第一章 丰富的图形世界 解答题真题专题演练 北师大版七年级上册数学期末

北师大版七年级上册数学 期末真题专题演练 第一章《丰富的图形世界》 基础知识概况 一、立体图形的认识与分类 1. 立体图形定义 各部分___________在同一平面内的图形叫做立体图形（如长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等）。 2. 立体图形分类 按形状分为三类： 、 、 。 按围成面的类型分为两类： 、 。 3. 棱柱相关概念 相邻两个面的交线叫做 ； ______。 按底面边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……（正方体、长方体属于_____ _____棱柱）。 直棱柱的侧面是__________且为多边形。 4. n 棱柱与 n 棱锥的数量关系（n 为底面边数） n 棱柱： 顶点个数： 棱个数： 面个数： 侧棱个数： 侧面个数： n 棱锥： 顶点个数： 棱个数： 面个数： 侧棱个数： 侧面个数： 二、点、线、面、体的关系 1. 基本构成 包围着体的是_____ ，分为 ______； 面与面相交得到______ ，分为 ______； 线与线相交得到___________，是几何中最基本的图形。 2. 运动关系（核心性质） 点动成___________； 线动成___________； 面动成____________。 三、立体图形的展开图 1. 展开图定义 将立体图形的表面适当剪开，展开后得到的___________叫做该立体图形的展开图。 2. 常见立体图形展开图 圆柱：2 个_____ +1个 ______； 圆锥：1 个____ +1个 ； 三棱柱：2 个______ +3个 ； 三棱锥：4 个_________。 3. 正方体展开图（高频考点） 共__________种基本形式，分为四类： 、 、 、 ； 相对面判断方法：相间排列、Z 字两端（展开图中相对面不相邻）； 禁止类型：不能出现 “凹” 字型、“田” 字型。 四、截面相关知识 1. 截面定义 用一个______ 去截一个几何体，截出的平面图形叫做截面。 2. 常见几何体的截面形状 正方体的截面可能是： 、 、 、 ； 圆柱的截面可能是： 、 、 、 ； 圆锥的截面可能是： 、 、 、 。 五、三视图（从三个方向看物体） 1. 三视图定义 主视图：从______ ______观察物体得到的平面图形； 左视图：从_____ ______观察物体得到的平面图形； 俯视图：从_____ _____观察物体得到的平面图形。 2. 三视图绘制规则（北师大版标准） 主视图与左视图______ ______（高度一致）； 主视图与俯视图_____ ______（长度一致）； 左视图与俯视图_____ ______（宽度一致）。 六、补充：常见几何体的表面积与体积公式 1. 表面积公式： 圆柱体： （字母含义：R 为底面圆半径，h 为高） 圆锥体： ， 为母线长，七年级可暂用前者）（字母含义：r 为底面圆半径，h 为高，n 为圆锥侧面展开图扇形圆心角， 为母线长） 长方体： （字母含义：a 为长，b 为宽，h 为高） 正方体： （字母含义：a 为棱长） 2. 体积公式 圆柱体： （字母含义：R 为底面圆半径，h 为高） 圆锥体： （字母含义：R 为底面圆半径，h 为高） 长方体： （字母含义：a 为长，b 为宽，h 为高） 正方体： （字母含义：a 为棱长） 填空题真题演练 41.（25-26·山西期中）如图，用若干个完全相同的小立方块搭一个几何体．请在如图所示的网格中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 42.（25-26·山西期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 顶点数 _________ 棱数 _________ 初步探究：填空：____，_____． 根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：若一个多面体的面数比顶点数小，且有条棱，求这个多面体的面数． 43.（25-26·全国期中）已知如图，分别是从一几何体的正面、上面、左面看到的形状图：从正面和左面看都是长方形，从上面看是等边三角形． （1）写出这个几何体的名称； （2）若从正面看到的图形的高为，从上面看到的三角形的边长为，求这个几何体的侧面积． 44.（25-26·安徽月考）如图，上面的平面图形绕直线旋转一周，可以得到下面的立体图形，请用线段把对应的图形连接起来．  45.（25-26·辽宁期中）如图、图是由几个大小完全相同的正方体组成的几何体． （1）如图，若将正方体①移走，则变化后的几何体与变化前的几何体从______（填“正面”“上面”或“左面”）看得到的图形没有发生改变； （2）请画出从上面和左面看图中的几何体得到的图形．  46.（25-26·陕西月考）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． （1）这个几何体的名称是__________，这一过程体现了_________．（填序号） ①点动成线；②线动成面；③面动成体． （2）求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 47.（25-26·广东月考）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形． （1）你同意_______的说法； （2）为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算甲、乙立体图形的体积并求出它们的比值是多少？ 48.（25-26·广东月考）问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． 操作探究： （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的____图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． （2）如图是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是______． （3）根据图方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．该长方体纸盒的体积为多少？  49.（25-26·广东月考）如图，这是长方体的表面展开图． 50.（25-26·辽宁月考）实践准备 李老师带领七一班综合实践小组进行废物再利用的数学制作活动，他们准备用废弃的宣传单制作纸盒（有盖或无盖）． （二）操作探究 （1）如图是“乐研组”制作的一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面分别标有“南，阳，值，得，三，顾”六个字，则“阳”相对面的文字是_________ （2）“爱数组”准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列________（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． ．     ． ． ． （三）尝试应用 （3）如图，这是一张长为、宽为的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子．上下各留宽度均为的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．把图中的包装纸折成图中的牛奶盒子，想要装下的牛奶是否能成功？为什么？ 51.（25-26·江西月考）如图是一个长方体纸盒的表面展开图，纸片厚度忽略不计，数据如图所示，这个盒子的容积为_______． 如图是某几何体的展开图． ①这个几何体的名称是______； ②求这个几何体的体积取． 52.（25-26·山东月考）问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是__________（填序号）． ① ② ③ ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图可以围成礼盒_________（填“”或“”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒的展开图？几个礼盒的展开图？并通过画图说明． 53.（24-25·山东期末）在综合实践课上，老师提供了如图所示的长方形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒． 小明按照图方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图所示． （1）若，则_____（用含有的代数式表示）； （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（   ） A. B. C. D. （3）现以小明设计的纸盒展开图（图）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用． 卡纸型号 型号 型号 型号 规格（单位：）                单价（单位：元） （要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案； ②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计； ③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上； ④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，方案合理即可得分，总费用最低的才能得满分； ⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用．）   54.（25-26·全国同步）如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图. （1）写出这个几何体的名称； （2）画出它的一种表面展开图； （3）若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积. 55.（25-26·全国同步）如图，甲是由个棱长为的小正方体搭成的几何体． （1）请在方格纸中分别画出甲的主视图和左视图； （2）该几何体甲的表面积（含下底面）为________. （3）若用个同样的正方体搭几何体乙，使其主视图、左视图与甲完全相同，则的最大值为_______. 56.（25-26·全国同步）把棱长为的若干个小正方体摆放成如图所示的几何体，然后在露出的表面上涂上颜色（不含底面） （1）该几何体中有____小正方体？ （2）其中两面被涂到的有_______ 个小正方体；没被涂到的有 ______个小正方体； （3）求出涂上颜色部分的总面积． 57.（24-25·全国同步）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从处沿侧面爬行到母线的中点处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则，分别位于图②中所示的位置，连接，即是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从处沿表面爬行到侧棱的中点处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 58.（25-26·河南月考）【问题情境】某综合实践小组开展“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是____________；（填序号） 综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图为无盖的长方体纸盒，图为有盖的长方体纸盒）． ①图方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，如果，则长方体纸盒的底面周长为____； ②图方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，如果．则该长方体纸盒的体积为_______； 【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为、、，它缺一个长为，宽为的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为___________． 59.（24-25·辽宁期末）由个相同的小立方块搭出的下列几何体如图所示． （1）从左面看到的图形是 的几何体有______，从上面看到的图形是 的几何体有______，从正面看到的图形是 的几何体有_____；（填序号） （2）如果小立方块棱长都为，求图③这个几何体的表面积． 60.（21-22·广东期末）某工厂计划用张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，每张白板纸可以用三种方法中的一种剪裁，其中方法：一张白板纸裁成个侧面；方法：一张白板纸裁成个侧面与个底面；方法：一张白板纸裁成个侧面与个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按方法剪裁的有张白板纸，按方法剪裁的有张白板纸． （1）按方法剪裁的有     张白板纸．（用含的代数式表示） （2）将张白板纸裁剪完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含的代数式表示，结果要化简） （3）当时，最多可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？ 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上册数学 期末真题专题演练 第一章《丰富的图形世界》 基础知识概况 一、立体图形的认识与分类 1. 立体图形定义 各部分______不都______在同一平面内的图形叫做立体图形（如长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等）。 2. 立体图形分类 按形状分为三类： 柱体（圆柱、棱柱） 、 锥体（圆锥、棱锥） 、 球体（由球面围成） 。 按围成面的类型分为两类： 有曲面（圆柱、圆锥、球） 、 无曲面（棱柱、棱锥） 。 3. 棱柱相关概念 相邻两个面的交线叫做______棱 ； 相邻两个侧面的交线叫做侧棱______。 按底面边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……（正方体、长方体属于______四______棱柱）。 直棱柱的侧面是______长方形（或矩形），所有侧棱长度相等，上、下底面形状和大小完全相同（或全等）______且为多边形。 4. n 棱柱与 n 棱锥的数量关系（n 为底面边数） n 棱柱： 顶点个数： 2n 棱个数： 3n 面个数： n+2 侧棱个数： n 侧面个数： n n 棱锥： 顶点个数： n+1 棱个数： 2n 面个数： n+1 侧棱个数： n 侧面个数： n 二、点、线、面、体的关系 1. 基本构成 包围着体的是______面 ，分为 平面和曲面______； 面与面相交得到______线 ，分为 直线和曲线______； 线与线相交得到______点______，是几何中最基本的图形。 2. 运动关系（核心性质） 点动成______线______； 线动成______面______； 面动成______体______。 三、立体图形的展开图 1. 展开图定义 将立体图形的表面适当剪开，展开后得到的______平面图形______叫做该立体图形的展开图。 2. 常见立体图形展开图 圆柱：2 个______圆（底面） +1个 长方形（或矩形）（侧面）______； 圆锥：1 个______圆（底面） +1个 扇形（侧面） ； 三棱柱：2 个______三角形（底面） +3个 长方形（或矩形）（侧面） ； 三棱锥：4 个______三角形______。 3. 正方体展开图（高频考点） 共______11______种基本形式，分为四类： “1-4-1” 型（6 种） 、 “1-3-2” 型（3 种） 、 “2-2-2” 型（1 种） 、 “3-3” 型（1 种） ； 相对面判断方法：相间排列、Z 字两端（展开图中相对面不相邻）； 禁止类型：不能出现 “凹” 字型、“田” 字型。 四、截面相关知识 1. 截面定义 用一个______平面 去截一个几何体，截出的平面图形叫做截面。 2. 常见几何体的截面形状 正方体的截面可能是： 三角形 、 四边形（或长方形、正方形、梯形等） 、五边形 、 六边形（最多为六边形） ； 圆柱的截面可能是： 长方形 、 圆 、 椭圆 、 拱形 ； 圆锥的截面可能是： 三角形 、 圆 、 椭圆 、 拱形 。 五、三视图（从三个方向看物体） 1. 三视图定义 主视图：从______正面（或正前方）______观察物体得到的平面图形； 左视图：从______左面（或左侧面）______观察物体得到的平面图形； 俯视图：从______上面（或正上方）______观察物体得到的平面图形。 2. 三视图绘制规则（北师大版标准） 主视图与左视图______高平齐______（高度一致）； 主视图与俯视图______长对正______（长度一致）； 左视图与俯视图______宽相等______（宽度一致）。 六、补充：常见几何体的表面积与体积公式 1. 表面积公式： 表面积 = 侧面积 + 底面积 圆柱体： 2πR² + 2πRh（或 2πR (R+h)） （字母含义：R 为底面圆半径，h 为高） 圆锥体： πr² + (nπ(r²+h²))/360（或简化为 “πr² + πrl” ， 为母线长，七年级可暂用前者）（字母含义：r 为底面圆半径，h 为高，n 为圆锥侧面展开图扇形圆心角， 为母线长） 长方体： 2(ab + ah + bh) （字母含义：a 为长，b 为宽，h 为高） 正方体： 6a² （字母含义：a 为棱长） 2. 体积公式 圆柱体： πR²h （字母含义：R 为底面圆半径，h 为高） 圆锥体： πR²h （字母含义：R 为底面圆半径，h 为高） 长方体： abh （字母含义：a 为长，b 为宽，h 为高） 正方体： a³ （字母含义：a 为棱长） 填空题真题演练 41.（25-26·山西期中）如图，用若干个完全相同的小立方块搭一个几何体．请在如图所示的网格中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【解析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据所给的几何体的形状，画出从三个方向看到的图形即可． 【解答】解：如图所示，即为所求． 42.（25-26·山西期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 顶点数 _________ 棱数 _________ 初步探究：填空：__12___，___10__． 根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是__F+V−2__．（用含，的代数式表示） 深入探究：若一个多面体的面数比顶点数小，且有条棱，求这个多面体的面数． 【答案】；；； 【解析】本题主要考查了几何体中点，棱和面的数量关系，正确理解题意是解题的关键． 根据所给几何体的形状即可得到答案； 根据表格中的数据即可得到答案； 根据所求可得，据此求解即可． 【解答】解：由题意得； 由表格中的数据可得． 多面体的面数比顶点数小， ． ， 该多面体一共有有条棱， ， ，即这个多面体的面数为  43.（25-26·全国期中）已知如图，分别是从一几何体的正面、上面、左面看到的形状图：从正面和左面看都是长方形，从上面看是等边三角形． （1）写出这个几何体的名称； （2）若从正面看到的图形的高为，从上面看到的三角形的边长为，求这个几何体的侧面积． 【答案】三棱柱 【解析】（1）只有棱柱的从正面看和从左面看才能出现长方形，根据从上面看是三角形，可得到此几何体为三棱柱； （2）侧面积为个长方形的面积的和． 本题考查从三个方向看几何体判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键． 【解答】（1）解：从正面和左面看都是长方形，从上面看是等边三角形， 这个几何体是三棱柱； （2）解：， 这个几何体的侧面积为． 44.（25-26·安徽月考）如图，上面的平面图形绕直线旋转一周，可以得到下面的立体图形，请用线段把对应的图形连接起来． 【答案】见解答 【解析】本题主要考查了面动成体，半圆绕其直径所在直线旋转一周所得几何体为球，长方形绕其一边所在的直线旋转一周所得几何体为圆柱，直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得的几何体为圆锥，据此求解即可． 【解答】  45.（25-26·辽宁期中）如图、图是由几个大小完全相同的正方体组成的几何体． （1）如图，若将正方体①移走，则变化后的几何体与变化前的几何体从____正面___（填“正面”“上面”或“左面”）看得到的图形没有发生改变； （2）请画出从上面和左面看图中的几何体得到的图形． 【答案】正面 见解答 【解析】（1）根据变化前后，从正面看到的正方形都是有列，最左边个正方形，中间和右边都是个正方形，没有发生改变，即可得出答案； （2）根据从上面和左面看到的正方形行数和个数进行解答即可． 【解答】（1）解：图从正面看有列，最左边个正方形，中间和右边都是个正方形，将正方体①移走后，仍然有列，最左边个正方形，中间和右边都是个正方形，因此将正方体①移走，则变化后的几何体与变化前的几何体从正面看得到的图形没有发生改变，从其他两个方向看均发生变化， 故答案为：正面； （2）解：从上面和左面看图中的几何体得到的图形，如图所示：   46.（25-26·陕西月考）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． （1）这个几何体的名称是_____圆柱_____，这一过程体现了____③______．（填序号） ①点动成线；②线动成面；③面动成体． （2）求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 【答案】圆柱，③ 得到的几何体的体积为或 【解析】（1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱； （2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【解答】（1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：圆柱，③； （2）解：①若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； ②若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； 综上：得到的几何体的体积为或．  47.（25-26·广东月考）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形． （1）你同意____小红____的说法； （2）为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算甲、乙立体图形的体积并求出它们的比值是多少？ 【答案】小红 甲的体积为；乙的体积；它们的比值是 【解析】（1）由旋转后所得的立体图形的形状可判断； （2）由甲图的体积是圆柱体与圆锥体体积的差，乙图的体积是圆柱体与圆锥体体积的和，先分别求解两个立体图形的体积，再求解比值即可． 【解答】（1）解：两个立体图形的体积不相等； 所以同意小红的说法； 故答案为：小红； （2）解：甲的体积：， 乙的体积：， ．   48.（25-26·广东月考）问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． 操作探究： （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的___C___图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． （2）如图是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是__环____． （3）根据图方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．该长方体纸盒的体积为多少？ 【答案】 环 【解析】（1）根据正方体的折叠，可得有个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）根据长方体的体积公式求解即可． 【解答】（1）解：根据题意可得， 图中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒， （2）解：根据题意可得， 与“小”字相对的字是环； （3）解：纸盒底面长为，宽为，高为， ． 答：纸盒的体积为．   49.（25-26·广东月考）如图，这是长方体的表面展开图． （1）折叠成一个长方体，与字母重合的点是哪几个？ （2）若， 求该长方体的表面积和体积． 【答案】与字母重合的点是、 长方体的表面积，体积 【解析】（1）由展开图折叠为长方体可得与与重合的点； （2）由，求得长方体的长，宽，高，再结合长方体的表面积公式与体积公式可得答案． 【解答】（1）解：与字母重合的点是、， （2）解：由题意得：， ， ， ， 长方体的表面积， 长方体的体积． 50.（25-26·辽宁月考）实践准备 李老师带领七一班综合实践小组进行废物再利用的数学制作活动，他们准备用废弃的宣传单制作纸盒（有盖或无盖）． （二）操作探究 （1）如图是“乐研组”制作的一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面分别标有“南，阳，值，得，三，顾”六个字，则“阳”相对面的文字是___得______ （2）“爱数组”准备制作一个无盖的正方体纸盒，则下列___C______（填字母）图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． ．     ． ． ． （三）尝试应用 （3）如图，这是一张长为、宽为的长方形包装纸，现要制成牛奶盒子．上下各留宽度均为的一个长方形，中间剩余部分用于制作牛奶盒身．如图，将牛奶盒身分成四块长方形，其中①③长方形大小相同，②④长方形大小也相同，且②号长方形的宽比①号多．把图中的包装纸折成图中的牛奶盒子，想要装下的牛奶是否能成功？为什么？ 【答案】得 能成功，见解答 【解析】（1）正方体展开图中，相对的面的中间一定隔着一个面，据此特点求解即可； （2）制作一个无盖的正方体纸盒，则该纸盒的展开图有个小正方形，据此可得答案； （3）求出牛奶盒身的宽，再分别求出①和②的宽，进而求出牛奶盒的容积即可得到结论． 【解答】（1）解：由正方体展开图的特点可得“阳”相对面的文字是“得”； （2）制作一个无盖的正方体纸盒， 该纸盒的展开图有个小正方形， 四个选项中只有选项符合题意； （3）能成功，理由如下： 牛奶盒身的宽为， 已知②号长方形的宽比①号多， 则①号长方形的宽为， 所以②号长方形的宽为， 此时牛奶盒子的容积为． ， 装下的牛奶能成功． 51.（25-26·江西月考）如图是一个长方体纸盒的表面展开图，纸片厚度忽略不计，数据如图所示，这个盒子的容积为___6____． 如图是某几何体的展开图． ①这个几何体的名称是__圆柱_____； ②求这个几何体的体积取． 【答案】；①圆柱；② 【解析】本题考查由长方体、圆柱体展开图求其体积．解答此题的关键是根据长方体的表面展开图，得出其长、宽、高的长度，根据圆柱体的底面半径，高；进而根据长方体和圆柱体的体积计算公式进行解答． 【解答】解：根据图形知：长为：；宽为：；高为： 故长方体体积为：， 故答案为：； ①圆柱 ②根据图形知：半径为：，高为： 故圆柱体的体积为： 故答案为：   52.（25-26·山东月考）问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是____①③④_______（填序号）． ① ② ③ ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图可以围成礼盒____B_______（填“”或“”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒的展开图？几个礼盒的展开图？并通过画图说明． 【答案】①③④ ①；②一张卡纸最多可以画出个礼盒的展开图；一张卡纸最多可以画出个礼盒的展开图，图见解析 【解析】（1）逐一判断即可； （2）①由图可知，将展开图折叠后其中一组相对面应有一道横线，即可以围成礼盒；②画图说明即可． 【解答】（1）解：在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是①③④， 故答案为：①③④； （2）①按展开图可以围成礼盒， 故答案为：； ②如图，一张卡纸最多可以画出个礼盒的展开图； 如图，一张卡纸最多可以画出个礼盒的展开图． 53.（24-25·山东期末）在综合实践课上，老师提供了如图所示的长方形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒． 小明按照图方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图所示． （1）若，则__2a___（用含有的代数式表示）； （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（   ） A. B. C. D. （3）现以小明设计的纸盒展开图（图）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用． 卡纸型号 型号 型号 型号 规格（单位：）                单价（单位：元） （要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案； ②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计； ③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上； ④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，方案合理即可得分，总费用最低的才能得满分； ⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用．） 【答案】 C 元，填表见解析 【解析】（1）由折叠和题意可知，，，由四边形是正方形，得到，即得，进而即可求解； 根据几何体的展开图即可求解； 由题意可得，每张型号卡纸可制作个正方体，每张型号卡纸可制作个正方体，每张型号卡纸可制作个正方体，据此即可求解； 本题考查了几何体的展开与折叠，正确识图是解题的关键． 【解答】（1）解：如图，由折叠和题意可知，，, 四边形是正方形， ，即， ，即， ， ， ， 故答案为：； （2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反， 选项符合题意， 故选：； （3）解：由可得，卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为： 所以型号卡纸，每张卡纸可制作个正方体，如图： 型号卡纸，每张这样的卡纸可制作个正方体，如图： 型号卡纸，每张这样的卡纸可制作个正方体，如图： 所以可选择型号卡纸张，型号卡纸张，型号卡纸张， 则可制作正方体礼品盒个， 所以所用卡纸总费用为：元， 填表如下： 卡纸型号 型号 型号 型号 需卡纸的数量（单位：张） 所用卡纸总费用（单位：元）   54.（25-26·全国同步）如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图. （1）写出这个几何体的名称； （2）画出它的一种表面展开图； （3）若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积. 【答案】正三棱柱 图见解析 ． 【解析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可以得到此几何体为正三棱柱； （2）表面展开图应会出现三个长方形，两个三角形； （3）侧面积为个长方形，它的长和宽分别为和，求出一个长方形的面积，再乘以即可解答． 【解答】（1）解：这个几何体的名称是正三棱柱； （2）表面展开图为：（答案不唯一，画出其中正确的一种即可） （3）， 这个几何体的侧面积为．  55.（25-26·全国同步）如图，甲是由个棱长为的小正方体搭成的几何体． （1）请在方格纸中分别画出甲的主视图和左视图； （2）该几何体甲的表面积（含下底面）为___22_____. （3）若用个同样的正方体搭几何体乙，使其主视图、左视图与甲完全相同，则的最大值为_____7___. 【答案】图略 22 7 【解析】此题暂无解析 【解答】（1）图略 （2）22 （3）7  56.（25-26·全国同步）把棱长为的若干个小正方体摆放成如图所示的几何体，然后在露出的表面上涂上颜色（不含底面） （1）该几何体中有___14____小正方体？ （2）其中两面被涂到的有____4___ 个小正方体；没被涂到的有 __1_____个小正方体； （3）求出涂上颜色部分的总面积． 【答案】 ， 【解析】（1）该几何体中正方体的个数为最底层的个，加上第二层的个，再加上第三层的个 （2）根据图中小正方体的位置解答即可 （3）涂上颜色部分的总面积可分上面，前面，后面，左面，右面，相加即可． 【解答】（1）解：该几何体中正方体的个数为个； （2）根据图中小正方体的位置可知：最底层外边中间的小正方体被涂到个面，共个，只有最底层正中间的小正方体没被涂到， 故答案为；； （3）先算侧面--底层个小面； 中层个小面； 上层个小面； 再算上面--上层个 中层个（正方体是可以移动的，不管放在哪里，它压住的面积总是它的底面积，也就是一个，所以中层是减个）底层个， 总共个小面． 涂上颜色部分的总面积 57.（24-25·全国同步）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从处沿侧面爬行到母线的中点处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则，分别位于图②中所示的位置，连接，即是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从处沿表面爬行到侧棱的中点处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【答案】最短路线有条，作图见解析． 【解析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【解答】 解：将正方体的面展开，作出线段， 经过测量比较可知，最短路线有条， 如图所示： 58.（25-26·河南月考）【问题情境】某综合实践小组开展“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______①③④_____________；（填序号） 综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图为无盖的长方体纸盒，图为有盖的长方体纸盒）． ①图方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，如果，则长方体纸盒的底面周长为__(4a−8b)___； ②图方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，如果．则该长方体纸盒的体积为_____1000__； 【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为、、，它缺一个长为，宽为的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为________58_____． 【答案】①③④；①；②； 【解析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握正方体、长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； ①根据图可折成的盒子的底面是边长为的正方形即可； ②分别求出所折成的长方体的长、宽、高，再根据长方体体积的计算方法进行计算即可； 根据“没有剪开的棱越短越好，展开图的周长越大”画出相应的图形，再进行计算即可． 【解答】解：根据正方体的表面展开图的特征可知，①③④可以折成无盖的正方体， 故答案为：①③④； ①图所折成的盒子的底面是边长为的正方形，因此长方体纸盒的底面周长， 故答案为：； ②由题意可知，所作出的长方体的长为，宽为，高为， 所以体积为， 故答案为：； 要使长方体表面展开图的外围周长最大，则剪开的棱越长越好，即没有剪开的棱越短越好，如图所示，其展开图的周长最大， 所以最大周长为， 故答案为：58  59.（24-25·辽宁期末）由个相同的小立方块搭出的下列几何体如图所示． （1）从左面看到的图形是 的几何体有___①②⑤___，从上面看到的图形是 的几何体有___④___，从正面看到的图形是 的几何体有__①③____；（填序号） （2）如果小立方块棱长都为，求图③这个几何体的表面积． 【答案】①②⑤，④，①③ 【解析】（1）分别画出个几何体从不同方向看得到的图形，由此即可得； （2）根据该几何体的表面正方形的个数求解即可得． 【解答】（1）解：图①从左面、上面、正面看得到的图形如下： 图②从左面、上面、正面看得到的图形如下： 图③从左面、上面、正面看得到的图形如下： 图④从左面、上面、正面看得到的图形如下： 图⑤从左面、上面、正面看得到的图形如下： 则从左面看到的图形是 的几何体有①②⑤，从上面看到的图形是 的几何体有④，从正面看到的图形是 的几何体有①③； 故答案为：①②⑤，④，①③． （2）解：图③这个几何体的表面积为， 答：图③这个几何体的表面积为． 60.（21-22·广东期末）某工厂计划用张白板纸制作某种型号的长方体纸箱．如图，每张白板纸可以用三种方法中的一种剪裁，其中方法：一张白板纸裁成个侧面；方法：一张白板纸裁成个侧面与个底面；方法：一张白板纸裁成个侧面与个底面．且四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按方法剪裁的有张白板纸，按方法剪裁的有张白板纸． （1）按方法剪裁的有     张白板纸．（用含的代数式表示） （2）将张白板纸裁剪完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含的代数式表示，结果要化简） （3）当时，最多可以制作该种型号的长方体纸箱多少个？ 【答案】 一共可以裁出的侧面个数为个，一共可以裁出的底面个数为个 最多可以制作该种型号的长方体纸箱个 【解析】（1）根据题意用张白板纸减去按方法剪裁的张白板纸，再减去按方法剪裁的有张白板纸即可； （2）由题意把张白板纸，张白板纸，张白板纸可以裁剪出的侧面个数和底面个数分别相加即可； （3）由题意把代入中求出的侧面和底面的代数式，即可解答．解：由题意得： 按方法剪裁的有张白板纸， 故答案为： 【解答】(1)①②⑤，④，①③; 由题意得： 张白板纸可以裁剪出个侧面， 张白板纸可以裁剪出个侧面，个底面， 张白板纸可以裁剪出个侧面，个底面， 所以：一共可以裁出的侧面个数为： （个）， 一共可以裁出的底面个数为： （个）， 答：一共可以裁出的侧面个数为个，一共可以裁出的底面个数为个. ， 一共可以裁出的侧面个数为： （个）， 一共可以裁出的底面个数为： （个）， 四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， 最多可以制作该种型号的长方体纸箱个， 答：最多可以制作该种型号的长方体纸箱个． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $