期末复习专题05 方程与解一元一次方程（3知识点+10大题型+思维导图+过关检测） 2025-2026学年人教版七年级数学上册期末备考

期末复习专题05 方程与解一元一次方程 （3知识点+10大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 判断各式是否为方程】 1 【题型2 列方程】 3 【题型3 判断是否是方程的解】 4 【题型4 已知方程的解，求参数】 6 【题型5 判断是否是一元一次方程】 8 【题型6 等式的性质】 9 【题型7 解一元一次方程】 11 【题型8 已知一元一次方程的解，求参数】 14 【题型9一元一次方程的解的关系】 18 【题型10 绝对值方程】 21 知识梳理 【知识点1 一元一次方程的概念】 1. 方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 两个关键要素：① 是等式（有等号 “=”）；② 含有未知数（常用字母x 表示）。 2. 方程的解与解方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 3. 一元一次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 三个限定条件：① 未知数个数：一个；② 未知数次数：1（系数不为 0）；③ 方程形式：整式方程（分母不含未知数）。 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 【知识点2 等式的性质】 等式的基本性质（解方程的依据） 等式的基本性质是解一元一次方程的核心依据，所有步骤都围绕性质展开。 性质 1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 性质 2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，结果仍相等。 【知识点3 解一元一次方程】 解一元一次方程的步骤： 1.去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax= b ”的形式（ a≠ 0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 x=； （2）注意：分子、分母不能颠倒 6. 方程的检验（可选但推荐） 把解得的未知数的值代入原方程，验证左右两边是否相等。 解题技巧与易错点总结 1. 解题技巧 技巧 1：判断一元一次方程的 “三步法”① 看分母：分母是否含未知数？含则不是；② 看未知数个数：是否只有一个未知数？③ 看未知数次数：未知数的最高次数是否为 1？三者都满足，才是一元一次方程。 技巧 2：解方程的 “简化技巧”① 去分母前，先观察分母的最小公倍数，避免乘错数；② 移项前，先把方程整理成 “含未知数的项在左，常数项在右” 的思路，减少移项次数；③ 系数化为 1 时，若系数是分数，可两边乘其倒数，简化计算。 技巧 3：复杂方程的 “分步拆解”遇到含多层括号的方程，从内到外逐步去括号；遇到小数系数的方程，可先把小数化为整数。 2.易错点警示 易错环节 易错点 纠正方法 去分母 漏乘不含分母的项 去分母时，方程两边的每一项都要乘最小公倍数 去分母 分子是多项式时，忘记加括号 分子是多项式，去掉分母后，分子整体加括号 去括号 括号前是“-”，忘记变号 牢记“负号变号”，逐项检查符号 移项 移项不变号 移项的本质是等式性质1”，移到等号另一边必须变号 系数化为1 除以系数时，符号出错 系数为负时，除以负数，等号两边的符号都要改变 题型精讲 【题型1 判断各式是否为方程】 【典例】．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键． 根据方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：①，含有未知数x和y，且是等式，是方程； ② 含有未知数x，且是等式，是方程； ③ 没有未知数，不是方程； ④ 不是等式，不是方程； ⑤ 含有未知数x，且是等式，是方程； ⑥ 含有未知数x，且是等式，是方程． 综上，是方程的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选：D． 【跟随训练1】．下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：A、不是等式，不是方程； B、不是等式，不是方程； C、是代数式，不是等式，不是方程； D、是方程； 故选：D． 【跟随训练2】．下面是方程的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的识别，根据含未知数的等式是方程逐项判断即可． 【详解】解：A．不是等式，故不是方程，不符合题意； B．是含未知数的等式，是方程，符合题意； C．不是等式，故不是方程，不符合题意； D．不含未知数，故不是方程，不符合题意； 故选：B． 【跟随训练3】．下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，根据含有未知数的等式叫做方程，由此逐项分析即可得解，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是方程，故不符合题意； B、，不是方程，故符合题意； C、是方程，故不符合题意； D、是方程，故不符合题意； 故选：B． 【题型2 列方程】 【典例】．某数的3倍比它的2倍多1，设某数为x，则列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了列方程，根据题意“某数的3倍比它的2倍多1”，直接转化为方程． 【详解】解：设某数为x， ∵某数的3倍比它的2倍多1， ∴比多1， ∴． 故选：D． 【跟随训练1】．根据“x的3倍与4的和等于x的一半”可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次方程．根据题意直接列出方程，x的3倍是，与4的和是，等于x的一半是，因此方程为，即可作答． 【详解】解：根据“x的3倍与4的和等于x的一半”可以列方程为， 故选：C． 【跟随训练2】．根据“减去的7倍等于8”的数量关系可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列方程，将文字描述转化为数学方程，注意“y的7倍”为，“x减去y的7倍”即，列出方程即可 【详解】解：的7倍为，x减去y的7倍为，等于8，即， 方程为， 故选：A 【跟随训练3】．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，成本价x元，提高后标价为，再打8折即乘以，售价为224元，因此方程为，即可求解． 【详解】解：设成本价为x元， ∵ 标价， ∴ 售价， 又∵ 售价， ∴，即选项B正确． 故选：B． 【题型3 判断是否是方程的解】 【典例】．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，掌握方程解的定义是解题的关键．将 代入各方程，验证等式是否成立． 【详解】解：A．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项A不符合题意； B．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项B不符合题意； C．把代入，左边，右边，左边右边，故选项C不符合题意； D．把代入方程，左边，右边，故选项D符合题意． 故选：D． 【跟随训练1】．当x的取值不同时，整式（其中，是常数，）的值也不同，具体情况如表所示．则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的变形与代数式的值的对应关系，熟练掌握“将方程转化为表格中整式的形式，再结合表格数据找对应值”是解题的关键． 先将方程变形为与表格中整式形式一致的式子，再结合表格数据找出对应的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 从表格可知，当时，， 故选：． 【跟随训练2】．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，通过将代入每个方程，验证等式是否成立即可． 【详解】解：∵ 当时， 对于选项A：； 选项 B：； 选项 C：； 选项 D：． ∴ 只有选项 B 的等式成立． 故选：B． 【跟随训练3】．是下列哪个方程的解（    ） A． B．5 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解． 将代入各方程，验证等式是否成立即可． 【详解】解：A：当时，左边，右边，，故A不成立； B：当时，左边，右边，，故B不成立； C：当时，左边，右边，，故C成立； D：当时，左边，右边，，故D不成立； 故选：C． 【题型4 已知方程的解，求参数】 【典例】．若关于的方程的解是，则的值为（   ）. A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的解，掌握方程的解是使方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入方程得到关于a的一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴将代入方程得：， ∴，解得：． 故选 C． 【跟随训练1】．若是方程的解，则a的值是（    ）． A．－1 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握好方程的解的意义是解题关键． 将 代入方程，求解a的值． 【详解】解：∵是方程 的解， ∴ 代入得：， 即， ∴， 即， ∴． 故选：B． 【跟随训练2】．关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程的解代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵方程的解为， ∴代入得， ∴， ∴， ∴． 因此，m的值为3． 故选：C． 【跟随训练3】．若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为（ ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解的概念及代数式求值，将代入方程，得到关于a和b的等式，再整理求值． 【详解】解：∵方程的解为， ∴将代入得：， 即， ∴. ∴代数式的值为． 故选：A． 【题型5 判断是否是一元一次方程】 【典例】．在方程①，②，③，④中，一元一次方程的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，判断每个方程是否为一元一次方程，即只含一个未知数且未知数的最高次数为1，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握一元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：①中含有两个未知数和，故不是一元一次方程； ②中只含一个未知数，且次数为1，故是一元一次方程； ③中只含一个未知数，且化简后为，次数为1，故是一元一次方程； ④中含有项，次数为2，故不是一元一次方程； 故一元一次方程有②和③，共2个， 故选：B． 【跟随训练1】．下列方程为一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的整式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：对于A：∵方程中左边的代数式不是整式，不是整式方程， ∴不是一元一次方程； 对于B：∵方程中含有两个未知数， ∴不是一元一次方程； 对于C：∵方程中未知数的最高次数为2， ∴不是一元一次方程； 对于D：∵方程只含一个未知数，且次数为1，是整式方程， ∴是一元一次方程； 故选：D． 【跟随训练2】．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（    ） A．2或0 B．0 C．2或 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键；根据一元一次方程的定义，x的指数必须为1，且系数m不能为0，然后问题可求解． 【详解】解：由方程是关于x的一元一次方程可知：，且， 解得：； 故选D． 【跟随训练3】．若关于x的方程是一元一次方程，则k的值为（    ）. A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 一元一次方程要求一次项系数不为0，未知数最高次幂为1，据此计算即可． 【详解】解：方程是一元一次方程， 则 解得，且， 当时，一次项系数，满足条件， 因此的值为1， 故选：C． 【题型6 等式的性质】 【典例】．下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 首先根据等式的基本性质，等式两边同时加、减、乘、除同一个数（除数不为零），等式仍然成立，判断每个选项的正误即可． 【详解】解：对于A：若，根据等式的性质1，两边同时加3，应得，故选项不正确； 对于B：若，则，等式成立，∴选项正确； 对于C：若，则，但a不一定等于b，∴选项不正确； 对于D：若，则分母为零无意义，∴选项不正确． 【跟随训练1】．已知，下列变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是明确等式两边同时除以一个数时，该数不能为0． 根据等式性质：等式两边同时加、减同一个数，等式仍成立；同时乘同一个数，等式仍成立；同时除以同一个不为0的数，等式才成立． 【详解】解：A、， ，此选项不符合题意； B、， ，此选项不符合题意； C、，当时，与无意义，此变形不一定成立，此选项符合题意； D、， ，此选项不符合题意； 故选：C． 【跟随训练2】．如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．左边两架天平处于平衡状态，若要使第三架天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ）个三角形 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据图1得到一个正方形的质量等于一个圆的质量，根据图2得到一个正方形的质量等于两个三角形的质量，进而得到一个圆的质量等于两个三角形的质量，进行求出图3右盘中三角形的个数即可． 【详解】解：由图1可知：一个正方形的质量等于一个圆的质量； 由图2可知：一个正方形的质量等于两个三角形的质量， 故一个圆的质量等于两个三角形的质量， 图3左盘中有3个圆，故需要在右盘放置6个三角形，才能使天平保持平衡； 故选C． 【跟随训练3】．根据等式的性质，下列各式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质1，等式的性质2，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据等式性质1、等式的性质2，对四个式子逐一分析，再作出判断． 【详解】解：若，当时，；但当时，a与b不一定相等，故A错误，符合； 若，两边减3，得，故B正确，但不符合； 若，两边减1，得，故C正确，但不符合； 若，两边乘，得，故D正确，但不符合， 故选：A． 【题型7 解一元一次方程】 【典例】．解方程：. 【答案】 先移项，再合并同类项，最后将系数化为1． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 【跟随训练1】．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)x (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化． （1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： （2） 【跟随训练2】．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可； （2）根据化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ． （2）解： ， ， ， ， ， ． 【跟随训练3】．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： （2） 【题型8 已知一元一次方程的解，求参数】 【典例】．关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程，代入求值的计算，掌握一元一次方程的计算是关键． 解方程得到，通过变量代换分析分母的约数，确保解为正整数． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 即 ， ∴ ， ∵ 为正整数， 设 ，则 ， 代入得 ， ∴ 为正整数， 故 为整数， ∴ 为 5 的约数，即 ， 对应 ： 当 时，，； 当 时，，（舍）； 当 时，，； 当 时，，（舍）； ∴ 符合条件的整数 为 和 ， 其和为 ， 故选：A． 【跟随训练1】．已知关于的方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数．由第一个方程的解代入得到 的关系式，然后将第二个方程化简，利用该关系式求解，即可作答． 【详解】解：∵方程 的解为， ∴代入得 ， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 移项得， ∴， 把代入，得， ∵， ∴， 故选：D． 【跟随训练2】．已知方程是关于x的一元一次方程． (1)求m、n的值； (2)若关于x的一元一次方程的解与关于x的一元一次方程的解互为倒数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解，倒数的定义． （1）根据一元一次方程的定义，得到，求解即可； （2）由（1）知，即，求出x，取x的倒数代入即可求解k的值． 【详解】（1）解：方程是关于的一元一次方程， ， 解得：； （2）解：由（1）可知，原方程可化为， 解得． 方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数， 关于的一元一次方程的解为， 将代入方程中，得， 解得． 【跟随训练3】．我们规定x的一元一次方程的解恰好等于，则称该方程是“差解方程”，例如：，解得：，因为，所以方程是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： (1)下面方程中是差解方程的是______． ①；②；③；④ (2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，它的解为a，求的值． (3)已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程是解题的关键．（1）根据差解方程的定义一一进行验证即可；（2）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程组，解之得出a、b的值即可得出答案； （3）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵的解为， ∴是差解方程； ②∵的解为， ∴不是差解方程； ③∵的解为， ∴是差解方程； ④∵的解为， ∴是差解方程； 故答案为：①③④； （2）解：由题意可知，由一元一次方程可知， 又方程的解为， ∴，，解得，， ∴； （3）解：∵一元一次方程和都是“差解方程”， ∴，， ∴，，两式相减得，， ∴ ． 【题型9一元一次方程的解的关系】 【典例】．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程解的定义，是解题的关键．由第一个方程的解为，可知第二个方程中相当于第一个方程中的x，因此令，即可解得． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴关于y的一元一次方程的解为． 故选：A． 【跟随训练1】．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．若关于y的方程是“和解方程”，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，理解“和解方程”是解此题的关键． 根据和解方程的定义，方程的解应满足，同时方程的解为，令两者相等求解出即可． 【详解】解：∵方程是和解方程， ∴其解， 即， 解得． 故答案为：． 【跟随训练2】．关于的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程解的综合应用；先把两个方程的解表示出来，再根据相反数的定义，让两个解相加等于0，计算求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∵解互为相反数， ∴ ， ， ． 【跟随训练3】．如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就说这两个方程为“和美方程”，例如，和是“和美方程” (1)若关于的方程与是“和美方程”，求的值． (2)若两个“和美方程”的解的差为4，且有一个方程为，求的值． (3)关于的方程与是“和美方程”，且关于，的多项式的值恒为定值，求的值及，满足的关系式． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“和美方程”的定义是解题关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“和美方程”的定义，即可求出的值； （2）根据“和美方程”的定义，表示出另一个方程的解，再根据两个解的差为4，即可求出的值； （3）先表示出两个方程的解，再根据“和美方程”的定义得出，再把多项式变形，根据多项式的值为定值可得，进而得出，的关系式． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵关于的方程与是“和美方程”， ∴，解得． （2）解：∵有一个方程为， ∴． ∴另外一个方程的解为． ∵两个“和美方程”的解的差为4， ∴或， 解得或． （3）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵关于的方程与是“和美方程”， ∴． ，即． ， 又∵关于，的多项式的值恒为定值， ∴，即． ∴． 【题型10 绝对值方程】 【典例】．若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值方程的性质，将方程分为两种情况求解． 【详解】解：， 或， 当时，； 当 时，， 的取值为或 2， 故选： C． 【跟随训练1】．，那么 ． 【答案】 或 【分析】本题考查绝对值方程，先计算等号右边的绝对值，得到，再根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：，即， 则或， 解得或． 故答案为：或． 【跟随训练2】．关于的方程（k为常数，）的解为 ．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的代数意义，将实数轴按绝对值内表达式的零点（即和）分为三个区间：、和，在每个区间内去绝对值符号，求解方程，并验证解是否满足区间条件即可，熟练掌握绝对值的意义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 当时，方程化为， 此时解得； 验证：对于，总有，故解符合题意； 当时，方程化为， 此时解得， 验证：对于，该解不满足（当时，当时，当 时方程无解），故无解； 当时，方程化为， 此时解得， 验证：对于，总有，故解符合题意； 综上所述，方程的解为 或， 故答案为：或． 【跟随训练3】．【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；因此此题可根据绝对值方程的解法进行求解即可． 【详解】解：根据阅读材料的方法： 当，即时，原方程化为， 解得：； 当，即时，原方程化为， 解得：， 综上所述，方程的解为或． 思维导图 过关检测 1．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握只有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程是解题的关键．根据一元一次方程的定义对各选项进行判断作答即可． 【详解】解： A．中含，次数为2，故不符合题意； B．含和两个未知数，故不符合题意； C．仅含且次数为1，符合定义，故符合题意； D． 中含有，不是整式，故不符合题意， 故选：C． 2．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 3．下列方程的解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解一元一次方程注意移项要变号是解题的关键． 直接解每个方程，判断方程的解是否符合题意，得到正确的选项即可． 【详解】解：对于A：∵，∴，∴符合题意； 对于B：∵，∴，∴不符合题意； 对于C：∵，∴，∴不符合题意； 对于D：∵，∴，∴不符合题意； 故选：A． 4．关于的方程的解是，则的值是（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】A 【分析】本题考查方程解的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．将 代入方程，求解 m． 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴ 代入得， ∴． 故选：A． 5．已知方程是一元一次方程，则的值为（   ） A．2 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义，x的次数必须为1且系数不为零，据此求得m的值即可． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴，且， 由，得， 当时，，系数为零，不符合条件； 当时，，符合条件， ∴m的值为． 故选：B． 6．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意； C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 7．关于x的方程变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式基本性质，是解题的关键． 通过移项变形方程，将含未知数的项移到等式左边，常数项移到右边，并注意符号变化，判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 即 ，与选项D一致； 选项A错误，因移项后应为减和7均未变号； 选项B错误，因移项后系数和常数符号均不正确； 选项C错误，因直接求解结果不正确且非变形过程， 故选：D． 8．定义新运算：，若，则 【答案】1 【分析】本题考查定义新运算，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算的定义，建立方程并求解． 【详解】解：由新运算定义，， ∴ ． 给定 ， ∴． ． 故答案为：1． 9．小军在解关于的方程去分母时，方程左边的没有乘，因而求得方程的解为，则这个方程的正确解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解及解一元一次方程，由题意可知是方程的解，然后可求得的值，再将的值代入原方程求解即可．解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 【详解】解：根据题意得：是方程的解， ∴， 解得：， ∴原方程为， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 故答案为：． 10．已知为常数，关于的方程，无论为何值它的解总是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解求参数的值，将代入方程，化简后得到关于的恒等式，令的系数和常数项分别为零，解出和的值，再求它们的和即可． 【详解】解：将代入方程，得． 两边同乘得，即． 整理得． ∵无论为何值方程都成立， ∴且，解得，． ∴． 故答案为：． 11．已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及换元法，熟练掌握一元一次方程的解及换元法是解题的关键． 通过整体代换，将关于的方程转化为关于的方程，与已知方程比较求解． 【详解】解： ， 令，上式为， ∵方程的解是， 即，解得， 故答案为：． 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得． 【详解】（1）解：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 13．解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键： （1）去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可； （2）去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可； （3）去分母，去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可； （4）将原方程化为，再去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2） ， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ； （4）， ， ， ， ， ． 14．已知关于x的一元一次方程的解为正整数，且满足条件的所有整数a的和为m，求m的值． 【答案】3 【分析】本题考查一元一次方程的解及其整数解条件下的参数分析．首先需要将方程化为标准形式，解出x关于a的表达式；然后根据解为正整数的条件，分析参数a的取值范围，并找出所有满足条件的整数a，最后求这些整数的和m． 【详解】解：， ∴， 解为正整数，即为正整数， ∴为的正因数， ∴，得出，，得出， 所有整数a的和为m， ∴． 15．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值； (2)若关于的方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，已知方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先解方程，结合“归一方程”的定义可得方程的解，进而可求得的值； （2）分别将已知的两个方程求解表示出的值，再结合新定义进行列式，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：， ， 方程与关于的方程互为“归一方程”， 中的，即， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 关于的方程与关于的方程互为“归一方程”， ， ， ． 16．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为，若其中一个方程的解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“阳光方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的求解，解题的关键在于理解并熟练应用新定义解答并利用方程的结构特点解答． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为，由两个“阳光方程”的解的差为5，列出关于的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，对比可知方程与方程结构完全相同，故，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：关于的一元一次方程的解为：， 方程的解为：， 关于的一元一次方程与是“阳光方程”， ， 解得 （2）∵互为“阳光方程”的一个解为， ∴另一个解为， 又这两个“阳光方程”的解的差为5， 则或， 解得或 故的值为3或； （3）∵关于x的一元一次方程的解为， 又∵关于x的一元一次方程和是“阳光方程”， ∴方程的解为：， 把关于y的一元一次方程 方程变形得： ∴ 解得 ∴关于y的一元一次方程的解为： 17．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解绝对值方程． （1）仿照题干作答即可； （2）对于形如的方程，等价于或，因此，解方程，只需解与即可． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得：或， 解得：或x； （2）解：由绝对值的意义得：或， 解得：或． 18．材料1：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时，4叫做以2为底的16的对数，记为（即）． （1）计算：________，________； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，⋯，在这种规定下： （2）求出满足该等式的：； （3）当为何值时，． 【答案】（1），10；（2）或；（3）或． 【分析】本题考查了新定义运算． （1）根据对数的定义直接计算； （2）由的定义得到，化简原式求解即可； （3）先计算对数值，再解绝对值方程，分情况讨论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴或 ∴或； （3）解：∵， ∴ 当时，， ∴， 即， ∴； 当时，，， ∴，无解； 当时，，， ∴， 即， ∴； ∴或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题05 方程与解一元一次方程 （3知识点+10大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 判断各式是否为方程】 1 【题型2 列方程】 3 【题型3 判断是否是方程的解】 4 【题型4 已知方程的解，求参数】 6 【题型5 判断是否是一元一次方程】 8 【题型6 等式的性质】 9 【题型7 解一元一次方程】 11 【题型8 已知一元一次方程的解，求参数】 14 【题型9一元一次方程的解的关系】 18 【题型10 绝对值方程】 21 知识梳理 【知识点1 一元一次方程的概念】 1. 方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 两个关键要素：① 是等式（有等号 “=”）；② 含有未知数（常用字母x 表示）。 2. 方程的解与解方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 3. 一元一次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 三个限定条件：① 未知数个数：一个；② 未知数次数：1（系数不为 0）；③ 方程形式：整式方程（分母不含未知数）。 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 【知识点2 等式的性质】 等式的基本性质（解方程的依据） 等式的基本性质是解一元一次方程的核心依据，所有步骤都围绕性质展开。 性质 1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 性质 2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，结果仍相等。 【知识点3 解一元一次方程】 解一元一次方程的步骤： 1.去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax= b ”的形式（ a≠ 0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 x=； （2）注意：分子、分母不能颠倒 6. 方程的检验（可选但推荐） 把解得的未知数的值代入原方程，验证左右两边是否相等。 解题技巧与易错点总结 1. 解题技巧 技巧 1：判断一元一次方程的 “三步法”① 看分母：分母是否含未知数？含则不是；② 看未知数个数：是否只有一个未知数？③ 看未知数次数：未知数的最高次数是否为 1？三者都满足，才是一元一次方程。 技巧 2：解方程的 “简化技巧”① 去分母前，先观察分母的最小公倍数，避免乘错数；② 移项前，先把方程整理成 “含未知数的项在左，常数项在右” 的思路，减少移项次数；③ 系数化为 1 时，若系数是分数，可两边乘其倒数，简化计算。 技巧 3：复杂方程的 “分步拆解”遇到含多层括号的方程，从内到外逐步去括号；遇到小数系数的方程，可先把小数化为整数。 2.易错点警示 易错环节 易错点 纠正方法 去分母 漏乘不含分母的项 去分母时，方程两边的每一项都要乘最小公倍数 去分母 分子是多项式时，忘记加括号 分子是多项式，去掉分母后，分子整体加括号 去括号 括号前是“-”，忘记变号 牢记“负号变号”，逐项检查符号 移项 移项不变号 移项的本质是等式性质1”，移到等号另一边必须变号 系数化为1 除以系数时，符号出错 系数为负时，除以负数，等号两边的符号都要改变 题型精讲 【题型1 判断各式是否为方程】 【典例】．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟随训练1】．下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．下面是方程的选项是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练3】．下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 列方程】 【典例】．某数的3倍比它的2倍多1，设某数为x，则列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．根据“x的3倍与4的和等于x的一半”可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．根据“减去的7倍等于8”的数量关系可得方程为（   ） A． B． C． D． 【跟随训练3】．一件商品按成本价提高后标价，再打8折（标价的）销售，售价为224元，设这件商品的成本价x元，下列方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【题型3 判断是否是方程的解】 【典例】．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．当x的取值不同时，整式（其中，是常数，）的值也不同，具体情况如表所示．则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练3】．是下列哪个方程的解（    ） A． B．5 C．6 D．3 【题型4 已知方程的解，求参数】 【典例】．若关于的方程的解是，则的值为（   ）. A． B．1 C． D． 【跟随训练1】．若是方程的解，则a的值是（    ）． A．－1 B．1 C． D．2 【跟随训练2】．关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2 【跟随训练3】．若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为（ ） A． B．3 C． D．2 【题型5 判断是否是一元一次方程】 【典例】．在方程①，②，③，④中，一元一次方程的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟随训练1】．下列方程为一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值（    ） A．2或0 B．0 C．2或 D．2 【跟随训练3】．若关于x的方程是一元一次方程，则k的值为（    ）. A．0 B． C．1 D． 【题型6 等式的性质】 【典例】．下列等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟随训练1】．已知，下列变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．左边两架天平处于平衡状态，若要使第三架天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ）个三角形 A．4 B．5 C．6 D．7 【跟随训练3】．根据等式的性质，下列各式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型7 解一元一次方程】 【典例】．解方程：. 【跟随训练1】．解方程： (1)； (2)． 【跟随训练2】．解方程： (1) (2) 【跟随训练3】．解方程： (1)； (2)． 【题型8 已知一元一次方程的解，求参数】 【典例】．关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟随训练1】．已知关于的方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．已知方程是关于x的一元一次方程． (1)求m、n的值； (2)若关于x的一元一次方程的解与关于x的一元一次方程的解互为倒数，求的值． 【跟随训练3】．我们规定x的一元一次方程的解恰好等于，则称该方程是“差解方程”，例如：，解得：，因为，所以方程是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： (1)下面方程中是差解方程的是______． ①；②；③；④ (2)已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，它的解为a，求的值． (3)已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【题型9一元一次方程的解的关系】 【典例】．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（      ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．若关于y的方程是“和解方程”，则m的值为 ． 【跟随训练2】．关于的方程与的解互为相反数，求的值． 【跟随训练3】．如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就说这两个方程为“和美方程”，例如，和是“和美方程” (1)若关于的方程与是“和美方程”，求的值． (2)若两个“和美方程”的解的差为4，且有一个方程为，求的值． (3)关于的方程与是“和美方程”，且关于，的多项式的值恒为定值，求的值及，满足的关系式． 【题型10 绝对值方程】 【典例】．若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． 【跟随训练1】．，那么 ． 【跟随训练2】．关于的方程（k为常数，）的解为 ．（用含的代数式表示） 【跟随训练3】．【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 思维导图 过关检测 1．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 3．下列方程的解为的是（   ） A． B． C． D． 4．关于的方程的解是，则的值是（   ） A． B． C．1 D．7 5．已知方程是一元一次方程，则的值为（   ） A．2 B． C． D．无法确定 6．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 7．关于x的方程变形正确的是（   ） A． B． C． D． 8．定义新运算：，若，则 9．小军在解关于的方程去分母时，方程左边的没有乘，因而求得方程的解为，则这个方程的正确解为 ． 10．已知为常数，关于的方程，无论为何值它的解总是，则的值为 ． 11．已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 12．解方程： (1)； (2)． 13．解方程： (1) (2) (3) (4) 14．已知关于x的一元一次方程的解为正整数，且满足条件的所有整数a的和为m，求m的值． 15．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值； (2)若关于的方程与关于的方程互为“归一方程”，求的值． 16．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为，若其中一个方程的解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“阳光方程”，求关于的一元一次方程的解． 17．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 18．材料1：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时，4叫做以2为底的16的对数，记为（即）． （1）计算：________，________； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，⋯，在这种规定下： （2）求出满足该等式的：； （3）当为何值时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $