专题04 直角三角形（4知识9题型）（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学知识清单聚焦“直角三角形”专题，系统梳理直角三角形的性质及判定、全等判定、角平分线、勾股定理四大知识模块，配套9类典型题型，搭建从基础概念识记到综合问题解决的递进式学习支架。 清单以“知识清单+题型示例”双线架构呈现，知识模块含原理阐释（如角平分线作图用SSS全等证明）、几何语言规范及易错提示（如区分角平分线性质中“垂直两边”与“垂直平分线”线段），培养推理能力与几何直观。题型设计含例题与变式，覆盖不同难度，辅助教师分层教学，助力学生自主构建知识体系。

学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 专题04直角三角形(4知识9题型) 知识图谱 性质定理 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的性质 判定定理 两个锐角互余的三角形是直角三角形 性质定理 ★直角三角形 直角三角形余斜边上的中线等于斜边的半 定理 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等 直角三角形全等的判定 那么这两个直角三角形全等 般三角形的判定方法：“"SSS”“SAS”"ASA”"AAS 直 尺规作图已知角的平分线 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相篷 三角 ★角平分线 定理 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个 角的平分线上 三角形的内心 三角形的三个内角的平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的内心 直角三角形三边之间的关系定理在直角三角形中，斜边大于直鱼边 垂线段性质定理连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 ★勾股定理 勾股定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方 勾股定理的逆定理如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角 三角形 勾股定理及其逆定理的应用 知识清单 【清单01】直角三角形的性质及判定 1.直角三角形的性质定理(1)：直角三角形的两个锐角互余。 2.直角三角形的判定定理：两个锐角互余的三角形是直角三角形。 3.直角三角形的性质定理(2)：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【清单02】直角三角形全等的判定定理 1.直角三角形全等的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形 全等。 注意：这个定理只适用于直角三角形，“直角三角形”是应用该定理的前提条件。 2.判定两个直角三角形全等的方法：判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此 我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”(一般方法)以及上面刚学的直角三角形的判定定理这五种方 法来判定两个直角三角形全等。 【清单03】角平分线 1/47 扇学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 1.作已知角的平分线 己知∠BAC(如图所示)，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD 以点A为圆心，适当 分别以E，F为圆心，大于F 过点A,D作射线 2 作法 长为半径作圆弧，与角 AD.射线AD就是所求 长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠ 的两边分别交于E,F 作的∠BAC的平分线， BAC内一点D 两点 示范 原理 连结DF, DE.由作法可得AF=AE,DF=DE,又，AD=AD ,..△ADF≌△ ADE(SSS),∴.∠FAD=∠EAD,即AD平分∠BAC F长为半径作圆弧，因为以小于二℉长为半径作圆弧时，两圆弧没有交点，以等于 1 注意要以大于 2 2 EF长为半径作圆弧不易操作 2.角平分线的性质定理及逆定理 (1)角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相篷， 几何语言：如图所示，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D, E,∴.PD=PE 注意：利用角平分线的性质定理证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，如图(1)所 示，而不是“垂直于角平分线的线段”，如图(2)所示. 此时PE=PF,但 PE,PF不是点P 分别到OA,OB 的距离 (1 (2) (2)角平分线的性质定理逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： 2/47 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B ·'点P为∠AOB内一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE, ∴.点P在∠AOB的平分线OC上， 3.角的平分线的性质定理及逆定理的关系 D OP平分∠AOB PD-PE 性质 判定 PD⊥OA PD-PE PD⊥OA >OC平分∠AOB PE⊥OB PE⊥OB 4.三角形的内心：三角形的三个内角的平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的内心 注意：三角形的内心到三角形三边的距离相等 【清单04】勾股定理 1.直角三角形三边之间的关系定理：在直角三角形中，斜边大于直角边 2.垂线段的性质定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单地说：垂线段最短 3.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方 数学语言：如果直角三角形两条直角边分别是a、b,斜边是c,那么a2+b2=c2 4.勾股定理的证明 方法 证明 图形 如图1所示， 方法一 ~S大正方形=4S三角形+S小正方形， .c2=4 26+(6-a)2c2=a2+6 图1 如图2所示， ·S锡形=2S小三角形+S大三角形， 方法二 (a+b)(a+b)=2x1a 1 6 整理，得a2+b=c2 图2 如图3所示， :S大正方影=4S三角影+S小正方形， 方法三 (a+b)2=4x2ab+c2 整理，得a2+b2=c2. 图3 3/47 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 5.勾股定理的逆定理如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形 数学语言：如果三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形 6.勾股数：满足+=c2的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有3,4,5；5,12,13：7,24， 25;8,15,17等。 勾股数应具备两个条件：(1)这三个数均为正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方。 判断勾股数的方法： (1)判断三个数是否都是正整数； (2)若是，确定出最大数，并计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和； (3)进行比较，若相等，则是勾股数，否则不是。 期末常考题型清单 【题型一】直角三角形的性质 【例1-1】(25-26八年级上·上海静安期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果CH、CM分别是 斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是() A.∠BCH=∠ACM B.∠ACH=∠B C.∠ACH=∠BCM D.∠ACH=∠MCH 【答案】D 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， .∠A+∠B=90°， :CH⊥AB, ∴.∠AHC=∠BHC=90°， ∴.∠B+∠BCH=90°，∠A+∠ACH=90°， ∴.∠A=∠BCH,∠B=∠ACH,故选项B正确； ~CM是Rt△ABC中斜边上的中线， CM-AB-AM-BM ·∠A=∠ACM,∠B=∠BCM, ∴.∠BCH=∠ACM,故A选项正确； 4/47 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠BCM,B=∠ACH, ∠ACH=BCM,故选项C正确； ~∠A,∠AMC不一定相等，∠ACH=90°-∠A,∠MCH=90°-∠AMC, ∴∠ACH=∠MCH不一定成立，故选项D错误， 故选：D, 【例1-2】(25-26八年级上·上海期中)将两块斜边长等于4的三角尺(Rt△ABC与Rt△ABD)的斜边重 合，按图所示摆放，E为AB中点，联结EC和ED,那么△ECD的面积等于 【答案】1 【详解】解：如图，过点C作CF⊥DE于F, D 在Rt△ABC中，CA=CB,E为AB中点，斜边AB=4, CE=1AB=2,CE⊥AB, 在RtABD中，∠ABD=60°，∠DAB=30°，E为AB中点，斜边AB=4, DE4BBE=2,DB号4B=2 .DE =DB=EB, △DEB为等边三角形， .∠DEB=60°， ∴.∠CED=180°-90°-60°=30°， CF-CE-1.S.m-1DE.CF-1x2x1-1. 1 2 2 故答案为：1. 【变式1-1】(25-26八年级上·上海嘉定·月考)如图：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边 上的中线，那么下列结论中错误的是() 5/47 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 D A.∠ACD=∠B B.∠ECB=∠A-∠ECD C.∠ACD=∠ECB D.∠ECB=∠DCE 【答案】D 【详解】解：A,因为∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B,所以 该选项正确； B,因为∠ACD=∠A-∠ECD,又由选项A知∠ACD=∠B,且CE是中线，AE=CE, 所以∠A=∠ACE,∠ECB=∠ACB-∠ACE=90°-∠A, 同时∠ACD=∠B,∠BCD=90°-∠ACD,∠ECB=∠BCD-∠ECD, 所以∠ECB=∠A-∠ECD, 该选项正确； C,由选项A知∠ACD=∠B,因为CE=BE, 所以B=∠ECB, 所以∠ACD=∠ECB, 该选项正确： D.在一般情况下，无法得出∠ECB=DCE, 该选项错误 故选：D 【变式1-2】(25-26八年级上·上海嘉定·月考)直角三角形斜边上的高和中线分别为4厘米和6厘米，则 此三角形面积为平方厘米. 【答案】24 【详解】解：~直角三角形斜边上的中线为6厘米， 斜边长为2×6=12厘米。 又~斜边上的高为4厘米， 三角形面积为号×12×4=24平方厘米。 故答案为24. 【变式1-3】(25-26八年级上·上海静安·月考)如图，四边形ABCD中，AC,BD相交于点G, 6/47 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点，∠BAC=15°，BG=EG,则 EF 的值为。 AC B D 1 【答案】 4 【详解】解：连接BE、DE,如图所示： G D ~∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点， B证-证-号4C,DE-4C, 2 ∴.BE=DE,∠ABE=∠BAC=15°， 、∠BEG=∠ABE+∠BAC=30°， .BG=EG, ·∠EBG=∠BEG=30°， ~BE=DE,F是BD的中点， EF⊥BD, ∠BFE=90°， EF=B距， 2 B照-4C, EF 1 “AC4 故答案为： 【题型二】直角三角形全等的判定 7/47 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【例2】(25-26八年级上·上海闵行·月考)已知：如图，AB1BC,AE⊥ED,垂足分别为点B、E, AB=AE,∠I=∠2，求证：BC=DE. B D 【详解】解：∠1=∠2， ..AC=AD, ~AB⊥BC,AE⊥ED, ∴.∠B=∠E=90°， 又~AB=AE, △ABC≌△AED(HL), ∴BC=DE, 【变式2-1】(25-26八年级上·上海·月考)如图，在Rt△ABC,∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB 于点E,点F在AC上，BD=DF,AB=I5,AF=9,则FC的长为· E D 【答案】3 【详解】解：~∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB, ..DE=DC, 在Rt DBE与Rt△DFC中 (DE DC BD=FD Rt△DBE≌Rt△DFC(HL), ..BE=DC, 在Rt△ACD与Rt△AED中 8/47 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 AD=AD DC=DE ∴RtAACD≌RIAAED(THL), ..AC=AE, ..AF+FC=AB-BE, AB=15,AF=9, FC=AB-AF=3, 2 故答案为：3. 【变式2-2】(25-26八年级上·上海徐汇·月考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=6, P,Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，且PQ=AB,要使△ABC和△APQ全等，则AP的长 为 【答案】6或12 【详解】解：PQ=AB,∠C=∠CAQ=90°， 要使△ABC和△APQ全等，分两种情况： ①当AP=BC=6时，△ABC≌△QPA(HL), ②当AP=AC=12时，△ABC≌△PQA(HL). 故答案为6或12. 【变式2-3】(25-26八年级上·上海闵行·月考)在△ABC中，点D是边BC的中点，点E、F分别在边 AB、AC上，且DE⊥DF,连接EF, E D D 图1 图2 9/47 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC,求证：∠DEF=45°； (2)如图2，∠DEF=45°，△ABC是等边三角形，DE=DF,求证：AE=AF; 【详解】(1)证明：连接AD, A B D ~∠A=90°，AB=AC,点D是边BC的中点 AD= BC=DC,∠C=∠BAD=45 又~在四边形AEDF中， ∠BAC=90°，∠EDF=90° ∠AED+∠AFD=180° 又∠CFD+∠AFD=180° ·.∠AED=∠CFD 在△AED和△CFD中， [∠C=∠BAD AD=DC ∠AED=∠CFD ∴△AED≌△CFD(AAS) .ED=FD ∴△EDF为等腰直角三角形 ÷DEF=45° (2) A E B D 连接AD,过点D作DJ⊥AB于J,过点D作DK⊥AC于K ~点D是边BC的中点，△ABC是等边三角形， 10/47 专题04 直角三角形（4知识9题型） 【清单01】直角三角形的性质及判定 1.直角三角形的性质定理(1)：直角三角形的两个锐角 。 2.直角三角形的判定定理：两个锐角 的三角形是直角三角形。 3.直角三角形的性质定理(2)：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。 【清单02】直角三角形全等的判定定理 1.直角三角形全等的判定定理:如果两个直角三角形的 对应相等,那么这两个直角三角形全等。 注意:这个定理只适用于直角三角形,“直角三角形”是应用该定理的前提条件。 2. 判定两个直角三角形全等的方法:判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用,因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”(一般方法)以及上面刚学的直角三角形的判定定理这五种方法来判定两个直角三角形全等。 【清单03】角平分线 1.作已知角的平分线 已知 ∠BAC （如图所示），用直尺和圆规作 ∠BAC的平分线 AD . 作法 以点 A 为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于 E , F 两点. 分别以 E ， F 为圆心，大于 EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于 ∠BAC 内一点 D . 过点 A ， D 作射线 AD .射线 AD 就是所求作的 ∠BAC 的平分线. 示范 原理 连结 DF ， DE .由作法可得 AF=AE ， DF=DE ，又 ∵AD=AD ， ∴△ADF≌△ADE(SSS) ,∴∠FAD=∠EAD ，即 AD 平分 ∠BAC . 注意 要以大于 EF 长为半径作圆弧，因为以小于 EF 长为半径作圆弧时，两圆弧没有交点，以等于 EF 长为半径作圆弧不易操作. 2.角平分线的性质定理及逆定理 （1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 . 几何语言：如图所示， ∵OC 是 ∠AOB的平分线， P是 OC 上一点， PD⊥OA， PE⊥OB ，垂足分别为 D， E ， ∴PD=PE. 注意：利用角平分线的性质定理证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段” ，如图（1）所示，而不是“垂直于角平分线的线段”，如图（2）所示. （2）角平分线的性质定理逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的 上. 几何语言： ∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上. 3. 角的平分线的性质定理及逆定理的关系 4.三角形的内心:三角形的三个内角的 相交于一点,这个交点叫作三角形的内心 注意：三角形的内心到三角形三边的距离相等 【清单04】勾股定理 1.直角三角形三边之间的关系定理:在直角三角形中, 大于 . 2.垂线段的性质定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简单地说: 最短. 3. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和,等于 的平方. 数学语言:如果直角三角形两条直角边分别是 a、b,斜边是c,那么a²+b²=c² 4.勾股定理的证明 5.勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的 ,那么这个三角形是直角三角形. 数学语言:如果三角形三边长a、b、c满足a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形. 6.勾股数：满足a²+b²=c² 的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17 等。 勾股数应具备两个条件：(1)这三个数均为正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方。 判断勾股数的方法： (1)判断三个数是否都是正整数； (2)若是，确定出最大数，并计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和； (3)进行比较，若相等，则是勾股数，否则不是。 【题型一】直角三角形的性质 【例1-1】（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，如果分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26八年级上·上海·期中）将两块斜边长等于4的三角尺(与)的斜边重合，按图所示摆放，为中点，联结和，那么的面积等于 ． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海嘉定·月考）如图：在中，是斜边上的高，是斜边上的中线，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海嘉定·月考）直角三角形斜边上的高和中线分别为4厘米和6厘米，则此三角形面积为 平方厘米． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海静安·月考）如图，四边形中，，相交于点，，、分别是、的中点，，，则的值为 ． 【题型二】直角三角形全等的判定 【例2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知：如图，，垂足分别为点B、E，，，求证：． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为 ． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）在中，点是边的中点，点、分别在边、上，且，连接． (1)如图1，是等腰直角三角形，，，求证：； (2)如图2，，是等边三角形，，求证：； 【题型三】作角平分线 【例3】（25-26八年级上·上海静安·期末）已知：及线段，点在上．求作点，使，且点到的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹） 【变式3-1】（25-26八年级上·上海·月考）作图题：如图，已知及定点、，在的内部求作点，使点到直线、的距离相等，且． 【变式3-2】（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，求作点P，使得点P到点的距离相等，且到两边的距离相等． 【变式3-3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，已知有一个，角的内部有一点C，现在想要在图中找到一个点P，满足条件，并且点P到射线的距离和点P到射线的距离相等，请你在下图中作出点P（尺规作图） 【变式3-4】（25-26八年级上·上海普陀·月考）尺规作图：如图，已知的两边上有两点、，连接，找出点使它到点、距离相等的同时，到的两边所在的直线距离也相等． 【题型四】角平分线性质定理与逆定理 【例4-1】（25-26八年级上·上海·月考）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【例4-2】（25-26八年级上·上海嘉定·月考）已知中，为的中点，为的平分线上的点，于，交的延长线于，，求证：． 【例4-3】（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，点是边上一点，且，点在上，且点到、的距离相等，连接交于点F． (1)试判断的形状； (2)请证明你的结论． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海·期中）如图，是的角平分线，于点，，则边的长是 ． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，和的平分线、交于点，连接． (1)求证：平分； (2)？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海徐汇·月考）在学习了角的平分线的性质之后，小明同学做了如下的实验：画，并画的平分线．把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与相交于点． (1)若（如图①），小明发现，请帮小明证明； (2)把三角尺绕点旋转至如图②所示的位置，小明发现与仍然相等，请帮小明证明； (3)聪明好学的小明接着进行了如下探究：画，并画的平分线，在上任取一点，作．的两边分别与相交于两点（如图③），小明发现与仍然相等，请帮小明证明． 【变式4-4】（25-26八年级上·上海·月考）在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【题型五】利用勾股定理求线段长 【例5-1】（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段 ． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海浦东新·月考）在中，，，，在三角形内有一点到边、、的距离均相等，那么这个相等的距离为 ． 【例5-3】（25-26八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，平分，，那么 ． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，在中，，，那么 ． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，中，平分线和边的垂直平分线交于点，已知点到边距离为，那么点E和点A之间的距离为 ． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：在边上作一点D，使得点D到边与边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的长． 【变式5-4】（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，中，，为的中点，过点作的垂线，过点作的平行线，两直线相交于点，连结，F是的中点，连结． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【题型六】利用勾股定理求线段间的数量关系 【例6】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在中，，为上任意一点，那么的值是 ． 【变式6-1】（25-26八年级上·上海浦东新·月考）如图，在中，，平分，于点，如果，，那么的周长为 ． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海·月考）如果三角形中有一边上的中线长度正好等于这条边的长度，那么称这个三角形为“好玩三角形”如果是“好玩三角形”，，且，那么 ． 【题型七】利用勾股定理求面积 【例7】（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海·月考）如图，点是等边内一点，，，，则的值为 ． 【变式7-2】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在中， (1)当，，时，求的面积． (2)当，，时，求的面积． 【题型八】利用勾股定理判断、作图、证明 【例8-1】（25-26八年级上·上海·月考）下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（   ） A．有一边的中线等于这边的一半 B．三个内角之比为 C．三边之比为 D．三边之比为 【例8-2】（25-26八年级上·上海闵行·月考）在下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13 【例8-3】（25-26八年级上·上海浦东新·月考）已知：在中，，，为锐角，的面积为9，点为边上的动点，过点作，交的延长线于点，平分交于点． (1)如图1，当时，求的长? (2)如图2，当点为的中点时，请猜想并证明：线段、、的数量关系？ 【例8-4】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如图、是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．请仅用一根无刻度直尺作图在网格图中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示（不要求说明理由，需保留必要的作图痕迹，写出结论） 例如：在图中，是格点，要作出线段的中点，可利用无刻度直尺，连接格点所得线段与线段交点就是线段中点，利用可说明． (1)在图中，是格点，请仅用一根无刻度直尺作出线段的垂直平分线； (2)在图中，是格点，请仅用一根无刻度直尺作出等腰直角三角形，点是格点； (3)在（2）的基础上，请仅用一根无刻度直尺作出线段的垂直平分线． 【变式8-1】（25-26八年级上·上海·月考）阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 【变式8-2】（25-26八年级上·上海普陀·月考）阿真在学习本章知识的过程中，发现等腰三角形沿着对称轴分割可以得到两个全等的直角三角形，她在想，如果这个等腰三角形很特殊，那么分割出来的直角三角形也一定很特殊，于是她将等边三角形进行了分割，她发现在中角所对的直角边等于斜边的一半． 于是她利用上述结论解决了一个困扰自己好久的问题： (1)如图，，，为中点，于，若，则的面积__________． (2)接着她还探究出很多相关结论，请尝试证明下面的问题 ①已知：中，，，求证：． ②已知：在中，，，求证：（提示：使用同一法或反证法） 【题型九】勾股定理综合应用 【例9】（25-26八年级上·上海浦东新·月考）已知：如图，在中，，，，点是边的中点，是边上的一动点（点不与点重合），过点作交的延长线于点，过点作交直线于点，连接． (1)填空：______，______； (2)如图，当点在的延长线上时，设，，试用含的代数式表示； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【变式9】（25-26八年级上·上海·月考）如图，在长方形中，，，点是边上的一个动点，连接，作的中垂线交边于点． (1)设，，用含的代数式表示； (2)过点作于点，若，求的长； (3)连接，，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $