精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐十三中学2025-2026学年上学期九年级数学 第二次月考卷

2025-2026-1初三年级第二次月考 数学（问卷） 注意事项： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．考试时不能使用计算器． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、座位号填写在指定的位置上． 3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在问卷上．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚． 4．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效，在草稿纸、问卷上答题无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）每题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将选项的代号字母填在答卷的相应位置处． 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意． 故选：D． 3. 已知关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念及解一元二次方程，理解此概念并正确解一元二次方程是关键；将已知根代入方程求出参数m，再解方程求另一个根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解得， ∴另一个根为． 故选：B． 4. 关于二次函数y＝（x－1）2+2，下列说法正确的是（ ） A. 图像与y轴的交点坐标为（0，2） B. 图像的对称轴在y轴的左侧 C. y的最大值为2 D. 当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）． 【详解】A. 当x=0，y=3，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，3），故此选项错误； B. 二次函数y＝（x－1）2+2图象的对称轴为x=1，在y轴的右侧，故此选项错误； C.∵图象的开口向上，函数有最小值为2，故此选项错误； D. ∵图象的开口向上，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，故此选项正确. 故选D. 【点睛】此题主要考查了二次函数的开口方向，对称轴及增减性，熟练利用其性质是解题关键． 5. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键． 直接运用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和等知识，掌握旋转的性质及等腰三角形的性质是关键；由旋转知，等于旋转角，，由等腰三角形的性质及三角形内角和即可求解． 【详解】解：由旋转知，等于旋转角，， ∴， ∴， 即旋转角为 故选：C． 7. 近年来由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动，某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元，设该款汽车这两个月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意、找到等量关系并列出方程是关键；根据月均下降率的定义，月均下降率为x，则每月价格是前一个月的倍，从3月到5月经过两个月下降，故5月价格应为万元，等于16万元． 【详解】解：设月均下降率为x，则4月售价为万元，5月售价为万元， ∵5月售价为16万元， ∴． 故选：C． 8. 如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的内心与外心．熟练掌握三角形内心性质，三角形外心性质，切线长定理，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 过点P作，，，根据三角形的内心性质得到，根据切线长定理得到，，，得到四边形是正方形，根据勾股定理求出，得到，求出，得到，得到，即得． 【详解】过点P作，，， ∵点P是内切圆的圆心， ∴，，，， ∴四边形是正方形， ∵中，， ，， ∴， 设，，， 则， ，得， ∴， ∴， ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，半径为，为上一动点，为的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，为的中位线，则要使最大，即要使最大，根据圆的性质得，当、、三点共线时，最大，求出此时的值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 依题得，为中点， 为中点， 为的中位线， 即， 当最大时，则最大， 由圆的性质可知，当、、三点共线时，最大， ， ，，， ， 又圆半径为， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是三角形的中位线定理、二次函数的图像与性质、圆的性质、勾股定理，解题关键是合理添加辅助线，善用“中点”解题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案直接填在答题卡的相应位置处． 10. 点P（4，﹣3），则点P关于原点的对称点P′坐标是_____． 【答案】（﹣4，3） 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称的点的性质即可得出答案． 【详解】关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数， 所以点P(4，﹣3)关于原点的对称点P′坐标是：(﹣4，3)， 故答案为(﹣4，3)． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 11. 一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共40个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则红球有______个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解用频率估计概率这一统计思想是解题的关键；根据频率估计概率，摸到红球的频率稳定在，因此摸到红球的概率为0.1，从而红球数量为总球数乘以概率． 【详解】解：摸到红球的频率稳定在附近，因此估计摸到红球的概率为0.1． 红球数量为． 故答案为4． 12. 关于的方程是一元二次方程，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得； 故答案为：． 13. 新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 14. 如图，⊙O是边长为的等边的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查圆的相关性质、等边三角形的性质以及扇形面积公式．求出扇形的圆心角和半径是解决本题的关键． 首先根据等边三角形的性质求出外接圆半径以及相关角度，进而确定扇形的圆心角和半径，最后利用扇形面积公式求出阴影部分面积． 【详解】连接、，过O作于点E，如图， 因为是等边三角形的外接圆， 所以． 由于是等边三角形，则， 所以． 因为，是等边三角形， 所以． 已知，则． 在中，，， 即，，解得． 因为点D是的中点， 所以． 又因为，，， 所以是等边三角形，则． 所以扇形的圆心角为，． 扇形面积公式可得：． 故答案为：． 15. 抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论： ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中正确的是________（填写序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①根据图象经过，，且抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，，再把代入得，即可判断①错误； ②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，即可得出，即可判断②正确； ③先得出抛物线对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确； ④根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出，即，根据，得出，求出m的取值范围，即可判断④正确． 【详解】解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在的左侧， ∵中， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧， ∴抛物线的开口一定向下，即， 把代入得， 即， ∵，， ∴，故①错误； ②∵，，， ∴， ∴方程的两个根的积大于0，即， ∵， ∴， ∴， 即抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴抛物线的顶点在点的右侧， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴当时，， ∴抛物线对称轴在直线的右侧， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∵，抛物线开口向下， ∴距离抛物线对称轴越近的函数值越大， ∴，故③正确； ④方程可变为， ∵方程有两个相等的实数解， ∴， ∵把代入得，即， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∵在抛物线上， ∴，n为方程的两个根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的是②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据已知条件判断得出抛物线开口向下． 三、解答题（本大题共8小题，共90分）解答时应在答题卡的相应位置处写出文字说明、证明过程或演算过程． 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择合适方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得：，． 【小问2详解】 解：， 或， 解得：，． 17. 已知关于的方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根，请求出的周长． 【答案】（1） 证明：， ， 不论为何值，该方程总有实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和方程的解，准确计算是解题的关键． （1）根据判别式判断即可； （2）根据等腰三角形的边的性质分类讨论，当，为腰，则；当，或，为腰，则是方程的解，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根， 当，为腰时，，，且， ， 解得：， ， 周长； 当，或，为腰，则是方程的解， ， ， ， ， 的周长； 的周长为或． 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 【答案】（1） 解：如图； （2） 解：如图 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， （1）根据旋转画出图形即可； （2）根据旋转画出图形即可； （3）根据旋转中旋转中心点到对应点的距离相等的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图； 是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为． 19. 我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______名；补全条形统计图； （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率． 【答案】（1）；补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图是解题的关键． （1）根据条形统计图和扇形统计图，先用篮球的人数算出总人数再补全即可； （2）根据“排球”人数占总人数的比例求出圆心角度数； （3）通过树状图列出所有可能的组合，从而得到概率． 【小问1详解】 被调查的学生有（名）， 足球人数：（名）， 【小问2详解】 ， 故答案为：． 【小问3详解】 共有种等可能的结果，甲和乙同时被选中的结果有种， 甲和乙同时被选中的概率． 20. 正方形的边长为5，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） ∵绕点D逆时针旋转，得到， ∴， ∴F、C、M三点共线， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质， （1）根据旋转点的性质可得，，再利用边角边证明三角形全等即可； （2）设，根据正方形的性质，全等三角形的性质和旋转的性质表示出各个边长，再理由勾股定理求解即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵绕点D逆时针旋转，得到，， ∴， ∵正方形的边长为5， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即． 21. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）25 （3）该纪念册销售单价定为30元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识； （1）设，根据题意，利用待定系数法确定出与的函数关系式即可； （2）根据题意结合销量每本的利润，进而求出答案； （3）根据题意结合销量每本的利润，进而利用二次函数增减性求出答案． 正确利用销量每本的利润得出函数关系式是解题关键． 【小问1详解】 解：设，把与代入得 ， 解得：， 则； 【小问2详解】 解：设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是元，根据题意得 则， 整理得：， 解得：，， ∵， ， 答：每本纪念册的销售单价是25元； 【小问3详解】 解：由题意可得： ， ∵， 当时，最大，（元）， 答：该纪念册销售单价定为30元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在y轴上，边与x轴交于点D，平分交边于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，与y轴相交于另一点G． （1）求证：是的切线； （2）若点A、D的坐标分别为，，则的半径为______； （3）在（2）的条件下，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的切线． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定、垂径定理的应用、矩形的判定与性质，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论； （2）连接，设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）过点F作，利用勾股定理求得、的长，再利用矩形的判定与性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 设的半径为r， 则，即， 解得，即的半径为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：过点F作，连接， 由（2）得，， 在中，， 在中，， ∴，， 在中，， 由（1）得， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． 23. 如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）点为该抛物线上一动点（与点，不重合），设点的横坐标为． ①当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值和点的坐标； ②该抛物线上存在点，使得，请直接写出所有点的坐标． 【答案】（1） （2）①的面积的最大值，点P的坐标为；②点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、线段垂直平分线的判定、等腰三角形性质、图形的面积计算、解一元二次方程等知识，解题的关键是需要利用分类讨论的思想求解； （1）利用待定系数法即可求解； （2）①过点P作轴于点E，交直线于点F，求出直线的解析式，由点P的坐标可得点F的坐标，进而求得的表达式，根据得关于m的一元二次方程，即可求解； ②分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴解析式为； 【小问2详解】 解：①如图1，过点P作轴于点E，交直线于点F， 令， 解得：， ∴， 设直线的解析式，把B、C两点坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式， ∵点P在抛物线上，且横坐标为m， ∴， ∵轴，且交直线于点F， ∴， ∴， ∵ 当时，取得最大值， 此时点P的坐标为； ②∵， ∴， 当点P在直线下方时， 设直线交于点H，过点B作轴于点G，连接交于点M，如图2， 则，， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴M为的中点， ∴， 设直线解析式为， 把G、M两点坐标代入得：， 解得， 直线解析式为， 同理用待定系数法求得直线的解析式为， 联立得：，解得：， 即， 同理，用待定系数法求得解析式为， 联立得，解得：（舍去）， 故点； 当点在直线上方时，如图2， ∵， ∴， 设直线为，把点B的坐标代入得：， ∴， ∴直线为， 联立得，解得：（舍去）， ∴； 综上，点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-1初三年级第二次月考 数学（问卷） 注意事项： 1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．考试时不能使用计算器． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、座位号填写在指定的位置上． 3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在问卷上．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚． 4．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效，在草稿纸、问卷上答题无效． 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）每题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将选项的代号字母填在答卷的相应位置处． 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 3. 已知关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 关于二次函数y＝（x－1）2+2，下列说法正确的是（ ） A. 图像与y轴的交点坐标为（0，2） B. 图像的对称轴在y轴的左侧 C. y的最大值为2 D. 当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 5. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 近年来由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动，某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元，设该款汽车这两个月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 9. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，半径为，为上一动点，为的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案直接填在答题卡的相应位置处． 10. 点P（4，﹣3），则点P关于原点的对称点P′坐标是_____． 11. 一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共40个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则红球有______个． 12. 关于的方程是一元二次方程，则的值为____. 13. 新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 14. 如图，⊙O是边长为的等边的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为________． 15. 抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论： ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中正确的是________（填写序号）． 三、解答题（本大题共8小题，共90分）解答时应在答题卡的相应位置处写出文字说明、证明过程或演算过程． 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的三边长分别是2，a和b，且a，b分别是一元二次方程的两个根，请求出的周长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点上． （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若是由绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 19. 我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有______名；补全条形统计图； （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率． 20. 正方形的边长为5，E、F分别是边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在y轴上，边与x轴交于点D，平分交边于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，与y轴相交于另一点G． （1）求证：是的切线； （2）若点A、D的坐标分别为，，则的半径为______； （3）在（2）的条件下，求的长． 23. 如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）点为该抛物线上一动点（与点，不重合），设点的横坐标为． ①当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值和点的坐标； ②该抛物线上存在点，使得，请直接写出所有点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $