精品解析：河南省周口市西华县青华中英文学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025~2026学年上学期阶段性学情分析（三） 八年级数学（RJ） 注意事项： 1．本试卷共2页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 因式分解：，则代数式等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点O是边长为3的等边一边上的一点，分别与两边垂直，则（ ） A. 1.6 B. 1.5 C. 1.8 D. 2 4. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若为正整数，则下列各数中，一定能整除的是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的面积为平分于P，连接，则的面积为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5 9. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，D是上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③是等边三角形；④若，则． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图所示的椅子，将椅子脚设计成三角形，其利用了三角形的________性． 12. 若关于x的二次三项式x2+6x+a是一个完全平方式，则a＝_______． 13. 已知，， 则的值为 ___________ 14. 如图，是的平分线，，垂足为D，若，，则________． 15. 在中，，的垂直平分线与的所在的直线相交所成的锐角是，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）简算：． （2）因式分解：． 17. 如图，已知，点D为的延长线上的一点． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法）：作的角平分线． （2）在（1）的条件下，若，恰好与平行，求的度数． 18. 方方计算一道整式乘法的题：，由于方方抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为． （1）求m的值； （2）计算这道整式乘法的正确结果． 19. 【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： （1）； （2）． 20. 如图，是的高，E为上一点，交于点F，且，． （1）判断与的关系并证明； （2）连接，求的大小． 21. 完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：， ，即， 又， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 22. 已知在中，，点D是边上一点，． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 23. 完成如下项目式学习表： 课题任务 代数推理 人员／日期 七（4）班张瑾峣，李一飞，李远航2025年6月3日 观察 ；． 猜想 比任意一个奇数大7的数与此奇数的平方差能被7整除． 求索 （1）______； 论证 （2）设奇数为（为整数），试说明比大7的数与的平方差能被7整除； 延伸 （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是几？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年上学期阶段性学情分析（三） 八年级数学（RJ） 注意事项： 1．本试卷共2页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意， B．不是轴对称图形，不符合题意， C．不是轴对称图形，不符合题意， D．是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 因式分解：，则代数式等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用平方差公式因式分解．先将用平方差公式因式分解得，再结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故选：D． 3. 如图，点O是边长为3的等边一边上的一点，分别与两边垂直，则（ ） A. 1.6 B. 1.5 C. 1.8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，由题意求出，利用直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵是边长为3的等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方逐项计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 若为正整数，则下列各数中，一定能整除的是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解及数的特征，熟练掌握因式分解的应用以及正整数的特征是解题的关键．先对因式分解，得出，再利用、、三个连续正整数中必有一个数是的倍数，必有一个数是的倍数，即可解决． 【详解】解：， ∵、、是三个连续正整数， ∴、、中必有一个数是的倍数，必有一个数是的倍数， ∴必是的倍数， 故选：A． 6. 如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，，再把所给式子提取公因式，然后代入求值即可． 【详解】解：∵边长为，的长方形，它的周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解的应用，长方形的周长和面积，求代数式的值，运用了整体代入的思想．掌握因式分解是解题的关键． 7. 如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余的性质、等角对等边的性质，根据直角三角形两锐角互余可知，根据直角三角形的性质可得，根据、可以求出，根据三角形外角的性质可得，根据等角对等边可得：． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ． 故选：D． 8. 如图，的面积为平分于P，连接，则的面积为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键．延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直线平行的性质、坐标系的应用．过点作，则轴，D为的中点，根据坐标的性质即可求解． 【详解】解：轴，， ， 过点作，则轴， ， ， ， ，即； 故选：C． 10. 如图，在中，，D是上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③是等边三角形；④若，则． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定．由，，，可得①正确；由①可证得，即可得②正确；易得③是等腰三角形，但不能证得是等边三角形；由若，易求得，则可证得，继而证得． 【详解】解：在中， ，， ， ，， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ， ，但不能判定是等边三角形，故③错误； ∵若， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图所示的椅子，将椅子脚设计成三角形，其利用了三角形的________性． 【答案】稳定 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：将椅子脚设计成三角形，椅子非常稳固，其利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定． 12. 若关于x的二次三项式x2+6x+a是一个完全平方式，则a＝_______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：根据题意知，． 故答案为：9． 【点睛】本题考查完全平方公式，满足完全平方式的情况只有a2+2ab+b2和a2-2ab+b2两种． 13. 已知，， 则的值为 ___________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查整体代入求代数式的值，把化为，再代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：3． 14. 如图，是的平分线，，垂足为D，若，，则________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．延长交于点，证明，推出，利用三角形的外角性质计算即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 在中，，的垂直平分线与的所在的直线相交所成的锐角是，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，并作分类讨论是解题的关键．①当为锐角三角形时，设的垂直平分线交线段于点，交于点，在中可求得，再由三角形内角和定理可求得；②当为钝角三角形时，设的垂直平分线交于点，交直线于点，在中可求得，从而得到，再由三角形内角和定理可求得． 【详解】解：①当为锐角三角形时， 如图，设的垂直平分线交线段于点，交于点， ，， ， ， ； ②当为钝角三角形时， 如图，设的垂直平分线交于点，交直线于点， ，， ， ， ， ； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）简算：． （2）因式分解：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的简便运算、提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握平方差公式和因式分解的方法是解题的关键， （1）利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ． 17. 如图，已知，点D为的延长线上的一点． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法）：作的角平分线． （2）在（1）的条件下，若，恰好与平行，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）利用平行线的性质角平分线的定义求解． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 18. 方方计算一道整式乘法的题：，由于方方抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为． （1）求m的值； （2）计算这道整式乘法的正确结果． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本题的关键． （1）根据题意可得，应用多项式乘多项式的法则进行计算，可得，由已知常数项相等可得，计算即可得出答案； （2）由（1）可知m的值，代入应用多项式乘多项式进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得： ∴， 解得：． 【小问2详解】 解： ． 19. 【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，是的高，E为上一点，交于点F，且，． （1）判断与的关系并证明； （2）连接，求的大小． 【答案】（1） 解：，，证明如下： ∵为的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先证明，得，，即可作答； （2）如图所示，连接，过点D作交于点M，过点D作于点N，由得到，证明出是的平分线，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过点D作交于点M，过点D作于点N， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴是的平分线， ∴． 21. 完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：， ，即， 又， ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值．熟记公式的形式是解题关键； （1）先计算的值，再由即可求解； （2）设，可得的值，由即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即． 又∵， ∴， 所以，即的值为． 【小问2详解】 解：设，，则． 由题意得． ∵， ∴， ∴， 所以图中阴影部分的面积为． 22. 已知在中，，点D是边上一点，． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴； （2） ①解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得∠，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或． 23. 完成如下项目式学习表： 课题任务 代数推理 人员／日期 七（4）班张瑾峣，李一飞，李远航2025年6月3日 观察 ；． 猜想 比任意一个奇数大7的数与此奇数的平方差能被7整除． 求索 （1）______； 论证 （2）设奇数为（为整数），试说明比大7的数与的平方差能被7整除； 延伸 （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是几？请说明理由． 【答案】（1）17； （2）根据题意可知，比奇数大7的数为， ． 为整数， 能被7整除． （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数为7， 理由如下：根据题意设这个数为，比大7的数为， ， 比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数为7． 【解析】 【分析】（1）​先观察给定的等式规律：和，再将规律中的数字替换为题目要求的 5，直接计算 的值，最后将结果除以 7，即可求得结果； ​​（2）​先设任意奇数为（m 为整数），则比它大 7 的数为，​再计算平方差：，利用平方差公式展开并化简，​最后提取公因数 7，说明结果为 7 的整数倍． ​​（3）​先设任意整数为 n，则比它大 7 的数为，​再计算平方差：，展开后化简，​最后将结果表示为 的形式（r 为余数），确定余数 r． 【详解】解：（1）， 故答案为：17； （2）略 （3）略 【点睛】本题综合考查代数推理能力，核心在于掌握平方差公式和整式变形技巧，体现数学建模思想，通过代数方法将具体问题一般化是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $