专题10 因数与倍数的基础认识（知识体系构建+考点解读+考点精讲+分层精炼+精准解析+范式解题）2025-2026学年小升初数学专题总复习 （通用版）

知遮引就 导航知识一一科学提分 因数与倍数的基础认识 目核心方法论与知识体系构建.1 食知识体系全景梳理.1 。高效记忆方法 .2 川典型真题解构与解题策略精讲3 号考点一：因数与倍数的定义（非0自然数范围内）3 图考点二：找一个数的因数、倍数的方法.4 女考点三：因数与倍数的特征6 ▲易错避坑指南一一直击失分痛点，突破提分瓶颈.9 雪分层进阶专题精练一基础夯实·能力进阶·思维跃迁10 上基础夯实篇一一概念与基础找法(12题).10 裂能力进阶篇一一特征应用与综合辨析(10题)11 喝思维跃迁篇一一多模块融合与复杂应用（8题)…12 。精准解析与解题范式一思路拆解·步骤规范·知识点睛.14 基础夯实篇.… ...14 忍能力进阶篇.17 思维跃迁篇… .20 钉造“刹识条统化+记配高致化+解题技巧化”三位一体学习方穿 知途引就 导航知识一一科学提分 冒核心方法论与知识体系构建 Q知识体系全景梳理 因数与倍数的基础认识是六年级毕业数学的核心概念模块，围绕“定义→ 找法特征”展开，核心是“理解相互依存关系+掌握有序找法”，需精准掌 握以下知识点（所有概念均限定在非0自然数范围内）： 知识点 具体内容 关键要点 1. 因数与倍数相互依 存，不能单独说某个数是 因数与倍 若a×b=c(a、b、c均为非0自然 因数或倍数； 数的定义 数)，则a和b是c的因数，c是a和b的 倍数 2. 研究范围仅限非0自 然数，不包括小数、分 数、负数 1.成对找法：从1开始，用这个数 1.找到除数和商相等 找一个数 依次除以1、2、3…，能整除的除数 （即平方数)时，停止寻 的因数的 和商就是一对因数： 找： 方法 2.列举法：将成对因数按从小到大 2. 最终结果按从小到大 顺序排列，避免重复或遗漏 排列，用逗号分隔 1.乘法法：用这个数依次乘1、2、 1.倍数的个数无限，无 找一个数 3、 4…,所得的积就是这个数的倍 需全部列举，列举前几个 的倍数的 数： 后用“…”表示 方法 2.除法法：用任意非0自然数除以 2.最小倍数是它本身， 这个数，能整除的就是这个数的倍数 没有最大倍数 1.个数：有限个： 2.范围：最小因数是1，最大因数 因数的特 是它本身： 1是所有非0自然数的共 征 同因数 3.共性：一个数的因数都小于或等 于它本身 1.个数：无限个： 倍数的特 2.范围：最小倍数是它本身，没有 ·个数的倍数包含它本 征 最大倍数； 身，因数包含1和它本身 3.共性： 一个数的倍数都大于或等 于它本身 钉造刹识深统化+记忆高镇化+解题技5化”三位一体学习方穷 知途引就 导航知识一一科学提分 ？高效记忆方法 1.口诀记忆法 ◆定义口诀： 非0自然数相乘，积是倍数因是乘； 相互依存不独存，谁也离不开谁身。 ◆找因数口诀： 找因数，成对找，1乘本身先记好： 从2开始依次试，能整除时成对抄： 除数商数相等时，结束寻找不重复； 从小到大排一排，不重不漏全找到。 ◆找倍数口诀： 找倍数，很简单，乘1乘2再乘3： 积是倍数无上限，最小倍数是自身： 除法验证也可行，能整除时就是它。 ◆特征口诀： 因数有限倍无限，最小因数都是1： 最大因数是自身，最小倍数也相同： 因数≤本身不超标，倍数≥本身不落后。 2.图表记忆法 因数与倍数核心特征对比表： 钉造刹识深统化+记忆高镇化+解题技5化”三位一体学习方穷 知途引就 导航知识一一科学提分 对比维度 因数 倍数 个数 有限个 无限个 最小 1 它本身 最大 它本身 无 与本身关系 小于或等于 大于或等于 找法核心 成对列举，整除停止 连续相乘，无限延伸 d奥型真题解构与解题策略精讲 一考点一：因数与倍数的定义（非0自然数范围内） 考点解读 考查因数与倍数的概念辨析、相互依存关系，常以选择题、判断题形式出 现，占分2-3分，是后续学习的基础。 特典型真题1（判断题） “因为6×5=30，所以6是因数，30是倍数”，这句话对吗？请说明理 由。 ☑解题步骤 ①回顾定义：因数与倍数是相互依存的关系，需明确说明谁是谁的因数， 谁是谁的倍数； ②分析逻辑：6×5=30中，6是30的因数，5也是30的因数，30是6 的倍数，也是5的倍数： ③指出错误：单独说“6是因数，30是倍数”忽略了相互依存关系，表 述不完整； ④得出结论：这句话错误，正确表述是“6是30的因数，30是6的倍 数”。 图方法总结 钉造刹识深统化+记忆高镇化+解题技5化”三位一体学习方穷 知途引就 导航知识一一科学提分 判断此类问题的核心是“是否体现相互依存关系”，单独孤立地说某个数 是因数或倍数，表述一定错误。 静典型真题2（选择题） 下面关于因数与倍数的说法，正确的是( A.因为4.8÷0.6=8，所以4.8是0.6的倍数 B.一个数的因数一定比它的倍数小 C.1是所有非0自然数的因数 D.倍数一定是整数，因数不一定是整数 ☑解题步骤 ①分析选项A:因数与倍数的研究范围是非0自然数，4.8和0.6是小 数，不符合定义，错误： ②分析选项B:一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，此时因数和倍 数相等，错误： ③分析选项C:任何非0自然数都能被1整除，所以1是所有非0自然数 的因数，正确： ④分析选项D:因数和倍数均限定在非0自然数范围内，均为整数，错 误： ⑤选择答案：C。 圈方法总结 判断选项时，先紧扣“非0自然数范围”和“相互依存关系”两个核心， 再结合因数与倍数的特征逐一排除错误选项。 围考点二：找一个数的因数、倍数的方法 考点解读 考查找一个数的因数、倍数的具体操作方法，常以填空题、列举题形式出 现，占分3-4分，重点是“有序、不重复、不遗漏”。 钉造刹识深统化+记忆高镇化+解题技5化”三位一体学习方穷 知途引就 导航知识一一科学提分 ◆典型真题1（填空题） 找出36的所有因数：()；写出5的前5个倍数：()。 ☑解题步骤 ①找36的因数（成对找法）： 。1×36=36,得到因数1和36： 。2×18=36,得到因数2和18； 。3×12=36,得到因数3和12； 。4×9=36,得到因数4和9： 。6×6=36,得到因数6（除数和商相等，停止）； 。按从小到大排列：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 ②找5的前5个倍数（乘法法）： 05×1=5,5×2=10,5×3=15,5×4=20,5×5=25: 。列举结果：5、10、15、20、25。 ③最终答案：1、2、3、4、6、9、12、18、36：5、10、15、20、25。 国方法总结 找因数时，从1开始成对寻找，直到除数和商相等为止，最后排序；找倍 数时，用这个数依次乘1、2、3.，按需列举指定个数，无需全部写完。 典型真题2（选择题) 一个数的最大因数是12，这个数的最小倍数是()，它的所有因数 共有( )个。 A.12,6B.24,6C.12,8D.24,8 ☑解题步骤 ①确定这个数：一个数的最大因数是它本身，所以这个数是12： 钉造“刹识系统化+记忆高激化+解题技巧化”三位一体学习方穷 知途引就 导航知识一一科学提分 ②找最小倍数：一个数的最小倍数是它本身，即12： ③找12的所有因数：1×12=12,2×6=12,3×4=12，因数有1、2、3、 4、6、12,共6个： ④选择答案：A。 圆方法总结 先根据“最大因数是本身”确定原数，再结合“最小倍数是本身”和因数 找法，逐步求解，避免盲目计算。 静典型真题3（应用题） 有一个非0自然数，它的因数有1、2、4、8，这个数是多少？它的第5个 倍数是多少？ ☑解题步骤 ①分析因数与原数的关系：一个数的最大因数是它本身，给定因数中最大 的是8，所以这个数是8： ②验证因数：8的因数有1、2、4、8，与题目一致，确认原数是8： ③找第5个倍数：8×1=8（第1个），8×2=16（第2个），8×3=24（第 3个)，8×4=32（第4个），8×5=40（第5个)： ④最终答案：这个数是8，它的第5个倍数是40。 图方法总结 已知一个数的部分因数，可通过“最大因数是本身”快速确定原数，再按 倍数找法求解指定倍数，验证过程可确保结果准确。 女考点三：因数与倍数的特征 考点解读 考查因数与倍数的核心特征（个数、范围等），常以选择题、填空题、判 断题形式出现，占分2-4分，需熟练掌握特征差异。 补典型真题1（填空题） 打造“刹积系充化十起忆高敏化十解提题技巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 一个非0自然数的最小因数是( ),最大因数是( ),最小倍 数是( ),( )最大倍数。 ☑解题步骤 ①回忆因数特征：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身： ②回忆倍数特征：一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数： ③填写答案：1，它本身，它本身，没有。 图方法总结 牢记因数与倍数的核心特征，可直接根据定义推导，无需额外计算，关键 是区分“有限”与“无限”、“最小”与“最大”的对应关系。 特典型真题2（判断题） “一个数的因数个数是有限的，倍数个数是无限的”“一个数的倍数一定 比它的因数大”，这两句话对吗？请说明理由。 ☑解题步骤 ①分析第一句话： 。因数特征：一个数的因数从1到它本身，个数有限： 2.倍数特征：一个数的倍数可通过乘1、2、3..无限生成，个数无限： 。结论：第一句话正确。 ②分析第二句话： 。反例：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，此时倍数和因数相等 (如6的最大因数是6，最小倍数是6)： 。结论：第二句话错误，因为一个数的倍数可能等于它的因数。 圆方法总结 判断特征类问题时，需牢记核心定义，同时举反例验证绝对化表述，避免 以偏概全。 钉造利识家化+起忆高敏化中解题技巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 ◆典型真题3（选择题） 下面各组数中，第一个数是第二个数的因数的是( A.15和3 B.7和21 C.0.8和4D.15和50 ☑解题步骤 ①分析选项A:15÷3=5,说明3是15的因数，15是3的倍数，不符合 “第一个数是第二个数的因数”，错误； ②分析选项B:21÷7=3,说明7是21的因数，符合要求，正确： ③分析选项C:0.8是小数，不在非0自然数范围内，不符合因数定义， 错误： ④分析选项D:50÷15≈3.34，不符合 ⑤最终选择：B。 图方法总结 判断“a是b的因数”的核心是“b:a能整除且a、b均为非0自然 数”，先验证整除关系，再确认范围，避免混淆因数与倍数的顺序。 8 钉造刹识深统化+记忆高镇化+解题技5化”三位一体学习方穷 知途引就 导航知识一一科学提分 ▲易错避坑指南 一直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 忽略相互依 “8是因数，32是倍数” 表述时必须明确“谁是谁的因 存关系 (错误) 数，谁是谁的倍数”，如“8是 32的因数，32是8的倍数” 超出非0自 认为“4.5是9的因数”“0 牢记因数与倍数的研究对象仅限 然数范围 是5的倍数”（错误） 非0自然数，排除小数、0、负 数 找12的因数写成“1、2、 找因数时重 3、4、6、6、12”(重复) 用“成对找法”，从1开始依次 复或遗漏 或“1、2、4、12”（遗 试除，找到除数和商相等时停 漏) 止，最后排序，避免重复或遗漏 记住“最大因数=最小倍数=本 混淆因数与 认为“一个数的因数一定比 倍数的特征 倍数小”“一个数的最小倍 身”，因数≤本身，倍数≥本 数是1” (错误) 身，可通过举例（如6的因数和 倍数)强化记忆 找倍数时忘 写出10的倍数为“10、 倍数个数无限，除指定个数外， 记标注 “..” 20、30、40”（错误) 需用“…”表示，如“10、20、 30、40…” 钉造刹识深统化+记忆高镇化+解题技5化”三位一体学习方穷因数与倍数的基础认识 📋 核心方法论与知识体系构建 1 🔍 知识体系全景梳理 1 💡 高效记忆方法 2 📊 典型真题解构与解题策略精讲 3 📝 考点一：因数与倍数的定义（非0自然数范围内） 3 🔢 考点二：找一个数的因数、倍数的方法 4 ⚖️ 考点三：因数与倍数的特征 6 ⚠️ 易错避坑指南——直击失分痛点，突破提分瓶颈 9 📚 分层进阶专题精练—基础夯实・能力进阶・思维跃迁 10 🌱 基础夯实篇——概念与基础找法（12题） 10 🚀 能力进阶篇——特征应用与综合辨析（10题） 11 🧠 思维跃迁篇——多模块融合与复杂应用（8题） 12 🔍 精准解析与解题范式—思路拆解・步骤规范・知识点睛 14 🌱 基础夯实篇 14 🚀 能力进阶篇 17 🧠 思维跃迁篇 20 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 🔍 知识体系全景梳理 因数与倍数的基础认识是六年级毕业数学的核心概念模块，围绕“定义→找法→特征”展开，核心是“理解相互依存关系+掌握有序找法”，需精准掌握以下知识点（所有概念均限定在非0自然数范围内）： 知识点 具体内容 关键要点 因数与倍数的定义 若（均为非0自然数），则和是的因数，是和的倍数 1. 因数与倍数相互依存，不能单独说某个数是因数或倍数； 2. 研究范围仅限非0自然数，不包括小数、分数、负数 找一个数的因数的方法 1. 成对找法：从1开始，用这个数依次除以1、2、3…，能整除的除数和商就是一对因数； 2. 列举法：将成对因数按从小到大顺序排列，避免重复或遗漏 1. 找到除数和商相等（即平方数）时，停止寻找； 2. 最终结果按从小到大排列，用逗号分隔 找一个数的倍数的方法 1. 乘法法：用这个数依次乘1、2、3、4…，所得的积就是这个数的倍数； 2. 除法法：用任意非0自然数除以这个数，能整除的就是这个数的倍数 1. 倍数的个数无限，无需全部列举，列举前几个后用“…”表示； 2. 最小倍数是它本身，没有最大倍数 因数的特征 1. 个数：有限个； 2. 范围：最小因数是1，最大因数是它本身； 3. 共性：一个数的因数都小于或等于它本身 1是所有非0自然数的共同因数 倍数的特征 1. 个数：无限个； 2. 范围：最小倍数是它本身，没有最大倍数； 3. 共性：一个数的倍数都大于或等于它本身 一个数的倍数包含它本身，因数包含1和它本身 💡 高效记忆方法 1. 口诀记忆法 📌 定义口诀： 非0自然数相乘，积是倍数因是乘； 相互依存不独存，谁也离不开谁身。 📌 找因数口诀： 找因数，成对找，1乘本身先记好； 从2开始依次试，能整除时成对抄； 除数商数相等时，结束寻找不重复； 从小到大排一排，不重不漏全找到。 📌 找倍数口诀： 找倍数，很简单，乘1乘2再乘3； 积是倍数无上限，最小倍数是自身； 除法验证也可行，能整除时就是它。 📌 特征口诀： 因数有限倍无限，最小因数都是1； 最大因数是自身，最小倍数也相同； 因数≤本身不超标，倍数≥本身不落后。 2. 图表记忆法 因数与倍数核心特征对比表： 对比维度 因数 倍数 个数 有限个 无限个 最小 1 它本身 最大 它本身 无 与本身关系 小于或等于 大于或等于 找法核心 成对列举，整除停止 连续相乘，无限延伸 📊 典型真题解构与解题策略精讲 📝 考点一：因数与倍数的定义（非0自然数范围内） 考点解读 考查因数与倍数的概念辨析、相互依存关系，常以选择题、判断题形式出现，占分2-3分，是后续学习的基础。 ✨ 典型真题1（判断题） “因为，所以6是因数，30是倍数”，这句话对吗？请说明理由。 ✅ 解题步骤 ① 回顾定义：因数与倍数是相互依存的关系，需明确说明谁是谁的因数，谁是谁的倍数； ② 分析逻辑：中，6是30的因数，5也是30的因数，30是6的倍数，也是5的倍数； ③ 指出错误：单独说“6是因数，30是倍数”忽略了相互依存关系，表述不完整； ④ 得出结论：这句话错误，正确表述是“6是30的因数，30是6的倍数”。 🔄 方法总结 判断此类问题的核心是“是否体现相互依存关系”，单独孤立地说某个数是因数或倍数，表述一定错误。 ✨ 典型真题2（选择题） 下面关于因数与倍数的说法，正确的是（ ） A. 因为，所以4.8是0.6的倍数 B. 一个数的因数一定比它的倍数小 C. 1是所有非0自然数的因数 D. 倍数一定是整数，因数不一定是整数 ✅ 解题步骤 ① 分析选项A：因数与倍数的研究范围是非0自然数，4.8和0.6是小数，不符合定义，错误； ② 分析选项B：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，此时因数和倍数相等，错误； ③ 分析选项C：任何非0自然数都能被1整除，所以1是所有非0自然数的因数，正确； ④ 分析选项D：因数和倍数均限定在非0自然数范围内，均为整数，错误； ⑤ 选择答案：C。 🔄 方法总结 判断选项时，先紧扣“非0自然数范围”和“相互依存关系”两个核心，再结合因数与倍数的特征逐一排除错误选项。 🔢 考点二：找一个数的因数、倍数的方法 考点解读 考查找一个数的因数、倍数的具体操作方法，常以填空题、列举题形式出现，占分3-4分，重点是“有序、不重复、不遗漏”。 ✨ 典型真题1（填空题） 找出36的所有因数：（ ）；写出5的前5个倍数：（ ）。 ✅ 解题步骤 ① 找36的因数（成对找法）： · 1×36=36，得到因数1和36； · 2×18=36，得到因数2和18； · 3×12=36，得到因数3和12； · 4×9=36，得到因数4和9； · 6×6=36，得到因数6（除数和商相等，停止）； · 按从小到大排列：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 ② 找5的前5个倍数（乘法法）： · 5×1=5，5×2=10，5×3=15，5×4=20，5×5=25； · 列举结果：5、10、15、20、25。 ③ 最终答案：1、2、3、4、6、9、12、18、36；5、10、15、20、25。 🔄 方法总结 找因数时，从1开始成对寻找，直到除数和商相等为止，最后排序；找倍数时，用这个数依次乘1、2、3…，按需列举指定个数，无需全部写完。 ✨ 典型真题2（选择题） 一个数的最大因数是12，这个数的最小倍数是（ ），它的所有因数共有（ ）个。 A. 12，6 B. 24，6 C. 12，8 D. 24，8 ✅ 解题步骤 ① 确定这个数：一个数的最大因数是它本身，所以这个数是12； ② 找最小倍数：一个数的最小倍数是它本身，即12； ③ 找12的所有因数：1×12=12，2×6=12，3×4=12，因数有1、2、3、4、6、12，共6个； ④ 选择答案：A。 🔄 方法总结 先根据“最大因数是本身”确定原数，再结合“最小倍数是本身”和因数找法，逐步求解，避免盲目计算。 ✨ 典型真题3（应用题） 有一个非0自然数，它的因数有1、2、4、8，这个数是多少？它的第5个倍数是多少？ ✅ 解题步骤 ① 分析因数与原数的关系：一个数的最大因数是它本身，给定因数中最大的是8，所以这个数是8； ② 验证因数：8的因数有1、2、4、8，与题目一致，确认原数是8； ③ 找第5个倍数：8×1=8（第1个），8×2=16（第2个），8×3=24（第3个），8×4=32（第4个），8×5=40（第5个）； ④ 最终答案：这个数是8，它的第5个倍数是40。 🔄 方法总结 已知一个数的部分因数，可通过“最大因数是本身”快速确定原数，再按倍数找法求解指定倍数，验证过程可确保结果准确。 ⚖️ 考点三：因数与倍数的特征 考点解读 考查因数与倍数的核心特征（个数、范围等），常以选择题、填空题、判断题形式出现，占分2-4分，需熟练掌握特征差异。 ✨ 典型真题1（填空题） 一个非0自然数的最小因数是（ ），最大因数是（ ），最小倍数是（ ），（ ）最大倍数。 ✅ 解题步骤 ① 回忆因数特征：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身； ② 回忆倍数特征：一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数； ③ 填写答案：1，它本身，它本身，没有。 🔄 方法总结 牢记因数与倍数的核心特征，可直接根据定义推导，无需额外计算，关键是区分“有限”与“无限”、“最小”与“最大”的对应关系。 ✨ 典型真题2（判断题） “一个数的因数个数是有限的，倍数个数是无限的”“一个数的倍数一定比它的因数大”，这两句话对吗？请说明理由。 ✅ 解题步骤 ① 分析第一句话： · 因数特征：一个数的因数从1到它本身，个数有限； 2. 倍数特征：一个数的倍数可通过乘1、2、3…无限生成，个数无限； · 结论：第一句话正确。 ② 分析第二句话： · 反例：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，此时倍数和因数相等（如6的最大因数是6，最小倍数是6）； · 结论：第二句话错误，因为一个数的倍数可能等于它的因数。 🔄 方法总结 判断特征类问题时，需牢记核心定义，同时举反例验证绝对化表述，避免以偏概全。 ✨ 典型真题3（选择题） 下面各组数中，第一个数是第二个数的因数的是（ ） A. 15和3 B. 7和21 C. 0.8和4 D. 15和50 ✅ 解题步骤 ① 分析选项A：15÷3=5，说明3是15的因数，15是3的倍数，不符合“第一个数是第二个数的因数”，错误； ② 分析选项B：21÷7=3，说明7是21的因数，符合要求，正确； ③ 分析选项C：0.8是小数，不在非0自然数范围内，不符合因数定义，错误； ④ 分析选项D：50÷15≈3.34，不符合 ⑤ 最终选择：B。 🔄 方法总结 判断“a是b的因数”的核心是“b÷a能整除且a、b均为非0自然数”，先验证整除关系，再确认范围，避免混淆因数与倍数的顺序。 ⚠️ 易错避坑指南——直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 忽略相互依存关系 “8是因数，32是倍数”（错误） 表述时必须明确“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”，如“8是32的因数，32是8的倍数” 超出非0自然数范围 认为“4.5是9的因数”“0是5的倍数”（错误） 牢记因数与倍数的研究对象仅限非0自然数，排除小数、0、负数 找因数时重复或遗漏 找12的因数写成“1、2、3、4、6、6、12”（重复）或“1、2、4、12”（遗漏） 用“成对找法”，从1开始依次试除，找到除数和商相等时停止，最后排序，避免重复或遗漏 混淆因数与倍数的特征 认为“一个数的因数一定比倍数小”“一个数的最小倍数是1”（错误） 记住“最大因数=最小倍数=本身”，因数≤本身，倍数≥本身，可通过举例（如6的因数和倍数）强化记忆 找倍数时忘记标注“…” 写出10的倍数为“10、20、30、40”（错误） 倍数个数无限，除指定个数外，需用“…”表示，如“10、20、30、40…” 📚 分层进阶专题精练—基础夯实・能力进阶・思维跃迁 🌱 基础夯实篇——概念与基础找法（12题） 1． 填空题：在中，（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。 2． 填空题：一个非0自然数的最小因数是（ ），最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。 3． 填空题：找出下面各数的所有因数： 12的因数：（ ）；18的因数：（ ）；24的因数：（ ）。 4． 填空题：写出下面各数的前4个倍数： 7的倍数：（ ）；11的倍数：（ ）；15的倍数：（ ）。 5． 判断题（对的打“√”，错的打“×”）： （1）因为，所以0是5的倍数，5是0的因数。（ ） （2）一个数的因数个数是有限的，倍数个数是无限的。（ ） 6． 判断题（对的打“√”，错的打“×”）： （1）1是所有非0自然数的因数。（ ） （2）一个数的倍数一定比它的因数大。（ ） 7． 选择题：下面说法正确的是（ ） A. 3是因数，12是倍数 B. 一个数的最大因数等于它的最小倍数 C. 10的因数有1、2、5 D. 15的倍数只有15、30、45 8． 选择题：一个数的因数有1、2、3、6，这个数是（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 18 9． 填空题：在1-20的自然数中，因数个数最多的数是（ ），它的因数有（ ）。 10． 填空题：在括号里填上“因数”或“倍数”： （1）15是5的（ ），5是15的（ ）； （2）24是3的（ ），也是6的（ ）； （3）1是所有非0自然数的（ ）。 11． 应用题：一个数是42的因数，也是7的倍数，这个数可能是多少？（写出所有可能） 12． 应用题：写出16的所有因数和它的前5个倍数。 🚀 能力进阶篇——特征应用与综合辨析（10题） 13． 填空题：一个数的最大因数是18，这个数是（ ），它的最小倍数是（ ），它的所有因数有（ ）。 14． 填空题：一个数既是8的倍数，又是32的因数，这个数可能是（ ）。 15． 填空题：在○里填“因数”或“倍数”： （1）如果（均为非0自然数），那么和是的（ ），是和的（ ）； （2）如果（均为非0自然数），那么是的（ ），是的（ ）。 16． 填空题：在1-30的自然数中，既是2的倍数，又是3的倍数的数有（ ），它们的共同因数有（ ）。 17． 判断题（对的打“√”，错的打“×”）： （1）一个数的因数一定是它倍数的因数。（ ） （2）一个数的倍数一定是它因数的倍数。（ ） （3）如果是的倍数，是的倍数，那么一定是的倍数。（ ） 18． 选择题：下面各组数中，第一个数是第二个数的倍数的是（ ） A. 18和6 B. 7和21 C. 25和5 D. 10和40 19． 应用题：有一个两位数，它的因数包含1、2、3、6，且它的最小倍数是30，这个两位数是多少？ 20． 应用题：一个数的最大因数和最小倍数的和是48，这个数是多少？它的所有因数有哪些？ 21． 应用题：用1、2、3、6这四个数，写出所有符合要求的算式，说明谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 22． 综合题：一个数是奇数，它的因数有1、3、9，这个数是多少？它的第4个倍数是多少？ 🧠 思维跃迁篇——多模块融合与复杂应用（8题） 23． 填空题：一个数的因数有1、2、4、8、16，这个数是（ ），它的最小倍数是（ ），它的倍数中，既是2的倍数又是3的倍数的最小数是（ ）。 24． 填空题：已知是的因数，是的因数，且，，则可能是（ ）。 25． 填空题：在1-50的自然数中，因数个数是奇数的数有（ ），它们的共同特点是（ ）。 26． 应用题：有三个连续的自然数，它们的和是36，这三个数分别是多少？它们的共同因数是什么？ 27． 应用题：一个数既是12的因数，又是18的因数，这个数最大是多少？它的倍数中，最小的三位数是多少？ 28． 应用题：一个数的最小倍数是15，它的因数有哪些？这些因数中，既是奇数又是质数的数有哪些？ 29． 综合题：一个两位数，它的最大因数和最小倍数的和是60，这个两位数是多少？它的因数中，质数有哪些？ 30． 综合题：有一个数，它的因数是1、2、3、4、6、12，这个数是多少？它的倍数中，第6个倍数与第3个倍数的差是多少？ 🔍 精准解析与解题范式—思路拆解・步骤规范・知识点睛 🌱 基础夯实篇 1． 【答案】3，6，18，18，3，6 ✅ 解题步骤 ① 根据因数与倍数的定义，中，除数3和商6能整除被除数18； ② 所以3和6是18的因数，18是3和6的倍数。 【知识点睛】除法算式中，除数和商（均为非0自然数）是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。 2． 【答案】1，它本身，它本身 ✅ 解题步骤 ① 回忆因数特征：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身； ② 回忆倍数特征：一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。 【知识点睛】“最大因数=最小倍数=本身”是核心结论，可直接记忆应用。 3． 【答案】1、2、3、4、6、12；1、2、3、6、9、18；1、2、3、4、6、8、12、24 ✅ 解题步骤 ① 找12的因数：1×12=12，2×6=12，3×4=12，因数为1、2、3、4、6、12； ② 找18的因数：1×18=18，2×9=18，3×6=18，因数为1、2、3、6、9、18； ③ 找24的因数：1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24，因数为1、2、3、4、6、8、12、24。 【知识点睛】找因数时成对列举，确保不重复、不遗漏，最后按从小到大排序。 4． 【答案】7、14、21、28；11、22、33、44；15、30、45、60 ✅ 解题步骤 ① 7的倍数：7×1=7，7×2=14，7×3=21，7×4=28； ② 11的倍数：11×1=11，11×2=22，11×3=33，11×4=44； ③ 15的倍数：15×1=15，15×2=30，15×3=45，15×4=60。 【知识点睛】找倍数时用“这个数×1、2、3、4…”，按要求列举指定个数即可。 5． 【答案】（1）×；（2）√ ✅ 解题步骤 （1）因数与倍数的研究范围是是非0自然数，0不在此范围内，错误； （2）一个数的因数个数有限（从1到本身），倍数个数无限（乘1、2、3…），正确。 【知识点睛】0不能作为因数或倍数的研究对象，牢记范围限制。 6． 【答案】（1）√；（2）× ✅ 解题步骤 （1）任何非0自然数都能被1整除，所以1是所有非0自然数的因数，正确； （2）反例：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，此时倍数和因数相等，错误。 【知识点睛】绝对化表述需谨慎，用反例可快速判断正误。 7． 【答案】B ✅ 解题步骤 ① A. 表述未体现相互依存关系，应说“3是12的因数，12是3的倍数”，错误； ② B. 一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，正确； ③ C. 10的因数有1、2、5、10，遗漏10，错误； ④ D. 15的倍数有无限个，列举部分后需加“…”，错误。 【知识点睛】逐一验证选项，结合定义和特征排除错误答案。 8． 【答案】B ✅ 解题步骤 ① 一个数的最大因数是它本身，给定因数中最大的是6，所以这个数是6； ② 验证：6的因数有1、2、3、6，与题目一致，正确。 【知识点睛】已知因数找原数，核心是“最大因数=本身”。 9． 【答案】12、18、20（因数个数均为6个），以12为例：1、2、3、4、6、12 ✅ 解题步骤 ① 列举1-20各数的因数个数： 1：1个；2：2个；3：2个；4：3个；5：2个；6：4个；7：2个；8：4个；9：3个；10：4个； 11：2个；12：6个；13：2个；14：4个；15：4个；16：5个；17：2个；18：6个；19：2个；20：6个； ② 因数个数最多的数是12、18、20，均为6个； ③ 以12为例，因数有1、2、3、4、6、12。 【知识点睛】通过列举法对比因数个数，可直观找到答案，注意不遗漏数字。 10． 【答案】（1）倍数，因数；（2）倍数，倍数；（3）因数 ✅ 解题步骤 ① 15÷5=3，所以15是5的倍数，5是15的因数； ② 24÷3=8，24÷6=4，所以24是3和6的倍数； ③ 1是所有非0自然数的因数。 【知识点睛】根据“整除关系”判断因数与倍数，被除数是倍数，除数是因数。 11． 【答案】7、14、21、42 ✅ 解题步骤 ① 先找42的因数：1、2、3、6、7、14、21、42； ② 再从这些因数中找7的倍数：7、14、21、42； ③ 最终答案：7、14、21、42。 【知识点睛】先列举一个数的所有因数，再按倍数特征筛选，避免遗漏。 12． 【答案】因数：1、2、4、8、16；前5个倍数：16、32、48、64、80 ✅ 解题步骤 ① 找16的因数：1×16=16，2×8=16，4×4=16，因数为1、2、4、8、16； ② 找前5个倍数：16×1=16，16×2=32，16×3=48，16×4=64，16×5=80。 【知识点睛】严格按“成对找因数”“乘1、2、3…找倍数”的方法，确保结果准确。 🚀 能力进阶篇 13． 【答案】18，18，1、2、3、6、9、18 ✅ 解题步骤 ① 一个数的最大因数是它本身，所以这个数是18； ② 它的最小倍数是它本身，即18； ③ 找18的因数：1×18=18，2×9=18，3×6=18，因数为1、2、3、6、9、18。 【知识点睛】已知最大因数，可直接确定原数，再推导最小倍数和所有因数。 14． 【答案】8、16、32 ✅ 解题步骤 ① 找32的因数：1、2、4、8、16、32； ② 找8的倍数：8、16、24、32、40…； ③ 两者的交集（既是8的倍数又是32的因数）：8、16、32。 【知识点睛】先列举范围较小的数（如32的因数），再筛选符合倍数特征的数，简化计算。 15． 【答案】（1）因数，倍数；（2）因数，倍数 ✅ 解题步骤 ① 根据因数与倍数的定义，中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数； ② 中，a是c的因数，c是a的倍数。 【知识点睛】乘法和除法算式可相互转化，核心是判断“整除关系”。 16． 【答案】6、12、18、24、30；1、2、3、6 ✅ 解题步骤 ① 找1-30中既是2的倍数又是3的倍数的数（即6的倍数）：6、12、18、24、30； ② 找它们的共同因数：1、2、3、6。 【知识点睛】先确定共同倍数（最小公倍数的倍数），再找这些数的公因数，逐步推导。 17． 【答案】（1）√；（2）√；（3）√ ✅ 解题步骤 （1）一个数的因数能整除这个数，而这个数能整除它的倍数，所以因数一定是倍数的因数，正确； （2）一个数的倍数能被这个数整除，而这个数能被它的因数整除，所以倍数一定是因数的倍数，正确； （3）a是b的倍数，b是c的倍数，说明a能被b整除，b能被c整除，所以a能被c整除，a是c的倍数，正确。 【知识点睛】利用“整除传递性”判断，可快速得出结论。 18． 【答案】A、C、D ✅ 解题步骤 ① A. 18÷6=3，18是6的倍数，正确； ② B. 21÷7=3，7是21的因数，不是倍数，错误； ③ C. 25÷5=5，25是5的倍数，正确； ④ D. 40÷10=4，40是10的倍数，正确。 【知识点睛】判断“a是b的倍数”的核心是“a÷b能整除”，注意区分因数与倍数的顺序。 19． 【答案】30 ✅ 解题步骤 ① 一个数的最小倍数是它本身，所以这个数是30； ② 验证：30的因数包含1、2、3、6，符合题目要求； ③ 结论：这个两位数是30。 【知识点睛】“最小倍数=本身”是关键突破口，结合因数特征验证即可。 20． 【答案】24，因数：1、2、3、4、6、8、12、24 ✅ 解题步骤 ① 设这个数为x，它的最大因数和最小倍数都是x； ② 列方程：x + x = 48→2x=48→x=24； ③ 找24的因数：1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24，因数为1、2、3、4、6、8、12、24。 【知识点睛】利用“最大因数=最小倍数=本身”列方程，快速求解原数。 21． 【答案】算式：，，，； 说明：1是2、3、6的因数，2、3、6是1的倍数；2是6的因数，6是2的倍数；3是6的因数，6是3的倍数。 ✅ 解题步骤 ① 用给定数字写出所有乘法算式（非0自然数范围内）； ② 根据因数与倍数的定义，逐一说明相互关系。 【知识点睛】写出乘法算式是基础，关键是准确表述因数与倍数的相互依存关系。 22． 【答案】9，36 ✅ 解题步骤 ① 一个数的最大因数是它本身，给定因数中最大的是9，且9是奇数，符合要求，所以这个数是9； ② 找第4个倍数：9×1=9（第1个），9×2=18（第2个），9×3=27（第3个），9×4=36（第4个）。 【知识点睛】结合“奇数”和“因数”两个条件确定原数，再按倍数找法求解。 🧠 思维跃迁篇 23． 【答案】16，16，48 ✅ 解题步骤 ① 一个数的最大因数是它本身，所以这个数是16； ② 它的最小倍数是它本身，即16； ③ 找既是2的倍数又是3的倍数的最小数（即6的倍数）：16的倍数有16、32、48、64…，最小的是48。 【知识点睛】先确定原数，再找原数倍数中符合“同时是2和3的倍数”的数，核心是找最小公倍数的倍数。 24． 【答案】2、4、6、12 ✅ 解题步骤 ① a=2是b的因数，说明b是2的倍数； ② b是c=12的因数，说明b是12的因数； ③ 12的因数中是2的倍数的数：2、4、6、12。 【知识点睛】结合两个条件（b是2的倍数、b是12的因数），筛选出符合要求的数。 25． 【答案】1、4、9、16、25、36、49，都是完全平方数 ✅ 解题步骤 ① 因数个数是奇数的数，其因数一定是成对出现的，唯有完全平方数的平方根只出现一次，因数个数为奇数； ② 1-50中的完全平方数：1（1²）、4（2²）、9（3²）、16（4²）、25（5²）、36（6²）、49（7²）； ③ 它们的共同特点是都是完全平方数。 【知识点睛】牢记“因数个数为奇数的数是完全平方数”这一特殊特征，可快速解题。 26． 【答案】11、12、13，共同因数是1 ✅ 解题步骤 ① 设中间的自然数为x，三个连续自然数为x-1、x、x+1； ② 列方程：(x-1)+x+(x+1)=36→3x=36→x=12； ③ 三个数分别是11、12、13； ④ 找共同因数：11的因数1、11；12的因数1、2、3、4、6、12；13的因数1、13，共同因数是1。 【知识点睛】连续自然数的特点是相邻差1，先求中间数，再找共同因数，1是所有非0自然数的共同因数。 27． 【答案】6，102 ✅ 解题步骤 ① 找12和18的最大公因数：12的因数1、2、3、4、6、12；18的因数1、2、3、6、9、18，最大公因数是6； ② 找6的最小三位数倍数：6×16=96，6×17=102，最小三位数是102。 【知识点睛】先找两个数的最大公因数，再找这个公因数的最小三位数倍数，逐步推导。 28． 【答案】因数：1、3、5、15；既是奇数又是质数的数：3、5 ✅ 解题步骤 ① 一个数的最小倍数是它本身，所以这个数是15； ② 找15的因数：1×15=15，3×5=15，因数为1、3、5、15； ③ 筛选既是奇数又是质数的数：3、5（1是奇数但不是质数，15是奇数但不是质数）。 【知识点睛】先确定原数，再按“奇数”和“质数”的双重条件筛选因数。 29． 【答案】30，质数：2、3、5 ✅ 解题步骤 ① 设这个两位数为x，它的最大因数和最小倍数都是x； ② 列方程：x + x = 60→2x=60→x=30； ③ 找30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30； ④ 筛选质数：2、3、5。 【知识点睛】利用“最大因数=最小倍数=本身”求解原数，再结合质数定义筛选因数。 30． 【答案】12，36 ✅ 解题步骤 ① 一个数的最大因数是它本身，所以这个数是12； ② 找第3个倍数：12×3=36；第6个倍数：12×6=72； ③ 计算差值：72-36=36。 【知识点睛】先确定原数，再找到指定倍数，最后计算差值，步骤清晰且不易出错。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $