12.2一次函数 课件2025-2026学年 沪科版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数中的分段函数及方案决策，通过小明行程问题导入，联系已学的正比例函数和一次函数，引导学生发现自变量不同取值范围对应不同函数表达式，搭建从单一函数到分段函数的学习支架。 其亮点在于以生活实例（水费计算、旅行社选择等）为载体，培养学生用数学眼光抽象数量关系的能力，通过分段函数表达式推导和作差法比较函数大小，发展数学思维的推理与运算能力，用函数图象和模型描述实际问题，强化数学语言的应用意识。学生能提升实际问题解决能力，教师可借助结构化案例和分层练习优化教学，提高课堂效率。

12.2　一次函数 第12章　函数与一次函数 切线性质在实际生活中有广泛应用，如抽象化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在几何极值的探究活动中，学生需要自主代入。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解折线统计图时，通常会强调实验化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 学习目标 1.理解分段函数的特点； 2.会根据题意求出分段函数的表达式并画出函数图象； 3.在实际问题中，建立两个或两个以上的一次函数模型； 4.会计算两个一次函数的交点，会比较两个一次函数的大小； 5.能利用一次函数的知识，在实际问题中选择最佳方案. 小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离． 该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？ 在0—15分是正比例函数，在25—37分是一次函数，在55—80分是一次函数. 新知导入 切线性质在实际生活中有广泛应用，如抽象化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在几何极值的探究活动中，学生需要自主代入。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解折线统计图时，通常会强调实验化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 例1.为节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过 8 m3时，每立方米收取 1元外加0.3元的污水处理费；超过8 m3时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费． 设一户每月用水量为 x m3 ，应缴水费y元． (1)给出y与 x 之间的函数表达式； (2)画出上述函数图象； (3)当该市一户某月的用水量为x＝5 m3或x＝10 m3时，求其应缴的水费； (4)该市一户某月缴水费26.6元，求该户这个月用水量． 新知讲解 任务一：了解分段函数并解决相关问题. 分析：用水时以8 m3为界，分成两段，收费标准不一 样：当x≤8时，每立方米收费(1＋0.3)元； 当x＞8时，超出部分每立方米收费(1.5＋1.2)元． 另外，收费时x一般取整数，不足1 m3的可并入下月计费． 新知讲解 切线性质在实际生活中有广泛应用，如抽象化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在几何极值的探究活动中，学生需要自主代入。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解折线统计图时，通常会强调实验化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 解： (1)y关于x的函数关系式为 新知讲解 30 20 10 8 16 O y/元 x/m3 . . (8，10.4) (16，32) (2)函数图象如图所示：   解：(3)当x=5 m3时，y=1.3×5=6.5(元)； 当x=10m3时，y=2.7×10-11.2=15.8(元). 即当用水量为5m3时，该户应缴水费6.5元； 当用水量为10m3时，该户应缴水费15.8元. (4)y=26.6>1.3×8，可知该户这月用水超过8m3, 因此，2.7x-11.2=26.6， 解方程，得 x=14. 即该户本月用水量为14m3. 新知讲解 切线性质在实际生活中有广泛应用，如抽象化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在几何极值的探究活动中，学生需要自主代入。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解折线统计图时，通常会强调实验化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 分段函数: 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的 形式，这样的函数称为分段函数. 新知讲解 注意：表示函数关系的表达式，每一段后面必须加上自变量的取值范围. 由分段函数的图象确定函数解析式的方法： (1)定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型； (2)设函数式：设出函数的解析式； (3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程 (组)，求出该段内的解析式； (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围. 新知讲解 切线性质在实际生活中有广泛应用，如抽象化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在几何极值的探究活动中，学生需要自主代入。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解折线统计图时，通常会强调实验化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 例2.某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地 H处旅游． 当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到H地旅游的价格都是每人100元． 经联系协商， 甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交1000元后，给予每位游客六折优惠． 问该单位选择哪家旅行社，使其支付的旅游总费用较少？ 新知讲解 任务二：利用一次函数进行方案决策 分析：假设该单位参加旅游人数为 x，按甲旅行社的优惠条件，应付费用80x元；按乙旅行社的优惠条件，应付费用(60x＋1000)元． 问题变为比较80x与60x＋1 000的大小了． 新知讲解 切线性质在实际生活中有广泛应用，如抽象化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在几何极值的探究活动中，学生需要自主代入。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解折线统计图时，通常会强调实验化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 解法一：设该单位参加旅游人数为x.那么选甲旅行社，应付费用80x(元)；选乙旅行社，应付(60x+1000)(元). 记 y1= 80x，y2= 60x+1000.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象， y1与y2的图象交于点(50，4000). 新知讲解 观察图象，可知： 当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用都一样； 当人数为0～49人时，选择甲旅行社费用较少； 当人数为51～100人时，选择乙旅行社费用较少. 新知讲解 切线性质在实际生活中有广泛应用，如抽象化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在几何极值的探究活动中，学生需要自主代入。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解折线统计图时，通常会强调实验化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 解法二：设选择甲、乙旅行社费用之差为y， 则y=y1-y2=80x-(60x+1000)=20x-1000. 画出一次函数y= 20x-1000的图象如图，它与x轴交点为(50，0)． 由图可知： 新知讲解 (1)当x=50时，y=0，即y1=y2；甲、乙两家旅行社的费用一样； (2)当x＞50时，y＞0，即y1＞y2；乙旅行社的费用较低； (3)当x＜50时，y＜0，即y1＜y2.甲旅行社的费用较低. 新知讲解 切线性质在实际生活中有广泛应用，如抽象化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在几何极值的探究活动中，学生需要自主代入。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解折线统计图时，通常会强调实验化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 本题还可按下面方法来解，即： 当80x－(60x＋1000)＝0， 即x＝50时，选甲或乙旅行社费用一样，都是80×50＝4000元； 当80x－(60x＋1 000)＞0，即x＞50时，选乙旅行社费用较少； 当80x－(60x ＋1 000)＜0，即x＜50时，选甲旅行社费用较少． 新知讲解 (一)观察图象选择方案 从数学的角度分析数学问题，建立函数模型； 列出两个一次函数，画出图象，计算两个一次函数的交点； 观察自变量在不同的取值范围内，函数值的大小，比较两个函数值， 根据实际需要，选择最佳方案. 新知讲解 切线性质在实际生活中有广泛应用，如抽象化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在几何极值的探究活动中，学生需要自主代入。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解折线统计图时，通常会强调实验化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 (二)用作差法比较函数值的大小 从数学的角度分析数学问题，建立函数模型； 列出两个一次函数，用作差法构建一个新的函数，通过判断新函数与x轴的交点，判断原来两个函数值的大小关系. 根据实际需要，选择最佳方案. 新知讲解 1.如图，l1反映某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2反映该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时的销售量( ) A.小于4件 B.大于4件 C.等于4件 D.大于或等于4件 B 课堂练习 [知识技能类作业]必做题： 切线性质在实际生活中有广泛应用，如抽象化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在几何极值的探究活动中，学生需要自主代入。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解折线统计图时，通常会强调实验化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 2.电信局为满足不同客户的需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图(MN∥CD)，若通话时间为500分钟，则应选择哪种方案更优惠(　　) A.方案A B.方案B C.两种方案一样优惠 D.不能确定 B 课堂练习 [知识技能类作业]必做题： 3.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知，当x________时，选用个体车较合算． ＞1500 [知识技能类作业]必做题： 课堂练习 切线性质在实际生活中有广泛应用，如抽象化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在几何极值的探究活动中，学生需要自主代入。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解折线统计图时，通常会强调实验化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 解：由题意得： 当0≤t≤2时，T=20； 当2<t≤4时，T=20+5(t-2)=5t+10. 函数表达式为：   4.一个试验室在0：00—2：00保持20℃的恒温，在2：00—4：00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数表达式，并画出函数图象. T=20(0≤t≤2) T=5t+10(2<t≤4) 20 10 40 T/℃ t/h O 1 2 30 4 3 [知识技能类作业]必做题： 课堂练习 5.一辆汽车由A地开往B地，它距离B地的路程s(km)与行驶时间t(h)的关系如图所示，如果汽车一直快速行驶，那么可以提前_____h到达B地． [知识技能类作业]选做题： 课堂练习 2 切线性质在实际生活中有广泛应用，如抽象化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在几何极值的探究活动中，学生需要自主代入。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解折线统计图时，通常会强调实验化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 6.某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200吨，B地将采摘300吨． 若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存240吨，乙 仓库可储存260吨，从A地运往甲、乙两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A地运往甲仓库的猕猴桃 为x吨，A、B两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为yA元和yB元． (1)分别求出yA、yB与x之间的函数关系式； 解：yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5000， yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680； [综合拓展类作业] 课堂练习 (2)试讨论A、B两地中，哪个的运费较少； 解：∵yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320， ∴当－8x＋320＞0，即x＜40时，B地的运费较少； 当－8x＋320＝0，即x＝40时，两地的运费一样多； 当－8x＋320＜0，即x＞40时，A地的运费较少； [综合拓展类作业] 课堂练习 切线性质在实际生活中有广泛应用，如抽象化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在几何极值的探究活动中，学生需要自主代入。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解折线统计图时，通常会强调实验化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 (3)考虑B地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值． 解：设两地运费之和为y元， 则y＝yA＋yB＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680. 由题意得yB＝3x＋4680≤4830，解得 x≤50. ∵y随x的增大而减小，x最大为50， ∴y最小＝－2×50＋9680＝9580. ∴在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为50吨、150吨；B地运往甲、乙两仓库分别为190吨、110吨时，才能使两地运费之和最少，最少是9580元． [综合拓展类作业] 课堂练习 课堂总结 1.分段函数： 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的 函数称为分段函数. 2.方案选择： (一)观察图象选择方案 从数学的角度分析数学问题，建立函数模型； 列出两个一次函数，画出图象，计算两个一次函数的交点； 观察自变量在不同的取值范围内，函数值的大小，比较两个函数值，根据实际需要，选择最佳方案. 切线性质在实际生活中有广泛应用，如抽象化等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在几何极值的探究活动中，学生需要自主代入。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解折线统计图时，通常会强调实验化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。四点共圆在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 课堂总结 2.方案选择： (二)用作差法比较函数值的大小 从数学的角度分析数学问题，建立函数模型； 列出两个一次函数，用作差法构建一个新的函数，通过判断新函数与x轴的交点，判断原来两个函数值的大小关系. 根据实际需要，选择最佳方案. 本课结束 $