精品解析：四川省成都市金牛实验中学校2025-2026学年 九年级上学期12月考数学试题

成都市金牛实验学校 2025－2026年度上九年级（小初融合）随堂练习 数学 A卷（满分100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 2. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 与轴的交点是 C. 顶点是 D. 对称轴是直线 5. 如图，交于点，与相切于点点在上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，都在反比例函数图象上，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题4分，共20分） 9. 已知反比例函数的图象在它所处的象限内y随x的增大而增大，则k的取值范围是：________． 10. 如图，若的半径为3，，则图中阴影部分的面积为_____． 11. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则电流I与电阻R之间的函数表达式为_____． 12. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为______． 13. 如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为_____． 三、解答题（共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程：． 15. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 16. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施，中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措，如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡坡脚点C的距离为169米，测得岛礁顶端A的仰角为，以及该斜坡的坡度，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：，，） 17. 为直径，，点C为的一点，过点C作的切线与的延长线交于点D，，点E是上一点，连接，过点C作的垂线，交于点F，垂足为点H． （1）求和的长； （2）延长交于点G，若，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； （3）点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标． B卷（满分50分） 四、填空题（每小题4分，共20分） 19. 如图，的半径为10，为弦，，垂足为，如果，那么的长是___________． 20. 如图，在正方形中，，二次函数的图象过点O和点B，为了测算该二次函数的图象与边，围成的阴影部分面积，某同学在正方形内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内，据此估计阴影部分的面积为 _____． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在函数的图象上，顶点B在x轴正半轴上，边，分别交的数，的图象于点M，N．连接，若轴，则的面积为__________． 22. 对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 23. 如图，四边形是矩形，点是对角线上一动点（不与、重合），连接，过点作，交射线于点，已知，．设的长为，连接，若的面积为，则的最小值是______． 五、解答题（共30分） 24. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多15元．经市场调查发现，乙种灯笼每对售价60元时，每天可售出90对，售价每提高1元，则每天少售出2对，物价部门规定其销售单价不高于每对70元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 25. 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 26. 如图1，在矩形中，（其中），点P是边上一动点（点P不与A重合），点E是边的中点，连接，将矩形沿直线进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接并延长，交边于点F（点F不与C重合），过点F作的平分线，交矩形的边于点G． （1）求证：； （2）如图2，在点P运动过程中，若E，O，G三点在同一条直线上时，点G与点D刚好重合，求n的值； （3）若，连接，，当是以为直角边的直角三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市金牛实验学校 2025－2026年度上九年级（小初融合）随堂练习 数学 A卷（满分100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，将点A的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 2. 当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 3. 在中，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 【详解】解：在中，， ，， ∴ ． ∴ ． 故选：． 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 与轴的交点是 C. 顶点是 D. 对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数解析式中系数与图形的关系即可求解． 【详解】解：选项，抛物线中，，图像开口向下，故选项错误，不符合题意； 选项，令，函数值，则抛物线与轴的交点是，故选项错误，不符合题意； 选项，根据顶点式得，抛物线的顶点为，故选项错误，不符合题意； 选项，抛物线的对称轴是直线，故选项正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数系数与图像的关系，理解并掌握二次函数中系数与图像开口，对称轴，与轴交点的特点，顶点坐标的计算方法是解题的关键． 5. 如图，交于点，与相切于点点在上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，先由圆周角定理得到，由切线的性质得到，即可利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 已知点，，都在反比例函数图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．把点、、的坐标分别代入函数解析式，求得、、的值，然后比较它们的大小即可． 【详解】解：点，，都在反比例函数图象上， ，，． ， 故选：C． 7. 如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∴的长为． 故选：C． 8. 如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 二．填空题（每小题4分，共20分） 9. 已知反比例函数的图象在它所处的象限内y随x的增大而增大，则k的取值范围是：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，函数图象在第二、四象限，且y随x的增大而增大，由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在它所处的象限内y随x的增大而增大， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 如图，若的半径为3，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的面积、三角形面积及扇形面积的计算，涉及知识点：勾股定理逆定理（判断直角）、扇形面积公式、三角形面积公式．解题方法是先连接、，通过边长关系判断的形状，再用“扇形面积三角形面积”求阴影面积；解题关键是确定扇形的圆心角，易错点是误判三角形的角度． 【详解】解：如图所示，连接、： 由半径为，得， 已知． ∵， ∴是直角三角形，． 扇形的面积：； 的面积：； 阴影面积=扇形面积-三角形面积：． 故答案为． 11. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则电流I与电阻R之间的函数表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．设函数解析式为 （ ），把代入函数解析式求得值即可． 【详解】解：设函数解析式为 （ ）， 把代入函数解析式得， ∴． 故答案为：． 12. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标， ∵一次函数与二次函数的图象相交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 13. 如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点．由作图可知，平分，求得，，解直角三角形即可求解． 【详解】解：作于点，则点D到的距离为的长， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算．先化简各数，再进行加减运算即可．熟记特殊角的三角函数值，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （2）本题考查解一元二次方程．利用因式分解法解方程即可．掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 【详解】解：（1）原式； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴． 15. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】（1）10%，30%， 补全频数分布直方图如下： （2）4 （3）全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【解析】 【分析】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体． （1）根据第2组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义求解即可 （3）利用全校人数乘以成绩不低于91分的学生占比，即可求解． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为人， 则， ， ，， 【小问2详解】 解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 16. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施，中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措，如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡坡脚点C的距离为169米，测得岛礁顶端A的仰角为，以及该斜坡的坡度，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】312米 【解析】 【分析】过点A作射线于点M，设，，根据，即可求解． 【详解】解：过点A作射线于点M，如图所示： 根据题意，可知，，米， 在中，由， 设，， 在中，， ， ∴（米）， ∴（米）． 答：该岛礁的高为312米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 17. 为直径，，点C为的一点，过点C作的切线与的延长线交于点D，，点E是上一点，连接，过点C作的垂线，交于点F，垂足为点H． （1）求和的长； （2）延长交于点G，若，求的长． 【答案】（1）1， （2） 【解析】 【分析】（1）在中，在中，利用勾股定理求出，根据可求出的长，利用面积法求出，根据垂径定理可求出的长； （2）连接，在中，利用勾股定理求出的长，在中，利用勾股定理求出的长，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵是的切线，为半径，， ∴，， 在中，， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∵，为直径， ∴； 【小问2详解】 连接， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵，为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，以及相似三角形的判定与性质， 正确作出辅助线是解答本题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； （3）点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）8 （3）点P坐标为 【解析】 【分析】（1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解； （2）设点M坐标为，则点N坐标为，过点B作于点H，然后可得，进而问题可求解； （3）取中点C，过点C作交x轴于点D，连接，则与反比例函数图象交点即为点P，过点B作轴于点H，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：将代入，得， 把点代入一次函数得：， ， ； 【小问2详解】 解：设点M坐标为，则点N坐标为， 过点B作于点H， ， ， 由（1）可知， ， 解得：，（舍）， ； 【小问3详解】 解：取中点C，过点C作交x轴于点D 连接，则与反比例函数图象交点即为点P 过点B作轴于点H ， ∵，，且点C为的中点 ∴，， 直线的函数表达式为 联立，解得或（舍） 点P坐标为． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． B卷（满分50分） 四、填空题（每小题4分，共20分） 19. 如图，的半径为10，为弦，，垂足为，如果，那么的长是___________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理．连接，先由勾股定理求出，再根据垂径定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵的半径为10， ∴， ∵， ∴在中，， ∵为弦，，是半径， ∴． 故答案为∶16． 20. 如图，在正方形中，，二次函数的图象过点O和点B，为了测算该二次函数的图象与边，围成的阴影部分面积，某同学在正方形内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内，据此估计阴影部分的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式得到正方形的面积，根据阴影部分的面积占正方形的面积的即可得到结论． 【详解】解：在正方形中，， ∴正方形的面积， ∵在正方形内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内， ∴阴影部分的面积正方形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，正方形的面积的计算，正确地求得阴影部分的面积占正方形的面积的是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在函数的图象上，顶点B在x轴正半轴上，边，分别交的数，的图象于点M，N．连接，若轴，则的面积为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】设M点的坐标为，N点的坐标为，表示出，根据相似，求出，，进而求出的面积． 【详解】∵轴， ∴，点M，N的纵坐标相同， 设M点的坐标为，N点的坐标为， ∴， 如图，过点M作轴，点A作轴， ∴， 根据反比例函数与三角形的面积关系可得：，， ∴， ∵相似三角形中面积比等于相似比的平方， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵M点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查反比例函数与三角形面积的关系，解题的关键是根据题意作出相应的辅助线，并通过设坐标法进行求解． 22. 对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 23. 如图，四边形是矩形，点是对角线上一动点（不与、重合），连接，过点作，交射线于点，已知，．设的长为，连接，若的面积为，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，锐角三角函数，二次函数的性质，关键是灵活应用知识点解题； 过点作于点，延长交于点，可得∽，利用相似三角形的性质和三角函数用含的代数式表示出，进而求得与的函数关系式，最后求得最小值．　 【详解】解：过点作于点，延长交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴即：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，．　 故答案为：． 五、解答题（共30分） 24. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多15元．经市场调查发现，乙种灯笼每对售价60元时，每天可售出90对，售价每提高1元，则每天少售出2对，物价部门规定其销售单价不高于每对70元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲种灯笼每对的单价为30元，乙种灯笼每对的单价为45元 （2）当乙种灯笼每对的销售单价为70元时，一天获得利润最大，最大利润是1750元 【解析】 【分析】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．根据数量关系列出方程和函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设甲种灯笼每对的进价为元，则乙种灯笼每对的进价为元，根据用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式，由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【小问1详解】 解：设甲种灯笼每对的进价为元，则乙种灯笼每对的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴， 答：甲种灯笼每对的单价为30元，乙种灯笼每对的单价为45元； 【小问2详解】 解：设该商店一天通过乙种灯笼获得利润元，乙种灯笼每对的销售单价为元， 则 ∵， ∴函数有最大值，该二次函数图象的对称轴为：， ∴时，随的增大而增大， ∵物价部门规定其销售单价不高于每对70元， ∴， ∴当时，（元） 答：当乙种灯笼每对的销售单价为70元时，一天获得利润最大，最大利润是1750元． 25. 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 【答案】（1）或； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可. 【小问1详解】 解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， ∴新抛物线为； 【小问2详解】 解：①如图，设，则， ∴， ∵小于3， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， ∴轴， ∴， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则， 过作于， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上：； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 26. 如图1，在矩形中，（其中），点P是边上一动点（点P不与A重合），点E是边的中点，连接，将矩形沿直线进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接并延长，交边于点F（点F不与C重合），过点F作的平分线，交矩形的边于点G． （1）求证：； （2）如图2，在点P运动过程中，若E，O，G三点在同一条直线上时，点G与点D刚好重合，求n的值； （3）若，连接，，当是以为直角边的直角三角形时，求的值． 【答案】（1） 证明∶由翻折可知， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3）3或或 【解析】 【分析】（1）利用翻折的性质、角平分线定义以及平行线的性质可证，再利用平行线的判定即可得证； （2）设，证明，可得，求得，在中，利用勾股定理可求得，代入即可求解； （3）当点G在上时，分，讨论；当点G在上，显然不能为直角，则有，按以上分类讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由翻折可知，， ∵E，O，D三点在同一条直线上， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴设， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， ①若点G在上，当时，则， ∵， ∴四边形为矩形， 又， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， ∴ ； ②若点G在上，当时，此时E，O，G三点在同一条直线上， 过G作于点H， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ③若点G在上，显然不能为直角，当时， ∵平分， ∴， 又，， ∴， 连接， ∵，，， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 当时，G在上，不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为3或或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，明确题意，添加合适的辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $