， ， ．．． (n为正整数)， ∴ 故选∶C． 【变式16-2】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）九连环作为一种中国传统民间玩具，由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成（如图1），从上往下看，可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环（如图2），若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为，整个九连环的宽度为，则一个圆环的直径可以表示为 （用含、的代数式表示）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】列代数式、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查图形规律类．熟练掌握重叠后长度，重叠部分长度，并排长度的关系，是解题的关键． b加的和除以9，即得． 【详解】． 故答案为：． 【变式16-3】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一块长方形的瓷砖标准尺寸为，出于美观和保护瓷砖等原因，需要在瓷砖周边以及瓷砖之间的缝隙（缝隙宽度忽略不计）中填入美缝剂，例如图1是由两块瓷砖铺设而成，需要在、、、、处共填入的美缝剂．如果地面按图2所示的方式铺设瓷砖，当铺设5块瓷砖时，需填入 的美缝剂．现在按照相同的方式给一条宽为的走廊地面铺设瓷砖后，共填入了的美缝剂，则该走廊的面积是 ． 【答案】 13.2 14.4 【难度】0.65 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，根据题意即可得当铺设5块瓷砖时，需填入美缝剂，当铺设n块瓷砖时，需填入美缝剂，再令得n的值，即可得走廊的长，进而可得走廊的面积． 【详解】解：按图2所示的方式铺设瓷砖，当铺设5块瓷砖时，需填入美缝剂， 观察图形的变化，可知第一块瓷砖需要美缝剂，每增加一块瓷砖，需要美缝剂， 所以当铺设n块瓷砖时，需填入美缝剂， 当，得， 则该走廊的长为， 所以该走廊的面积是， 故答案为：13.2，14.4． 【变式16-4】（24-25七年级上·浙江·期末）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存在怎样的数量关系．   小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形（）时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中 ， ． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系． (2)请根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形（）时，写出探索过程，并归纳出m，t之间满足的等量关系． (3)当多边形的边数为n时，请直接写出时n，m，t之间满足的等量关系． 【答案】(1)5；7； (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索： （1）直接根据图形数出对应图形内部的小三角形个数即可得到x、y的值，据此可得t的值等于2倍的m的值加1； （2）仿照（1）画出对应的图形并数出对应的三角形个数，类似可得t的值等于2倍的m的值加2； （3）仿照（2）画出n的值为5时对应的图形并数出对应的三角形个数，类似可得t的值等于2倍的m的值加3；据此可得t的值等于2倍的m的值加上n的值减2． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，； （2）解：如图所示，当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，； （3）解：如图所示，当时， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，； 以此类推可知，． 【题型十一】涉及到整式加减运算的新定义问题 【例17】（24-25七年级上·浙江金华·期末）若一个四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，同时满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数为“对称数”． （1）当一个四位数的个位数字与千位数字之和为3时，这个“对称数”为 ． （2）记某个“对称数”为，若存在一个自然数，满足且除以9后余数为2．当取得最大值时，这个“对称数”的值为 ． 【答案】 1452或2541/2541或1452 6952 【难度】0.4 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查了整式的加减、有理数的加法、有理数的除法，解决本题的关键是根据“对称数”的定义，表示出对称数． （1）假设这个四位数为，根据四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，得，或，，再根据题意得，，分别代入a、b的值，即可求出这个四位数； （2）设P的千位为a，个位为b，百位为，十位为，则，，因为Q除以9后余数为2，所以除以9后余数为2，再由四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，得，，得，进而得，，因为Q取得最大值，所以，，据此可表示出这个四位数． 【详解】解：（1）假设这个四位数为， 则有， 因为四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0， 所以，或，， 因为，， 所以当，时，，，这个数是1452； 当，时，，，这个数是2541； 故答案为：1452或2541； （2）设P的千位为a，个位为b，百位为，十位为， ， ， 因为Q除以9后余数为2， 所以除以9后余数为2， 因为四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0， 所以，， 所以， 所以， 所以， 因为Q取得最大值， 所以，， 所以，， 因此这个数为6952． 故答案为：6952． 【变式17-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）对于一个三位自然数（，，是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352____________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（为9以内的正整数），则是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以___________，___________，______________． 所以______________________， 所以是“好六数” (3)已知三位自然数是“好六数”，且，是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，请说明与的和能被3整除． 【答案】(1)不是； (2)，，7；，6； (3)见解析 【难度】0.4 【知识点】整式加减的应用、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，有理数的运算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义“好六数”，仿照示例，即可判断352不是“好六数”； （2）按照“好六数”的定义，根据证明过程，填写完整步骤即可； （3）仿照第（2）题的过程，得到，即可证明能被3整除． 【详解】（1）解：，， 不是“好六数”， 故答案为：不是； （2）解：因为， 所以，，， 所以， 所以是“好六数”， 故答案为：，，7；，6； （3）解：， 的百位上数字为，十位上数字为，个位上数字为4， 是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数， ，， ， 是“好六数”， ， 即， ， 且为正整数， 为正整数， 能被3整除． 【题型一】含整体代入的整式化简问题中时去括号时没有变号 ①直接代入法：先明确字母取值，再逐一代入代数式，按“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的顺序计算； ② 整体代入法：当已知式子的值时，将代数式转化为含已知式子的形式 【例1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知，． (1)化简代数式； (2)若，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值； （1）先去括号，再合并同类项，可得化简的结果； （2）把，代入化简的结果，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ； （2）解：∵，， ； 【变式1-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知 (1)化简 ． (2)当 为最大负整数时，求 的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，本题关键在于熟练掌握整式的运算规则，特别是去括号和合并同类项，同时要清楚最大负整数的概念，以便准确代入求值． （1）把与代入中，去括号合并即可得到结果； （2）把值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解∶ （2）当 时， 原式 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知， (1)求． (2)当，时，求的值． 【答案】(1) (2)22 【难度】0.85 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减运算，代数式求值，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项； （2）将，代入（1）中结论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：当，时， ． 【变式1-3】（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知 (1)化简：； (2)若，求（1）中代数式的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查的是整式的加减运算，化简求值， （1）先计算，再代入化简可得结果为； （2）先根据非负数的性质求解，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴         ； （2）解：， ∴，， ， 原式． 【题型一】代数式的化简——整体思想的运用 ·求解方法：将一个式子看成整体，再进行整体代入。“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来。 【例1】数学课上，黄老师给同学们布置了这样一道思考题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照小明的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则__________． （2）已知当时，的值是2023；求当时，的值． 【拓展提高】 （3）已知，求的值． （4）关于的一元一次方程的解是，求关于的一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3）10；（4） 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用相反数和倒数的意义求得，，代入运算即可； （2）利用已知条件求得，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去掉括号后，重新组合，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成x即可得出结论． 【详解】解：（1）∵a、b互为相反数，m、n互为倒数， ∴， 则 （2）∵当时，的值是2023； ∴ ∴ 当时， （3） ∵， ∴ 即 故原式的值为10； （4）关于的一元一次方程 设则 关于的一元一次方程的解是， 即 解得 【变式1-1】【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理，它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用：某问题按常规不容易直接求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：，求的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 类似的，若我们把看成一个整体，则有． 这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”． 【方法运用】 （1）把看成一个整体，求的值； 【拓展应用】 （2）将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④四个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y．若图中⑤号小长方形的周长为10，试求③号正方形的周长． （3）若，求代数式的值． 提示：我们知道，反之也成立．这种解决问题的方法渗透了数学中的“逆向思维”，它是解决问题的一种重要思维方式．例如：． 【答案】（1），（2），（3）3． 【分析】本题考查了整式的加减法、整体思想。解题关键是利用整体思想化繁为简， （1）把看成一个整体，直接合并同类项即可； （2）根据图形，把③、④号正方形和⑤号小长方形的边长用关于，的代数式表示，由此可得③号正方形的边长，而⑤号小长方形的周长，由此即可得出结论， （3）把看作一个整体，利用添项法，待求式变形出，然后求值，达到逐步降次化简的目的，从而得出结果. ， 【详解】解：（1） ， （2）将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④四个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y．若图中⑤号小长方形的周长为10，试求③号正方形的周长． 设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y． 由图可知： ③号正方形的边长=①号正方形的边长+②号正方形的边长， ④号正方形的边长=③号正方形的边长+①号正方形的边长， ⑤小长方形的长=③号正方形的边长+④号正方形的边长-②号正方形的边长为 ⑤小长方形的宽=②号正方形的边长-①号正方形的边长 ⑤号小长方形的周长， ∴③号正方形的周长． （3）∵， ∴， ∴ ， ， ． 【变式1-2】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学中运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则________； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和代数式求值，解题关键是熟练掌握利用整体代入求值的方法求代数式的值． （1）把所求代数式的后两项先变形，再把代入进行计算即可； （2）把所求式子按照去括号法则去掉括号，写成含有和的形式，再把，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 故答案为：； （2），， ． 【题型二】“与x无关”的取值问题 ·方法步骤： ① 对整式进行加减运算，化简为最简整式； ② 找出与题目指定字母相关的所有项，将其系数合并（视为一个整体）； ③ 根据‘与该字母无关’可知其系数为0，列出一元一次方程； ④ 解方程求出未知字母的取值”。 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知 (1)求整式； (2)设，当取何值时，的值与的取值无关． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据整式加减运算法则进行计算即可； （2）先化简，根据时的值与x的取值无关，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解： ． 的值与的取值无关 即． 【变式2-1】已知多项式，多项式，代数式． (1)先化简，再求值：当时，求的值； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）易得与的取值无关．可得，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）解： 当时， 原式 （2）解：由（1）得化简后为， ∵多项式的值与的取值无关， ∴与的取值无关． 即，解得． 【变式2-2】已知，且． (1)求多项式； (2)若多项式的值与b的取值无关，求的值； (3)若a，b满足，且，求（1）中多项式的值． 【答案】(1) (2) (3)或41 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值、以及无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是解题关键． （1）将代入，先去括号，再计算整式的加减即可得； （2）根据多项式中含项的系数等于0求解即可得； （3）先求出或，再分别代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ ． （2）解：由（1）得：， ∵多项式的值与的取值无关， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴或， 由（1）得：， ∴将代入得：； 将代入得：； 综上，（1）中多项式的值为或41． 【题型三】代数式的最值问题 【例3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知． （1）的值为 ；   （2）的最小值为 ． 【答案】 3或 【难度】0.65 【知识点】绝对值的几何意义、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化，熟练掌握绝对值的化简及分式取值的规律是解本题的关键． （1）根据绝对值的意义得出，然后分类讨论求解即可； （2）根据绝对值的意义，设，则，，…，，当，，，…，中第奇数个值为a，第偶数个值为时，代数式的值最小，不妨设，，然后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 综上，的值为3或； ∵ ∴ 设，则，，…，， ∵， ∴中至少有一个1， 则剩余2024个都是，可使得代数式的值最小， 例如当，，，…，中第奇数个值为a，偶数个值为时，代数式的值最小， 即，， ∴ （共有2025项） ， ∴取最小值为， 故答案为：3或；． 【变式3-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知，，是有理数，若，则称和是关于的“单位数”，例如，，则2和3是关于2的“单位数”．若和是关于1的“单位数”，和是关于2的“单位数”，和是关于3的“单位数”，…，和是关于的“单位数”．则的最小值为 ；的最小值为 ．（用含的式子表示） 【答案】 1 【难度】0.4 【知识点】数字类规律探索、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，绝对值的应用，读懂题意寻找规律，利用规律计算，得到的规律写出含有绝对值的等式，逐一分析得到规律，即可解答，解题的关键是掌握绝对值的意义，得到规律 【详解】解：和关于1的“单位数”， ， 当都小于等于1时，可得， 可得， 当都大于1时，可得， 可得， 当时，由于， 可得，此时和都取最小值时，相加最小，值为， 同理当时，相加最小值为1， 故有最小值1； 由题意可知：， 同理可得的最小值为3； 同理可得的最小值为7， 同理可得的最小值； 同理可得的最小值； ； 同理可得的最小值； 的最小值：． 故答案为：1；． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $