期末复习专题13 整式的加减（4知识点+9大题型+思维导图+过关检测） 2025-2026学年人教版七年级数学上册期末备考

该初中数学期末复习讲义通过思维导图系统梳理整式的加减知识体系，将同类项、合并同类项、去括号与添括号、整式加减运算4个核心知识点按“定义-法则-注意事项”逻辑分层呈现，用易错点总结表归纳合并同类项漏项、去括号符号错误等常见问题，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 该讲义亮点在于“知识点-题型-应用”三阶训练设计，9大题型覆盖从同类项判断到含绝对值化简的全考点，如“整式加减中的无关型问题”通过典例引导学生分析系数为零的条件，培养运算能力与推理意识。过关检测融入日历问题、几何图形面积计算等实际情境题，帮助学生用数学眼光观察现实世界。每个题型配“典例+3道跟随训练”，基础薄弱学生可夯实基础，优秀学生能深化思维，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

期末复习专题13 整式的加减 （4知识点+9大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 同类项的判断】 2 【题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 4 【题型3 合并同类项】 5 【题型4 去括号】 7 【题型5 添括号】 9 【题型6 整式的加减运算】 11 【题型7 整式加减中的无关型问题】 13 【题型8 整式加减的应用】 15 【题型9 带有字母的绝对值化简问题】 18 知识梳理 【知识点1 同类项】 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 【知识点2 合并同类项】 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 【知识点3 去括号和添括号】 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 注意事项 去括号时，要连同括号前的符号一起去掉； 添括号法则：添括号后，括号前是 “+” 号，括到括号里的各项都不改变符号。 添括号后，括号前是 “-” 号，括到括号里的各项都改变符号。 【知识点4 整式的加减运算步骤】 整式的加减运算，实际上就是去括号和合并同类项的综合运用。 一般步骤： ① 去括号：根据去括号法则去掉所有括号； ② 合并同类项：将同类项合并，化为最简形式（没有同类项） 易错点总结： 合并同类项时，漏项或弄错符号；去括号时，括号前是 “−” 号，只改变括号内第一项的符号，其余项忘记变号；括号前有数字因数时，未分配到括号内的每一项；判断同类项时，忽略 “相同字母的指数相同” 这一条件。 题型精讲 【题型1 同类项的判断】 【典例1】．下列各组式子中，两个单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【跟随训练1】．在下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．和 B．和100 C．和 D．和 【跟随训练2】．下列不是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟随训练3】．下列各组中的两个项不属于同类项的是（   ） A．和14 B．和 C．和 D．和 【题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【典例2】．已知和是同类项，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟随训练1】．已知与是同类项，那么m，n的值分别是（ ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．若单项式与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【跟随训练3】．如果单项式与 是同类项，那么的值为 【题型3 合并同类项】 【典例3】．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练3】．把和各看成一项，合并同类项：，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 去括号】 【典例4】．下列各项中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．下列各式中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．化简： ． 【跟随训练3】．计算： (1) (2) 【题型5 添括号】 【典例5】．下列各式添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．下列各式中，添括号不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．已知，，则 ． 【跟随训练3】．若，，则 ． 【题型6 整式的加减运算】 【典例6】．观察下列五个式子，解答问题：①；②；③；④；⑤．这五个式子中，选择两个多项式进行加法运算，要求计算结果为单项式，则应选择（    ） A．③④ B．②④ C．①⑤ D．③⑤ 【跟随训练1】．下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面：，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（    ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．已知，． (1)化简． (2)当，求的值． 【跟随训练3】．先化简，再求值：数学课上老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住 了一个多项式，形式如下：． (1)求所捂住的多项式； (2)若，求所捂多项式的值． 【题型7 整式加减中的无关型问题】 【典例7】．已知，．若的值与字母的取值无关，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【跟随训练1】．若与关于x的二项式的和与x无关，则（　　） A．8 B． C．9 D． 【跟随训练2】．若关于x的多项式合并后不含二次项，则m的值为 ． 【跟随训练3】．已知多项式，多项式，代数式． (1)先化简，再求值：当时，求的值； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 【题型8 整式加减的应用】 【典例8】．如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（   ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．如图是2025年6月的日历，用如图的X型框去框该日历中的日期数，每次同时框5个数．那么圈出的5个数之和不可能是（   ） A．50 B．75 C．95 D．105 【跟随训练2】．一个四位自然数M，记作 ，若， 则称M为“双11数”． 例如：四位数4279，∵，∴4279是“双11数”；若M是一个“双11数”，设， 且 是整数，则满足条件的M的最小值是 ． 【跟随训练3】．为庆祝我国首个空间实验室“天宫一号”顺利升空，学校开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)用、的代数式表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． 【题型9 带有字母的绝对值化简问题】 【典例9】．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．0 D．8 【跟随训练2】．若，则a的值是（    ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个负数 D．任意一个非正数 【跟随训练3】．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 思维导图 过关检测 1．下列各组中的两项，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列说法正确的是（    ） A．和0是同类项 B．的次数是 C．的系数是 D．是五次三项式 3．若与是同类项，则的值为（  ） A． B． C． D． 4．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（    ） A．的系数是，次数是3 B．与是同类项 C．正有理数和负有理数统称为有理数 D． 7．如图是一个正方体的表面展开图，已知，，， ，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，则E代表的代数式是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，，，，则下列说法正确的有（   ） ①多项式的值与x的取值无关； ②当时，多项式的值为8； ③存在正整数x和正整数y，使得． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．已知的取值与x无关，求的值 ． 10．如图是2025年1月份的日历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动）．设“横3”覆盖的数字之和为，“竖3”覆盖的数字之和为，若，则的最小值为 ． 11．有理数a、b、c在数轴上的位置如图．化简 ． 12．若与是同类项，则 ． 13．比少的多项式是 ． 14．用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，例如：．对于任意有理数x，y，满足，求的值为 ． 15．先化简，再求值：．其中． 16．阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 尝试应用： (1)把看成一个整体，化简：； (2)已知，求的值． 17．已知，． (1)化简； (2)当，，求的值； 18．一个四位自然数，其中千位数字是个位数字的两倍，百位数字与十位数字之和为10，则称这个四位数为“倍和数”，记，例如：四位数6193，因为，，所以6193是“倍和数”，；四位数8154，，，所以8154不是“倍和数” (1)请判断6423，4552是否是“倍和数”，并说明理由； (2)若是“倍和数”，的两倍与的各位数字之和能被11整除，请求出这个四位数． 19．【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为 ． 【阅读理解】小明在解答该题时采用的方法如下：由题意，得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为10，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为7，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求的值． 20．【综合与实践】有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个． (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是_______ ；（填“图1”或“图2”） (2)已知图1中裁去的小正方形的边长为，求做成的纸盒体积； (3)已知图1，图2中裁去的小正方形边长分别为和，设m为图1裁得的纸盒底面周长，n为图2方式裁得的纸盒底面周长，请求出m、n的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题13 整式的加减 （4知识点+9大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 同类项的判断】 2 【题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 4 【题型3 合并同类项】 5 【题型4 去括号】 7 【题型5 添括号】 9 【题型6 整式的加减运算】 11 【题型7 整式加减中的无关型问题】 13 【题型8 整式加减的应用】 15 【题型9 带有字母的绝对值化简问题】 18 知识梳理 【知识点1 同类项】 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 【知识点2 合并同类项】 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 【知识点3 去括号和添括号】 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 注意事项 去括号时，要连同括号前的符号一起去掉； 添括号法则：添括号后，括号前是 “+” 号，括到括号里的各项都不改变符号。 添括号后，括号前是 “-” 号，括到括号里的各项都改变符号。 【知识点4 整式的加减运算步骤】 整式的加减运算，实际上就是去括号和合并同类项的综合运用。 一般步骤： ① 去括号：根据去括号法则去掉所有括号； ② 合并同类项：将同类项合并，化为最简形式（没有同类项） 易错点总结： 合并同类项时，漏项或弄错符号；去括号时，括号前是 “−” 号，只改变括号内第一项的符号，其余项忘记变号；括号前有数字因数时，未分配到括号内的每一项；判断同类项时，忽略 “相同字母的指数相同” 这一条件。 题型精讲 【题型1 同类项的判断】 【典例1】．下列各组式子中，两个单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】 【详解】 A、 两个单项式中相同字母的指数不同，不是同类项，该选项不符合题意； B、是同类项，该选项符合题意； C、两个单项式中字母的指数不同，不是同类项，该选项不符合题意； D、 两个单项式中所含字母不同，不是同类项，该选项不符合题意． 故选：B 方法总结：本题主要考查同类项，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，逐一判断各选项即可． 【跟随训练1】．在下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．和 B．和100 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项；常数项也是同类项．再分别检查各选项即可． 【详解】解：∵选项A中，的字母x的指数为2，y的指数为1，而的字母x的指数为1，y的指数为1，相同字母的指数不相同，∴不是同类项； 选项B中，和100都是常数项，∴是同类项； 选项C中，和的字母均为x、y、z，且相同字母的指数分别相同，∴是同类项； 选项D中，和的字母均为a、b、c，且相同字母的指数分别相同，∴是同类项． 因此，不是同类项的是选项A． 故选：A 【跟随训练2】．下列不是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项；常数项也是同类项，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、和是同类项，故该选项不符合题意； B、和是同类项，故该选项不符合题意； C、和不是同类项，故该选项符合题意； D、和是同类项，故该选项不符合题意； 故选：C． 【跟随训练3】．下列各组中的两个项不属于同类项的是（   ） A．和14 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是依据“所含字母相同，且相同字母的指数也相同”的同类项概念判断选项． 根据同类项的定义，逐一分析各组项的字母及对应指数是否一致，找出不满足条件的选项． 【详解】解：A中和14均为常数项，是同类项； B中含字母，为常数项，无相同字母，不是同类项； C中和，字母均为和且指数均为1，是同类项； D中和，字母均为和且指数相同，是同类项； 故选B． 【题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【典例2】．已知和是同类项，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵和是同类项， ∴， ∴． 故选：A． 方法总结：同类项要求相同字母的指数相等，因此比较a的指数即可求解． 【跟随训练1】．已知与是同类项，那么m，n的值分别是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键；根据同类项的定义，两个单项式是同类项需满足相同字母的指数分别相等，因此列出关于x和y的指数方程并求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， 故选A． 【跟随训练2】．若单项式与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义．根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，因此通过方程求解和，再计算表达式的值． 【详解】解：两个单项式是同类项， 的指数相等：， ． 的指数相等：， 代入，得， ． ． 故选：A． 【跟随训练3】．如果单项式与 是同类项，那么的值为 【答案】 【分析】本题考查了同类项，代数式求值，解题的关键是熟练掌握同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项． 根据同类项的定义得到且，求出，再代入求值． 【详解】解：因为单项式与 是同类项， 所以且， 解得，， 所以， 故答案为：． 【题型3 合并同类项】 【典例3】．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A中，与不是同类项，不能合并，∴A错误； ∵选项B中，，∴B错误； ∵选项C中，，∴C正确； ∵选项D中，，∴D错误； 故选C． 方法总结：本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项是解题的关键；需根据合并同类项的法则判断各选项是否正确即可． 【跟随训练1】．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项法则，判断各选项计算是否正确，解题的关键是需熟练掌握法则． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 【跟随训练2】．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项和去括号，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【跟随训练3】．把和各看成一项，合并同类项：，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题关键．根据合并同类项法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 【题型4 去括号】 【典例4】．下列各项中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ A正确； ∵ ， ∴ B错误； ∵ ， ∴ C错误； ∵ ， ∴ D错误． 故选：A 方法总结：本题考查去括号法则，关键是注意系数和符号的变化．根据去括号法则，正系数乘括号内各项时符号不变，负系数时各项符号改变．逐一验证各选项即可． 【跟随训练1】．下列各式中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了去括号法则，熟练掌握“括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号”是解题的关键． 根据去括号法则（括号前是“”，去括号后括号内各项要变号），逐一判断每个选项的去括号结果是否正确． 【详解】解：，故A项错误． ，故B项正确． ，故C项错误． ，故D项错误． 故选：B． 【跟随训练2】．化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了去括号，再合并同类项．解决本题的关键是根据去括号法则去括号，再根据合并同类项法则合并同类项． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟随训练3】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型5 添括号】 【典例5】．下列各式添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算正确； 故选：D． 方法总结：本题考查添括号的规则：括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都变号．根据规则逐一判断即可． 【跟随训练1】．下列各式中，添括号不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了去括号法则：括号前是正号时，括号内各项符号不变；括号前是负号时，括号内各项符号改变，正确掌握去括号法则是解题关键．根据去括号法则对四个选项逐一进行分析即可，要注意括号前面的符号，以选用合适的法则． 【详解】解：选项A：右边，与左边相等，正确故不符合题意； 选项B：右边，与左边相等，正确故不符合题意； 选项C：右边，但左边是，不相等，错误故符合题意； 选项D：第一个等号右边，与左边相等；第二个等号右边，与左边相等，正确故不符合题意； 故选：C． 【跟随训练2】．已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了去括号和添括号法则，以及整体代入法求代数式的值． 将原式去括号并重新组合，利用已知条件代入求值即可． 【详解】解：， 当时， 原式． 故答案为：． 【跟随训练3】．若，，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了去括号法则与整式的加减运算，解题的关键是熟练运用去括号法则将式子化简，易错点是去括号时符号的变化；先利用去括号法则去掉式子中的括号，再通过交换律和结合律将式子变形为含有与的形式，最后代入已知条件求值． 【详解】 故答案为13． 【题型6 整式的加减运算】 【典例6】．观察下列五个式子，解答问题：①；②；③；④；⑤．这五个式子中，选择两个多项式进行加法运算，要求计算结果为单项式，则应选择（    ） A．③④ B．②④ C．①⑤ D．③⑤ 【答案】D 【详解】解：② 和④ 分母含字母，不是整式，故A和B无效； ① 是单项式，故C无效； ③ 和⑤ 都是多项式，相加：，其结果为单项式，D符合要求． 故选：D． 方法总结：本题考查整式的加法、单项式和多项式的定义．首先识别哪些式子是整式（分母不含字母），然后计算多项式的和，判断是否为单项式． 【跟随训练1】．下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面：，阴影部分即为墨迹，那么被墨水遮住的一项应是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．根据整式的加减计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ∴被墨水遮住的一项应是， 故选：A． 【跟随训练2】．已知，． (1)化简． (2)当，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减运算及求值，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键； （1）把A、B代入进行求解即可； （2）先化简，然后整体代入进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：由题意得： ； ∵， ∴原式． 【跟随训练3】．先化简，再求值：数学课上老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住 了一个多项式，形式如下：． (1)求所捂住的多项式； (2)若，求所捂多项式的值． 【答案】(1) (2)14 【分析】（1）根据题意，所捂住的多项式等于右边多项式减去左边多项式，然后去括号合并同类项即可； （2）代入求值，根据有理数的运算法则，先计算乘方，在计算乘法，最后计算加减法． 本题主要考查了整式的加减法和有理数的混合运算，注意合并同类项是解题关键． 【详解】（1）解：设所捂住的多项式为, 则 故答案为：． （2）解：当，时， 故答案为：14． 【题型7 整式加减中的无关型问题】 【典例7】．已知，．若的值与字母的取值无关，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得． 故选：C． 方法总结：本题考查了整式的加减运算． 先计算的表达式，合并同类项后，令含的项的系数为零，从而求出的值． 【跟随训练1】．若与关于x的二项式的和与x无关，则（　　） A．8 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加法，代数式求值，掌握整式的加法运算法则是解题的关键． 两个多项式的和与x无关，说明x的二次项和一次项的系数均为零，由此求出a和b的值，再计算a的b次方即可． 【详解】解：由题意得， ， ∵其和与x无关， ∴和， 解得，， ∴． 故选：B． 【跟随训练2】．若关于x的多项式合并后不含二次项，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，通过合并多项式中的同类项后，根据不含二次项的条件，令二次项系数为零求解． 【详解】解：， 合并同类项得：． ∵多项式合并后不含二次项， ∴二次项系数， 解得． 故答案为：． 【跟随训练3】．已知多项式，多项式，代数式． (1)先化简，再求值：当时，求的值； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）易得与的取值无关．可得，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）解： 当时， 原式 （2）解：由（1）得化简后为， ∵多项式的值与的取值无关， ∴与的取值无关． 即，解得． 【题型8 整式加减的应用】 【典例8】．如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：长方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 设，， 则，， ，． ∴图中右上角阴影部分的周长为． 左下角阴影部分的周长为， ∴图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为： ． 故选：D． 方法总结：本题考查了整式的加减运算，设，用含a、b的代数式分别表示，，，．再表示出图中右上角阴影部分的周长及左下角阴影部分的周长，然后相减即可． 【跟随训练1】．如图是2025年6月的日历，用如图的X型框去框该日历中的日期数，每次同时框5个数．那么圈出的5个数之和不可能是（   ） A．50 B．75 C．95 D．105 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据X型的特点，设X型最中间的数为，分别表示出其他数，再求和，然后分析每个选项的和是否符合X型特点，即可解题． 【详解】解：设X型最中间的数为，由图知剩余4个数分别为：， 则每次同时框5个数的和为：， A、因为，又当时，能圈出X型框， 所以圈出的5个数之和可能是50，不符合题意； B、因为，又当时，不能圈出X型框， 所以圈出的5个数之和不可能是75，符合题意； C、因为，又当时，能圈出X型框， 所以圈出的5个数之和可能是95，不符合题意； D、因为，又当时，能圈出X型框， 所以圈出的5个数之和可能是105，不符合题意； 故选：B． 【跟随训练2】．一个四位自然数M，记作 ，若， 则称M为“双11数”． 例如：四位数4279，∵，∴4279是“双11数”；若M是一个“双11数”，设， 且 是整数，则满足条件的M的最小值是 ． 【答案】2893 【分析】本题考查了新定义概念理解，数的表示方法，整除的性质及数的大小比较．根据双11数的定义，用a和b表示M和，利用是整数的条件，得到是7的倍数，为使M最小，a取2，则，再取，则，即可求解． 【详解】解：设，由，，得，， ∴， ∴，则， ∵该式为整数，且14是7的倍数， ∴需为7的倍数，即为7的倍数， ∵9与7互质， ∴为7的倍数，a为2至9的数字，b为2至9的数字， 要使M最小， ∴a取2，则， ∵需为7的倍数，且让M最小， ∴，则， ∴． 故答案为：2893． 【跟随训练3】．为庆祝我国首个空间实验室“天宫一号”顺利升空，学校开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)用、的代数式表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是列代数式、整式的加减运算及代数式求值， （1）依据截面的面积个三角形的面积个矩形的面积个梯形的面积求解即可； （2）将a、b的值代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：当，时， ． 【题型9 带有字母的绝对值化简问题】 【典例9】．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知， ，，，， ，， 故选择：B． 方法总结：本题考查有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，掌握利用数轴上数的大小正确化简绝对值是解题的关键． 先根据数轴上的位置，得到a、b、c的符号以及绝对值的大小，再判断各绝对值内的正负号化简绝对值，合并同类项即可求解． 【跟随训练1】．已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数符号的分析和绝对值的化简，判断绝对值的正负是解题的关键． 首先由和可得a，b，c中只有一个负数，再将原式化简为，再分三种情况讨论符号即可求出x的值，进而求最大值和最小值的乘积． 【详解】解：∵且， ∴a，b，c中只有一个负数， ∵， ∴，，， ∴， 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴x的最大值为，最小值为， ∴x的最大值与最小值的乘积为， 故选：A． 【跟随训练2】．若，则a的值是（    ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个负数 D．任意一个非正数 【答案】D 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分情况讨论，当时，当时，当时，结合绝对值性质求解． 【详解】解：∵， ∴原方程为． 当时，，∴，不成立； 当时，，∴，解得； 当时，，∴ ，恒成立； 综上，当时等式成立，故 a 是任意一个非正数； 故选：D． 【跟随训练3】．请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据绝对值的性质化简求值即可； （2）根据有理数的加法和乘法运算法则可得三个数中必定有两个正数，一个负数，可设，，，再根据绝对值的性质化简求值即可； （3）分四种情况，根据绝对值的性质化简求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； （2）解：， ，，， 由可知，中有一个负数或三个负数； 若均为负数，则与矛盾， 故中必为两正一负， 分情况讨论： ①，，， ； ②，，， ； ③，，， 综上，的值为； （3）解：①当，，都为正数时，则原式； ②当，，中只有一个负数时， 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； ③当，，中有两个负数时， 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； ④当，，都是负数时，则原式； 综上所述，所求式子的值是． 思维导图 过关检测 1．下列各组中的两项，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义． 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项． 【详解】解：选项A：与，字母相同，x指数均为2，y指数均为1，是同类项； 选项B：与，字母相同，但x指数分别为3和1，不相等，不是同类项； 选项C：与，字母相同，且a、b、c指数分别相同，是同类项； 选项D：与，均为常数项，是同类项； 故选：B． 2．下列说法正确的是（    ） A．和0是同类项 B．的次数是 C．的系数是 D．是五次三项式 【答案】A 【分析】本题考查代数式的性质，熟练掌握单项式和多项式的性质是解题的关键． 依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A：和0都是常数项，常数项之间为同类项，故A正确，符合题意要求； 选项B：单项式的次数是所有字母的指数和，故的次数为，故B错误，不符合题意要求； 选项C：单项式的系数是数字因数（包括），故的系数为，故C错误，不符合题意要求； 选项D：多项式的次数是次数最高项的次数，故的次数为，故D错误，不符合题意要求； 故选A． 3．若与是同类项，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类项的定义．两个单项式，含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同，这样的两个单项式称为同类项，据此解题． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 4．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的运算，需要根据合并同类项法则和运算律判断． 【详解】解：选项A中，a与不是同类项，不能合并，故A错误； 选项B中，与是同类项，合并后应为，而不是，故B错误； 选项C中，与是同类项（乘法交换律），，故C正确； 选项D中，与是同类项，合并后应为，而不是，故D错误． 故选：C． 5．下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号法则，括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号；括号前是正号时，直接去掉括号。逐项判断即可。 【详解】∵ 去括号法则：括号前是“”号，去括号后括号内各项都变号；括号前是“”号，去括号后括号内各项不变号。 对于A：，但选项写为 ，错误； 对于B：，但选项写为 ，错误； 对于C：，但选项写为 ，错误； 对于D：，与选项一致，正确。 ∴ 故选D. 6．下列说法正确的是（    ） A．的系数是，次数是3 B．与是同类项 C．正有理数和负有理数统称为有理数 D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的系数和次数、同类项的定义、有理数的分类和去括号法则，熟练掌握基本概念和法则是解题的关键． 根据单项式的系数和次数定义、同类项的定义、有理数的分类以及去括号法则进行判断． 【详解】解：∵ 单项式的系数是，次数是， ∴ A选项正确，符合题意； ∵ 与中相同字母的指数不相同， ∴ 它们不是同类项，B选项错误，不符合题意； ∵ 有理数包括正有理数、零和负有理数， ∴ C选项错误，不符合题意； ∵ ，而不等于， ∴ D选项错误，不符合题意； 故选：A． 7．如图是一个正方体的表面展开图，已知，，， ，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，则E代表的代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，正方体展开图的相对面，先根据正方体的展开图的相对面必定相隔一个小正方形，确定相对面，再根据相对两个面所表示的代数式的和都相等，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，为相对面，为相对面， ∴， ∴ ； 故选B 8．已知，，，，，则下列说法正确的有（   ） ①多项式的值与x的取值无关； ②当时，多项式的值为8； ③存在正整数x和正整数y，使得． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，代数式求值，根据整式的加减计算法则求出的结果即可判断①；根据整式的加减计算法则求出的结果，再求出，再把整体代入化简结果中即可判断②；把代入的结果中即可判断③． 【详解】解：∵，，，，， ∴ ， ∴多项式的值与x的取值无关，故①正确； ∵，，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，多项式的值不一定为8，故②错误； ∵，， ∴， 当时，，故③正确； 故选：C． 9．已知的取值与x无关，求的值 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的加减中无关型问题，代数式求值，根据题意得出，，进而求出，，然后代入求解即可． 【详解】解： ∵的取值与x无关， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图是2025年1月份的日历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动）．设“横3”覆盖的数字之和为，“竖3”覆盖的数字之和为，若，则的最小值为 ． 【答案】51 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减的应用， 设“横3”中间数为x，“竖3”中间数为y，求出，根据，得出，根据日历得出y的最小值为8，即可得出x的最小值为9，然后求出结果即可． 【详解】解：设“横3”中间数为x，“竖3”中间数为y， 由题意得：， ， ， ∴x、y为同一横行上，相邻的两个数， ∵， ∴当最小时，最小， 根据图可知，的最小值为8， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：51． 11．有理数a、b、c在数轴上的位置如图．化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 观察数轴可得，且，从而得到，再根据绝对值的性质化简，即可． 【详解】解：观察数轴得：，且， ∴， ∴ ． 故答案为： 12．若与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式：根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，从而求出和的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴的指数相等，即；的指数相等，即． 解得． 则． 故答案为：． 13．比少的多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意，列出减法算式，通过去括号和合并同类项进行计算，即可解题． 【详解】解：依题意得： 合并同类项得：， 故答案为：． 14．用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，例如：．对于任意有理数x，y，满足，求的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了新定义，涉及到了整式的运算，合并同类项，代数式求值．解题的关键是根据新定义进行化简整理．根据新运算的定义，分别计算 和 ，得到等式 ，化简得 ，代入 计算即可． 【详解】解：由新运算定义，， 则 ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 15．先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出x和y的值，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ，， ，， 原式 ． 16．阅读材料： “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 尝试应用： (1)把看成一个整体，化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的化简求值，整体思想； （1）把看成一个整体，对原式进行合并同类项即可； （2）把看成一个整体，将转化为，再整体代入即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 17．已知，． (1)化简； (2)当，，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先去括号，再计算整式的加减即可得； （2）先将（1）的结果变形为，再将，作为整体代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 18．一个四位自然数，其中千位数字是个位数字的两倍，百位数字与十位数字之和为10，则称这个四位数为“倍和数”，记，例如：四位数6193，因为，，所以6193是“倍和数”，；四位数8154，，，所以8154不是“倍和数” (1)请判断6423，4552是否是“倍和数”，并说明理由； (2)若是“倍和数”，的两倍与的各位数字之和能被11整除，请求出这个四位数． 【答案】(1)6423不是“倍和数”，4552是“倍和数”． (2)2551、4282、8734 【分析】本题考查新定义，整数的加减运算，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）设，得到，根据的两倍与的各位数字之和能被11整除，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴6423不是“倍和数”， ， ∴4552是“倍和数”； （2）设， ∵是“倍和数”， ∴， ∵的两倍与的各位数字之和能被11整除， 又∵ ， ∴能被11整除， 由题意可知：，，且均为整数， ∴当时，，此时，； 当时，，此时，； 当时，，此时，； 综上：这个四位数可以为：2551、4282、8734． 19．【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为 ． 【阅读理解】小明在解答该题时采用的方法如下：由题意，得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为10，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为7，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求的值． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查代数式求值，整式加减中的化简求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． （1）仿照题干，利用整体代入法进行求值即可； （2）把代入得到，再把和代入计算即可； （3）去括号，合并同类项，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：（1）∵代数式的值为10， ∴， ∴， ∴； （2）∵当时，， ∴， ∴当时，； （3）∵，， ∴， ∴ ． 20．【综合与实践】有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个． (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是_______ ；（填“图1”或“图2”） (2)已知图1中裁去的小正方形的边长为，求做成的纸盒体积； (3)已知图1，图2中裁去的小正方形边长分别为和，设m为图1裁得的纸盒底面周长，n为图2方式裁得的纸盒底面周长，请求出m、n的值． 【答案】(1)图2 (2)做成的纸盒体积为 (3)， 【分析】本题考查了认识立体图形的展开图，列代数式，整式的加减运算等知识，理解题意是解题关键． （1）根据长方形展开图的特征，判断即可． （2）根据长方形的体积公式求解即可． （3）根据展开图的特点先表示，，再求出即可． 【详解】（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2； （2）解：图1中裁去的小正方形边长为， 做成的纸盒的体积； （3）解：， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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