精品解析：四川省内江市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度（上）高一数学12月月考卷 考试时间：120分钟； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 函数零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象恒过定点，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 5. 若函数的图象过点，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知角满足，角的终边与角的终边关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共三小题，每小题6分，共18分. 9. 下面结论正确的有（ ） A. 若，且，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D. 命题“，”否定是， 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，值域为 B. 当时，的定义域为 C. 的图象关于直线对称 D. 若的定义域为R，则实数的取值范围 11. 已知，且，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，取值范围是 D. 当，，时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 13. 已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 ________. 14. 已知且，函数存在最小值，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角顶点为原点且始边在轴非负半轴，终边上有一点且点不与坐标原点重合. （1）若点坐标是且，求的值； （2）若角满足 ①求的值； ②求的值. 16. 已知幂函数在上单调递增． （1）求实数的值： （2）若函数在上的最小值为1，求实数的值． 17. 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数大于80时听课效果最佳. （1）试求的函数关系式； （2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由. 18. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）若，求满足的实数的取值范围. 19. 如图，成都天府新区的标志性悬索桥——云龙湾大桥，其悬索形态宛如平面几何中的悬链线.历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的一般方程，其中双曲余弦函数尤为特殊.类似的有双曲正弦函数，双曲正切函数.已知函数和满足以下条件：①；② （1）请基于以上信息求函数和的初等函数表达式，并证明：. （2）设.证明：有唯一的正零点，并比较和的大小. （3）关于的不等式对任意恒成立，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）高一数学12月月考卷 考试时间：120分钟； 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解即可． 【详解】集合， 则． 故选：A 2. 下列命题是真命题是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质，及不等式同向可加性和同向同正可乘性，以及作差法比较大小，即可求解. 【详解】当时，若，则，这真命题，但是当时，显然，故A错误； 由可得，，利用同向不等式可加性得：，故B错误； 由， 因为，所以，即，故C正确； 若，则，这里，不妨取， 则，与相矛盾，故D错误； 故选：C. 3. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，所以函数零点所在的一个区间是. 故选：C 4. 已知函数的图象恒过定点，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的性质求解. 【详解】∵，∴恒过定点， ∴，，∴， 故选：A. 5. 若函数的图象过点，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用奇偶性及在的单调性判断即得. 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 故选：C 6. 已知角满足，角的终边与角的终边关于轴对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先得出，根据与的关系得出，最后根据弦化切即可得出答案. 【详解】因为，所以，又角的终边与角的终边关于轴对称， 所以，. 则. 故选：C 7. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性及复合函数单调性，结合真数恒大于0列式求解. 【详解】由，得函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 8. 已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画出分段函数的图象，然后判断每段函数的单调性，求出每段函数的值域，根据对称性推出，结合图象可得到的范围进而得解. 【详解】函数的图象如下图所示. 当时，的对称轴是直线，且最大值为， 当时，为增函数，且此时， 由题意知存在三个不相等的实数，，，使得， 不妨设，则，则， 又，故的取值范围是. 故选：A. 二、多选题：本题共三小题，每小题6分，共18分. 9. 下面结论正确的有（ ） A. 若，且，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D. 命题“，”的否定是， 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求范围判断A；应用特殊值法，取即可判断B；根据已知有，判断C；由特称命题的否定是将存在改为任意，并否定原结论判断D. 【详解】A：由，当且仅当时取等号，对； B：由，此时，故“”不是“”的充分条件，错； C：由题设，，则，， 所以第一象限角或第三象限角，对； D：由特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定为，，对. 故选：ACD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的值域为 B. 当时，的定义域为 C. 的图象关于直线对称 D. 若的定义域为R，则实数的取值范围 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A根据二次函数的值域及对数函数的单调性可判断，对于B直接根据对数函数的定义域可得，对于C根据函数对称性判断可得，对于D由函数的定义域转化为二次函数的恒成立问题可得. 【详解】对于A：时，，所以的值域为，故A错误； 对于B：时，要使函数有意义，，解得或，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C：因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D：因为的定义域为R，所以的解集是R，得，解得，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知，且，则（ ） A B. 当时， C. 当时，的取值范围是 D. 当，，时， 【答案】BC 【解析】 【分析】变形给定等式，构造函数，利用单调性可得，再逐项求解判断即可. 【详解】由，得，令函数， 则原等式等价于，而函数在上都单调递增， 因此函数在上单调递增，则， 对于A，由，得或或，显然不恒成立，A错误； 对于B，由，得，则，解得，则，B正确； 对于C，由，，得，又， 则，即，解得且，因此，C正确； 对于D，依题意，，即，又， 则，而，解得，则，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得： . 故答案为：. 13. 已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 ________. 【答案】 【解析】 【分析】先换元对原函数进行化简，然后根据对勾函数的性质判断单调性和最值，进而求出结果. 【详解】令，因为，所以， 则有方程在内有2个根， 即在内有2个解， 即直线与函数的图象在内有2个交点， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以. 故答案为：. 14. 已知且，函数存在最小值，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，，当且仅当时，取得最小值；当时，若，则，显然不满足题意，若，要使存在最小值，必有，解得，即，，由，可得，可得，故答案为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角顶点为原点且始边在轴非负半轴，终边上有一点且点不与坐标原点重合. （1）若点坐标是且，求的值； （2）若角满足 ①求的值； ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义列方程求解的值即可； （2）①结合平方关系将已知等式平方可得，判断的符号，从而再平方可得的值；②由①中结论，列方程组解得的值，代入即可得所求. 【小问1详解】 因为且，所以点在第一或第二象限， 又 ，所以在第一象限且， 由三角函数概念知：， 故实数的值为； 【小问2详解】 ①因为角满足， 则， 所以， 又因为，则且， 所以， 由且，有， 所以， ②由①知：，则， 则. 16. 已知幂函数在上单调递增． （1）求实数的值： （2）若函数在上的最小值为1，求实数的值． 【答案】（1）1 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求解； （2）根据二次函数的性质讨论求解即可. 【小问1详解】 由题可得，即，解得或1， 当时，在上单调递减，不合题意； 当时，在上单调递增，合题意. 综上，. 【小问2详解】 由（1），所以，，对称轴， 当时，在上单调递增，所以，不合题意； 当时，在上单调递减，所以， ，解得，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，所以； 综上，. 17. 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数大于80时听课效果最佳. （1）试求的函数关系式； （2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由. 【答案】（1） （2）老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳． 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的顶点式求得在上的解析式，再利用点代入求得在上的解析式，从而得解； （2）分，，由求解即可. 【小问1详解】 由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分， 抛物线顶点坐标为，且曲线过点， 设二次函数为，则，解得， 则可得． 又当时，曲线是函数（且）图象的一部分， 且曲线过点，则，即，解得， 则 则． 【小问2详解】 由题意知，注意力指数大于80时听课效果最佳， 当时，令，解得：； 当时，令，解得：. 综上可得，. 故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳． 18. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明； （3）若，求满足的实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义确定定义域，利用列方程即可得实数的值； （2）根据函数单调性的定义取值、作差、变形、定号、下结论即可证明单调性； （3）根据函数的奇偶性与单调性判断的奇偶性与单调性，从而列不等式即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为且为奇函数， 则，可得 可得 解得； 【小问2详解】 在上单调递减，理由如下： 任取，则， ，，，且， ，即， 所以函数在区间上单调递减； 【小问3详解】 由于函数且该函数为奇函数且该函数在区间上为减函数， 当时，， ，则函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，则函数在上为减函数， 由，可得出， 所以，解得且， 因此，满足不等式的实数的取值范围是. 19. 如图，成都天府新区的标志性悬索桥——云龙湾大桥，其悬索形态宛如平面几何中的悬链线.历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的一般方程，其中双曲余弦函数尤为特殊.类似的有双曲正弦函数，双曲正切函数.已知函数和满足以下条件：①；② （1）请基于以上信息求函数和的初等函数表达式，并证明：. （2）设.证明：有唯一的正零点，并比较和的大小. （3）关于的不等式对任意恒成立，求实数取值范围. 【答案】（1），证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知联立解方程组可得，代入所求表达式可证明题设中等式； （2）化简函数，然后由函数的单调性及零点存在定理确定零点的范围，根据零点满足的等式变形（都化为对数函数形式，然后由对数运算化简函数式，进而证明它小于0，得证结论成立； （3）确定函数的奇偶性与单调性，然后化简不等式为，由换元法，令，由单调性求得的范围，问题转化为一元二次不等式在某个区间上恒成立，通过分类讨论求函数的最值，解不等式得参数范围． 【小问1详解】 ， 所以，； 下面证明：， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以，显然在上为增函数， 且， 则在上存在唯一的实数，使， 所以有唯一的正零点； 由，得，两边同时取对数得， 于是， 而在上是增函数，则有， 因此，所以 【小问3详解】 因为，该函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 又因为， 因为内层函数在上为增函数，且， 外层函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 由， 得，即，即， 因为函数在上是增函数， 令，则函数在上是增函数， 当时，，且，则， 于是有，即对任意的恒成立， 令，其中， 当时，即当时，函数在上单调递增， 则，解得，此时，； 当时，即当时，只需， 解得，此时，； 当时，即当时，函数在上单调递减， 则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，函数不等式恒成立问题，首先需要通过函数的单调性与奇偶性化简不等式，对于较复杂的不等式，需要用换元法等进行化简转化，如本题指数函数的不等式转化为一元二次不等式恒成立，其次一元二次不等式恒成立，常常需要分类讨论求相应二次函数的最值后求得参数范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $