精品解析：天津市第一0二中学2025-2026学年高二上学期12月检测数学试题

2025-2026学年度高二年级第一学期12月检测（数学） 一、单选题 1. 已知数列，则是这个数列的（　　） A. 第20项 B. 第21项 C. 第22项 D. 第23项 【答案】D 【解析】 【分析】由即可得. 【详解】，故为第23项. 故选：D. 2. 双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据渐近线方程可得，即可由离心率公式求解. 【详解】因为双曲线的渐近线为，且经过点， 所以，又， 则该双曲线的离心率为， 故选：C. 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而求出其焦点坐标即可. 【详解】根据，可得， 所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且， 所以，即，则焦点坐标为， 故选：C. 4. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 5. 数列满足，（），则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由递推公式推得数列的周期，利用周期性求值. 【详解】由递推公式，，， 所以数列的周期为，所以， 故选：C. 6. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 56 B. C. 63 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质建立方程，求解即可. 【详解】因为等比数列的前n项和为， 所以，，成等比数列，且公比为正数， 设，由题意得，， 则7，，成等比数列，得到， 即，解得或， 因为，，三者同号，所以，故C正确. 故选：C. 7. 已知抛物线C：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和抛物线分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的形状，再结合抛物线的几何性质求的边长. 【详解】如图： 因为抛物线方程为，所以焦点，准线：. 因为直线的倾斜角为，且轴，所以. 又点在抛物线上，所以，故为等边三角形. 过作轴的垂线，垂足为，则，且，所以. 所以. 故选：C 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与双曲线交于A，B两点，且，则t的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法结合直线平行求解即可. 【详解】如图所示，设直线与双曲线的另一个交点为C， 设，，由图形的对称性知． 由A，B两点在双曲线上知，， 作差得到， 其中，故直线的斜率， 此时直线的方程为， 与双曲线的方程联立得， 化简得，即或， 那么或． 又直线AB的斜率为， 所以或， 解得， 故选:D． 9. 已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出前项和，再利用配方法能求出当取最小值时，的值． 【详解】设数列的公差为，则，，， 因为，，成等比数列， 所以，即，化简得， 解得或， 因为数列为递增的等差数列，所以， 故舍去，， 所以 开口向上，对称轴为直线，由于为正整数，且离更近， 所以当时，取得最小值。 故选：B 二、填空题 10. 已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______. 【答案】36 【解析】 【分析】利用双曲线的定义先求出的值，由此即可求出的周长. 【详解】由已知，，则，所以是双曲线的右焦点，，，则 ， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 11. 设等差数列，的前项和分别为，，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式进行求解即可. 【详解】因为等差数列的前项和分别为， 则，. 所以. 故答案为：. 12. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】延长与准线相交，利用抛物线的定义以及相似比即可求出. 【详解】如图，设直线与准线交于点，分别过点作准线的垂线，垂足为，且准线与轴的交点为， 则由抛物线的定义可知，，， 则，即，得， 又，则，得. 故答案为： 13. 已知数列是各项均为正数的等比数列，，则__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式进行计算即可. 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，， 所以即，. 所以. 故答案为：9 14. 在数列中，，，则数列的前10项和为_____. 【答案】50 【解析】 【分析】求出等差数列通项公式，再分析得前6项小于等于0，最后利用等差数列前项公式计算即可. 【详解】由，得． 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 则． 数列的前项和． 当时，，当时，， 则数列的前10项和为 . 故答案为：50. 15. 在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是____________. 【答案】 【解析】 【分析】记这个数构成递增的等比数列为，则由，，可求得，代入即可得出答案. 【详解】记这个数构成递增的等比数列为，则由，， 由，则， ，故. 故答案为：. 三、解答题 16. 已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. （1）求抛物线的方程； （2）若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可； （2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数关系、判别式进行求解即可. 【小问1详解】 设点，由题可知，由抛物线定义知， 所以，所以，则抛物线的方程为. 【小问2详解】 易知的斜率一定存在，设的方程为，设. 由消去得， 则，且， ， 由，化简整理得，解得（舍去）或， 所以，即的方程为. 17. 若将数列的前项和记作，已知. （1）求，，的值； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）由，，计算得解； （2）根据与的关系求出通项. 【小问1详解】 ， ，，. 【小问2详解】 当时，， 当时，， ，. 18. 已知数列满足，且对任意的，都有. （1）令，证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式及数列的前项和. 【答案】（1） 因为，即， 又，即， 又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）， 【解析】 【分析】（1）由递推公式可得，即，结合等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出的通项，即可得到的通项公式，再由分组求和法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以 . 19. 等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式： （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，列方程求解； （2）根据（1）的结果，分为奇数和偶数，利用并项求和法，即可求解. 【小问1详解】 等差数列的前项和为，， ，即， 又，， 则有，， 【小问2详解】 记数列的前项和为， 当为奇数时，； 当为偶数时，； 综上，. 20. 已知等比数列的前n项和为，， （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前2n项和； （3）若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为q，由题设求得，，可得； （2）由分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式，即可求得； （3）由（1）得，分n为偶数和奇数，结合与的单调性，可求得m的取值范围． 【小问1详解】 设等比数列的公比为q，则， 由，解得， 所以； 【小问2详解】 由有， 所以 ； 【小问3详解】 由(1)知，， 存在正整数n，使得成立， 当n为偶数时，，， 由，得， 因为单调递增，所以的最小值为， 因为单调递减，所以的最大值为， 所以， 当n为奇数时，，， 由，得， 因为单调递减，所以的最大值为， 因为单调递增，所以的最小值为，所以， 综上，m的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二年级第一学期12月检测（数学） 一、单选题 1. 已知数列，则是这个数列的（　　） A. 第20项 B. 第21项 C. 第22项 D. 第23项 2. 双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 5. 数列满足，（），则等于（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. 56 B. C. 63 D. 7. 已知抛物线C：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和抛物线分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. 8 D. 4 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与双曲线交于A，B两点，且，则t的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题 10. 已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______. 11. 设等差数列，的前项和分别为，，且，则__________. 12. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则__________. 13. 已知数列是各项均为正数的等比数列，，则__________. 14. 在数列中，，，则数列的前10项和为_____. 15. 在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是____________. 三、解答题 16. 已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. （1）求抛物线的方程； （2）若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 17. 若将数列的前项和记作，已知. （1）求，，的值； （2）求数列的通项公式. 18. 已知数列满足，且对任意的，都有. （1）令，证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式及数列的前项和. 19. 等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式： （2）求数列的前项和. 20. 已知等比数列的前n项和为，， （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前2n项和； （3）若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $