精品解析：安徽省合肥四十五中2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年安徽省合肥四十五中八年级上学期 12月月考数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列常见的运动图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 2. 在中，，则的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和等于180°，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质可得到，已知顶角的度数，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴ 故选B 3. 如图，，，则有（     ） A. 是等腰三角形 B. 垂直平分 C. 垂直平分 D. 与互相垂直平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定定理推理，即可解题． 【详解】解：，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． 故选：C． 4. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 5. 如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理， 根据角平分线的性质可知点P到的距离为10，进而得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴点P到的距离为10， ∴点P与射线上某点连线的长度大于等于10，可以是11． 故选：D． 6. 如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大． 利用等边对等角求得，然后利用线段的垂直平分线的性质与三角形外角的性质求得答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵由作图可得：的垂直平分线交于， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 7. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 8. 在中，线段是的角平分线、是边上的中线，垂直于，已知：，则长是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 过点作于点，如图，先利用三角形面积公式得到，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式，利用可求出的长． 【详解】解：过点作于点，如图， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵线段是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：A． 9. 如图，在等边中，D为边中点，，P是线段上一动点，则的最小值为（     ）． A. B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质与线段和最值问题，掌握角所对的直角边与斜边的关系是解题关键． 作，垂足为E，由等边三角形的性质可得，，所以．因此可以转化为，当A、P、E三点共线时，取到最小值．又根据垂线段最短可知，当时，最小，即最小，利用等边三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，作，垂足为E， ∵是等边三角形， 又∵点D为边中点， ∴，， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， 当A、P、E三点共线时，取到最小值， 由垂线段最短可知，当时，最小， 由等边三角形的性质可知，当时，，即的最小值为3． 故选：B． 10. 如图等边中，点D，E为线段上动点且，连接交于点F，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，利用可证明，可判定①正确；根据全等三角形的性质可得，利用三角形外角性质可得，根据平角的定义可得，可判定②正确；由可得点D、E为的中点，根据等边三角形的性质可得是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可判定③正确；过点A作于G，利用可证明，根据全等三角形对应边上的高对应相等可得，利用可证明，可得，由可得，根据含角的直角三角形的性质可得，可得，即可判定④错误，综上即可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴，故①正确， ∴， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴点D、E为的中点， ∵是等边三角形， ∴是的垂直平分线， ∴，故③正确， 过点A作于G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴是和边上的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误， 综上所述：正确的结论有①②③，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理及对应边上的高对应相等的性质是解题关键． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 如图，直线，等边的顶点C在直线b上，，则为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 12. “三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为______度 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握好三角形外角的性质是解题关键． 设，根据等腰三角形的性质可得，，．由三角形外角的性质可得，，，计算出x的值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，． ∵是的外角， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，平分，于点D，．若，，求的长． 【答案】7.5 【解析】 【分析】延长交于点E，构建全等三角形：．由全等三角形的对应边相等推知，；根据，，得出，即可求得． 【详解】解：如图，延长交于点E． ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵在与中，， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．注意此题中辅助线的作法． 14. 在中，，，点D在边上，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接． （1）的度数为______； （2）设，当θ为__________________时，为等腰三角形． 【答案】 ①. ②. 或或 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，根据轴对称的性质可知，．结合已知条件，容易证出，则，从而求出； （2）由三角形内角和定理可得，，进而得到，由轴对称的性质可得，，从而计算得，若为等腰三角形，有三种可能，即、、，计算每种情况下的值，进一步算出θ的值． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 根据轴对称的性质可知，，， ∴ ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由轴对称的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得； 综上，当或或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，运用分类讨论思想是解题关键． 三、解答题（共90分） 15. 如图，在平面直角坐标系中，如图所示． （1）的面积为______； （2）在图中画出关于y轴的对称图形，其中点的坐标为 ，点的坐标为 ； （3）点C关于直线对称的点的坐标为______． 【答案】（1） （2） 如图，如图所示， ， （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，网格中的三角形面积，点的对称变换，掌握好轴对称的性质是解题关键． （1）使用割补法，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积．计算出的面积； （2）根据轴对称的性质，依次画出点、、，连接成三角形，并写出对应的点的坐标； （3）根据轴对称的性质，算出对称的点的坐标． 【小问1详解】 解：网格中三角形的面积可以用长方形面积减去三个直角三角形的面积得到， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示， 由轴对称的性质可得，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：如图，点E就是点C关于直线对称的点， 根据轴对称的性质，点的坐标为． 故答案为：． 16. 如图，在中，尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法） （1）作的平分线交于点D； （2）过点D作，交于点F． 【答案】（1） 如图，为所作的角平分线； （2） 如图，为所作的垂线． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图：角平分线，垂线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据尺规作图作角平分线的步骤，逐步作图即可； （2）根据尺规作图作垂线的步骤，逐步作图即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 17. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，边的垂直平分线分别交、于点、． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算得到答案； （2）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，，再根据可得答案． 【小问1详解】 解：∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为； 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的周长，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 18. 如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【答案】证明：平分， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ． 【解析】 【分析】先证明，得到，即平分，因为，，根据角平分线的性质，可得． 【详解】略 19. 如图，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，早上8时，在A处测得小岛P在北偏东方向上，轮船继续向东航行，早上10点到达B处，并测得小岛在北偏东方向上． （1）求此时轮船与小岛的距离； （2）已知小岛周围21海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁危险？请说明理由． 【答案】（1）40海里 （2）有触礁危险，理由如下： 如图，过点作射线的垂线，交射线于点C， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴海里， ∵， ∴若轮船仍向前航行，有触礁危险． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，，则，可得； （2）过点作射线的垂线，交射线于点C，根据题意可得．由含角的直角三角形的性质可得，．求出的值后，与21进行比较，并得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可知，海里，，， ∴， ∴， ∴海里； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查方位角的概念，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握好方位角的概念和三角形中角度的关系是解题关键． 20. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．∠BAC＝75°，则∠B的度数为_______． 【答案】35° 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质可得，，根据三角形的内角和定理，外角性质建立二元次一次方程组，解方程组求解即可 【详解】解：如图，连接 AB的垂直平分线EF交BC于点E， BE＝AC． 又D为线段CE的中点 , 设， 则 ∠BAC＝75°， ① ② 联立①②，解得 即∠B的度数为 故答案为： 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三线合一，三角形外角性质，三角形内角和定理，解二元一次方程组，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 21. 如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）． 【解析】 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在等边中，D是上一点，E是延长线上一点，，交于点F． （1）求证：； （2）过点D作于点H，若，求． 【答案】（1） 证明：如图，过点D作的平行线，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，添加平行线构造全等三角形是解题关键． （1）过点D作的平行线，交于点G，由 是等边三角形和，可得也是等边三角形，则有．结合已知条件，容易证出，从而得到； （2）由（1）可知，，则有．因为是等边三角形，同时，可得，因此． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由（1）可知，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴． 23. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点， （1）求证：； （2）求证：； （3） ． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 又∵， ∴， 在和中， ∴； （2） 证明：∵， ∴， 过点作于，如图， 则， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知证明是等腰直角三角形，则，通过角的转换进而证明和，即可利用证明； （2）由（1）知，过点作于，根据等腰直角三角形的判定和性质可得，再根据题意可知，进而利用证明，则，可得，进而即可证明； （3）由（2）知，设，则可得，，证明可得，再根据等底同高可知，则可求出，进而即可得解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：， ∴， 设， ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质直角三角形斜边的性质、和等腰直角三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年安徽省合肥四十五中八年级上学期 12月月考数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列常见的运动图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 40° 3. 如图，，，则有（     ） A. 是等腰三角形 B. 垂直平分 C. 垂直平分 D. 与互相垂直平分 4. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 5. 如图，平分是上一点，于点，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 11 6. 如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 8. 在中，线段是的角平分线、是边上的中线，垂直于，已知：，则长是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，在等边中，D为边中点，，P是线段上一动点，则的最小值为（     ）． A. B. 3 C. D. 6 10. 如图等边中，点D，E为线段上动点且，连接交于点F，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 如图，直线，等边的顶点C在直线b上，，则为______度． 12. “三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为______度 ． 13. 如图，在中，平分，于点D，．若，，求的长． 14. 在中，，，点D在边上，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接． （1）的度数为______； （2）设，当θ为__________________时，为等腰三角形． 三、解答题（共90分） 15. 如图，在平面直角坐标系中，如图所示． （1）的面积为______； （2）在图中画出关于y轴的对称图形，其中点的坐标为 ，点的坐标为 ； （3）点C关于直线对称的点的坐标为______． 16. 如图，在中，尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法） （1）作的平分线交于点D； （2）过点D作，交于点F． 17. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，边的垂直平分线分别交、于点、． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 18. 如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 19. 如图，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，早上8时，在A处测得小岛P在北偏东方向上，轮船继续向东航行，早上10点到达B处，并测得小岛在北偏东方向上． （1）求此时轮船与小岛的距离； （2）已知小岛周围21海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁危险？请说明理由． 20. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．∠BAC＝75°，则∠B的度数为_______． 21. 如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求的度数． 22. 如图，在等边中，D是上一点，E是延长线上一点，，交于点F． （1）求证：； （2）过点D作于点H，若，求． 23. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点， （1）求证：； （2）求证：； （3） ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $