专题01 三角函数的图象与性质大题（35题）（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

专题01 三角函数的图象与性质大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 正弦函数、余弦函数的图象 1．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数的最小正周期为． (1)求． (2)在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间． 【答案】(1) (2)图象见解析， 【解题思路】（1）根据周期得到，然后计算函数值即可； （2）利用五点法画图，然后写单调区间即可. 【解答过程】（1）由题意得，又，所以，， 则. （2）因为，所以， 列表如下： 画出函数在区间上的图象如下： 所以图象在上的单调递减区间为. 2．（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【解题思路】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【解答过程】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： 3．（24-25高一上·湖北·期末）某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的值取范围. 【答案】(1)表格见解析 (2)简图见解析 (3) 【解题思路】（1）运用三角函数的对应关系求解填写； （2）根据列表，结合五点法画图即可； （3）根据函数图象，结合零点概念得解. 【解答过程】（1） x 0 -1 0 1 1 0 1 2 （2）根据上表和五点法，画出函数图象如下： （3）当时，令，得：. ∵在共有三个零点，∴时，方程有且仅有2个根.即此时与的图象有2个交点，∴. 4．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的单调增区间； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据三角函数的图象，依次求得的值. （2）利用整体代入法和赋值法来求得正确答案. （3）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式等知识来求得正确答案. 【解答过程】（1）由图可知， ， 则，由， 得，则， 由于，所以，所以. （2）由于， 要使，则令得， 所以在上的单调增区间是. （3）， . 5．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 【答案】(1)图象见解析； (2)答案见解析. 【解题思路】（1）根据五点法及正弦函数的五点，列表、描点、连线，画出图象； （2）先根据图象再分情况数形结合得出个数即可. 【解答过程】（1）由题意，列表： 0 1 0 -1 0 1 2 1 1 根据五点，作图：    （2）其图象如图：    观察图象得：当或时，有0个交点； 当或时，有1个交点； 当或时，有2个交点； 当时，有3个交点. 题型二 正弦函数、余弦函数的性质的应用 6．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）设函数. (1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心. (2)求函数在区间上的值域. (3)求函数时，x的取值范围？ 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，对称中心为， (2) (3) 【解题思路】（1）利用整体法即可求解对称，由周期的公式求解最小正周期， （2）利用整体法，即可求解， （3）将问题转化为，即可利用整体法求解. 【解答过程】（1）的最小正周期为， 令，解得，故对称轴方程为， 令，解得，故对称中心为， （2），则，故， 因此，故值域为 （3）由可得，继而， 所以，解得， 故时，. 7．（24-25高一下·青海海南·期末）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求的值域. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】(1) 根据正弦型函数的性质求最小正周期和单调递增区间. (2) 根据的取值范围求出的取值范围，进而求出函数的值域 【解答过程】（1）的最小正周期为：， 由， 得， 所以的单调递增区间为：. （2）由，得， 由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， ， ， 故的值域为：. 8．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 【答案】(1) (2)最大值为；最小值为. 【解题思路】（1）根据周期公式可求出函数的最小正周期，由可求出函数的减区间； （2）先由求出的范围，然后根据正弦函数的性质可求出其最值. 【解答过程】（1）函数的最小正周期， 由， 解得：， 所以函数的单调递减区间是. （2）由，得， 则当，即时， 当，即时， ， 所以函数在上的最大值为，此时； 最小值为，此时. 9．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）已知函数的最小正周期为，其中． (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1). (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意，利用正弦型函数的周期的定义，得到，即可求解； （2）由（1）知，利用正弦型函数的图象与性质，列出不等式，即可求解； （3）由，求得，结合正弦函数的性质，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为函数的最小正周期为，且， 所以，可得. （2）由（1）知， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （3）解：当，可得，所以， 则，所以函数在区间上的值域为. 10．（24-25高一下·陕西商洛·期中）设，图象的一条对称轴是直线 (1)求，并求函数的对称中心； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)，， (2) (3) 【解题思路】（1）根据正弦型函数的对称轴可得，进而可得对称中心； （2）利用整体代入法可得函数的单调区间； （3）利用整体法判断函数值域/ 【解答过程】（1）由函数，图象的一条对称轴是直线， 则，， 所以，， 又， 则， 所以， 令，，解得，， 即函数的对称中心为； （2）令，， 解得，， 即函数的单调递增区间为，； （3）由，则， 则， 即函数在上的值域为. 题型三 正切函数的图象与性质的应用 11．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数在区间上单调． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 【答案】(1)最大值为1 (2) 【解题思路】（1）根据题意，得到，结合在区间上单调，列出不等式组，即可求解； （2）求得函数的对称中心满足，根据题意，得到图象在区间上至少有两个对称中心，确定的值，即可求解. 【解答过程】（1）当时，可得， 因为函数在区间上单调， 则满足，解得，故的最大值为1． （2）由函数， 可得图象的对称中心满足，整理得， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则， 因为在区间上至少有两个不同的解，所以至少存在两个值使， 所以至少有两个取值，所以， 综上可得，的取值范围为． 12．（24-25高一下·四川资阳·阶段练习）已知函数． (1)求的定义域和最小正周期； (2)求的对称中心和单调区间． 【答案】(1)定义域为，最小正周期是； (2)对称中心为，，单调递增区间为，. 【解题思路】（1）由已知函数的解析式直接求解其定义域，根据求解函数的最小正周期； （2）令，求对称中心，应用整体法求单调增区间． 【解答过程】（1）∵函数， ∴，，即，， ∴的定义域为， ∵， ∴的最小正周期是； （2）令，，解得，，此时， ∴函数的对称中心为，， 令，解得，， 所以的单调递增区间为，. 13．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）先由周期求出，再结合可得； （2）通过的范围求出的范围，进而求出的值域； （3）根据正切函数的图象解不等式即可. 【解答过程】（1）∵最小正周期为，∴，又∵，∴， 又∵，∴． （2）∵，∴当时，， ∴函数在上的值域为. （3）∵，∴， ∴，其中，∴， 即不等式的解集为． 14．（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数. (1)若，求的最小正周期； (2)若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）（ⅱ） 【解题思路】（1）根据正切型函数最小正周期的计算公式直接计算即可； （2）根据正切型函数的定义域与对称中心直接计算. 【解答过程】（1）当时，， 易得的最小正周期； （2）（i）当时，，， 若函数在区间上有定义，则， 解得，故的最大值为； （ii）函数的对称中心满足，， 解得，， 其图象至少有两个对称中心在区间上， 则在区间上至少有两解， 故至少存在两个值使， 故至少有，两个取值， 所以，综上，的取值范围为. 15．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可．） (1)求函数的定义域与值域； (2)求函数的周期及对称轴方程； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1)定义域为；值域为； (2)；对称轴方程为； (3)单调减区间为；单调增区间为． 【解题思路】（1）根据条件，利用的性质，即可求解； （2）根据图象变换，利用的图象作出的图象，数形结合，即可求解； （3）利用的图象与性质及图象，即可求解. 【解答过程】（1）由，得到， 又因为的值域为，所以的值域为， 则函数的定义域为，值域为. （2）因为的周期为， 且的图象可由的图象将轴下方图象关于轴翻折上去，上方图象不变得到， 又将图象上所有点向右平移个单位，得到， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到的图象， 再将图象所点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到， 则的图象如图所示， 由图知的周期为， 又由，得到，所以函数的对称轴方程为. （3）因为在区间上单调递增， 由，得到， 由，得到， 所以的减区间为，增区间为. 题型四 三角函数的零点问题 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)求函数的最小正周期以及单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围与的值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）最小正周期为．令，解不等式即可得单调增区间； （2）令，将题目转化为与在内的图象有两个交点，结合图象可得，即，即可求得答案. 【解答过程】（1）由可得函数的最小正周期为． 令，解得， 所以的单调递增区间为． （2）因为，所以令，在内的图象如图所示．    令，可得，即， 若函数有两个零点， 则与在内的图象有两个交点， 结合图象可得，即， 所以实数的取值范围为． 17．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）首先求得周期以及，进一步由的图象经过点求得，再由的图象经过点求得即可得解； （2）由可得，再结合三角函数的性质即可得解； （3）由可得，结合题意列不等式即可求解. 【解答过程】（1）由图可知的最小正周期. 因为，且，所以. 因为的图象经过点，所以， 所以由图可得， 所以. 因为，所以. 因为的图象经过点，所以， 所以，则. （2）因为，所以. 当，即时，取得最大值，最大值为； 当，即时，取得最小值，最小值为. 故在上的值域为. （3）因为，所以. 因为在上恰有3个零点，所以， 解得，即的取值范围为. 18．（2025高一下·全国·专题练习）已知函数，若的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)若函数在上有三个不同零点，，，且，求实数取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正弦函数的周期公式即可求解； （2）令，则，根据题意得，关于的方程有2个根，分类讨论即可求解． 【解答过程】（1）由题意知， 因为的最小正周期为，所以，又因为，所以， 即． （2）由（1）知， 由，可得， 令，则， 即，， ∵函数在上有三个不同零点，，，且， ∴方程在区间有三个不相等的实数根， 根据正弦函数图象，原方程在区间要在上有三个不等的实根， 则关于的方程在区间有一个实根，另一个实根在上， 或一个实根为1，另一个实根在上， ①当一个根在，另一个根在， ∴，即，解得， 当一个根为0时，即，∴，此时方程为，∴，故不合题意； 当一个根为，即，解得，此时方程为，解得，故不合题意， ②当一个根是1，另一个实根在， 由，得，此时方程为， 解得或，此时这两个根都不属于，故不合题意； 综上，实数的取值范围为． 19．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数，其中. (1)若的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时的值域； (2)若函数在开区间内恰有个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意得出函数的最小正周期，可求出的值，然后利用余弦型函数的基本性质可求出函数在上的值域； （2）由可求出的取值范围，结合余弦函数的基本性质可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为， 因为，则，所以，， 当时，，则， 则， 因此，当时的值域为. （2）当时，， 因为函数在开区间内恰有个零点，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 20．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设a为常数，函数. (1)当时，求的值域； (2)讨论在区间上的零点的个数； (3)设n为正整数，在区间上恰有2025个零点，求所有可能的正整数n的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)1350 【解题思路】（1）对函数化简得，然后利用换元法得到，，从而求解； （2）根据（1）中换元后得，且，然后分类讨论的情况，从而求解； （3）由（1）（2）知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据有零点个，从而求解出的值. 【解答过程】（1）由题意，令，， 所以，，所以，，， 当时，，对称轴，所以，， ，所以， 故的值域为. （2）由（1）知，记的两零点为，， 当，即时，则，无零点； 当，即时，则，有个零点； 当，即时，则，有个零点； （3）由（1）（2）知，有两个零点，， 当，即时，得，在（为正整数），内零点个数为， 在内零点个数为，因为，所以； 当，即时，，在（为正整数）内零点个数为， 在内零点个数为，因为，所以； 当时，则，.，在和（为正整数）内零点个数均为，此时没有满足题意得n； 当时，则，，在（为正整数）内零点个数均为，此时没有满足题意得n； 当，则，，在和（为正整数）内零点个数均为，此时没有满足题意得n； 综上的所有可能值为1350. 题型五 三角函数中的恒成立、存在性问题 21．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为； (2)答案见解析； (3) 【解题思路】（1）由正弦函数的性质求解周期和单调递增区间即可； （2）由函数的单调性可得函数的最值； （3）令，将不等式转化为关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质求解即可； 【解答过程】（1）最小正周期， 令，解得， 所以单调递增区间为. （2）因为，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为 （3）当时，为增函数， ， 所以， 令，则， 不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 令，开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减，则，与矛盾，舍去； 当时，， 综上，m的取值范围是. 22．（24-25高一上·山东临沂·期末）已知函数的最小正周期为 (1)求； (2)求在上的单调递增区间； (3)若不等式在内恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)和 (3) 【解题思路】（1）根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求解； （2）利用的图象与性质，直接求出的单调区间，再结合条件，即可求解； （3）根据条件，得在内恒成立，构造函数，，求出的最大值，即可求解. 【解答过程】（1）由，又，解得. （2）由（1）知， 由，，解得，， 当时，得，又，所以， 当时，得，又，所以， 所以函数在上的单调递增区间为和 （3）因为不等式在内恒成立， 所以在内恒成立， 令，， 则，当时，， 则，， 故m的取值范围为. 23．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，最小正周期为，且对任意的，都有 (1)求的解析式及单调递增区间； (2)设函数若存在使得方程有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【解题思路】（1）根据三角函数的周期性、对称性等知识求得的解析式，利用整体代入法求得的单调递增区间. （2）利用分离常数法，结合正弦函数的值域、函数的单调性等知识来求得的取值范围. 【解答过程】（1）由函数最小正周期为，可得，可得，即，又由对任意的，都有，可得关于对称， 即，即， 因为，可得，则； 令，则： 故的单调递增区间为：. （2）由， 因为，可得， 所以，即， 又由，方程有解， 即方程有解，即有解， 令，即有解， 令在上为单调递增函数， 则,所以， 即实数的取值范围为. 24．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数在区间上的值域为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由结合正弦型函数的基本性质可求出函数的值域，进而可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）由题意可知，，求出在时的最小值，可得出，由此可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）因为，则，则， 因为，则， 由题意可得，解得，因此，. （2）由题意可得， 因为，所以，，则，故， 因为，则， 由题意可得，即， 所以，，解得， 因此，的取值范围是. 25．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由，，且的最小值是，可得， 由的图象关于直线对称，可得，由点在的图象上，可得，据此可得答案； （2）即解不等式，然后由余弦函数单调性可得答案； （3）即时，，利用余弦函数性质求得，解不等式可得答案. 【解答过程】（1）因为的最小值是，所以，所以． 因为的图象关于直线对称，所以， 所以，所以，即． 因为，所以． 因为点在的图象上，所以，所以． 故； （2）不等式等价于不等式， 即，所以， 解得， 即不等式的解集为． （3）因为，所以， 所以，则． 因为对任意的，不等式恒成立， 所以 ，即， 解得或， 即的取值范围为． 题型六 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 26．（24-25高一上·广西玉林·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数．求方程在上的所有根之和． 【答案】(1)周期，单调递增区间为 (2) 【解题思路】（1）利用周期的公式求周期，利用整体代入的方法求单调区间； （2）利用图象的平移变换得到的解析式，然后解方程求根即可. 【解答过程】（1）因为，所以最小正周期， 令， 解得， 故的单调递增区间为． （2）将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，向右平移个单位， 可得函数的图象； 再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍， 纵坐标不变，得到函数的图象． 方程，即，在区间上，． 故由方程可得，或，求得，或， 故方程在区间上的所有根之和为． 27．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若函数，图象的相邻对称轴距离为，且. (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象.当时，求不等式的解集. 【答案】(1); (2). 【解题思路】（1）根据条件结合余弦函数的性质计算解析式即可； （2）利用三角函数的图象变换得出解析式，再换元，利用二倍角公式及诱导公式化简不等式，结合正弦函数的性质解不等式即可. 【解答过程】（1）因为图象相邻对称轴距离为，所以，即， 因为，所以，所以； 又因为，所以， 因为，所以， 所以，即，所以． （2）因为图象向右平移个单位得到， 再将图象上各个点横坐标变为原来2倍得到， 所以； 则原不等式化为， 令，则，不等式化为， 所以，所以， 所以， 结合函数在上的图象得， 所以，即为所求不等式的解集． 28．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数的最小正周期T及的解析式； (2)求函数的对称轴方程及单调递增区间； (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围. 【答案】(1)， (2)对称轴为：（），增区间为：（） (3) 【解题思路】（1）根据图象以及三角函数对称性可求得周期，再由经过的点坐标可得解析式； （2）利用整体代入法根据正弦函数的对称轴方程以及单调区间即可求解； （3）由平移规则得出的解析式并画出图象，再由数形结合可得结果. 【解答过程】（1）由题意，， 则，所以， 又因为图象过点，所以，可得； 而，则， 于是. （2）结合图象可知，函数的对称轴为（）， 令，，解得，， 即函数的增区间为（）. （3）的图象向右平移个单位长度得到：，于是，如图所示： 因为在上有两个解，所以，即； 即a的取值范围为. 29．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知函数的图象关于直线对称． (1)求的解析式及零点； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间． 【答案】(1)，. (2). 【解题思路】（1）由题意先求出，再求出的零点； （2）由图象平移与变换法则得到，再利用整体代入法即可得解. 【解答过程】（1）的图象关于直线对称， ，得， 又，，， 令，即，得， 的零点为. （2）由将的图象向右平移个单位长度， 得到的图象； 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到， 令，，可得，， 故的单调递减区间为． 30．（24-25高一上·四川雅安·期末）已知函数，在同一个周期内，当时，取得最大值2，当时，取得最小值. (1)求的解析式，并求在上的单调递增区间. (2)将的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，之后再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数在上有2个零点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）由题意可得、，结合周期可得，代入定点可得，即可得解析式，结合正弦型函数性质的求法可得在上的单调递增区间； （2）得出变换后的解析式，结合函数单调性与对应定义域分析即可得. 【解答过程】（1）依题意，有，解得， 又，则，可得， 此时，，由， 得，其中，又，所以， 所以，， 由，解得， 又，所以在上的单调递增区间为. （2）将的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度， 之后再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）， 得到的函数的表达式为， 因为，所以， 可知在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以，若函数在上有2个零点时，的取值范围. 题型七 三角函数的实际应用 31．（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 【答案】(1) (2)5s 【解题思路】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设角是以Ox为始边，为终边的角，根据题意可得点P的纵坐标为，进而得到，再结合的位置为初始位置即可求解； （2）先得到在转动的一个周期内，点P在水中转动，进而结合周期求解即可. 【解答过程】（1）如图，建立平面直角坐标系， 设角是以Ox为始边，为终边的角， 易知OP在xs内所转过的角为，    故点P的纵坐标为，则， 当时，，可得，所以， 则． （2）在转动的一个周期内，点P在水中转动，而， 故点P在水中的时间是s． 32．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数． (1)依据图中的信息确定函数的解析式； (2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 【答案】(1)； (2)6h． 【解题思路】（1）利用图象得到函数的值域、最小正周期以及特殊值点，根据正弦型函数的性质计算求出，即可得到函数解析式； （2）根据题意，利用已知函数解析式构造不等式，求解即可. 【解答过程】（1）由图象可知，函数值域为，则，解得， 由图象可知，函数的最小正周期，所以， 所以， 又因为函数图象过点，所以，即， 则，即， 因为，所以. 综上，函数的解析式为. （2）由题意，时，由可得， 则，解得. 因为，所以. 所以，允许该船进出港口的时长为. 33．（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【解答过程】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 34．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 【答案】(1)，2 (2)图象见解析 (3)5 【解题思路】（1）将代入解析式求出，利用正弦函数的性质求出最小正周期即可求解； （2）根据五点法列表，根据表格画出图象即可； （3）根据题意得，解出即可得到被这束光第3次照到时的值. 【解答过程】（1）由题意可知， 又，所以， 所以， 因为，所以每8秒钟点往复运动2次． （2）由取值列表如下， 0 4 2 0 －2 0 图象如图所示： （3）点恰好被这束光第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标， 由，得， 则或， 解得或， 将方程的正根从小到大排列得，所以． 35．（24-25高一下·陕西渭南·期中）降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为2，且经过点. (1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； (2)先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，函数恰有两个不同的零点，求实数的范围和的值. 【答案】(1) , ； (2),. 【解题思路】（1）根据的图像与性质求出、的值，写出函数解析式，再根据对称性写出的解析式. （2）根据函数图像变换求出的解析式，由的范围，确定相位范围，再结合三角函数的性质求得答案. 【解答过程】（1）由的振幅为2，且经过点，得，， 则，，解得，， 而，因此，， 又与关于轴对称，所以. （2）依题意，， 当时，，， 而，在上递减，在上递增， 则当 时，恰有两个不同的零点， 由，得，则， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数的图象与性质大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 正弦函数、余弦函数的图象 1．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知函数的最小正周期为． (1)求． (2)在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数在区间上的图象，并根据图象写出其在上的单调递减区间． 2．（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 3．（24-25高一上·湖北·期末）某同学用“五点法”画函数在上的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x -1 0 1 1 0 2 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上的相应位置； (2)请在网格图中用光滑曲线作，的简图； (3)若函数有三个零点，求实数m 的值取范围. 4．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的单调增区间； (3)若，求的值. 5．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 题型二 正弦函数、余弦函数的性质的应用 6．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）设函数. (1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心. (2)求函数在区间上的值域. (3)求函数时，x的取值范围？ 7．（24-25高一下·青海海南·期末）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求的值域. 8．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值. 9．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）已知函数的最小正周期为，其中． (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求函数在区间上的值域． 10．（24-25高一下·陕西商洛·期中）设，图象的一条对称轴是直线 (1)求，并求函数的对称中心； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的值域． 题型三 正切函数的图象与性质的应用 11．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数在区间上单调． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 12．（24-25高一下·四川资阳·阶段练习）已知函数． (1)求的定义域和最小正周期； (2)求的对称中心和单调区间． 13．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 14．（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数. (1)若，求的最小正周期； (2)若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 15．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数．（画出函数草图，直接写出结论即可．） (1)求函数的定义域与值域； (2)求函数的周期及对称轴方程； (3)求函数的单调区间． 题型四 三角函数的零点问题 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)求函数的最小正周期以及单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围与的值． 17．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若在上恰有3个零点，求的取值范围. 18．（2025高一下·全国·专题练习）已知函数，若的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)若函数在上有三个不同零点，，，且，求实数取值范围． 19．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数，其中. (1)若的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时的值域； (2)若函数在开区间内恰有个零点，求的取值范围. 20．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设a为常数，函数. (1)当时，求的值域； (2)讨论在区间上的零点的个数； (3)设n为正整数，在区间上恰有2025个零点，求所有可能的正整数n的值. 题型五 三角函数中的恒成立、存在性问题 21．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 22．（24-25高一上·山东临沂·期末）已知函数的最小正周期为 (1)求； (2)求在上的单调递增区间； (3)若不等式在内恒成立，求的取值范围. 23．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，最小正周期为，且对任意的，都有 (1)求的解析式及单调递增区间； (2)设函数若存在使得方程有解，求实数m的取值范围. 24．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数在区间上的值域为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围. 25．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知函数的图象关于直线对称，点在的图象上，，，且的最小值是． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 题型六 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 26．（24-25高一上·广西玉林·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数．求方程在上的所有根之和． 27．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若函数，图象的相邻对称轴距离为，且. (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象.当时，求不等式的解集. 28．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数的最小正周期T及的解析式； (2)求函数的对称轴方程及单调递增区间； (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围. 29．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知函数的图象关于直线对称． (1)求的解析式及零点； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间． 30．（24-25高一上·四川雅安·期末）已知函数，在同一个周期内，当时，取得最大值2，当时，取得最小值. (1)求的解析式，并求在上的单调递增区间. (2)将的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，之后再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数在上有2个零点，求的取值范围. 题型七 三角函数的实际应用 31．（24-25高一上·江苏盐城·期末）一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．    (1)将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； (2)在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 32．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数． (1)依据图中的信息确定函数的解析式； (2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 33．（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 34．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 35．（24-25高一下·陕西渭南·期中）降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为2，且经过点. (1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； (2)先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，函数恰有两个不同的零点，求实数的范围和的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $