专题01 平方根与立方根（4知识&17题型）（期中知识清单）八年级数学上学期新教材沪教版

专题01 平方根与立方根（4知识&17题型） 【清单01】平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的_________，也叫做a的二次方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做_________． 一个正数a的正的平方根表示为“_________”，负的平方根表示为“_________”． 【清单02】平方根的性质 1．平方根的性质：正数a有_________个平方根，它们互为_________；0的平方根是_________；负数_________平方根． 【清单03】算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的_________．记为． （2）非负数a的算术平方根a有_________性：①被开方数a是_________；②算术平方根a本身是_________． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为_________运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 非负数（式）的性质 非负数之和等于0时，各项都等于_________利用此性质列方程解决求值问题． 【清单04】立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的_________或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：_________． （2）正数的立方根是_________，0的立方根是_________，负数的立方根是_________．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 题型1 求一个数的算术平方根 1．计算： ． 2．已知，则的值为 ． 3．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 4．的算术平方根是 ． 题型2 利用算术平方根的非负性解题 5．若实数满足,则 ． 6．若，则的立方根是 ． 7．已知，则的平方根为 ． 8．若x，y为实数，且满足，则的值是 ． 题型3 估计算术平方根的取值范围 9．如果一个正方形的面积为，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 10．实数的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．2和3之间 11．估计的大小应在（    ） A．7.0至7.5之间 B．7.5至8.0之间 C．8.0至8.5之间 D．8.5至9.0之间 12．估算的值在（    ）． A．11和12之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 题型4 求算术平方根的整数部分和小数部分 13．已知的整数部分为 ，小数部分是 ． 14．设的整数部分是，小数部分是，则的值为 ． 15．的小数部分是m，则 ； 16．已知的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分，则的值为 ． 题型5 与算术平方根有关的规律探索题 17．一组有规律排列的数为，则第个数是 ． 18．请你观察、思考下列计算过程： 因为，所以，同样，因为，所以，则 ，由此猜想 ． 19．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 20．先阅读理解： （1）； （2）； （3）； （4）． 根据你找到的规律，解决问题： (1)________； (2)________．（用含n的式子表示） 题型6 算术平方根的实际应用 21．如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子的容积为，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为；将瓶子倒放时，空余部分的高度为．则瓶子的底面半径为（   ） A．3cm B． C．2 D． 22．阅读与思考，请先完成第（1）小题的填空，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 23．某地气象资料表明：该地的雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)若某次雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)若一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是多少千米？ 24．海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时700－800千米，在几小时内就能横渡大洋．海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度处发生海啸，求海啸在海洋深度为处的行进速度． 题型7 求一个数的平方根 25．的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 26．49的平方根是 ． 27．的平方根是 ． 28．计算： ． 题型8 求代数式的平方根 29．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 30．如果，求的值为 ． 31．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 32．若，，，则 ． 题型9 已知一个数的平方根，求这个数 33．一个正数的两个平方根分别为和，求m和这个正数的值． 34．一个正数的两个平方根分别是和，则a的值为（   ） A．4 B．8 C． D．64 35．已知：和是某正数的平方根，的算术平方根为2．求：、的值． 36．若一个正数m的两个平方根分别是和． (1)求m和n的值 (2)求的平方根． 题型10 利用平方根解方程 37．求下列各式中的值 (1)； (2)． 38．计算 (1) (2) 39．求下列各式中的x的值 (1)； (2) 40．求x的值： (1)； (2)． 题型11 平方根的应用 41．一个正数的平方根是和，则a的值是 ． 42．若与是同一个数的平方根，则k的值是（   ） A． B． C．1 D．或1 43．如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为 ． 44．王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 题型12 立方根概念理解 45．平方根与立方根相同的数是 ． 46．有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 47．若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 48．化简： ． 题型13 求一个数的立方根 49．的立方根是 ． 50．已知m、n为实数，，则的值是 ． 51．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是8 B．的算术平方根是3 C．的立方根是2 D．立方根是它本身的数是1 52．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则的值为 ． 题型14 已知一个数的立方根，求这个数 53．已知的立方根是的算术平方根是7．求的平方根． 54．已知的立方根是3，的算术平方根是7，求的平方根． 55．已知，且，则x= ． 56．已知：的平方根是，的立方根是3，求的平方根和立方根． 题型15 与立方根有关的规律探索 57．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 58．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 59．已知，，则 ． 60．已知，且，则 ． 61．已知，，，，则 ． 题型16 立方根的实际应用 62．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 63．魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为 ． 64．正方体M的体积是正方体N的体积的64倍，那么正方体M的棱长是正方体N的棱长的（   ）倍． A．4 B．8 C．16 D．2 题型17 算术平方根和立方根的综合应用 65．已知和是同一个正数的平方根，的立方根为，求的平方根？ 66．已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 67．已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 试卷第1页，共3页 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平方根与立方根（4知识&17题型） 【清单01】平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”． 【清单02】平方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 【清单03】算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 非负数（式）的性质 非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 【清单04】立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 题型1 求一个数的算术平方根 1．计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根． 直接根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．已知，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据题意可得算术平方根是本身数为或即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 3．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查算术平方根，负数没有算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义． 根据算术平方根的性质进行逐项分析，即可求解． 【详解】解：A．3，此选项错误，不符合题意； B．没有意义，此选项不符合题意； C．，此选项不符合题意； D．，此选项符合题意； 故选：D． 4．的算术平方根是 ． 【答案】2 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 题型2 利用算术平方根的非负性解题 5．若实数满足,则 ． 【答案】9 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、有理数的乘方运算 【分析】本题考查非负数性质、算术平方根，根据非负数性质列出方程求出的值,代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵, ∴根据题意得:,解得, ∴． 故答案为：9． 6．若，则的立方根是 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的立方根 【分析】本题考查绝对值、算术平方根的非负性以及立方根的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据绝对值、算术平方根的非负性求出、的值，代入求值，进而求出其立方根． 【详解】， ，， ，， ， ， 的立方根是为， 故答案为：． 7．已知，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零，求平方根；由非负数的性质求得，，的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 8．若x，y为实数，且满足，则的值是 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、加减消元法 【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性和解二元一次方程组等知识点，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．由绝对值和算术平方根的非负性列方程组求解后，代入x，y的值计算即可． 【详解】解：由题意， 解得， 则． 故答案为：． 题型3 估计算术平方根的取值范围 9．如果一个正方形的面积为，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【知识点】估计算术平方根的取值范围、算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了二次根式的估算，掌握估算方式是解题的关键．根据正方形面积公式求出边长后进行估算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， 故选：B． 10．实数的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．2和3之间 【答案】A 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查估算算术平方根范围，掌握夹逼法估算方法是解决问题的关键．熟记算术平方根定义与求法，找准要估算数平方后所对应的数左右两边能开尽方的数，利用夹逼法求解即可得到答案． 【详解】解：，且、， ， 即实数的值在3和4之间， 故选：A． 11．估计的大小应在（    ） A．7.0至7.5之间 B．7.5至8.0之间 C．8.0至8.5之间 D．8.5至9.0之间 【答案】A 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，现实生活中经常需要估算，估算能力应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围． 【详解】解：∵， ∴， 即的大小应在7.0至7.5之间． 故选：A． 12．估算的值在（    ）． A．11和12之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 题型4 求算术平方根的整数部分和小数部分 13．已知的整数部分为 ，小数部分是 ． 【答案】 4 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 直接利用的取值范围得出整数部分和小数部分． 【详解】解：∵， ∴ ∴的整数部分为4，小数部分为． 故答案为4，. 14．设的整数部分是，小数部分是，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．根据可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵的小数部分是， ∴， 故答案为：． 15．的小数部分是m，则 ； 【答案】/ 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】本题考查了算术平方根的估算，估算出的整数部分是解题的关键．根据算术平方根的大小估算可得，得出的整数部分，进而得到的小数部分，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分是， ∴． 故答案为：． 16．已知的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分，则的值为 ． 【答案】10 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据题意求出即可得到答案．本题考查立方根、算术平方根、无理数的估算，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】∵的立方根是， ∴，解得； ∵的算术平方根是3， ∴，解得； ∵， ∴， ∴； ∴． 故答案为：10． 题型5 与算术平方根有关的规律探索题 17．一组有规律排列的数为，则第个数是 ． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查数字规律，根据数据所显示的规律可知，这组数据的规律是：，，，，…，依此可得第n个数． 【详解】解：观察数据可知，这组数据的规律是：，，，，…，则第n个数是． 故答案为：． 18．请你观察、思考下列计算过程： 因为，所以，同样，因为，所以，则 ，由此猜想 ． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了数字类规律探究，找出规律，即可求解． 【详解】解：由题意得 规律为：， ， ， 故答案为：，． 19．观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 20．先阅读理解： （1）； （2）； （3）； （4）． 根据你找到的规律，解决问题： (1)________； (2)________．（用含n的式子表示） 【答案】(1)15 (2) 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了通过观察算式规律来解决问题． （1）先观察已知算式分析出每个算式的结果都是等于从1加到算式中最后一个数的和，根据上述规律可计算出对应的结果； （2）根据（1）中总结的规律，可推导出从1加到n的和用（首项+末项）×项数÷2可得出结论． 【详解】（1）解：中，， 中，， 中，， 中，， …… ∵， ∴． 故答案为：15． （2）解：由（1）中发现的规律可得 ． 故答案为：． 题型6 算术平方根的实际应用 21．如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子的容积为，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为；将瓶子倒放时，空余部分的高度为．则瓶子的底面半径为（   ） A．3cm B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用．设瓶子的底面半径为，根据题意列出方程，求出方程的解即可求解． 【详解】解：设瓶子底面半径为， 根据题意得：， 得， 解得：(负值舍去)， 故瓶子的底面半径为， 故选：B． 22．阅读与思考，请先完成第（1）小题的填空，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握图形的拆补是解题的关键． （1）拼成的正方形面积等于原2个小正方形的面积；进一步求边长即可； （2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可． 【详解】（1）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则 由边长的实际意义，得． 答：该大正方形的边长是； （2）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为5，则 由边长的实际意义，得， 答：该大正方形的边长是． 23．某地气象资料表明：该地的雷雨持续时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)若某次雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)若一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是多少千米？ 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径是 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）把代入公式进行计算即可； （2）将代入公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； 答：这场雷雨大约能持续； （2）当时，则：， ∴或（舍去）； 答：这场雷雨区域的直径是． 24．海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时700－800千米，在几小时内就能横渡大洋．海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度处发生海啸，求海啸在海洋深度为处的行进速度． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 直接根据已知数据代入，化简得出答案． 【详解】解：由题意可得：，， 则． 答：其行进的速度为． 题型7 求一个数的平方根 25．的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根，有理数的乘方，熟练掌握定义是解题的关键． 根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 25的平方根为， 故选：C． 26．49的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是理解平方根的概念并能正确计算． 根据平方根的定义，若一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，来求解49的平方根． 【详解】解∶49的平方根是． 故答案为：． 27．的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根与算术平方根，根据平方根与算术平方根的定义即可求解，掌握平方根与算术平方根定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故答案为：． 28．计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，且，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型8 求代数式的平方根 29．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求代数式的平方根 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 30．如果，求的值为 ． 【答案】 【知识点】求代数式的平方根、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、开平方等知识，熟记平方差公式、开平方运算是解决问题的关键．先将恒等变形得到，进而得到，开平方即可得到答案． 【详解】解：， ， 即， 则， 故答案为：． 31．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【知识点】计算多项式乘多项式、求代数式的平方根 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 32．若，，，则 ． 【答案】1 【知识点】整数指数幂的运算、绝对值的几何意义、求代数式的平方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了平方根的性质，绝对值的意义，积的符号法则及幂的运算，需熟练掌握相关性质及运算法则是解此题的关键．首先确定a和b的值，此题中a和b分别有两个不同的值，根据确定a和b的符号，分情况讨论，随后计算的值，最终确定的值． 【详解】解：∵，，， ∴或， ①当，时， ， ②当，时， ， 综上，的值为1． 故答案为：1． 题型9 已知一个数的平方根，求这个数 33．一个正数的两个平方根分别为和，求m和这个正数的值． 【答案】，正数值为4 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根的性质，理解平方根的含义是解题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出的值，再根据平方根的定义求出这个正数即可． 【详解】解：∵， ， ∴这两个数分别为：，， ∵， ∴这个正数的值为． 34．一个正数的两个平方根分别是和，则a的值为（   ） A．4 B．8 C． D．64 【答案】A 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的定义，根据一个正数有两个平方根，且互为相反数，列出方程计算即可得出答案， 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， 故选：A， 35．已知：和是某正数的平方根，的算术平方根为2．求：、的值． 【答案】或11， 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，求代数式的值，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据平方根与算术平方根的定义，列出方程，进行解答即可． 【详解】解：∵和是某正数的平方根， ∴或， 解得：或11， ∵的算术平方根为2， ∴， 解得：． 36．若一个正数m的两个平方根分别是和． (1)求m和n的值 (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． （1）根据平方根的定义求出n的值，进而求出m的值即可； （2）求出的值，进而根据平方根的定义作答即可． 【详解】（1）由题意可得，， 解得， 所以， 则； （2） 则的平方根为． 题型10 利用平方根解方程 37．求下列各式中的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了利用平方根的定义和立方根的定义解方程，熟知二者的定义是解题的关键． （1）变形后利用平方根的定义求解即可； （2）变形后利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由可得， 所以； （2）解：由可得， 所以， 所以． 38．计算 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）利用平方根进行求解即可； （2）利用立方根进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得或； （2）， ， ， 解得． 39．求下列各式中的x的值 (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】此题考查利用平方根定义及立方根定义解方程，熟练掌握平方根定义及立方根定义是解题的关键． （1）先移项，再由平方根定义求解； （2）先移项，再由立方根定义求解． 【详解】（1）解：， ， ， 解得或； （2）解： ， 解得． 40．求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：或； （2）解：， ， ， 解得：． 题型11 平方根的应用 41．一个正数的平方根是和，则a的值是 ． 【答案】 【知识点】平方根的应用 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程即可得． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， 故答案为：． 42．若与是同一个数的平方根，则k的值是（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、平方根的应用 【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是．所以分两种情况讨论：一是两个平方根相等；二是两个平方根互为相反数．本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的性质，分两种情况（两个平方根相等或互为相反数）讨论是解题的关键． 【详解】解：情况一： 情况二： 综上，的值为或． 故选：D． 43．如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为 ． 【答案】 【知识点】平方根的应用 【分析】本题主要考查了平方根的应用，解题的关键是看懂阴影部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．设阴影部分正方形的边长为x，根据阴影部分与空白部分面积相等，由此列式可解． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为x， 由于阴影部分与空白部分面积相等，，则有 ， 即 解得 ， ， ， 则阴影部分正方形的边长为． 故答案为：． 44．王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方根的应用、立方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根，立方根的应用， （1）根据长方体体积的计算公式“长方体的体积底面积高”列方程求解即可； （2）根据“正方体体积的计算方法以及个小正方体体积与总体积之间的关系”列方程求解即可； 理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：设长方体底面正方形的边长为， 依题意，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 答：长方体底面正方形的边长为； （2）解：设每一个小正方体铁块的棱长为， 依题意，得：， 解得：， 答：每一个小正方体铁块的棱长为． 题型12 立方根概念理解 45．平方根与立方根相同的数是 ． 【答案】0 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题主要考查了平方根和立方根， 根据平方根和立方根的定义解答即可. 【详解】解：因为正数的平方根有两个，互为相反数，任何实数都有一个立方根， 所以正数的平方根和立方根不能相同. 因为负数没有平方根， 所以负数的平方根和立方根不能相同. 只有0的平方根是0，立方根是0. 故答案为：0. 46．有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、立方根概念理解 【分析】本题主要考查了立方根的定义和性质，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①根据立方根的定义，负数有立方根，该选项错误，符合题意； ②0的立方根是0，0既不是正数也不是负数，该选项错误，符合题意； ③该选项正确，不符合题意； ④的立方根是，该选项错误，符合题意； 故错误的选项为①②④， 故选：B． 47．若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、立方根概念理解 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 48．化简： ． 【答案】 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查了立方根的定义．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作． 根据计算即可． 【详解】， 故答案为：． 题型13 求一个数的立方根 49．的立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故答案为：． 50．已知m、n为实数，，则的值是 ． 【答案】2 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的立方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查平方根和平方的非负性，求立方根．先根据非负性求出m，n的值，代入值后求的立方根即可． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：2． 51．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是8 B．的算术平方根是3 C．的立方根是2 D．立方根是它本身的数是1 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，熟记平方根、立方根的定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、4的平方根是，选项说法错误，不符合题意； B、，的算术平方根是，选项说法错误，不符合题意； C、8的立方根是2，选项说法正确，符合题意； D、立方根是它本身的数是和0，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 52．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据“完美实数”的定义得出或1，即可求出m的值． 【详解】解：若是“完美实数”， 则或1， 解得或， 故答案为：或． 题型14 已知一个数的立方根，求这个数 53．已知的立方根是的算术平方根是7．求的平方根． 【答案】 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据算术平方根、立方根的概念得到，，求出，再代入代数式计算代数式的值，再求解平方根． 【详解】解：∵的立方根是的算术平方根是7， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴其平方根为． 54．已知的立方根是3，的算术平方根是7，求的平方根． 【答案】 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了已知立方根求一个数，算术平方根，平方根的定义．根据立方根，算术平方根求出a，b的值，再代入求解即可． 【详解】解：的立方根是3，的算术平方根是7， ，， 解得：，， ， 的平方根是 55．已知，且，则x= ． 【答案】 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查立方根的运算，根据题意，得到，再解方程即可． 【详解】，， ， ， ． 故答案为：． 56．已知：的平方根是，的立方根是3，求的平方根和立方根． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根和立方根．根据题意求出x和y的值，再求出的值，从而可求其平方根和立方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根是3， ∴， ∴， ∴， ∴100的平方根和立方根分别是． 题型15 与立方根有关的规律探索 57．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 58．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 59．已知，，则 ． 【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查了立方根，正确掌握相关的定义与性质是解题的关键． 利用立方根的性质结合已知数据得出答案即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 60．已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．由题意，当被开方数的小数点每移动6位，则开立方的结果小数点向相同方向移动2位，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 61．已知，，，，则 ． 【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了立方根，正确理解题意、找到规律是关键．根据已知的式子结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答，注意符号． 【详解】解：，，，， ， ， 故答案为：． 题型16 立方根的实际应用 62．已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【答案】C 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用．设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 故选：C． 63．魔方是一种益智玩具，可以锻炼孩子的思维能力．如图的三阶魔方是的正方体结构，本身只有27个小正方体，没有其他结构的方块，已知一个三阶魔方的体积为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为 ． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， 则每个小正方体的棱长为， 故答案为：2． 64．正方体M的体积是正方体N的体积的64倍，那么正方体M的棱长是正方体N的棱长的（   ）倍． A．4 B．8 C．16 D．2 【答案】A 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键． 设正方体M的棱长是，正方体N的棱长是，根据题意得出，根据立方根的定义得出，即可求解． 【详解】解：设正方体M的棱长是，正方体N的棱长是， 依题意得：， ∴， ∴正方体M的棱长是正方体N的棱长的4倍． 故选：A． 题型17 算术平方根和立方根的综合应用 65．已知和是同一个正数的平方根，的立方根为，求的平方根？ 【答案】或 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了平分根与立方根，熟悉理解平分根与立方根是解题的关键． 根据平分根的概念分两种情况分析：当和互为相反数时，当和互为相等时，求出的值，根据立方根的概念求出的值，代入运算即可． 【详解】解：∵和是同一个正数的平方根， ∴当和互为相反数时， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的平方根为：； 当和相等时， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的平方根为：； ∴的平方根为或． 66．已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根，先根据的算术平方根是，得出；再结合的立方根是，得出，最后求出的值为，即可作答． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 即：的平方根为． 67．已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的定义，熟知算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 先根据立方根和算术平方根的定义求出x，y的值，进而求出A、B的值，然后代入求立方根即可． 【详解】解：∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴的立方根为． 试卷第1页，共3页 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $