精品解析：山西省太原市阳曲县黄寨中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一．选择题（共8小题） 1. 某物体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的菱形是正方形 D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 4. 在一个不透明的纸箱中，共有个蓝色、红色的玻璃球，它们除颜色外其他完全相同．小柯每次摸出一个球后放回，通过多次摸球试验后发现摸到蓝色球的频率稳定在，则纸箱中红色球很可能有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 6. 若，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 在正方形 中，，点 是边 的中点，连接，将沿翻折，点落在点处， 与交于点，点是的中点，则的长度是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） 9. 已知，则的值为________． 10. 在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为_________m． 11. 如图，三个气球分别被三根绳子系住，绳子一同穿过封闭的纸筒，另一端固定在木板上，无法判断绳子在纸筒中纠缠情况，随机解开木板上两根绳子，能取下气球C的概率是________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边与轴交于点，且，反比例函数的图像经过点，若，则__________． 13. 如图，四边形中， ，若 ，则的长为__________． 三．解答题（共7小题） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 本期开学以来，初2015级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解中考体育科目训练的效果，从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示的两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 ； （2）图1扇形图中D等所在的扇形的圆心角的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整； （3）我校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 ； （4）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． （2）如图2，在边上找一点，使得． 17. 如图，在△ABC中，，CD为边AB上的中线，点E与点D关于直线AC对称，连接AE，CE． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）连接BE，若，，求BE的长． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元． 问题解决 任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？ 任务2 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为__________元，补进灯管的总价为__________元；（用含x的代数式表示） 任务3 在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？ 19. 生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决，也可以从“图形”的角度来研究，某数学建模小组在综合实践课上探究面积为，周长为的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系，小组成员进行了如下研究 【问题探究】 （1）设矩形的长和宽分别为、，当时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形的长和宽，如果不存在，请你说明理由 （2）从矩形的面积为可得到与的函数关系式为，从矩形的周长为可得到与的函数关系式为___________，在图中画出该函数图象（无需写画图过程），将满足要求的可以看成这两个函数图象在第一象限内的交点坐标，观察图象可以看出交点坐标为___________，即当矩形面积为周长为时，这样的矩形是存在的 【拓展应用】 （3）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，如图，函数的图象经过点，直线与图象交于点，与轴交于点，记图象在点、之间的部分与线段、、围成的区域（不含边界）为，若区域内恰好有个整点，结合图象请直接写出的取值范围___________ 20. 综合与实践 问题背景： 活动课上，同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论．已知，正方形中，，点E是射线上的一个动点，连接，以为边作正方形（点F在边所在直线的上方），连接． 探索发现： （1）如图1，勤学小组画出了点E与点C重合时的图形，此时点F到边所在直线的距离为__________； （2）如图2，创思小组画出点E恰好是线段中点时的图形，请你解答如下问题： ①判断线段与的数量关系，并说明理由； ②直接写出此时点F到边所在直线的距离； 拓展延伸： （3）如图3，博闻小组画出了点E在线段延长线上时的情形，与交于点P．若点P是线段的三等分点，请直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一．选择题（共8小题） 1. 某物体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：几何体左视图是： 故选：． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的菱形是正方形 D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断，即可得到结论，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、菱形的对角线不一定相等，故A不符合题意； B、四个内角都相等的四边形是矩形，故B符合题意； C、菱形的邻边本来就是相等，无法得到正方形，故C不符合题意； D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，故D不符合题意； 故选：B． 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得： 且， 故选：B． 4. 在一个不透明的纸箱中，共有个蓝色、红色的玻璃球，它们除颜色外其他完全相同．小柯每次摸出一个球后放回，通过多次摸球试验后发现摸到蓝色球的频率稳定在，则纸箱中红色球很可能有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据篮球的频率得出概率，再根据概率计算得出结论即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率的知识，根据题意得出红球的概率是解题的关键． 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质，找出相似比是关键． 根据题意，得到，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，且， ∴，的周长为， ∴的周长是， 故选：B ． 6. 若，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与反比例函数的图象特征逐项判断即可得． 【详解】解：A、由一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，则此项不符合题意； B、由一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，则此项不符合题意； C、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，则，不满足，则此项不符合题意； D、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，满足，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象和反比例函数的图象特征是解题关键． 7. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得出，设，则，再根据题意先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，即可得解，理解题意，准确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵阴影部分的面积为64， ∴， 设，则， 先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为， 故选：A． 8. 在正方形 中，，点 是边 的中点，连接，将沿翻折，点落在点处， 与交于点，点是的中点，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质和正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．连接，交于点，作于点，根据翻折变换性质得到，，，设为，分别表示出的长，再利用勾股定理解出的值，再利用求出的长． 【详解】解：连接，交于点，作于点， 四边形是正方形， ， ，． ． ． 沿翻折， 点落在点处，点 E 是边 的中点 ，．． 设，则， 在中，，，可得 ，． ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 解得（舍去），． ． ，， ． ，即． 解得 故选：A． 二．填空题（共5小题） 9. 已知，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，代入即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， 故答案为：． 10. 在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为_________m． 【答案】12 【解析】 【分析】根据某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可得出答案. 【详解】设旗杆的高度为x m, ∵ ∴ 故答案为12 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，掌握某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长是解题的关键. 11. 如图，三个气球分别被三根绳子系住，绳子一同穿过封闭的纸筒，另一端固定在木板上，无法判断绳子在纸筒中纠缠情况，随机解开木板上两根绳子，能取下气球C的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知解开木板上两根绳子可能有三种等可能情形，再确定其中能取下气球的有两种，最后根据概率公式计算即可． 【详解】随机解开木板上两根绳子可能有三种等可能情形，其中能取下气球的有两种，所以概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，边与轴交于点，且，反比例函数的图像经过点，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，作轴，垂足为，证明，得到，继而，再根据，，得到，则，最后由即可得解．解题的关键是熟练掌握反比例函数值的几何意义：反比例函数图像上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为． 【详解】解：作轴，垂足为， ∵轴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴． 故答案为：． 13. 如图，四边形中， ，若 ，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形、相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，正确运用相关性质定理是解题的关键． 过A作于E，用三角函数求出，证，得，进而可得答案． 【详解】解：过A作于E，作于F，与的延长线交于点F， ，， ， ， ，，， 在中，， 中，， ， ， ， ， ， ， ，得， ， 中，， ， ． 故答案为： 三．解答题（共7小题） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，选择合适的方法求解一元二次方程是解题的关键． （1）根据公式法求解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法求解一元二次方程即可； 【小问1详解】 解： ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： ∴，． 15. 本期开学以来，初2015级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解中考体育科目训练的效果，从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示的两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 ； （2）图1扇形图中D等所在的扇形的圆心角的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整； （3）我校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 ； （4）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率． 【答案】（1）25 （2）， 条形统计图补充为： （3）216 （4） 【解析】 【分析】（1）根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得答案； （2）先求出D等级的人数，即可将条形统计图补充完整；再求出D等级所占比例，根据圆周角乘以D等级所占的比例，可得扇形的圆心角； （3）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以D级所占的比例，可得答案； （4）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况，找到符合题意的情况，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 本次抽样测试的学生人数为（人）； 故答案为：25； 【小问2详解】 D等级的人数为， 所以D等所在的扇形的圆心角的度数， 故答案为：43.2° 【小问3详解】 （人）， 所以估计不及格的人数为216人； 故答案为：216； 【小问4详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为6， 所以选中的两人刚好是一男一女的概率． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率．根据条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键． 16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． （2）如图2，在边上找一点，使得． 【答案】（1） 即为所求； （2） 点F即为所求作． 【解析】 【分析】（1）在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，，根据位似图形的判定和性质可知即为所求作； （2）在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F，根据相似三角形的判定和性质可知F即为所求． 本题主要考查了网格作图——位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 【小问1详解】 如图所示，在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，， 则， ∵， ∴， 故即为所求； 【小问2详解】 如图所示，在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F， 则， ∵， ∴， 故点F即为所求作． 17. 如图，在△ABC中，，CD为边AB上的中线，点E与点D关于直线AC对称，连接AE，CE． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）连接BE，若，，求BE的长． 【答案】（1） 证明：∵点E与点D关于直线AC对称， ∴CE＝CD，AE＝AD， ∵∠ACB＝90°，为边上的中线， ∴， ∴CE＝CD＝AD＝AE， ∴四边形AECD是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接DE，DE交AC于O，根据轴对称性质得出AE = AD，CE=CD，根据直角三角形斜边上的中线性质求出AD=CD，再根据菱形的判定得出即可； （2）过E作EM⊥BC，交BC的延长线于M，求出AB和BC长，求出OC =1，根据勾股定理求出CM，再根据勾股定理求出BE即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过E作EN⊥BC交BC的延长线于点N， 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2， ∴， ∴ 由勾股定理得， ∵四边形AECD是菱形， ∴EC＝CD＝2，EC//AD， ∴∠ECN＝30°， ∵∠ENC＝90°， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵∠ENC＝90°， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线性质、含30°三角形的性质是解此题的关键． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元． 问题解决 任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？ 任务2 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为__________元，补进灯管的总价为__________元；（用含x的代数式表示） 任务3 在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？ 【答案】任务一：15600 任务二：； 任务三：100 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程． 任务1：根据题意“当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元”列出算式即可求解； 任务2：设镇流器补进件，根据题意列出代数式即可求解； 任务3：根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：任务1：依题意，镇流器补进90件，学校补进镇流器和灯管共元， 答：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共15600元； 任务2：设镇流器补进件，若，则补进镇流器的单价为（元）， 补进灯管的总价为：（元）， 故答案为：；． 任务3：依题意，， 解得， ， ， 答：补进镇流器100件． 19. 生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决，也可以从“图形”的角度来研究，某数学建模小组在综合实践课上探究面积为，周长为的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系，小组成员进行了如下研究 【问题探究】 （1）设矩形的长和宽分别为、，当时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形的长和宽，如果不存在，请你说明理由 （2）从矩形的面积为可得到与的函数关系式为，从矩形的周长为可得到与的函数关系式为___________，在图中画出该函数图象（无需写画图过程），将满足要求的可以看成这两个函数图象在第一象限内的交点坐标，观察图象可以看出交点坐标为___________，即当矩形面积为周长为时，这样的矩形是存在的 【拓展应用】 （3）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，如图，函数的图象经过点，直线与图象交于点，与轴交于点，记图象在点、之间的部分与线段、、围成的区域（不含边界）为，若区域内恰好有个整点，结合图象请直接写出的取值范围___________ 【答案】（1）这样的矩形存在，长为，宽为；（2），或；（3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的周长和面积等，画出图象并利用图象解决问题是解题关键． （1）根据矩形的周长和面积可得，解方程即可求得答案； （2）根据矩形的周长公式可得，画出反比例函数和一次函数的图象，观察图象即可得出答案； （3）画出图象，结合图象即可得出答案． 【详解】解：（1）这样的矩形存在，长为，宽为；理由如下： 当矩形周长时，， ∴ 矩形面积， ， ∴， 解得：或（舍，不符合题意）， ∴， 矩形的长为，宽为； （2）由矩形的周长为，得：， ， 在同一坐标系中画出函数和的图象，如图， 观察图象可知：函数和的图象有个交点或，故这样的矩形存在． 故答案为：，或； （3）如图， 当直线经过时，区域内部有个整数点、、， 此时，， 当直线经过时，区域内部有个整数点、、，， 此时，， ， 当区域内恰好有个整点时，； 故答案为：． 20. 综合与实践 问题背景： 活动课上，同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论．已知，正方形中，，点E是射线上的一个动点，连接，以为边作正方形（点F在边所在直线的上方），连接． 探索发现： （1）如图1，勤学小组画出了点E与点C重合时的图形，此时点F到边所在直线的距离为__________； （2）如图2，创思小组画出点E恰好是线段中点时的图形，请你解答如下问题： ①判断线段与的数量关系，并说明理由； ②直接写出此时点F到边所在直线的距离； 拓展延伸： （3）如图3，博闻小组画出了点E在线段延长线上时的情形，与交于点P．若点P是线段的三等分点，请直接写出此时的长． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出，，，再由等腰三角形的性质即可得解； （2）①作于，，证明，得出，证明即可得出结论；②由①可得：，即可得出答案； （3）作于，作交于，证明得出，证明，得出，设，则，，由点是线段的三等分点，得出或，得到或，分两种情况，分别利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）四边形、为正方形， ，，， ， 此时点到边所在直线的距离为； （2）①如图，作于，， 四边形、为正方形， ，，， ， ， ， ， ，， 为的中点， ， ， ， ， ； ②由①可得：， 此时点到边所在直线的距离为； （3）如图，作于，作交于， 四边形、为正方形， ，，， ， ， ， ， ，， ，， 设，则，， ， ， ， 点是线段的三等分点， 或， 或， 或， 当时， ， ， ， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 当时， ， ， ， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $