专题03 二次根式（8知识&21题型）（期中知识清单）八年级数学上学期新教材沪教版

专题03 二次根式（8知识&21题型） 【清单1】二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做______． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个______数； 【清单2】二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是______． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【清单3】二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①______0； a______0（双重非负性）． ②（）2＝______ （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③|a|__________（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ______（a≥0，b≥0）______（a≥0，b______0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 【清单4】最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 【清单5】二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：______（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：______（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：______（a≥0，b______0） （4）二次根式的除法法则：______（a≥0，b______0） 规律方法总结： 在使用性质•（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 【清单6】同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【清单7】二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【清单8】二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 题型1 二次根式的识别 1．下列式子不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型2 求二次根式中的参数 5．若是整数，则正整数n的最小值为 ． 6．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如果是有理数，那么正整数的最小值是 ． 8．若是整数，则正整数的最小值是 ． 题型3 二次根式有意义的条件 9．式子有意义，则x的取值范围是 ． 10．若二次根式在实数范围内没有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．给出下列式子：①；②；③；④．其中一定是二次根式的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．当为何值时，二次根式有意义？ 题型4 利用二次根式的性质化简 13．若则的值为 14．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 15．若，则 ． 16．化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 题型5 利用二次根式的性质进行化简 17．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 18．双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 19．化简的结果为 ． 20． ． 题型6 最简二次根式的判断 21．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 22．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 23．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 题型7 化为最简二次根式 25．化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 26．当时，化简： ． 27．化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 28．化简： ． 题型8 已知最简二次根式求参数 29．若和都是最简二次根式，则 ， ． 30．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 31．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 32．已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 题型9 同类二次根式 33．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 34．若是最简二次根式，且与可以进行加减合并，则的值为（    ） A．1 B． C． D．5 35．下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 36．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型10 二次根式的乘法 37．如图所示，内圆的半径为，外圆的半径为．求这个圆环的面积． 38．计算： (1)． (2)． (3)． 39．计算： (1)． (2)． (3)． 40．已知三角形的一边长为，这条边上的高为，则这个三角形的面积为 ． 题型11 二次根式的除法 41．计算的结果是（    ） A．5 B． C． D． 42．已知，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为 ． 43．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 44．计算： (1)． (2)． (3)． 题型12 二次根式的乘除混合运算 45．下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； ④计算的结果是1． 46．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 47．计算： (1)； (2)． 48．计算： (1) (2) 题型13 分母有理化 49．计算的结果为 ． 50．计算： (1)． (2)． 51．的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 52．阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 题型14 二次根式的加减运算 53．某三角形的周长为．已知两边长分别为和，则第三边长为 cm． 54．计算下列各题： (1)． (2)． (3)． (4)． 55．若两根绳子的长分别为和，则这两根绳子一共长 m． 56．软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图所示的是海海爸爸的书法作品．已知宽为，长是宽的3倍，则该作品的周长为 ． 题型15 二次根式的混合运算 57．（1）计算：         （2）计算： （3）计算：         （4）计算：         （5）计算： （6）计算：         （7）计算： （8）解方程：         （9）解方程： 58．计算：． 59．已知，则代数式的值为（    ） A．25 B． C．3 D．5 60．计算： (1)   ． (2) ． 题型16 比较二次根式的大小 61．比较大小： ．（填“＞”“＜”或“=”） 62．阅读下列解题过程： ； ； ； …… 则： (1) ； (2)观察上面的解题过程，请直接写出式子 (3)利用上面的规律：比较 与 的大小． 63．比较大小： （填“，，”）． 64．比较大小： ．（填“”“ ”或“”） 题型17 已知字母的值，化简求值 65．有一道练习题：对式子先化简，再求值，其中a． 小明的解法如下： ． 把代入，得原式． 小明的解法对吗？如果不对，请帮他改正． 66．已知，且是偶数，则的值为 ． 67．先化简，再求值：，其中． 68．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∴， ∴ ∴即 ∴ ∴ 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)　　　； (2)化简：； (3)若， ①求的值； ②求的值． 题型18 已知条件式，化简求值 69．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 70．已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 71．（1）计算：； （2） 若从下列代数式，，中选择一个进行求值； ， 72．已知，求的值． 题型19 二次根式的应用 73．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，如图所示的是其局部．若该画纸长为，宽为，装裱后四周的边衬均增加了，则装裱后整个画卷的长为 cm，宽为 cm． 74．已知长方形的周长，长和宽分别为a，b，已知，则a的值为 ． 75．物体在做自由落体运动时，下落时间t（单位：s）和下落高度h（单位：m）近似地满足公式．小芳认为小球从的高空落地需要的时间是从的高空落地需要的时间的2倍．你认为小芳的想法正确吗？请判断并说明理由． 76．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 题型20 实数的混合运算 77．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 78．（1）计算：； （2）已知不等式． ①直接写出该不等式的解集； ②请你写出一个不等式，使它与已知不等式组成的不等式组的解集为． 79．计算： 80．计算： (1)． (2)． 题型21 新定义下的实数运算 81．（多选）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（   ） A． B．对100连续求根整数，3次之后结果为1 C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 82．对于数规定运算“”为．若等式成立，求的值． 83．定义：若满足（为常数）且，则称点为“友好点”，若均为“友好点”，已知，且当时，都有，则的取值范围是 ． 84．已知：表示不超过的最大整数．例，现定义：，例：，则 ． 试卷第1页，共3页 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次根式（8知识&21题型） 【清单1】二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 【清单2】二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【清单3】二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③|a|（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． •（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 【清单4】最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 【清单5】二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 【清单6】同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【清单7】二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【清单8】二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 题型1 二次根式的识别 1．下列式子不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的识别 【分析】要判断哪个式子不是二次根式，需根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，其中根指数是，通常省略不写；依次分析每个选项是否符合该定义． 【详解】选项A：，符合二次根式的形式，是二次根式； 选项B：，根指数是，是三次根式，不符合二次根式根指数为的定义，不是二次根式； 选项C：，符合二次根式的形式，是二次根式； 选项D：，符合二次根式的形式，是二次根式． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式是形如且根指数为的式子是解题的关键． 2．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的识别、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的两个要素“形如，被开方数满足”是解题的关键． 形如这样的式子就是二次根式，据此逐一分析判断即可． 【详解】解：A．是二次根式，符合题意； B． 是4的立方根，不是二次根式，不符合题意； C．不是二次根式，不符合题意； D．只有满足时，才是二次根式，否则就不是二次根式，不符合题意； 故选：A． 3．下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的识别 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是二次根式，不合题意； B、中，故不是二次根式，符合题意； C、，则是二次根式，不合题意； D、是二次根式，不合题意； 故选：B． 4．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据定义进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．∵，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     B．∵的根指数是3，∴不是二次根式，故此选项不符合题意；     C．∵，∴是二次根式，故此选项符合题意； D．当时，是二次根式，原选项没有说明的取值范围，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型2 求二次根式中的参数 5．若是整数，则正整数n的最小值为 ． 【答案】7 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键． 根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的值即可． 【详解】解：∵是整数， ∴一定是一个完全平方数，最小是， 此时的值为． 故答案为：． 6．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式中的参数 【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题． 【详解】解：因为， 所以． 因为是整数， 所以正整数m的最小值是2． 故选：B． 7．如果是有理数，那么正整数的最小值是 ． 【答案】5 【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式中的参数 【分析】本题考查了根式的化简．熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 根据是有理数，得是平方数，得是平方数，即得正整数的最小值． 【详解】解：∵是有理数， ∴是平方数， ∵， ∴是平方数， ∴正整数的最小值是5， 故答案为：5． 8．若是整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】7 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将化简，再根据其为整数的条件，确定正整数的最小值． 【详解】解：． 因为是整数， 所以必须是整数．则为完全平方数，正整数的最小值为． 故答案为：． 题型3 二次根式有意义的条件 9．式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得， ， 解得， 故答案为：． 10．若二次根式在实数范围内没有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及解一元一次不等式． 根据二次根式没有意义的条件可得 ，再解不等式即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内没有意义， ∴， 解得． 故选：A． 11．给出下列式子：①；②；③；④．其中一定是二次根式的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式是形如的式子是解题的关键． 要判断哪些式子是二次根式，需根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，依次分析每个式子是否符合该定义即可． 【详解】式子①：，根指数是，是三次根式，不是二次根式，不合题意； 式子②：，根指数为，其被开方数，符合二次根式定义，符合题意； 式子③：，根指数为，其被开方数，符合二次根式定义，符合题意； 式子④：，根指数为，其被开方数，符合二次根式定义，符合题意． 综上所述，式子②、③、④是二次根式，共个， 故选：C ． 12．当为何值时，二次根式有意义？ 【答案】或 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：要使该二次根式有意义，需满足且， 所以或 解得或， 所以当或时，二次根式有意义． 题型4 利用二次根式的性质化简 13．若则的值为 【答案】或 【知识点】绝对值方程、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、解绝对值方程等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 由二次根式的性质可得，然后解绝对值方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，有，解得：； 当时，有，该方程无解； 当时，有，解得：． 综上，该方程的解为或． 故答案为：或． 14．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将式子各项化简后，合并同类二次根式再将代入即可得到结果； （2）先将式子各项化简后，合并同类二次根式再将代入即可得到结果． 【详解】（1）解：原式． 当时，原式． （2）解：原式． 当时，原式． 15．若，则 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的运算及方程的求解能力，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先两边同时除以通过二次根式的运算法则化简求解即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 16．化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：B． 题型5 利用二次根式的性质进行化简 17．像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 18．双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，考查二次根式的化简，完全平方公式和平方差公式，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的非负性，求出的值，然后代数利用完全平方式进行求值即可； （2）利用完全平方式和平方差公式进行求解即可； （3）利用完全平方式进行求解即可． 【详解】（1）解：由得， ， ∴， ∴ ； （2）解： ，经检验，符合题意； （3）解： ∵ 即 ∴， ∴． 19．化简的结果为 ． 【答案】5 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 20． ． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了初中数学中的二次方程求解、平方根的性质以及无限嵌套结构的理解．解题的关键在于设未知数 x 表示无限嵌套的平方根式．设 ，通过平方化简为二次方程进行求解，根据算术平方根的非负性确定答案． 【详解】解：设所求的值为x，则原式可表示为： ， ， 解得，， 算术平方根的结果非负， ， 故答案为：1 题型6 最简二次根式的判断 21．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】要判断哪个二次根式是最简二次根式，需根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，对每个选项逐一分析． 【详解】选项 A：的被开方数2不含分母，且不能再分解出能开得尽方的因数，所以是最简二次根式，符合题意； 选项 B：，被开方数9是能开得尽方的数，不是最简二次根式，不符合题意； 选项 C：，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 选项 D：，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 22．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 【答案】5 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 23．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的识别，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式），逐一判断各二次根式是否符合条件． 【详解】①：被开方数3不含分母，且3是质数，无法再分解出平方因数，故为最简二次根式； ②：被开方数含分母4，可化简为，故不是最简二次根式； ③ ：被开方数9是，可开方为3，故不是最简二次根式； ④ ：即，被开方数含分母2，化简为，故不是最简二次根式； ⑤ ：被开方数是质数，无法再分解出平方因数，故为最简二次根式； 综上，最简二次根式有①和⑤，共2个， 故选：B． 24．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念“被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，由此即可求解． 【详解】解：A、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，原选项是最简二次根式，符合题意； 故选：D ． 题型7 化为最简二次根式 25．化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据最简二次根式的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 26．当时，化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合的正负化简二次根式． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 又∵， ∴，，则， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 27．化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则进行化简即可； （2）根据二次根式的除法法则进行化简即可； （3）根据二次根式的除法法则进行化简即可； （4）根据二次根式的除法法则进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 28．化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将带分数化为假分数，再利用二次根式的性质化简，最后进行分母有理化得到最简结果． 【详解】， 故答案为：． 题型8 已知最简二次根式求参数 29．若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【知识点】代入消元法、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 30．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 【知识点】因式分解的应用、求一个数的立方根、求一个数的平方根、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 31．若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 32．已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【答案】答案不唯一 【知识点】二次根式有意义的条件、已知最简二次根式求参数 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 题型9 同类二次根式 33．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，解一元一次方程，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． 先化简为最简二次根式，再根据同类二次根式，列出方程求解即可． 【详解】解：， ∴， 解得， 故答案为：1． 34．若是最简二次根式，且与可以进行加减合并，则的值为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据同类二次根式的定义列式整理即可求解． 【详解】解：∵是最简二次根式，且与可以进行加减合并， ∴， 解得：． 故选：A ． 35．下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 36．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是将二次根式化为最简二次根式后，判断被开方数是否相同． 先将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据“被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式”，判断哪个选项与是同类二次根式． 【详解】根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这些二次根式是同类二次根式． A、已是最简二次根式，被开方数为3，与的被开方数2不同，不是同类二次根式； B、已是最简二次根式，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式； C、，化简后被开方数为2，与的被开方数相同，是同类二次根式； D、已是最简二次根式，被开方数为14，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． 故选：C． 题型10 二次根式的乘法 37．如图所示，内圆的半径为，外圆的半径为．求这个圆环的面积． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、 圆的面积 【分析】此题考查二次根式的乘法计算，掌握圆环的面积计算公式是解答的关键． 圆的面积为，代入数据计算分别求出外圆的面积和内圆的面积，圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积，据此计算即可解答． 【详解】解：圆环的面积， ， ， ． 38．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的除法、二次根式的乘法、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）利用乘法分配律展开后利用二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）利用二次根式的除法法则进行计算即可； （3）利用二次根式的乘法法则和除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． 39．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法法则是解题的关键． （1）本题需要计算，根据二次根式乘法法则，将两个二次根式相乘后再化简求值． （2）本题要计算，利用二次根式乘法法则，先将系数与根式分别相乘，再化简． （3）本题计算，依据二次根式乘法法则，把系数和根式部分分别相乘后化简求值． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 40．已知三角形的一边长为，这条边上的高为，则这个三角形的面积为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，这个三角形的面积为：， 因为边长且， 所以，故， 所以面积为 故答案为：． 题型11 二次根式的除法 41．计算的结果是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的除法、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解法1：先对括号内合并同类二次根式，再进行运算；解法2：先把括号内每一项除以，再把所得的商相加即可. 【详解】解：解法1： 原式= 解法2： 原式 故选： ． 42．已知，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 根据长方形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，这个长方形的宽为：． 故答案为：． 43．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的除法、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，掌握二次根式的乘除法法则是解决本题的关键． （1）（2）（3）利用二次根式的除法法则计算； （4）根据二次根式的乘除法计算法则运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 44．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的除法、化为最简二次根式 【分析】利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答． 本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型12 二次根式的乘除混合运算 45．下列说法中正确的是 ．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数n是3； ③是最简二次根式； ④计算的结果是1． 【答案】②④/④② 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘除混合运算、最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故①错误； ②是正整数的最小整数， ∴n是3，故②正确； ③，不是最简二次根式，故③错误； ④，故④正确． 故答案为：②④ 46．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、求一个数的立方根、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，分母有理化，立方根、算术平方根，掌握运算法则是解题的关键． （）根据算术平方根，分母有理化即可得到答案； （）先计算立方根，算术平方根，化简绝对值，再计算加减运算即可得到答案； （）根据二次根式乘法、除法，二次根式的性质化简，然后合并即可； （）根据二次根式除法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 47．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式并注意运算顺序是解题关键． （1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先化简二次根式，再利用二次根式乘除法运算求出即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 48．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算． （1）先计算二次根式的乘法运算，再计算二次根式的除法运算即可． （2）先利用乘法公式计算，再算加减即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型13 分母有理化 49．计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题需要对分母含有二次根式的式子进行化简，可通过分母有理化的方法，将分母中的根号去掉，从而得到最简形式． 【详解】为了将分母有理化，分子分母同时乘以（的有理化因式），则： 原式 【点睛】本题考查了分母有理化，掌握给分母乘以其有理化因式将分母中的根号去掉的方法是解题的关键． 50．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】（1）先对二次根式进行分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （2）先对二次根式分母有理化，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 . （2）解：原式. . 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则. 51．的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【知识点】倒数、分母有理化、求一个数的绝对值、相反数的定义 【分析】本题考查了实数的性质，分母有理化，相反数、倒数、绝对值，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质求解即可． 【详解】解：的相反数是，倒数是，绝对值是， 故答案为：，，． 52．阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．先分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型14 二次根式的加减运算 53．某三角形的周长为．已知两边长分别为和，则第三边长为 cm． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、确定第三边的取值范围 【分析】本题已知三角形的周长以及其中两条边的长度，要求第三条边的长度。根据三角形周长的定义，即三角形三条边长度之和，所以用周长减去已知的两条边的长度，即可得到第三条边的长度． 【详解】首先，对进行化简： 然后，根据三角形周长公式，第三边长等于周长减去另外两边长，即： 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式加减运算的步骤是解题的关键． 54．计算下列各题： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）（2）（3）（4）先将二次根式化简成最简二次根式，再进行加减运算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 55．若两根绳子的长分别为和，则这两根绳子一共长 m． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的加法法则，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据将二次根式化简成最简二次根式再进行加减即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 56．软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图所示的是海海爸爸的书法作品．已知宽为，长是宽的3倍，则该作品的周长为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了长方形的周长公式，根据题意求出长方形的长，再利用周长公式计算即可，正确的运算是解题的关键． 【详解】解：已知宽为，长是宽的3倍， 则长为， 长方形的周长为， 故答案为： ． 题型15 二次根式的混合运算 57．（1）计算：         （2）计算： （3）计算：         （4）计算：         （5）计算： （6）计算：         （7）计算： （8）解方程：         （9）解方程： 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）1（6）（7）（8）（9） 【知识点】二次根式的混合运算、利用平方根解方程、实数的混合运算、立方根的实际应用 【分析】（1）利用零指数幂，负整数指数次幂，去绝对值，算术平方根和立方根的运算法则进行求解即可； （2）（3）（4）（5）（6）（7）利用二次根式的混合运算法则进行求解即可； （8）利用平方根求方程的解即可； （9）利用立方根求方程的解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）    ； （4） ；     （5） ； （6）   ； （7） ； （8） ； （9） ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，包括零指数幂，负整数指数次幂，去绝对值，算术平方根和立方根，二次根式的混合运算，利用平方根和立方根解方程，解题的关键是掌握各运算法则和公式． 58．计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、实数的混合运算、负整数指数幂、零指数幂 【分析】考查负指数幂、二次根式、零指数幂、绝对值的运算；方法是分步化简后合并；关键是掌握各运算核心法则，准确判断符号；易错点为负指数幂、绝对值化简及零指数幂底数判断错误．先分别化简各项：，，，；再代入原式合并，即可求得该式的结果． 【详解】解： ． 59．已知，则代数式的值为（    ） A．25 B． C．3 D．5 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、已知字母的值，化简求值 【分析】本题需要先求出与的值，再将代数式进行变形，转化为含有与的形式，最后代入求值． 【详解】解： = 故答案选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式、平方差公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 60．计算： (1)   ． (2) ． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的顺序以及将二次根式化为最简二次根式的方法是解题的关键． （1）本题需要计算，按照二次根式混合运算顺序，先进行除法运算，再进行减法运算，过程中要将二次根式化为最简二次根式； （2）本题要计算，依据二次根式混合运算顺序，先进行乘法运算，再进行减法运算，同时要把二次根式化为最简二次根式． 【详解】（1）解：原式 故答案为：． （2）解：原式 故答案为：． 题型16 比较二次根式的大小 61．比较大小： ．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握“作差法”比较大小是解题的关键．利用作差法得到，再比较出即可得到答案． 【详解】，， ， ， 故答案为：． 62．阅读下列解题过程： ； ； ； …… 则： (1) ； (2)观察上面的解题过程，请直接写出式子 (3)利用上面的规律：比较 与 的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了分母有理化、平方差公式、二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算． （1）根据题意给出的规律即可求出答案． （2）分子分母同时乘以即可求出答案． （3）将两个数化为的形式即可求出答案． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为： ； （2）解：由题意，得 ； 故答案为： （3）解：根据题意，得： ， ， ， ． 63．比较大小： （填“，，”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，利用平方法将无理数的大小转化为有理数的大小比较成为解题的关键． 将无理数的大小转化为有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 64．比较大小： ．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、实数比较大小，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先分母有理化，然后根据负数比较大小的方法进行比较即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴，即， 故答案为：． 题型17 已知字母的值，化简求值 65．有一道练习题：对式子先化简，再求值，其中a． 小明的解法如下： ． 把代入，得原式． 小明的解法对吗？如果不对，请帮他改正． 【答案】小明的解法不对．见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知字母的值，化简求值 【分析】根据二次根式的性质，再判断的值的正负性即可. 【详解】解：小明的解法不对．改正如下： ， ， 原式. 把代入，得原式． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是判断正误的关键. 66．已知，且是偶数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查的是二次根式的除法，掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的性质、二次根式有意义的条件解答． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∵是偶数， ∴， 当时，原式， 故答案为：． 67．先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用完全平方公式进行化简． 先利用完全平方公式将展开，然后合并同类项进行化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， 把代入得：． 68．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∴， ∴ ∴即 ∴ ∴ 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)　　　； (2)化简：； (3)若， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化、已知字母的值，化简求值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再把原式化简变形为，接着利用整体代入法计算得到原式，再应用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ． 题型18 已知条件式，化简求值 69．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知条件式，化简求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 70．已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， ∴ ， ∴， 故选：C． 71．（1）计算：； （2） 若从下列代数式，，中选择一个进行求值； ， 【答案】（1）；（2）选： ；选：15；选：4（任选其一即可） 【知识点】二次根式的混合运算、异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，分式加减运算，二次根式性质，熟练掌握相关运算法则和性质是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则和二次根式性质，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式，进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ， ， ； ； ． 72．已知，求的值． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查的是二次根式的化简、完全平方公式.根据完全平方公式把已知等式变形，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 题型19 二次根式的应用 73．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，如图所示的是其局部．若该画纸长为，宽为，装裱后四周的边衬均增加了，则装裱后整个画卷的长为 cm，宽为 cm． 【答案】 【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据题意求出矩形的长、宽即可． 【详解】解：由题意，得： 矩形的长为：， 宽为：． 故答案为：；． 74．已知长方形的周长，长和宽分别为a，b，已知，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，长方形的周长等于其长与宽的和的2倍，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 75．物体在做自由落体运动时，下落时间t（单位：s）和下落高度h（单位：m）近似地满足公式．小芳认为小球从的高空落地需要的时间是从的高空落地需要的时间的2倍．你认为小芳的想法正确吗？请判断并说明理由． 【答案】小芳的想法错误．理由见解析 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的运算以及对自由落体运动时间与高度关系的应用，熟练掌握二次根式的化简计算是解题的关键．将，分别代入关系式求出时间，再比较结果，判断是否为2倍关系即可． 【详解】解：小芳的想法错误．理由如下： 把代入得到 ， 把代入得到 ， 因为， 所以小芳的想法错误． 76．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的应用、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查根式求值，根据题中所给公式，代入三角形的三边长度直接计算即可． 【详解】解：， ∴的面积 ， 故答案为：． 题型20 实数的混合运算 77．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】多项式除以单项式、实数的混合运算、运用平方差公式进行运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，化简绝对值，平方差公式，单项式乘单项式，积的乘方，单项式乘多项式，多项式除以单项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算立方根，算术平方根，化简绝对值，再运算加减法，即可作答． （2）先把原式整理得，再结合平方差公式进行简便运算，即可作答． （3）先运算单项式乘单项式，积的乘方，再合并同类项，即可作答． （4）先运算单项式乘多项式，多项式除以单项式，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 78．（1）计算：； （2）已知不等式． ①直接写出该不等式的解集； ②请你写出一个不等式，使它与已知不等式组成的不等式组的解集为． 【答案】（1）；（2）①；② 【知识点】实数的混合运算、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查算术平方根、绝对值以及零指数幂的运算，以及根据不等式组的解集求不等式的解集，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先进行二次根式的化简，绝对值的化简，计算零次幂即可求值； （2）①去分母，移项，合并同类项即可求解②先求出不等式的解集为，再根据不等式组的解集为，只需要写出一个解集为的不等式即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）①去分母，得； 移项、合并同类项，得， 故不等式的解集为． ②不等式组的解集为， 不等式可以是 (答案不唯一). 79．计算： 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、实数的混合运算、求一个数的算术平方根、有理数的乘方运算 【分析】本题为与实数有关的运算，考查了乘方运算，无理数的绝对值，求一个数的算术平方根等知识．先根据乘方、绝对值、算术平方根等知识化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 80．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、实数的混合运算、利用二次根式的性质化简、零指数幂 【分析】本题考查了实数的运算、零指数次幂的运算、绝对值的化简、乘法公式的运算等知识点．准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用乘法公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 题型21 新定义下的实数运算 81．（多选）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（   ） A． B．对100连续求根整数，3次之后结果为1 C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5 D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255． 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算、无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了新定义运算以及不等式的应用，熟练掌握根整数的定义并结合不等式求解是解题的关键．根据根整数的定义，分别对每个选项进行分析计算． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，故选项A正确． 第一次：； 第二次：； 第三次：， ∴对连续求根整数，次之后结果为，故选项B正确． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足题意的的整数值为、、，它们的和为，故选项C错误． 设第次运算的数为，则，所以，即； 第次运算的数为，则，所以，因为，取，则； 第次运算的数为，则，所以，取，则，所以的最大值为，故选项D正确． 故选：C． 82．对于数规定运算“”为．若等式成立，求的值． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、整式的混合运算 【分析】本题考查整式混合运算、新定义运算等知识，读懂题意，按照新定义运算展开式子是解决问题的关键． 由新定义运算，将等式展开，得到，求解即可得到答案． 【详解】解：， ， 则， ， ， ， ， 则，解得． 83．定义：若满足（为常数）且，则称点为“友好点”，若均为“友好点”，已知，且当时，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，解不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先充分理解“友好点”的定义，则，，整理得，，因为，，得，，再整理得，结合当时，都有，进行分析作答即可． 【详解】均为“友好点”，满足（为常数）且， ，， 两式分别相减，得，， ，，得，， 根据题意，，且当时，都有， ， ， ， ， 故答案为：． 84．已知：表示不超过的最大整数．例，现定义：，例：，则 ． 【答案】/ 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合计算，新定义的运算，关键是理解题意并准确列出算式解答．根据题意列出算式解答即可． 【详解】解：根据题意可得： ． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $