湘豫联盟校2025-2026学年高二上学期1月联考数学试题（III卷）

姓 名 准考证号 A 绝密★启用前 斯认，M千5周 or a 高二数学（Ⅲ卷） 3,3合h，(0<,0<) 注意事项： 1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证 世内号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然 后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案 写在答题卡上对应的答题区城内。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。娜个三食同停日的内5甲 不S已甲限，人1心签热表理个动 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，，一，（八面的月比义家 1.已知直线14：x-√2y=0,l2:ax-2y-1=0,若4∥2，则a=++ A.-22 角a B.2 C.2 D.22 2.如图，在平行六面体ABCD-A:BCD,中，点M满足AM=2MC,若AB=a, AD=b,AA=c,则下列向量中与DM相等的是登来量台■合m B C.-te AD平 08状食随始用Q日已05 Da+号b+c 4A可平上A3OA面平 数学试题（Ⅲ卷）第1页（共6页） 3.若(x-1)(2x+1)=a+a1x十a,x+ax+ax+a5x,则a,= A.8 B.-8 C.2 D.42 4已知稀圆C若+号-1(a>3)的两个焦点分别为F,F,直线I过R,交箱 圆C于M,N两点.若△F,MN的周长为20，则椭圆C的焦距为 A.4 B.6学选C.8 D.10 5.已知双由线C号-茶-1(a>0,6>0)的左，右焦点分别为F,f,以片为 圆心，√3a为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率为 A.√2 B.√3 C.2 D.5 6.已知圆C:x2+y-2a.x+a2-9=0与圆C2:x2+y2-2b+6-1=0内切， 则a十b的最大值为 A.1 B.2 C.2 D.22 7.某城市举办国际马拉松比赛，在某路段设A,B,C三个服务点，某高校包括 甲与乙在内的5名同学到三个服务点做志愿者，每名同学只去一个服务点， 每个服务点至少1人，则甲与乙不去同一个服务点的概率为 A号 B号 共，心 c 共本 n号 8.已知定义域为R的函数f(x),g(x),f(x)=g(2-x),对任意的实数a,b均有 f(a+b)+f(a-b)=2f(a)g(b),且g(2)=0,fx)不恒为0，则f(2026)= A.1 B.-1 c n 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，下列结论正确 的是 D A.CD1∥平面ABD B.CD,⊥平面AB,D C.CD,与BD所成的角为60 D.平面ACCA,⊥平面ABD 数学试题（Ⅲ卷）第2页（共6页） 10.下列四个命题中正确的是 A.直线1：2.x+(m-1)y-2-2m=0过定点(2,0) B.若过定点P(1,0)的直线与以M(一1,2)，N(3,2)为端点的线段相交（包 括端点)，则该直线的倾斜角的取值范围为[子，] C.过定点Q(1,0)且与圆(x+1)2+(yT3)2=4相切的直线方程为5x十 12y-5=0或x=1 D.若动点M在直线x一2y十2=0上，动点A,B在圆C:(x一3)2+y=4 上，则sin∠AMB的最大值为号 11.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,A(x1y),B(x,y),C(xy)是E上 不同的三个点，AB的中点为P,O为坐标原点，直线l是E的准线，且1与 x轴的交点为M,则下列说法正确的是 A.若|AF1=|BF1,则x1=x2 B.若A市=入F克，则∠AMO=∠BMO 角形 AD/BC.AB C,若F是△ABC的重心，则点P的纵坐标可能大于2上 D.若点P的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为 (食1食是提小本). 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，女，中亲补坐成直面平雪 12.已知第二象限角e满足sina十cosa=-号，则tam2a=8士， 13.一桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽 为AB=10m,C为AB的中点，桥洞最高处O点的高度为OC=5m.规定 车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至 少为0.5m.若一辆货车宽为√5m,沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过 桥洞的限高为 m A 数学试题（Ⅲ卷）第3页（共6页） 14.已知正方体ABCD-A1B,C,D,的棱长为2，M是棱BB:的中点，动点P在 侧面ABB:A,内（包括边界），且满足以下条件：①CP⊥AM;②异面直线 CP与AC,所成角的余弦值为怎，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足√3 bcos C+-bsin C= asin Bco 议前大是单日Mm说见 (1)求角C; (2)若△ABC的周长为，√3+√6+3，求a的值. 点中的小，点个三的同不 出二位千明比点炎山 式食棉的过A处到铜，8比科坐的年点容网 16.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系中，过点M(2,1)且倾斜角为a的直线1与圆C:x2+ y2-2mx十2y十m2=8=0交于A,B两点.0虽附mm (1)当a=135°，且M是AB的中点时，求m的值以及圆C的标准方程； (2)当m=1时，若1AB=42,求直线1的方程. 签圆流的绿的衣L面其已议最物平式增其，训明可得业闻 运信哪单常有识部行验中所油出，m大的年分得一者0式处 代高明的语 AB.D 数学试题（Ⅲ卷）第4页（共6页） 17.(本小题满分15分) 某班级甲、乙、丙、丁、戊5名男生和A,B,C,D,E5名女生参加学校羽毛球 男女混双比赛，事先准备按照甲A,乙B、丙C、丁D、戊E进行配对参赛。 (1)若甲与A配对，求其他每人都不与事先配对的同学组队的情况数； (2)记f()表示(2<≤5)个人都不与事先配对的人组队的情况数，证明： 1期f5)=4[f(4)十(3)].回鼎已，1点量含的3■m丝地直苦 (优，，)收冠坐的日点，（道 :图前静理的用丽的a8A△来，闭0=元指) 事商代出口花，亲关置的的圆的公查武8A以已（点湖供每( 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC,AB⊥ AD,侧棱PA⊥底面ABCD,AD=1,BC=AB=2,点Q在侧棱PB上，且 PQ:QB=1:2. (1)求证：PD∥平面QAC; (2)若平面PBC⊥平面PCD. (i)求四棱锥P-ABCD的侧面积； (i)求平面ACQ与平面CQB夹角的余弦值， p, 数学试题（Ⅲ卷）第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C二+若=1(a>b>0)过点P(1,公)，且长轴长是短轴长的 2倍. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线1过椭圆C的右焦点F,与椭圆C交于A,B两点（点A在x轴上 方)，点D的坐标为(23，). ()当y=0时，求△ABD的面积的取值范围； ()试判断点D与以AB为直径的圆的位置关系，并写出判断过程。 (企农的处本河 A,日G,年始量直基过A而，中3-9的对四合 且，生9份在0点，8一8人过，1一Gk,g门过人面可，0A .3=1009 39面平19，五球 01而平组9面平各8 安于 的5T数四水 面前大0血平9以面平光 数学试题（Ⅲ卷）第6页（共6页）湘豫名校联考 2025一2026学年高二（上)1月阶段性质量检测 数学参考答案（北师大版） 题号 1 2 3 7 8 9 10 11 答案 B C D B A BCD BC ABD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1,C【试题立意】本题考查两条直线平行，重点考查数学抽象、数学运算等核心素养. 【解折】因为4/：所以士-号≠马中a=2,解得a=反.成速C a 2.A【试题立意】本题考查空间向量的线性运算，重点考查逻辑推理、数学运算等核心素养， 【解析1连接AMC图略)，在△ADM中，D7-A7-A-A矿+A,立-A市=c+号-b=C-b时 3(a+b)= 号a-号b叶c,故选A 2 3.B【试题立意】本题考查二项式定理的展开式以及利用二项式的通项公式求指定项，重点考查转化与化归思 想，落实数学运算、数学建模等核心素养。 【解析】方法一：(x-1)(2x+1)=x(2x+1)1-(2x十1)，(2x十1)1展开式的通项T+1=C(2x)1-×1= 21-*Cx-(k=0,1,2,3,4).依题意令4-k=2或3，解得k=2或1，所以a=22C号-23C}=-8.故选B. 方法二：(x-1)(2x十1)=(x-1)(1十8x+24x2+32x3十16x),故x3的系数为24-32=-8.故选B. 4.C【试题立意】本题考查椭圆的定义及标准方程，重点考查运算求解能力，落实直观想象、数学抽象、数学运 算等核心素养， 【解析】由椭圆的定义可知，△F,MN的周长为|F2M+|F2N|+MN|=MF十MF|+INF|+|NF2|= 4a=20,解得a=5,所以c=√/a2-b=√25-9=4，所以焦距|F1F2|=2c=8.故选C. 5.C【试题立意】本题考查双曲线的定义、方程、几何性质以及直线与圆的位置关系，重点考查抽象概括能力、 运算求解能力、推理论证能力以及数形结合思想、函数与方程思想，考查了逻辑推理、数学运算和数学抽象等 核心素养. 【解析】设半焦距为c,依题意，右焦点F,(c,0)到渐近线b一ay=0的距离为bc二0L=6.所以√3a=b,即 √6+a2 -.所以-V层-√-√+(2)==2.选C a 6,D【试题立意】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化、圆与圆的位置关系、基本不等式，重点考查数形结 合思想、运算求解能力，提升直观想象和数学运算等核心素养， 【解析】将两圆的一般方程分别化成标准方程为C:(x一a)2十y=9,C2:x2+(y-b)2=1,所以圆C的圆心 为C1(a,0),半径为3，圆C2的圆心为C(0,b),半径为1.由两圆内切，得|CC|=2,即√a+b=2,所以 。+6=4周为（生）<心士产，所以-2≤a十b2E,当且仅当a=巨，6=反时：右边等号成主，当且 仅当a=一√2，b=一√2时，左边等号成立，所以a十b的最大值为2√2.故选D. 7,B【试题立意】本题考查排列与组合的应用以及古典概率的计算，重点考查数据分析和运算求解能力，提高 数学应用意识，落实数学运算、数据分析等核心素养. 数学参考答案（北师大版）第1页（共7页） 【解析】先计算事件总的情况：5名同学分三个小组，若按2人，2人，1人来分有C2C=15(种)：若按1人 1人，3人来分有C=10(种)，再把这三个小组排列到三个服务点去共有A=6(种)，所以每个服务点至少有 1人的不同安排方法有(15+10)×6=150（种）. 方法一：考虑甲与乙分到同一服务点的情况数：若按2人，2人，1人来分有CA=18(种)： 若按3人，1人，1人来分有CA=18(种)，所以甲与乙分到同一服务点的情况有18十18=36（种）， 由古典概型公式得”甲与乙不去同一个服务点”的概率为5036=)故选B 150 方法二：先安排甲和乙：A=6,再安排其余3人且不含甲、乙的服务点人数不空：3一23=19，故所求的概率 为部”-是故选B 8.A【试题立意】本题考查函数与方程以及抽象函数求值，重点考查学生推理分析、运算求解能力，考查函数 与方程思想、建模意识，考查数学建模、逻辑推理和数学运算等核心素养， 【解析】由f(x)=g(2-x),得f(0)=g(2)=0.对f(a十b)十f(a-b)=2f(a)g(b),令b=2,则f(a十2)十 f(a-2)=2f(a)g(2)=0,所以f(a十2)=-f(a-2).令a-2=t,则f(t+4)=-f(t),即f((t+4)十4)= -ft+4)=ft),所以f(x)的周期为8.对f(a十b)+f(a一b)=2f(a)g(b),令b=0,则2f(a)=2f(a)g(0),所以 g(0)=1,所以f(2026)=f(8×253+2)=f(2)=g(0)=1.故选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.BCD【试题立意】本题考查空间线面平行与垂直的位置关系及异面直线所成的角，重点考查推理论证和空 间想象能力，考查了数学运算和直观想象等核心素养， 【解析】对于A,因为CD1∥CD,又CD与BD的夹角为45°，所以CD不平行于平面ABD,A错误，对于 B,易证AD⊥CD1,AB:⊥CD1,且AD∩AB,=A,所以CD1⊥平面AB1D,B正确.对于C,因为CD∥AB,且 易知△A1BD是等边三角形，所以CD1与BD所成的角为60°，C正确.对于D,因为BD1⊥AC1,BD1⊥ AA,AC1∩AA=A1,所以B,D⊥平面ACCA:又BDC平面ABD,所以平面ACC1A1⊥平面 ABD1,D正确.故选BCD. 10.BC【试题立意】本题考查直线的斜率，直线的方程以及直线与圆的位置关系，重点考查运算求解、直观想 象、推理分析能力，落实数学运算、逻辑推理等核心素养 【解析】对于A,直线l:2x十(m-1)y-2-2m=0可化为(2x-y-2)十m(y-2)=0,令 12x-y-2=0,得 y-2=0, 1x=2, 所以直线I过定，点(2,2)，A错误；对于B,易求得kM=一1，kN=1,结合图象（图略）知斜率k的取 y=2, 值范国为（一60，-1U[1,十∞），所以领斜角的取值范国为[平，]，B正确：对于C,显然当直线斜牵不 存在时，直线方程x=1满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为y=k(x一1)，即kx一y一k=0,依题意 直线与图相切，则一3二=2，即2k+3引=2V+,解得k=一是，所以切线方程为5x十12y-5=0 5 √+1 或x=1,C正确；对于D,当动，点A,B为过，点M的圆的两个切线的切，点时∠AMB最大，此时∠AMB= 2∠AMC,sin∠AMC= MO=MC,圆心C(3,0)到直线l:x-2y+2=0的距高为=5，显然，当MC1 AC 2 √5 1时，MC取得最小值5，此时in∠AMC=25,则cos∠AMB=cos(2∠AMC)=1-2Sim∠AMC= 数学参考答案（北师大版）第2页（共7页） 一是.所以∠AMB最大时为能角，所以sn∠AMB的最大值为1，D错误，故选C 11.ABD【试题立意】本题考查抛物线的定义、焦点弦性质以及直线与地物线的位置关系，重点考查运算求解 能力与数形结合思想，考查直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养。 【解析】对于A,因为A(xy),B(x2)在抛物线E上，F(1,0),所以AF|=x1十1,1BF=x2+1.又AF= BF|,所以x1十1=x2十1，即x1=x2,A正确.对于B,由AF=λFB,知直线AB过焦点F(1,0),设直线 AB:x=y十1，联立=y+1, 消去x得y2一4ty-4=0.由根与系数的关系得y十y2=4t,yy2=一4.又 y2=4x, M-1,0),所以ka十km=十= 8三一y￥4++=y+4)Cy+42=0,即k=一k· 所以∠AMO=∠BMO,B正确.对于C,设点P的纵坐标为yp,若F是△ABC的重心，则y1十y2十y=0, 听十+=4红十4红，+4红，=4X3=12,两式消去y得(y十)”=6十y≤6+y+》,即 4 （y十)'≤8，即≤E,C错误.对于D,因为P是AB的中点，所以1十%=4.此时ks=兴= yt yi 44 4 y1+y2 =1,所以直线AB的倾斜角为于，D正确.故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.4 【试题立意】本题考查同角三角函数关系以及二倍角公式，重点考查运算求解能力，体现数学运算等 核心素养。 【解析】因为sina十cosa=- 5,a为第二象限角，所以sina>0,cosa<0.sina-cosa= V2-(sna十osa=√2一方=号，结合已知sne十cosa=-片，可得sina= 1 =号，0sa=-青，由商教 关系得tana=inc=一3 2tan a= 24 cos a ，所以tan2a=-tana 7 13.4.25【试题立意】本题考查抛物线的标准方程以及方程的筒单应用，重点考查推理分析、运算求解能力，落 实逻辑推理和数学运算等核心素养. 【解析】如图，以O为原，点，以过点O与AB平行的直线为x轴，OC所 1 在直线为y轴建立平面直角坐标系，依题意可设抛物线方程为x= 0 -2py(p>0),AB=10,OC|=5,且B(5,-5)在抛物线x=-2py E 上，则p=号，所以2=-5.设车项左端正上方墙壁为点E,右端正 上方墙壁为点F,则车宠为EF=6,可设F(停)小，代入抛物线 C 方程得=-}，所以桥洞的限高不起超过5一子-0.5=4.25(m)。 14.【试题立意】本题考查空间线面位里关系，异面直线所成的角以及空间多面体与球的切接间题，重点考 查学生逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力，提升数学运算、逻辑推理和直观想象等核心素养. 【解析】如图，取AB的中，点N,连接BN,AN,CN,易得△ABM≌△BBV,所以∠AMB=∠BNB,所以 ∠AMB+∠NBB,=∠BNB,+∠NBB,=90°，所以AM⊥BN.又BC⊥平面ABB,A1,所以BC⊥AM.因为 数学参考答案（北师大版）第3页（共7页） BC∩BV=B,所以AM⊥平面BCN,故满足条件①的动，点P在线段BN上.以D为原点，DA,DC,DD所在直 线分别为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),N(2,1,2),C1(0,2,2),所 以AC=(-2,2,2),Bi=(0,-1,2),C第=(2,0,0).设Bp=入BN= (0,-λ，2)，0≤λ≤1，则C市-CB十BP=(2,-λ，2A).设异面直线CP与 D AC所成角为0，则cos0= Cd.AC1=I2λ-4-=3 N 1C1AC1√/4+5·23 ，解得 B 入=1或λ=8（不符合题意，舍去）.因为当入=1时，B=B亦，故满足条件 ①，②的，点P与点N重合.连接AC,设△NAB,△ABC的外接圆半径分 别为r1,r,因为平面VAB⊥平面ABC,两平面的交线为AB,易得2一 C 1=√1，所以n=5, A·2—AB十BC二√2，设三棱锥P-ABC的 2 外接球的径为R,则R=√g+月-√)-+可- √厘，所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR2=严 4 4 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【试题立意】本题考查三角恒等变换及正弦、余弦定理.考查运算求解能力、函数与方程思想、转化与化归思 想.落实数学运算等核心素养 【解析】(l)由正孩定理得√3 sin B cos C+sin Bsin C=√3sinA. 由三角形内角和定理知A=π一(B十C), 所以sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 所以W3 sin Bcos C+sin Bsin C=√3 sin Bcos C+√3 cos Bsin C,即sin Bsin C=√3 cos Bsin C. 因为0<C<π，所以sinC≠0.所以sinB=√3cosB,即tanB=√3. 因为0<B<π，所以B=正 7……………………………4分 又sinB=6 cosA,所以cosA=2 21 因为0<A<π，所以A=工 4 所以C=晋--】 …………………………………………………………………………6分 2)由1)知mc=s血登=sn(子+若）=6+2 4 由正孩定理得a sin A sin B-sin C,即- b b E6+2 2 2 4 所以6-c- 2 0.……9分 所以△ABC的周长为a+b+c=a+号a+Y32a=3十6十3 2 2 3十6十3g=5十6十3.解得=2。…………… 2 16.【试题立意】本题考查直线与圆的位置关系，重点考查推理分析和运算求解能力，落实逻辑推理，数学运算等 数学参考答案（北师大版）第4页（共7页） 核心素养。 【解析】(1)当a=135°时，直线1的斜率为-1，将圆C的方程化为(x-m)十(y十1)=9， 所以圆心为C(,一1)，半径为3.… ……………………2分 因为M是AB的中点，由圆的性质知MC⊥AB,即k版·kB=一1，…4分 所以e=1,即22m1,解得m=0,此时圆C的标准方程为x2十(y十1)2=9。…6分 (2)当m=1时，圆C的圆心为C(1,一1)，半径为3.……7分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y一1=k(x一2)，即kx一y十1一2k=0.……8分 因为AB引=4√2，所以圆心C到直线l的距离d=√9-(2√2)=1.…10分 由点到直线距病公式有21，解得k=子 √+1 此时直线l的方程为3x一4y一2=0.…………13分 当直线（的斜率不存在时，此时直线1的方程为x=2,显然也满足条件。 所以直线1的方程为3x一4y一2=0或x=2.……………………………………………………15分 17.【试题立意】本题考查排列、组合应用问题，考查数据分析，运算求解能力，落实数据分析、数学运算等核心素养. 【解析】(1)本题属于错排问题，先安排甲与A搭档，再让其他4名男生依次选搭档，乙先选，除了B,他可以 从C,D,E三人中任选1人，有3种选法，比如乙选了C,再让原本与C搭档的丙来选，丙可以任选1人，也 有3个选法，丙选好后，丁与戊就只有1种选法，按照分步乘法计数原理，一共有9种不同的选法.·6分 (2)依题意f(5)表示5个人都不与事先配对的人组队的情况数，可以通过分步计算，先考虑甲搭档情况，甲 可从除了A之外的4人中任选1人，共4种选法，若甲选了C,则让丙来选，丙有两种情况，第一种情况，若 丙选择A,则剩下3人乙、丁、戊选B,D,E,共f(3)种方法，若丙不选A,则剩余4人配对的方法数与(1)相 同，共f(4)种，根据分步乘法和分类加法计数原理，一共有4×[f(3)+f(4)门种. 所以f(5)=4[f(4)十f(3)].……… ……………15分 18.【试题立意】本题考查立体几何中空间直线与平面的平行以及二面角计算，重点考查空间想象能力、逻辑推 理能力以及运算求解能力、函数与方程思想、数形结合思想，落实数学运算和直观想象等核心素养. 【解析】(1)如图，连接BD交AC于点E,连接QE. 因为AD∥BC,所以△EDA△EBC, 所以品器= 器-所以品-器 所以QE∥PD, 又QEC平面QAC,PD吐平面QAC,所以PD∥平面QAC. …………………………………5分 (2)()以A为原点，AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、？轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AP=t(t>0),则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,t),…6分 所以D心=(1,2,0)，D泸=(-1,0，t),Bd=(0,-2,t),BC=(2,0,0). 设平面PCD的法向量为m=(x1,y,2),平面PBC的法向量为n=(x2,y2,2), m·DC=0,1x1+2y=0, 则 m·Dp=0,-x1十tz1=0 令=2，可得平面PCD的一个法向量为m=(2t,一t,2)；…7分 n…BC=0,2x=0, → 令g=2可得平面PBC的一个法向量为n=(0,t,2).…8分 ln·Bd=0,-2y2十tz2=0, 数学参考答案（北师大版）第5页（共？页） 因为平面PBC⊥平面PCD,所以m·n=一t十4=0，解得t=2.………………………………9分 所以四棱锥P-ABCD的侧面积S=S△PAB十S△PAD十S△Pp十S△PBC. 易证△PAB,△PAD,△PBC是直角三角形，PB=2√2，PD=DC=5,PC=2√5， Sam-2.SAmp=1.Sar-2/Z.Samc-jX2/3X/Z-/6. 所以S=3十2/2十√6.…12分 (由知P(0,0,2),Q(0,号，专)此时4t=(2,2,0),4A0=(0,号，号)，Bd=(0,-2,2)…13分 设平面ACQ的法向量为p=(x3,为，2)，平面CQB的法向量为q=(x4,y,2),则 1p·AC=0, 2x3+2y=0, →2 令=1，可得平面ACQ的一个法向量为p=(2,一2,1)：…14分 p·A0=0, q·Bd=0,1-2y十2x=0, 令之1=1，可得平面CQB的一个法向量为q=(0,1,1).…15分 1q·BC=0,12x4=0, 设平面ACQ与平面CQB的夹角为0，则c0s9=D:g= 6 故平面ACQ与平面CQB夹角的余弦值为 6 ……17分 19.【试题立意】本题考查了椭圆标准方程、直线与椭圆位置关系，重点考查运算求解能力、推理论证能力以及函 数与方程思想，落实逻辑推理、数学运算和数学抽象等核心素养 a=2b, 【解析】(1)依题意 1 31， ……………………………………2分 十 解得a2=4,仔=1.……3分 所以描国C的标准方程为+y少=1.4分 (2)(i)由(1)知c=√3，所以F(√3,0). 显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=ty十√， (x 联立 4 十y=1, 消去x得(t十4)y2十23ty-1=0.…………… 5分 x=y十√3， △=16t+16>0,设A(x1y1),B(x2,2), 2√3t 由报与系数的关系知十=一= 1 t+4 ……………………………………………6分 方法一：由弦长公式得AB|=√1十平|y-y2|=√1十√/(y1十y2)-4yy =√+年-+ 12t …………7分 当=0时，点D(2B,0)到直线AB:x-y-5=0的距离为d=一E ……………………………8分 √1+t Sam=3ABd=之×4+L×5=2EXF五_ 2√3 21 t+4√1十t t2十4 ++3 2E=1,当且仅当t= 2√5 /1+t 士√2时，等号成立. 数学参考答案（北师大版）第6页（共7页） 所以△ABD的面积的取值范围为(0,1门.………………………………………10分 方法二：因为5m=合FD1l-=×2-)+)-4四- 12t 4 2W(+4)22+4 23X√+I 23 t+4 √++3二 25=1当且仅当1=士厄时，等号成立，…9分 23 W/1+ 所以△ABD面积的取值范围为(0,1门.………………………………10分 (ii)显然直线AB的斜率不等于O, D才=(ty-5,y-y%),Di=(ty2-3,边-%)，…11分 所以DA·Di=(ty-√3)(tye-√3)十(y-)(y2-y)=(t+1)y2-(W51+y)(y1十y)+3+6 _(8+y%)+25yt+46+11 t2+4 …13分 因为t2十4>0，令g(t)=(8十y呢)t2十2W5ywt+4y哈十11=0，……15分 则△=(2W5)-4(8十y)(4y%+11)=-352-160y-16<0, 所以g(t)=0无实数根，又8十y>0,所以g(t)>0. 又十4>0，所以DA·DB>0. 所以DA与D馆的夹角为锐角.故点D在以AB为直径的圆外.…………17分 数学参考答案（北师大版）第7页（共7页） 2026.1湘豫联考高二数学（北师大版）评分细则（补充部分） 说明：如无补充的题目按参考答案给分 第12题： 补充其他解法： 头 2题.补克解法二， :人荣配，且 hd1o52巴.卡<o 规<+h无 nh<2d人2乐f4机，hE 由 5h人11od:子得h以+1o以十h以i5 得月2d二一 凳 心2a:子 tonid = 2丝 第15题： 第(2)问补充其他解法 5.(2)补充（娃=） 社C作CLAB于D A 设(0=× 0=产，90=芳 A0=为，AC=5×… (8) 六芳+清十%+5×=+1+)X 二5K+3 X=5(川分) Q=5c=斧=2(3分) 第1页共2页 第17题： 第（1)问补充其他解法： 帅/7，(1)答案建议： A BE D D B E E -.3分 甲殊A,且丙对B列法上，有3牛 耐“甲利4，且西对8，“甲对4，龙对B9上月. ·共9貅 、--、、 6分 (老学皇将所有情忧都列表，也可得6分) 第19题： 第(2)（ⅱ）问补充其他解法： 补利式 9(4) -t 力)年书三 —13分 4 合中气 平 代 X2吗总酵为 d25 t2+4 D右网B为直径m圆 第2页共2页