重庆市铜梁区关溅初级中学校2024-2025学年八年级下学期期末数学模拟试卷

2024-2025学年重庆市铜梁区关溅中学八年级（下）期末数学模拟试卷 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分．） 1．（4分）使有意义的x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．全体实数 2．（4分）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（　　） A． B．6、8、10 C．5、12、13 D． 3．（4分）估计的运算结果最接近下列哪个整数（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（4分）下列对于一次函数y＝﹣3x+2的描述错误的是（　　） A．y随x的增大而减小 B．图象经过点（2，4） C．图象与直线y＝3x相交 D．图象可由直线y＝﹣3x向上平移2个单位得到 5．（4分）在一次演讲比赛中，参赛的10名学生成绩统计如图所示，下列说法中错误的是（　　） A．众数是90 B．中位数是87.5分 C．平均数是89 D．极差是15分 6．（4分）如图是一次函数y＝kx+b的图象，当y＜﹣2时，x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x＞3 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 7．（4分）下列命题中，错误的是（　　） A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 8．（4分）小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆读书报后按原路回家．如图，反映了小明离家的距离y与时间t之间的对应关系．下列描述错误的（　　） A．小明家距图书馆3km B．小明在图书馆阅读时间为2h C．小明在图书馆读书报和往返总时间不足4h D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快 9．（4分）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形…如此下去，则第9个图中共有正方形的个数为（　　） A．19个 B．22个 C．25个 D．28个 10．（4分）已知第一个有序单项式串：1，x，y，将该单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个相邻单项式的中间，可以得到第二个单项式串：1，x，x，xy，y，对得到的新单项式串重复这样的操作…以此类推，关于操作后的单项式串．给出下列说法： ①第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为5； ②若x，y均为整数，且使得第二个单项式串的和等于5，那么满足条件的x，y一共有7种； ③若y＝1，第2025个单项式串中，有4049个x和4046个x2； 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分。） 11．（4分）在平面直角坐标系中，点P（1，2）到原点的距离是 　 　 ． 12．（4分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m的图象向上平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为 　 　 ． 13．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣x+2的图象交于点P（﹣1，3），则关于x的一元一次方程kx+b＝﹣x+2的解为　 　 ． 14．（4分）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接CE．若正方形ABCD的面积为6，EF＝BF，则CE的长为 　 　 ． 15．（4分）如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，BC′＝2，则AD的长为 　 　 ． 16．（4分）对于任意一个四位数m，若它的个位数字不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数m为“顺利数”．将“顺利数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换得m'，并记．例如：4512不是“顺利数”，因为1≠0，4﹣2≠5﹣1；5621是“顺利数”，因为1≠0，5﹣1＝6﹣2，则F（5621）＝　 　 ．若A、B都为“顺利数”，记A的千位数字与个位数字分别为x、y，B的千位数字与个位数字分别为a、b（其中1≤y＜x≤9，1≤a、b≤9，x、y、a、b均为整数）．若F（A）能被8整除，F（A）+F（B）＝5x+15y+15a﹣12b+ab，则F（B）所有可能的值的和为　 　 ． 三、解答题：（本大题共9个小题，第17、18小题每小题8分，其余每小题8分，共86分）。 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，用尺规过点A作BC的垂线，交BC于点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF＝AE，求证：平行四边形ABCD是菱形． 证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC， ∴∠AFB＝90°，∠AED＝90°， ∴　 　 ①． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴　 　 ②． 在△ABF与△ADDE中， ∴△ABF≌△ADE（AAS）． ∴　 　 ④． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形． 小月进一步研究发现，若过这个顶点作两条对边的垂线，与两条对边的延长线相交时，上述结论仍然成立．因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点到这两边的 　 　 ⑤，则可证明该平行四边形是菱形． 19．（10分）先化简再求值：，其中x是从0，﹣1，﹣2中选取的一个合适的数． 20．（10分）某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 七八年级教师竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 8.5 8 8 45% 八年级 8.5 a b 55% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ 　 　 b＝ 　 　 ； （2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异． 21．（10分）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝5，动点P从点B出发，沿折线B→C→A运动．到达点A停止运动，设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围，并在平面直角坐标系中画出函数y的图象； （2）根据函数图象，写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当y＝3时x的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 22．（10分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小文再网上开设相关周边专卖店．一次，小文发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）求A、B两款的进货单价分别是多少元？ （2）小文决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小文打算购进A、B两款玩偶共75个，A款的数量不小于B款的一半，且B款的数量不少于45个，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小文获得的总利润最高？最高总利润为多少？ 23．（10分）如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西60°方向，E在A的北偏东45°方向，且在D的北偏西30°方向，AB＝100米，DE＝400米．（参考数据：1.4，1.7，2.5） （1）求BD的长度（结果保留根号）； （2）甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：A﹣B﹣C﹣D，乙选择的路线为：A﹣E﹣D．请计算说明谁选择的路线较近？ 24．（10分）如图1，直线l1：y＝2x+6交x轴、y轴分别于点A、B，直线l2：y＝kx+3与x轴交于点C，与直线l1交于点D，AC＝6． （1）求直线l2的解析表达式； （2）点P为射线DC上的一点，若S△PBDS△ACD，在x轴上存在一点E，使DE+EP最小，求点E坐标和最小值； （3）如图2，将直线l1向上平移3个单位得到直线l3，在l3上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标． 25．（10分）已知，在▱ABCD中，点E在AD边上，过点E作EF⊥CD于点F，点G在BC边上，H在AB边上，且△EGH是等边三角形，连接AG、FG． （1）如图1，若EG∥AB，EH＝2EF，FG，求EF的长； （2）如图2，若EG平分∠AEF，∠EGF＝2∠GFC＝2∠AGH，且FG⊥HG，求证：2AH+AE＝BC． 2024-2025学年重庆市铜梁区关溅中学八年级（下）期末数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B B C C D C C 一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分．） 1．（4分）使有意义的x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．全体实数 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可． 【解答】解：使有意义的x的取值范围是x﹣5≥0，即x≥5， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 2．（4分）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（　　） A． B．6、8、10 C．5、12、13 D． 【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、12+（）2＝（）2，能够成三角形，故此选项错误； B、62+82＝102，能构成直角三角形，故此选项错误； C、52+122＝132，能构成直角三角形，故此选项错误； D、（）2+22≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3．（4分）估计的运算结果最接近下列哪个整数（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】运用二次根式乘法和算术平方根知识进行化简、估算． 【解答】解：211， ∵， ∴4.55， ∴接近的整数是5， ∴1接近的整数是：5﹣1＝4， 即的运算结果最接近整数4， 故选：B． 【点评】此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识． 4．（4分）下列对于一次函数y＝﹣3x+2的描述错误的是（　　） A．y随x的增大而减小 B．图象经过点（2，4） C．图象与直线y＝3x相交 D．图象可由直线y＝﹣3x向上平移2个单位得到 【分析】根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与直线的交点以及一次函数图象与几何变换进行分析判断． 【解答】解：A、由于一次函数y＝﹣3x+2中的k＝﹣3＜0，所以y随x的增大而减小，故不符合题意． B、令x＝2，则y＝﹣6+2＝﹣4，即一次函数y＝﹣3x+2图象经过点（2，﹣4），故符合题意． C、直线y＝﹣3x+2中的k＝﹣3，直线y＝3x中的k＝3，故两直线不平行，则相交，故不符合题意． D、直线y＝﹣3x向上平移2个单位得到y＝﹣3x+2，故不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 5．（4分）在一次演讲比赛中，参赛的10名学生成绩统计如图所示，下列说法中错误的是（　　） A．众数是90 B．中位数是87.5分 C．平均数是89 D．极差是15分 【分析】分别求出数据的众数、中位线、平均数、极差，判断即可． 【解答】解：A、90出现5次，出现的次数最多， 则众数是90，本选项说法正确，不符合题意； B、中位数是90分，故本选项说法错误，符合题意； C、平均数为：（80+85×2+90×5+95×2）＝89，本选项说法正确，不符合题意； D、极差为：95﹣80＝15（分），本选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是众数、中位线、平均数、极差，掌握它们的概念和计算公式是解题的关键． 6．（4分）如图是一次函数y＝kx+b的图象，当y＜﹣2时，x的取值范围是（　　） A．x＜3 B．x＞3 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 【分析】直接利用函数图象结合一次函数增减性得出答案． 【解答】解：如图所示：当y＝﹣2时，x＝﹣1， 则当y＜﹣2时，x的取值范围是：x＜﹣1． 故选：C． 【点评】此题主要考查了一次函数的性质，正确利用函数图象分析是解题关键． 7．（4分）下列命题中，错误的是（　　） A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】根据矩形、正方形的性质、菱形、平行四边形的判定定理判断． 【解答】解：A、矩形的对角线相等，命题正确，不符合题意； B、正方形的对角线互相垂直平分，命题正确，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项命题错误，符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8．（4分）小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆读书报后按原路回家．如图，反映了小明离家的距离y与时间t之间的对应关系．下列描述错误的（　　） A．小明家距图书馆3km B．小明在图书馆阅读时间为2h C．小明在图书馆读书报和往返总时间不足4h D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项的说法是否正确． 【解答】解：由图象知： A．小明家距图书馆3km，描述正确，故此选项不符合题意； B．小明在图书馆阅读时间为3﹣1＝2（小时），描述正确，故此选项不符合题意； C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h，描述正确，故此选项不符合题意； D．因为小明去图书馆需要1小时，回来不足1小时，所以小明去图书馆的速度比回家时的速度慢，描述错误，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用图象来解答． 9．（4分）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形…如此下去，则第9个图中共有正方形的个数为（　　） A．19个 B．22个 C．25个 D．28个 【分析】依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图形中正方形的总个数为：1＝1×3﹣2； 第②个图形中正方形的总个数为：4＝2×3﹣2； 第③个图形中正方形的总个数为：7＝3×3﹣2； 第④个图形中正方形的总个数为：10＝4×3﹣2； …， 依次类推，第n个图形中正方形的总个数为（3n﹣2）个， 当n＝9时， 3n﹣2＝3×9﹣2＝25（个）， 即第9个图形中正方形的总个数为25个． 故选：C． 【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现正方形的个数依次增加3是解题的关键． 10．（4分）已知第一个有序单项式串：1，x，y，将该单项式串中所有相邻的两个单项式求乘积后，放到原来两个相邻单项式的中间，可以得到第二个单项式串：1，x，x，xy，y，对得到的新单项式串重复这样的操作…以此类推，关于操作后的单项式串．给出下列说法： ①第四个单项式串中，次数最高的单项式的次数为5； ②若x，y均为整数，且使得第二个单项式串的和等于5，那么满足条件的x，y一共有7种； ③若y＝1，第2025个单项式串中，有4049个x和4046个x2； 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】利用单项式乘以单项式的运算性质和数字变化的规律对每个说法进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：①由题意得：第一个有序单项式串的次数最高的单项式为x，y，次数最高的单项式的次数为1， 第二个有序单项式串的次数最高的单项式为xy，次数最高的单项式的次数为2， 第三个有序单项式串的次数最高的单项式为x2y或xy2，次数最高的单项式的次数为3， 第四个有序单项式串的次数最高的单项式为x3y2或x2y3，次数最高的单项式的次数为5， ∴①的说法正确； ②由题意得：第二个单项式串为：1，x，x，xy，y， ∵第二个单项式串的和等于5， ∴1+2x+xy+y＝5， ∴y． ∵x，y均为整数， ∴x＝﹣7，﹣4，﹣3，﹣，2，0，1，2，5， 对应的y值为：﹣3，﹣4，﹣5，﹣8，4，1，0，﹣1． ∴满足条件的x，y一共有8对． ∴②的说法不正确； ③若y＝1，第一个有序单项式串有1个x，0个x2， 第二个有序单项式串有3个x，0个x2， 第三个有序单项式串有5个x，2个x2， 第四个有序单项式串有7个x，4个x2， 第五个有序单项式串有9个x，6个x2， •••， 第n个有序单项式串有（2n﹣1）个x，2（n﹣2）个x2， ∴第2025个单项式串中，有2×2025﹣1＝4049个x和2（2025﹣2）＝4046个x2． ∴③的说法正确． ∴正确的个数是2个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了单项式乘以单项式的运算性质和数字变化的规律，准确找出数字变化的规律是解题的关键． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分。） 11．（4分）在平面直角坐标系中，点P（1，2）到原点的距离是 　　 ． 【分析】直接利用勾股定理求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（1，2）到原点的距离是， 故答案为：． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“由两点的坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键． 12．（4分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m的图象向上平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为 　﹣3　 ． 【分析】根据平移的规律得到平移后直线的解析式为y＝2x+m+3，然后把原点的坐标代入求值即可． 【解答】解：将一次函数y＝2x+m的图象向上平移3个单位后，得到y＝2x+m+3， 把（0，0）代入，得到：0＝m+3， 解得m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键． 13．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣x+2的图象交于点P（﹣1，3），则关于x的一元一次方程kx+b＝﹣x+2的解为x＝﹣1　 ． 【分析】依据题意，由两个一次函数的交点的横坐标为相应二元一次方程的解，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣x+2的图象交于点P（﹣1，3）， ∴根据两个一次函数的交点的横坐标为相应一元一次方程的解，则一元一次方程kx+b＝﹣x+2的解为x＝﹣1． 故答案为：x＝﹣1． 【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、一次函数与一元一次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 14．（4分）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接CE．若正方形ABCD的面积为6，EF＝BF，则CE的长为 　　 ． 【分析】根据四边形EFGH是正方形得EH＝EF，∠EHC＝∠DHC＝90°，根据全等三角形的性质得BF＝DH，进而根据EF＝BF得EH＝DH，由此依据“SAS”判定△EHC和△DHC全等得CE＝CD，再根据正方形ABCD的面积为6得CD即可得出CE的长． 【解答】解：∵四边形EFGH是正方形， ∴EH＝EF，∠EHC＝∠DHC＝90°， 由全等三角形的性质得：BF＝DH， ∵EF＝BF， ∴EH＝DH， 在△EHC和△DHC中， ， ∴△EHC≌△DHC（SAS）， ∴CE＝CD， ∵四边形ABCD是正方形，且面积为6， ∴CD2＝6， ∴CD， ∴CE＝CD． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，你姐理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 15．（4分）如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，连接CC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，BC′＝2，则AD的长为 　3　 ． 【分析】根据翻折的性质和三角形的中位线可以得到OD的长，然后根据全等三角形的判定和性质可以得到AO的长，从而可以求得AD的长． 【解答】解：由题意可得， △DCA≌△DC′A，OC＝OC′，∠COD＝∠C′OD＝90°， ∴点O为CC′的中点， ∵点D为BC的中点， ∴OD是△BCC′的中位线， ∴ODBC′，OD∥BC′， ∴∠COD＝∠EC′B＝90°， ∵AE＝BE，BC′＝2， ∴OD＝1， 在△EC′B和△EOA中， ， ∴△EC′B≌△EOA（AAS）， ∴BC′＝AO， ∴AO＝2， ∴AD＝AO+OD＝2+1＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查翻折变换、三角形的中位线、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出DO和AO的长，利用数形结合的思想解答． 16．（4分）对于任意一个四位数m，若它的个位数字不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数m为“顺利数”．将“顺利数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换得m'，并记．例如：4512不是“顺利数”，因为1≠0，4﹣2≠5﹣1；5621是“顺利数”，因为1≠0，5﹣1＝6﹣2，则F（5621）＝　44　 ．若A、B都为“顺利数”，记A的千位数字与个位数字分别为x、y，B的千位数字与个位数字分别为a、b（其中1≤y＜x≤9，1≤a、b≤9，x、y、a、b均为整数）．若F（A）能被8整除，F（A）+F（B）＝5x+15y+15a﹣12b+ab，则F（B）所有可能的值的和为　﹣22　 ． 【分析】对于F（5621），直接根据新定义求解即可；对于F（B）：先根据题意，得出F（A）＝11（x﹣y），F（B）＝11（a﹣b），再将F（A）+F（B）＝5x+15y+15a﹣12b+ab化简，根据F（A）能被8整除，得出x和y的值，最后进行分类讨论，即可求解． 【解答】解：； 设A的百位数为m，十位数为n， 则A＝1000x+100m+10n+y， ∴A′＝1000y+100n+10m+x， ∴A﹣A′＝1000x+100m+10n+y﹣（1000y+100n+10m+x） ＝999（x﹣y）+90（m﹣n）， ∵A为“顺利数”， ∴x﹣y＝m﹣n， ∴A﹣A′＝1089（x﹣y）， ∴， 同理可得：F（B）＝11（a﹣b）， ∴F（A）+F（B）＝5x+15y+15a﹣12b+ab， 整理得：6x﹣26y＝4a﹣b+ab， ∵F（A）能被8整除，1≤x＜y≤9，x、y均为非0整数， ∴x﹣y＝8， ∴x＝9，y＝1， ∴6×9﹣26×1＝4a﹣b+ab，整理得：4a﹣b+ab＝28， ∴（a﹣1）（b+4）＝24， ∵1≤a、b≤9，a、b均为整数， ∴0＜a﹣1≤8，4＜b+4≤13 （a﹣1）（b+4）＝24＝2×12＝4×6＝6×4＝3×8， ∴，解得，此时F（B）＝11（a﹣b）＝﹣55， 或，解得，此时F（B）＝11（a﹣b）＝33， 或，解得（不合题意，舍去）， 或，解得，此时F（B）＝11（a﹣b）＝0， ∴所有F（B）的可能值的和为﹣22， 故答案为：44；﹣22． 【点评】本题以新定义为背景，考查了整式的运算，因式分解，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给“顺利数”的定义． 三、解答题：（本大题共9个小题，第17、18小题每小题8分，其余每小题8分，共86分）。 17．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简每一项，然后进行乘除运算，最后再合并同类二次根式； （2）先进行除法运算和用完全平方公式展开，再合并同类二次根式． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18．（8分）爱学习的小月在学习平行四边形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是菱形的方法，她的想法是过平行四边形的一个顶点向两条对边作垂线，如果这个顶点到这两边的距离相等，则可证明该平行四边形是菱形．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，用尺规过点A作BC的垂线，交BC于点F（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥CD于点E，AF⊥BC于点F，AF＝AE，求证：平行四边形ABCD是菱形． 证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC， ∴∠AFB＝90°，∠AED＝90°， ∴　∠AFB＝∠AED ①． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴　∠B＝∠D ②． 在△ABF与△ADDE中， ∴△ABF≌△ADE（AAS）． ∴AB＝AD ④． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形． 小月进一步研究发现，若过这个顶点作两条对边的垂线，与两条对边的延长线相交时，上述结论仍然成立．因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点到这两边的 　距离相等　 ⑤，则可证明该平行四边形是菱形． 【分析】（1）利用尺规根据要求作出图形； （2）证明△ABF≌△ADE（AAS），推出AB＝AD可得结论． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵AF⊥BC，AE⊥DC， ∴∠AFB＝90°，∠AED＝90°， ∴∠AFB＝∠AED①． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B＝∠D②． 在△ABF与△ADDE中， ， ∴△ABF≌△ADE（AAS）． ∴AB＝AD④． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴平行四边形ABCD是菱形． 小月进一步研究发现，若过这个顶点作两条对边的垂线，与两条对边的延长线相交时，上述结论仍然成立．因此，小月得出结论：过平行四边形一个顶点向两条对边作垂线，与两条对边（或对边延长线）相交，如果这个顶点到这两边的距离相等⑤，则可证明该平行四边形是菱形． 故答案为：∠AFB＝∠AED，∠B＝∠D，AF＝AE，AB＝AD，距离相等． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 19．（10分）先化简再求值：，其中x是从0，﹣1，﹣2中选取的一个合适的数． 【分析】先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分，再算加法，最后从0，﹣1，﹣2中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： • • • ， ∵x＝0或﹣2时，原分式无意义， ∴x＝﹣1， 当x＝﹣1时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20．（10分）某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 七八年级教师竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 8.5 8 8 45% 八年级 8.5 a b 55% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ 　9　 b＝ 　9　 ； （2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异． 【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到a、b的值． （2）计算出成绩达到8分及以上的人数的频率即可求解． （3）根据优秀率进行评价即可． 【解答】解：（1）∵八年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10． ∴中位数a＝9． 根据扇形统计图可知D类是最多的，故b＝9． 故答案为：9，9． （2）该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数估计为120102（人）； （3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%、55%． 故八年级的教师学习党史的竞赛成绩更优异． 【点评】本题考查中位数、众数定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合中位数、众数进行作答． 21．（10分）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝5，动点P从点B出发，沿折线B→C→A运动．到达点A停止运动，设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围，并在平面直角坐标系中画出函数y的图象； （2）根据函数图象，写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当y＝3时x的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 【分析】（1）分两种情况讨论，一是点P在BC边上，由∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，点P的运动路程为x，得AC⊥BP，BP＝x，且0＜x≤5，由S△APBBP•AC，求得y＝2x；二是点P在AC边上，则AP＝9﹣x，且5＜x＜9，因为BC⊥AP，所以S△APBAP•BC，求得yx，所以y，在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象即可； （2）观察函数图象可知，当x＝5时，y取得最大值，最大值为10；0＜x≤5时，y随x的增大而增大；当5＜x＜9时，y随x的增大而减小，写出其中一条性质即可； （3）观察函数图象可知，y＝3时，x的值为1.5或7.8． 【解答】解：（1）y与x之间的函数表达式为y， 理由：如图1，点P在BC边上， ∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，点P的运动路程为x， ∴AC⊥BP，BP＝x，且0＜x≤5， ∴S△APBBP•AC4x＝2x， ∵S△APB＝y， ∴y＝2x（0＜x≤5）； 如图2，点P在AC边上， ∵AC+BC＝4+5＝9， ∴AP＝9﹣x，且5＜x＜9， ∵BC⊥AP， ∴S△APBAP•BC5（9﹣x）x， ∴yx（5＜x＜9）， 综上所述，y与x之间的函数表达式为y， 画出函数y的图象如图3所示． （2）当x＝5时，y取得最大值，最大值为10． 注：答案不唯一． （3）当y＝3时，x的值为1.5或7.8． 【点评】此题重点考查一次函数的图象与性质、三角形的面积公式、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地求出y与x之间的函数表达式是解题的关键． 22．（10分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小文再网上开设相关周边专卖店．一次，小文发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）求A、B两款的进货单价分别是多少元？ （2）小文决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小文打算购进A、B两款玩偶共75个，A款的数量不小于B款的一半，且B款的数量不少于45个，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小文获得的总利润最高？最高总利润为多少？ 【分析】（1）设A款的进货单价是x元，则B款的进货单价是（x+5）元，根据题意列分式方程并求解即可； （2）设小文购进A款m个，则购进B款（75﹣m）个，根据题意列关于m的一元一次不等式组并求其解集，设小文获得的总利润为W元，写出W关于m的函数表达式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值及75﹣m的值即可． 【解答】解：（1）设A款的进货单价是x元，则B款的进货单价是（x+5）元． 根据题意，得， 解得x＝10， 经检验，x＝10是所列分式方程的根， 10+5＝15（元）． 答：A款的进货单价是10元，B款的进货单价是15元． （2）设小文购进A款m个，则购进B款（75﹣m）个． 根据题意，得， 解得25≤m≤30， 设小文获得的总利润为W元，则W＝（12﹣10）m+（20﹣15）（75﹣m）＝﹣3m+375， ∵﹣3＜0， ∴W随m的减小而增大， ∵25≤m≤30， ∴当m＝25时W值最大，W最大＝﹣3×25+375＝300， 75﹣25＝50（个）． 答：小文购进A款25个、B款50个时获得的总利润最高，最高总利润为300元． 【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，掌握分式方程和一元一次不等式组的解法、一次函数的增减性是解题的关键． 23．（10分）如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西60°方向，E在A的北偏东45°方向，且在D的北偏西30°方向，AB＝100米，DE＝400米．（参考数据：1.4，1.7，2.5） （1）求BD的长度（结果保留根号）； （2）甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：A﹣B﹣C﹣D，乙选择的路线为：A﹣E﹣D．请计算说明谁选择的路线较近？ 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出AD的长，再根据AB的长，即可求得BD的长； （2）根据题意和题目中的数据，先计算甲和乙走的路线的长，然后作差即可． 【解答】解：（1）作EF⊥AD于点F，如图， 由已知可得，∠EAF＝45°，∠EFA＝90°，∠EFD＝90°，∠FED＝30°，DE＝400米， ∴DF＝200米，EF＝200米，∠EAF＝∠AEF＝45°， ∴EF＝AF＝200米， ∵AB＝100米， ∴BD＝AD﹣AB＝AF+DF﹣AB＝200200﹣100＝（200100）（米）； （2）由（1）知， BD＝（200100）米， ∵∠CBD＝90°，∠CDB＝30°， ∴BC＝（200）米，CD＝（400）米， ∴甲选走的路线长为：AB+BC+CD＝100+（200）+（400）＝（700+100）米； 由（1）知：EF＝AF＝200米，∠EAF＝90°， ∴AE＝200米， ∵DE＝400米， ∴乙选走的路线长为：AE+DE＝（200400）米， 甲乙路线之差为：（700+100）﹣（200400） ＝700+100200400 ＝300+100200 ≈﹣16.6＜0， ∴A选择的路线较近． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24．（10分）如图1，直线l1：y＝2x+6交x轴、y轴分别于点A、B，直线l2：y＝kx+3与x轴交于点C，与直线l1交于点D，AC＝6． （1）求直线l2的解析表达式； （2）点P为射线DC上的一点，若S△PBDS△ACD，在x轴上存在一点E，使DE+EP最小，求点E坐标和最小值； （3）如图2，将直线l1向上平移3个单位得到直线l3，在l3上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标． 【分析】（1）求出A点坐标，再求C点坐标，将C点代入y＝kx+3中，求出k的值，即可求函数的解析式； （2）求出S△PBD＝4，设直线y＝﹣x+3与y轴的交点为F，则F（0，3），则3（xP+1）＝4，可求P（，），作D点关于x轴的对称点D'，则D'（﹣1，﹣4），连接PD'与x轴交于E点，连接DE，当D'、E、P三点共线时，DE+EP的值最小，求得DE+EP的最小值为，再求直线D'P的解析式为y＝2x﹣2，则E（1，0）； （3）设M（m，2m+9），N（0，n），根据对角线分三种情况讨论：当BC为平行四边形的对角线时，N（0，﹣9）；当BM为平行四边形的对角线时，N（0，21）；当BN为平行四边形的对角线时，N（0，﹣3）． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝6， ∴B（0，6）， 当y＝0时，x＝﹣3， ∴A（﹣3，0）， ∴OA＝3， ∵AC＝6， ∴OC＝3， ∴C（3，0）， ∴3k+3＝0， 解得k＝﹣1， ∴y＝﹣x+3； （2）当﹣x+3＝2x+6时，解得x＝﹣3， ∴D（﹣1，4）， ∴S△ACD12， ∵S△PBDS△ACD， ∴S△PBD＝4， 设直线y＝﹣x+3与y轴的交点为F，则F（0，3）， ∴3（xP+1）＝4， 解得xP， ∴P（，）， 作D点关于x轴的对称点D'，则D'（﹣1，﹣4）， 连接PD'与x轴交于E点，连接DE， ∴DE＝D'E， ∴DE+EP＝D'E+EP≥D'P， 当D'、E、P三点共线时，DE+EP的值最小， ∴D'P， ∴DE+EP的最小值为， 设直线D'P的解析式为y＝k'x+b， ∴， 解得， ∴y＝2x﹣2， ∴E（1，0）； （3）将直线l1向上平移3个单位得到直线l3， ∴直线l3的解析式为y＝2x+9， 设M（m，2m+9），N（0，n）， 当BC为平行四边形的对角线时，m＝3，2m+9+n＝6， 解得n＝﹣9， ∴N（0，﹣9）； 当BM为平行四边形的对角线时，m＝3，6+2m+9＝n， 解得n＝21， ∴N（0，21）； 当BN为平行四边形的对角线时，3+m＝0，6+n＝2m+9， 解得n＝﹣3， ∴N（0，﹣3）； 综上所述：N点坐标为（0，﹣9）或（0，21）或（0，﹣3）． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 25．（10分）已知，在▱ABCD中，点E在AD边上，过点E作EF⊥CD于点F，点G在BC边上，H在AB边上，且△EGH是等边三角形，连接AG、FG． （1）如图1，若EG∥AB，EH＝2EF，FG，求EF的长； （2）如图2，若EG平分∠AEF，∠EGF＝2∠GFC＝2∠AGH，且FG⊥HG，求证：2AH+AE＝BC． 【分析】（1）利用平行关系和等边三角形的性质构建直角三角形，通过勾股定理求解； （2）通过作辅助线构造全等三角形和等腰三角形，利用相关性质进行线段之间的转化证明． 【解答】（1）解：∵EG∥AB，四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴EG∥CD． 又∵EF⊥CD， ∴EF⊥EG． ∵△EGH是等边三角形， ∴EH＝ EG， 又∵EH＝2EF， 设EF＝x，那么EG＝2x． 在Rt△EGF中，根据勾股定理EG2+EF2＝FG2． 将EF＝x，EG＝2x代入勾股定理得：． 解得x＝1 或x＝﹣1（线段长度不能为负舍去）． ∴EF＝1． （2）证明：过点G作GM∥AB交AD于点M，交EF于点N． ∵AB∥CD， ∴GM∥CD， 则∠FGM＝∠GFC． ∵∠EGF＝2∠GFC， ∴∠MGE ＝∠GFC＝∠FGM． 又∵∠AGH＝∠GFC， ∴∠MGE＝∠AGH． ∵△EGH是等边三角形， ∴GE＝ GH，∠EGH＝∠GEH＝∠EHG＝ 60°． 由于FG⊥HG， ∴∠FGH＝90°， 那么∠EGF＝30°， ∴∠GFC＝ 15°． ∵EF⊥DC， ∴∠EFC＝90°，则∠EFG＝75°． 在△EFG中，∠FEG＝180°﹣∠EGI+﹣∠EFG＝180°﹣30°﹣75°＝75°， ∴∠GEF＝∠GFE， ∴GE＝ GF，△GEF是等腰三角形． ∵GM∥DC，EF⊥DC， ∴GM⊥EF，根据等腰三角形三线﹣合一定理，EN＝NF， ∴NM是△DEF的中位线， ∴EM＝MD． ∵EG平分∠AEF，∠AEG＝∠GEF＝75°， ∴∠DEF＝30°． 在Rt△DEF中，∠D＝90°﹣30°＝ 60°． ∵GM∥AB， ∴∠AMG＝∠D ＝60°． 又∵∠MGE＝∠AGH，EG＝ HG，∠AMG＝HG＝60°， ∴△AGH≌△MGE（SAS）． ∴AH＝EM． ∵AD＝AE+EM+MD，且EM ＝MD，AH＝EM，AD＝BC， ∴2AH+AE＝DE+AE＝AD＝BC． 【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/5 12:47:25；用户：杨子龙；邮箱：619903896017567762.49173991；学号：58154043 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $