精品解析：江苏省盐城市射阳县海都中学2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试卷

2025年秋学期随堂练习九年级数学试卷 试卷总分：150 答题时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据定义逐一分析选项即可． 【详解】解：A项：将进行化简，得到，此方程未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B项：方程中含有分式，不是整式方程，所以不是一元二次方程，不符合题意； C项：将化为，它只含有一个未知数x，且未知数的最高次数是2，符合一元二次方程的定义，符合题意； D项：方程中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2. 如图，DE∥AB，下列比例式中不成立的是（　　） A. B. ＝ C. ＝ D. ＝ 【答案】D 【解析】 【分析】由△CDO∽△CAF，△COE∽△CFB，△CDE∽△CAB可依次判断各个选项． 【详解】解： ，，， ，， ， . 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键． 3. 关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的同号实数根 B. 有两个不相等的异号实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出△>0，根据△的意义得到方程有两个不相等的实数根；又根据根与系数的关系得到两根之积等于-1，则方程有两个异号实数根。 【详解】因为，所以有两个不相等的异号实数根， 又两根之积等于-1，方程有两个异号实数根，所以原方程有两个不相等的异号实数根. 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根，也考查了一元二次方程根与系数的关系. 4. 下列四组图形中，一定相似的是（ ） A. 矩形与矩形 B. 正方形与菱形 C. 菱形与菱形 D. 正方形与正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的图形是相似图形，对各选项分析判断后利用排除法即可求解． 【详解】A、任意两个矩形，对应角都是直角，对应角一定相等，但对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误； B、正方形与菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； C、任意两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； D、任意两个正方形的对应边成比例，对应角也相等，所以一定相似，故本选项正确， 故选：D 【点睛】本题考查相似图形的定义及矩形、正方形、菱形的性质，解题的关键是掌握相似图形的判定方法． 5. 袁隆平海水稻科研团队从甲、乙两种水稻苗中随机抽取部分稻苗测量苗高，算得它们的方差分别为，则下列对苗高的整齐程度描述正确的是（ ） A. 甲更整齐 B. 乙更整齐 C. 一样整齐 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的定义，方差越小数据越稳定． 【详解】解：∵ ∴， ∴方差最小的为甲， 所以苗高最整齐的是甲． 故选：A． 6. 一个扇形的半径为4，弧长为，其圆心角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的计算，设扇形对应的圆心角的度数为，根据弧长公式得出，即可求解． 【详解】解：设扇形对应的圆心角的度数为，根据题意得， 解得：，即圆心角度数是 故选：C． 7. 如图，是的外接圆，E是的中点，连接并延长交于点D，连接，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接、，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，进而根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：连接、， 由圆周角定理得：， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④方程的两根是，．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，特殊点判断①，对称轴判断②，图象法判断③和④即可． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线，顶点坐标为，图象过点， ∴图象与轴的另一个交点坐标为：， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； 由图象可知：二次函数的图象和直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根；故③正确； ∵图象与轴的两个交点坐标为：，， ∴的两个解为：， ∴方程的两根是或，即：，；故④正确； 故选D． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 在比例尺为的工程图上，五峰山长江大桥全长约厘米，那么它的实际长度约为_____米． 【答案】 【解析】 【分析】用图上距离乘以100000得到实际距离，还需要换算单位． 【详解】解：． 故答案是：6400． 【点睛】本题考查比例尺，解题的关键是掌握利用比例尺算实际距离的方法． 10. 有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图形是中心对称图形的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合概率求法直接得出答案． 【详解】解：∵等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆中， 平行四边形，圆是中心对称图形， ∴从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图形是中心对称图形的概率为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质和概率求法，正确把握中心对称图形的定义是解题关键． 11. 在“双减”政策下，某学校规定，学生的学期学业成绩由两部分组成：平时成绩占40%，期末成绩占60%，小颖的平时、期末成绩分别为80分，90分，则小颖本学期的学业成绩为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法计算即可． 【详解】解：她本学期的学业成绩为小颖本学期的学业成绩为： (分)． 故答案为：分． 12. 某公司一月份的产值为万元，二，三月份的产值总和为万元，设公司每月产值的平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设公司月平均增长率为x ，则二月的产值为，三月的产值为，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设公司月平均增长率为x ，则二月的产值为，三月的产值为， 根据题意得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 13. 若关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义；利用一元二次方程的根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：一元二次方程的判别式为，其中，，， 代入得． 由于方程有两个不相等的实数根， 故，即， 解得． 故答案为：． 14. 把二次函数由一般式化成顶点式为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．把二次函数配方可得，推出，求出，最后根据即可求解． 【详解】解：， 二次函数由一般式化成顶点式为， ， 解得：， ， 故答案为：． 15. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，，反比例函数的图象经过点D，则k值为_____． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出点的坐标是解题的关键． 过点作轴，由同角的余角相等可得出，结合可得出，根据相似三角形的性质结合点的坐标，即可得出的长度，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出的值． 【详解】解：如图所示，过点作轴，交轴于点， ， ， ， ， ， 四边形为矩形，点，，， ，， ， 点坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：14． 16. 如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，线段最短的计算，理解点的运动是关键． 如图所示，连接交于点，当点重合时，点与点重合，且点四点在以为直径的圆上，点的运动路径是，当点共线时，的值最小，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵点是线段上的动点，， ∴当点重合时，点与点重合，且点四点在以为直径的圆上， ∴点的运动路径是， 设的中点为点，则， 如图所示，连接，交于点， ∵， ∴当点共线时，，则值最小时，的值最小，且， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： 或 ， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键，选择合适的解法可以使计算变得简便． 18. 已知方程的一个根为． （1）求的值； （2）设方程的另一个根为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系求出m的值，以及另一根即可； （2）利用根与系数的关系得到，．原式整理后整体代入计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：因为是方程的一个根， 所以． 解得； 【小问2详解】 解：由（1），原方程为． 因为方程的两根为， 则，． 所以． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 19. 已知线段a，b，c满足，且． （1）求a，b，c的值； （2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质，是解题的关键： （1）利用设参法，进行求解即可； （2）根据比例中项的定义，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴设， ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 由题意，， ∴． 20. 已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为． （1）求此二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数解析式，利用图象解不等式．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． （1）由顶点坐标可设二次函数顶点式，再将代入求解即可； （2）画出该二次函数大致图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵该二次函数图象顶点坐标为， ∴可设此二次函数的表达式为． ∵此二次函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴求此二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：，， ∴此二次函数与x轴的两个交点分别为，． 令，则， ∴此二次函数与y轴的交点为， ∴该二次函数图象如图， ∴当时，的取值范围为． 21. 海都初中九年级有1000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽取到的学生人数为 ，图2中m的值为 ； （2）本次调查获取的样本数据的众数为 分、中位数为 分； （3）根据样本数据，估计学校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？ 【答案】（1）50，28 （2）12，11 （3）600 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据条形统计图中的数据，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出m的值； （2）根据条形统计图中的数据，可以得到本次调查获取的样本数据众数和中位数； （3）根据条形统计图中的数据，可以计算出我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人． 【小问1详解】 解：本次抽取到的学生人数为， ， 故答案为：50，28； 【小问2详解】 解：由条形统计图可得众数是12分， 由题意得，中位数是第25，26个数据的平均数， ∴由条形统计图可得，（分）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：我校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有600人． 22. 某果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该果园每棵果树产果（千克），增种果树（棵）， 它们之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？ 【答案】（1）；（2）增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克. 【解析】 【分析】（1）设，将点（12，74）、（28，66）代入即可求出k与b的值，得到函数关系式； （2）根据题意列方程，求出x的值并检验即可得到答案. 【详解】（1）设，将点（12，74）、（28，66）代入，得 ，解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）由题意得： ， 解得： ， ， ∵投入成本最低， ∴x=10， 答：增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克. 【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意中的x、y的实际意义是解题的关键. 23. 如图，在中，是边的延长线上一点，连接交边于点，交对角线于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 四边形是平行四边形 ， ， （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是平行四边形得，.根据“两角对应相等，两个三角形相似”得. （2）设，根据“相似三角形对应边成比例”列比例式得，则.同（1）证，根据“相似三角形对应边成比例”即可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是平行四边形 设 由（1）得 ， 四边形是平行四边形 ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质.熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 24. 如图，将二次函数位于x轴下方的图象沿x轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． （1）当时，新函数值为 ，当时，新函数值为 ； （2）当 时，新函数有最小值； （3）当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是 ； （4）直线与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查了利用函数图象解决问题； （1）由翻折得新函数为，分别代值计算，即可求解； （2）根据图象即可求解； （3）根据图象即可求解； （4）根据图象即可求解； 能利用数形结合进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：图象沿x轴翻折，再得到一个新函数为：， 当时，， 当时，， 故答案：，； 【小问2详解】 解：由图象得 当或时，新函数有最小值； 故答案：或； 【小问3详解】 解：由图象得 或，函数y随x的增大而增大时， 故答案：或； 【小问4详解】 解： 由图象得：当时， 直线与新函数图象有4个公共点， 故答案：． 25. 如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD． （1）求证：△ADC∽△BGC； （2）求证：CG•AB＝CB•DG． 【答案】 （1）证明：∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高， ∴∠BGC＝∠ADC＝90°． 又∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BGC； （2）证明：∵△ADC∽△BGC， ∴＝． ∴=． 又∠C＝∠C， ∴△GDC∽△BAC． ∴=, ∴CG•AB＝CB•DG． 【解析】 【分析】（1）利用有两对角相等的两个三角形相似证明即可； （2）由（1）可得=，再证明△GDC∽△BAC，所以=，进而可证明CG•AB=CB•DG． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判断和性质，利用相似三角形的性质分别得到=和=是证题的关键． 26. 新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，请直接写出的解集； （3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点距离计算公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”为． 二次函数的图象经过，． 解得 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时，的解集为或． 【小问3详解】 解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为． 点在抛物线对称轴上， ∴可设． 点的横坐标小于点的横坐标， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为或． 27. 综合与实践 九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动．现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为；乙的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为． 【数学建模】 如图1，甲的起跳点为，落地点为，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为；乙的起跳点也为，落地点为，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，两机器人的运动路线在同一竖直平面内．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形，，点在边左侧，甲，乙分别从点处起跳．机器人越过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内） ①若，甲款机器人___________安全越过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）； ②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设，则的取值范围为（结果保留根号）． 【答案】（1）；； （2）①能； ② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，包括抛物线表达式的求解以及利用二次函数解决障碍物越过问题，熟练掌握二次函数的顶点式、图象性质及不等式求解是解答本题的关键． （1）利用抛物线的顶点式，结合起跳点和落地点的坐标，求出抛物线的函数表达式； （2）①分别将障碍物左端和右端的横坐标代入甲的抛物线表达式，计算出纵坐标，与障碍物高度比较竖直距离，判断是否能安全跃过； ②分别将障碍物左端和右端的横坐标代入甲、乙的抛物线表达式，列出不等式，求解出的取值范围． 【详解】解：（1）对于抛物线： 起跳点，落地点，顶点， 设， 代入点得， 则， 展开得：； 对于抛物线： 起跳点，落地点，顶点， 设， 代入点得， 则， 展开得：． （2）①，，， 分别将，代入得： ， ， 甲款机器人能安全跃过该障碍物． ②甲款机器人：令， 则， 解得：，， 即， 解得：； 乙款机器人：令， 则， 解得：，， 即， 解得：， 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期随堂练习九年级数学试卷 试卷总分：150 答题时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，DE∥AB，下列比例式中不成立的是（　　） A. B. ＝ C. ＝ D. ＝ 3. 关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的同号实数根 B. 有两个不相等的异号实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 4. 下列四组图形中，一定相似的是（ ） A. 矩形与矩形 B. 正方形与菱形 C. 菱形与菱形 D. 正方形与正方形 5. 袁隆平海水稻科研团队从甲、乙两种水稻苗中随机抽取部分稻苗测量苗高，算得它们的方差分别为，则下列对苗高的整齐程度描述正确的是（ ） A. 甲更整齐 B. 乙更整齐 C. 一样整齐 D. 无法确定 6. 一个扇形的半径为4，弧长为，其圆心角度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的外接圆，E是的中点，连接并延长交于点D，连接，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④方程的两根是，．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 在比例尺为的工程图上，五峰山长江大桥全长约厘米，那么它的实际长度约为_____米． 10. 有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图形是中心对称图形的概率为________． 11. 在“双减”政策下，某学校规定，学生的学期学业成绩由两部分组成：平时成绩占40%，期末成绩占60%，小颖的平时、期末成绩分别为80分，90分，则小颖本学期的学业成绩为__________． 12. 某公司一月份的产值为万元，二，三月份的产值总和为万元，设公司每月产值的平均增长率为x，则可列方程为______． 13. 若关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 14. 把二次函数由一般式化成顶点式为，则的值为______． 15. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，，反比例函数的图象经过点D，则k值为_____． 16. 如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是 ________ ． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 已知方程的一个根为． （1）求的值； （2）设方程的另一个根为，求的值． 19. 已知线段a，b，c满足，且． （1）求a，b，c的值； （2）若线段x是线段b，c的比例中项，求x的值． 20. 已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为． （1）求此二次函数的表达式； （2）当时，直接写出的取值范围． 21. 海都初中九年级有1000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽取到的学生人数为 ，图2中m的值为 ； （2）本次调查获取的样本数据的众数为 分、中位数为 分； （3）根据样本数据，估计学校九年级模拟体测中不低于11分的学生约有多少人？ 22. 某果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该果园每棵果树产果（千克），增种果树（棵）， 它们之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？ 23. 如图，在中，是边的延长线上一点，连接交边于点，交对角线于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 24. 如图，将二次函数位于x轴下方的图象沿x轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）． （1）当时，新函数值为 ，当时，新函数值为 ； （2）当 时，新函数有最小值； （3）当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是 ； （4）直线与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围是 ． 25. 如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD． （1）求证：△ADC∽△BGC； （2）求证：CG•AB＝CB•DG． 26. 新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求该二次函数的解析式； （2）若，请直接写出的解集； （3）已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 27. 综合与实践 九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动．现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为；乙的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为． 【数学建模】 如图1，甲的起跳点为，落地点为，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为；乙的起跳点也为，落地点为，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，两机器人的运动路线在同一竖直平面内．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形，，点在边左侧，甲，乙分别从点处起跳．机器人越过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内） ①若，甲款机器人___________安全越过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）； ②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设，则的取值范围为（结果保留根号）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $