专题02 特殊三角形全章复习（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学专题复习讲义以“特殊三角形”为核心，通过表格系统梳理图形的轴对称、等腰三角形、直角三角形等六大核心考点，明确复习目标与考情规律，分模块呈现定义、性质及判定方法，构建“概念-性质-应用”的知识脉络，突出轴对称与特殊三角形的内在联系及勾股定理的核心地位。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，涵盖轴对称图形识别、折叠问题、将军饮马等11类题型，如等边三角形“手拉手模型”例题引导学生运用推理意识构建全等关系，“勾股定理实际应用”题型培养数学眼光与应用意识。配备基础通关与重难突破练习，基础生可掌握解题模板，优秀生能深化思维，助力教师实施精准分层教学。

专题02 特殊三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 图形的轴对称 理解轴对称的概念，能识别轴对称图形、找对称轴，掌握轴对称的性质。 以选择 / 填空题为主： ① 识别轴对称图形或找对称轴数量； ② 利用轴对称性质求线段长度 / 角度； 难度低，基础必考题。 等腰三角形的性质与判定 掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一），能运用判定定理（等角对等边）判断等腰三角形。 期末高频考点，覆盖多题型： ① 选择 / 填空：利用 “三线合一” 求角或线段； ② 解答题：证明等腰三角形，或结合全等考查性质应用； 难度中等，是得分重点。 逆命题和逆定理 理解逆命题、逆定理的概念，能写出命题的逆命题，判断逆命题的真假。 多为填空 / 选择题： ① 写出简单命题（如等腰三角形性质）的逆命题； ② 判断逆命题是否为逆定理； 分值占比小，难度低。 直角三角形的性质与判定 掌握直角三角形的性质（两锐角互余、斜边中线等于斜边的一半），能判定直角三角形。 常结合其他知识考查： ① 选择 / 填空：利用 “两锐角互余” 求角度，或用 “斜边中线” 求线段； ② 解答题：作为几何综合题的条件之一； 难度中等。 勾股定理 掌握勾股定理及逆定理，能运用其求边长、判定直角三角形。 期末核心考点： ① 选择 / 填空：直接用勾股定理求直角三角形边长； ② 解答题：结合等腰 / 直角三角形求线段长度，或用逆定理判定直角三角形； 难度中等，易与实际问题结合。 知识点01 轴对称 轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称. 轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 轴对称的性质： 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 【解读】轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段相等，对应角相等，对应点到对称轴的距离相等. 知识点02 平面直角坐标系中的轴对称 1）关于x轴对称：点（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b），简记：横同纵反. 2）关于y轴对称：点（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（-a，b），简记：纵同横反. 知识点03 等腰三角形的判定与性质 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的对称性：等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线，底边上的中线，底边上的高所在的直线是对成轴. 等腰三角形的判定定理： 1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 知识点03 等边三角形的判定与性质 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定（文字版）： 1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形； 2）等角法：三个角都相等的三角形是等边三角形. 3）等腰三角形法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点04 直角三角形的判定与性质 直角三角形的性质： 1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的判定： 1）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2）有两个角互余的三角形是直角三角形. 3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 知识点05 勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理的证明： 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股定理的逆定理：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 知识点06 将军饮马问题 题型一 轴对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 寻找对称轴是确定轴对称图形的关键，能找出对称轴的图形为轴对称图形，否则就不是轴对称图形. 1．（25-26八年级上·浙江·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·浙江台州·期末）北京2022年冬奥会会徽“冬梦”已经发布，下列图案是参选的部分作品，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（   ） A．握手 B．您好 C．拜托 D．谢谢 题型二 利用轴对称图形的性质求解 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，是的边上的一点，点关于的对称点恰好落在上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点P是内部一点，点关于，的对称点分别是，，直线交，于点，，若的周长是15，且，则的长为（    ） A． B． C． D．5 6．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集．如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，．若，则为 °． 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． (1)作关于直线对称的图形； (2)若网格中最小正方形的边长为，求的面积； (3)在直线上找一点，则的最小值为______． 题型三 坐标与图形变化-轴对称 易｜错｜点｜拨 关于x轴对称的两个点的横坐标相同，关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，即关于哪个坐标轴对称，哪个坐标相同. 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）点关于x轴对称后再向右平移m个单位，其对应点落在y轴上，则 ． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移 个单位． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）点和点关于x轴对称，则的值为 ． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，梯形的顶点均在正方形网格的格点上． (1)请写出点和点的坐标：（___，___），（___，___） (2)点与点关于轴的对称点分别为点和点，请在图中画出点和点． (3)连接、和，梯形内有一点，使得且．请在图中画出点，并写出点的坐标． 题型四 折叠问题 答｜题｜模｜板 1）折叠前后对应角，对应边相等. 2）折叠不改变原先的平行关系. 3）以折线为对称轴. 12．（20-21八年级上·浙江台州·月考）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：① 是等腰三角形， ；②折叠后和一定相等； ③和一定是全等三角形，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 13．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，首先沿着折叠，点B落在点E处，然后沿着折叠，使得点A与点E重合，则下列说法中（    ） ①； ②若，，那么．    A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 14．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·浙江·月考）如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．将沿折叠，当点的对应点恰好落在边的三等分点处，此时 ． 16．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图所示，在中，是边的中点，连接．把沿翻折，得到，与交于，连接．若，求点到的距离．    题型五 等腰三角形的判定与性质 17．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知为的中点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，与交于点F，若，，求的长． 19．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)当时，请直接写出点坐标与； (2)连接，当时，求点坐标； (3)当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标并求的值；若不存在，请说明理由． 20．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等边三角形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且． (1)当是的中点时，求的度数． (2)当是边上的任意一点时，求证：． 题型六 等边三角形的判定与性质 答｜题｜模｜板 题目图形中有两个以上的以图形中的线段为边向图形同侧或异侧作的特殊图形(特殊图形包括等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，在分析条件时，经常先寻找图形中有无全等三角形（手拉手模型），若有，这对全等三角形的性质常常是解题的关键所在. 21．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知和均为等腰三角形且， ①连接，求证：． ②如图2，线段交线段于点E，交线段于点F，且．若，，求线段的长． 【学以致用】 （2）如图3，已知点C在的右侧，连接．若，，且，求线段的长． 22．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，为上方一个点，且，过点作直线交线段于点，交线段于点，且使得． (1)的度数为______； (2)探究线段，，的数量关系； (3)如图2，画出关于直线的对称图形，得到，连接，． ①若长为、长为，求四边形的周长（用含，的式子表示）； ②若，，请直接写出的面积（用含，的式子表示）． 23．（24-25八年级上·浙江·期末）（1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，点M，N在斜边上，，，，你能求出的长度吗？ 小清通过观察，分析，思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，显然，连接；求出的长度； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，显然，连接，求出的长度； 请参考小清的思路，任选一种写出完整解答过程． （2）【类比探究】如图2，在等边中，点、在边上，，，，求的长．（直接写出答案）    24．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）如图，等腰中，，点在边上，连接并延长到，连接，． (1)如图①，若，，在上取点，连接，使，试证明： (2)如图②，若，，探究，，的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若，，探究，，的数量关系，并说明理由． 题型七 直角三角形的判定与性质 答｜题｜模｜板 判断直角三角形的方法：①利用定义，如果已知条件与角度有关，可利用三角形的内角和定理判断，得出其中的一个角等于90°；②若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方. 25．（24-25八年级上·浙江·期末）已知，下列命题是真命题的是（   ） A．若，，则是等腰三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 26．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 27．（24-25八年级上·浙江·期末）若一个三角形三边长，，满足，则这个三角形是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 28．（21-22八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，，是直线上的三点，，，是直线外一点，且，，若动点从点出发，向点移动，移动到点停止，在形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C．等边三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形 29．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，是等腰三角形，其中，，是线段上一点，满足，连接，． (1)求证：； (2)求的长度． 题型八 利用勾股定理求解 易｜错｜点｜拨 求直角三角形的边长时，未分类讨论而致错. 30．（24-25八年级下·湖北黄冈·月考）已知一个直角三角形的两条边长分别为 和1，则第三边长为（    ） A． B．2 C．或2 D．或4 31．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为 ． 32．（2021·湖北黄石·模拟预测）如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ． 题型九 利用勾股定理解决实际问题 答｜题｜模｜板 在实际问题中，往往需要利用数学建模思想抽象出直角三角形，在无法直接计算时，应设未知数， 运用勾股定理找相等关系建立方程. 33．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）为了提高同学们的数学核心素养，年春季学期常州市某学校组织了一次研学活动，要求同学们合作搭建帐篷，如图是他们搭建帐篷的支架示意图在中，两根支架从帐篷顶点支撑在水平的支架上，一根支架于点，另一根支架的端点在线段上，且经测量，，，求的长． 34．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米． (1)求梯子的长； (2)当梯子的顶端下滑米时，求梯子的底端到点的距离． 35．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为14，底面周长为32，在杯内壁离杯底5的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离．（杯壁厚度不计）    36．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 37．（24-25八年级下·云南红河·期末）台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 38．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 39．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 题型十 利用勾股定理逆定理求解 40．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知的三条边分别长为，，，则是（    ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 41．（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 42．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）若的三边、、满足，则形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 43．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在3×4的正方形网格中， 44．（25-26七年级上·山东威海·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米，千米． (1)求小溪流的长． (2)求四边形的面积． 45．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图， ，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 题型十一 将军饮马问题 答｜题｜模｜板 (1)最值问题基本原理:① 两点之间线段最短;②点到直线，垂线段最短. (2)将军饮马解题步骤:第一步，明确动点、定点； 第二步，明确问题属于哪种将军饮马模型，要求哪些线段和的最小值(注意去掉长度固定的线段)； 第三步，利用平移、对称等方法，将问题转化为基本原理①或②. 46．（24-25七年级下·河北保定·期末）转化策略 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，很多问题的解决都用到了转化策略，转化是解决数学问题的一种重要策略．相信你也经历过“理解问题——拟定计划——实施计划——回顾反思”的思考和解决问题的过程，感悟到转化策略在问题解决过程中起着重要作用． 问题提出 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 问题解决（1）如图，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使最短； （2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如图2，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （3）为了说明（2）中点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线l上另外取点C，连接，，说明即可，请你借助（2）中所作的图说明道理； 类比探究 （4）如图3，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处．请分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短，并说明道理．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示．） 反思提炼 （5）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ 47．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 48．（23-24八年级下·山东济南·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 49．（23-24八年级上·湖南株洲·月考）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如下图，作B关于直线l的对称点，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如下图，在直线l上另取任一点，连接，，， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴______=______． 在中，∵， ∴即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在与l的交点上，即A、C、三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【简单应用】 （1）如下图，在等边中，，，E是AC的中点，M是上的一点，求的最小值； （2）如下图，在四边形中，，，在上分别找一点M、N当周长最小时，求的值． 【拓展应用】 如下图，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，，千米，千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠岸C处装货，再停靠岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．（注：在直角三角形中有直角边的平方和等于斜边的平方，如图即在直角中，有 ） 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江台州·月考）2025年全运会，浙江代表团创佳绩，如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建莆田·月考）一个等腰三角形两边长分别为6，3，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．12或15 D．15或18 4．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）如图，在中，于点D，且，则的长为（   ） A．30 B．24 C．18 D．32 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列条件中，可以判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边向外作等腰直角三角形，若，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．9 D．5 8．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为 ． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为 ． 10．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知，，点在边上，，，那么的度数是 ． 11．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 ． 12．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，点是边长为的等边边上一点，，垂足为，，垂足为，则 ． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 14．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在下列网格中，每个小正方形的边长均为1．请按要求画出格点三角形． (1)在图1中画出一个等腰． (2)在图2中画出一个，且其三边都为无理数． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）我们把三角形的一条边与这条边上的高的长度之差叫做这条边的“边高差”．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则_____； (2)若中，，，，则_____； (3)若中，，，边上的高为15，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在中，点是边的中点，点、分别在边、上，且，连接． (1)如图1，是等腰直角三角形，，，求证：； (2)如图2，，是等边三角形，，求证：； 2．（25-26八年级上·浙江温州·月考）【问题发现】（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则 ___________． 【问题提出】（2）如图2，在中，，过点作，且，求． 【问题解决】（3）如图3，四边形中，面积为12且的长为6，求的长． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）阅读理解： 在中，，，； ①我们知道，若为直角，则三边满足勾股定理，即； ②其实若为锐角，则与的关系为：，推导过程如下： 证明：如图①过作于，则， 在中： 在中： ∴ ∵，， ∴， ∴． 探究问题： (1)下列三组三角形三边，能构成锐角三角形的是 （填序号） ①3，5，7    ②30，34，16   ③11，8，9 (2)如图②若为钝角，试用上述方法推导与的关系． (3)在中，，，；若是钝角三角形，求第三边的取值范围． 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是中点，是上一动点，连接，将沿直线折叠得． (1)如图，当点恰好落在线段上时，求证：； (2)如图，在中，，，当点恰好落在线段上时，连接，求的长度； (3)如图，若为直角三角形，，，．连接、、，当与面积相等时，求的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 特殊三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 图形的轴对称 理解轴对称的概念，能识别轴对称图形、找对称轴，掌握轴对称的性质。 以选择 / 填空题为主： ① 识别轴对称图形或找对称轴数量； ② 利用轴对称性质求线段长度 / 角度； 难度低，基础必考题。 等腰三角形的性质与判定 掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一），能运用判定定理（等角对等边）判断等腰三角形。 期末高频考点，覆盖多题型： ① 选择 / 填空：利用 “三线合一” 求角或线段； ② 解答题：证明等腰三角形，或结合全等考查性质应用； 难度中等，是得分重点。 逆命题和逆定理 理解逆命题、逆定理的概念，能写出命题的逆命题，判断逆命题的真假。 多为填空 / 选择题： ① 写出简单命题（如等腰三角形性质）的逆命题； ② 判断逆命题是否为逆定理； 分值占比小，难度低。 直角三角形的性质与判定 掌握直角三角形的性质（两锐角互余、斜边中线等于斜边的一半），能判定直角三角形。 常结合其他知识考查： ① 选择 / 填空：利用 “两锐角互余” 求角度，或用 “斜边中线” 求线段； ② 解答题：作为几何综合题的条件之一； 难度中等。 勾股定理 掌握勾股定理及逆定理，能运用其求边长、判定直角三角形。 期末核心考点： ① 选择 / 填空：直接用勾股定理求直角三角形边长； ② 解答题：结合等腰 / 直角三角形求线段长度，或用逆定理判定直角三角形； 难度中等，易与实际问题结合。 知识点01 轴对称 轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称. 轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 轴对称的性质： 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 【解读】轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段相等，对应角相等，对应点到对称轴的距离相等. 知识点02 平面直角坐标系中的轴对称 1）关于x轴对称：点（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b），简记：横同纵反. 2）关于y轴对称：点（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（-a，b），简记：纵同横反. 知识点03 等腰三角形的判定与性质 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 等腰三角形性质定理： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的对称性：等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线，底边上的中线，底边上的高所在的直线是对成轴. 等腰三角形的判定定理： 1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 知识点03 等边三角形的判定与性质 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定（文字版）： 1）定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形； 2）等角法：三个角都相等的三角形是等边三角形. 3）等腰三角形法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点04 直角三角形的判定与性质 直角三角形的性质： 1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的判定： 1）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2）有两个角互余的三角形是直角三角形. 3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 知识点05 勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理的证明： 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股定理的逆定理：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 知识点06 将军饮马问题 题型一 轴对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 寻找对称轴是确定轴对称图形的关键，能找出对称轴的图形为轴对称图形，否则就不是轴对称图形. 1．（25-26八年级上·浙江·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选B． 2．（21-22八年级上·浙江台州·期末）北京2022年冬奥会会徽“冬梦”已经发布，下列图案是参选的部分作品，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，判别轴对称图形的关键是找对称轴，根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（   ） A．握手 B．您好 C．拜托 D．谢谢 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 题型二 利用轴对称图形的性质求解 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，是的边上的一点，点关于的对称点恰好落在上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形折叠．熟练掌握轴对称性质，三角形外角性质，平角性质，是解题的关键． 根据轴对称知，由三角形外角性质得，由轴对称得，由平角性质即得． 【详解】解：由轴对称知，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，点P是内部一点，点关于，的对称点分别是，，直线交，于点，，若的周长是15，且，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握基础知识，并能数形结合是关键．由轴对称的性质知：，，，，证明是等边三角形，求解即可． 【详解】解：连接， 由轴对称的性质知：，，，， ，即， ，， 是等边三角形， 的周长是15， 的长为， 故选：D． 6．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集．如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，．若，则为 °． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、对称的性质、等腰三角形的性质，根据点与点关于直线对称，是的垂直平分线，可知，根据和为两个全等的等腰直角三角形，可知四边形是正方形，根据正方形的性质可知，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据对称的性质可求． 【详解】解：如下图所示，连接， 点与点关于直线对称， 是的垂直平分线， ， 又 和为两个全等的等腰直角三角形， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． (1)作关于直线对称的图形； (2)若网格中最小正方形的边长为，求的面积； (3)在直线上找一点，则的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，三角形的面积，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质即可作出； （2）根据网格即可求的面积； （3）连接交直线于点P，此时的值最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：的面积为． （3）解：连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值． 由勾股定理得，， 的最小值为． 故答案为：． 题型三 坐标与图形变化-轴对称 易｜错｜点｜拨 关于x轴对称的两个点的横坐标相同，关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，即关于哪个坐标轴对称，哪个坐标相同. 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）点关于x轴对称后再向右平移m个单位，其对应点落在y轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平移的性质．根据x轴对称求出对称点，再根据平移的性质求出平移后的坐标即可得到答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点为， 向右平移m个单位，得到点的坐标为， 由题意，点落在轴上， 解得． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移 个单位． 【答案】7 【分析】本题主要考查关于y轴对称的点的坐标、坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意得到灯A和灯C关于y轴对称，求出点A关于y轴对称的点的坐标为，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可得灯和灯关于y轴对称， ∴灯A和灯C关于y轴对称， ∵， ∴点A关于y轴对称的点的坐标为 ∴ ∴要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移7个单位长度． 故答案为：7． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）点和点关于x轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，梯形的顶点均在正方形网格的格点上． (1)请写出点和点的坐标：（___，___），（___，___） (2)点与点关于轴的对称点分别为点和点，请在图中画出点和点． (3)连接、和，梯形内有一点，使得且．请在图中画出点，并写出点的坐标． 【答案】(1)2，3；4， (2)图见解析 (3)，图见解析 【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标，作图——轴对称变换，全等三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据图形写出坐标即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标特征作图即可； （3）由（2）可得，，，从而得出，，由全等三角形的性质可得，，进而得出点在轴上，设，结合，得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：由图象可得：，； （2）解：如图，点和点即为所作， ； （3）解：∵，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴点在轴上， 设， ∵点在梯形内， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 即，如图所示点P为所求， ． 题型四 折叠问题 答｜题｜模｜板 1）折叠前后对应角，对应边相等. 2）折叠不改变原先的平行关系. 3）以折线为对称轴. 12．（20-21八年级上·浙江台州·月考）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，那么，有下列说法：① 是等腰三角形， ；②折叠后和一定相等； ③和一定是全等三角形，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换，解题的关键是正确理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．根据长方形的性质得到，，再由对顶角相等可得，推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得①③正确，无法判断和是否相等． 【详解】解：根据长方形的性质和折叠可得： ，， 在和中， ∴，故③正确； ∴， ∴ 是等腰三角形，故①正确； 无法判断和是否相等，故②错误， 综上可知：①③正确，共2个． 故选：B． 13．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，首先沿着折叠，点B落在点E处，然后沿着折叠，使得点A与点E重合，则下列说法中（    ） ①； ②若，，那么．    A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【答案】A 【分析】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出的长和的长是解题的关键． 由折叠得， 可得①正确； 先求解， ， ， 再利用勾股定理求解， ， 可得②正确，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵，，，， ∴， 解得， ∵， ∴， 故②正确， 故选：A． 14．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识，求得并且推导出是解题的关键． 由勾股定理得，由折叠得，，则，由，得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ， 故选：B． 15．（24-25八年级上·浙江·月考）如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．将沿折叠，当点的对应点恰好落在边的三等分点处，此时 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，分两种情况：当时，如图，当时，设，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，当时， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：，即， 如图，当时， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：，即， 综上：为或， 故答案为：或． 16．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图所示，在中，是边的中点，连接．把沿翻折，得到，与交于，连接．若，求点到的距离．    【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，解直角三角形，勾股定理等，由翻折知，，垂直平分，证为等边三角形，利用解直角三角形求出，，，在中，利用勾股定理求出的长，在中利用面积法求出的长，则可得出答案． 【详解】解：如图，连接，交于点M，过点D作于点H，    ∵，D是边上的中点， ∴， 由翻折知，，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点D到的距离为． 故答案为：． 题型五 等腰三角形的判定与性质 17．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， 又∵     ，   ∴， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， 又∵，   ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过C作于E， ∵， ∴由（2）得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，     又∵ ，     ∴， 又∵ ，           ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知为的中点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，与交于点F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据和是直角三角形，点E是的中点，由此可得出结论； （2）过点E作于G，由（1）的结论得，证明是等腰直角三角形，得，则，再由三角形面积公式求出，进而得，由此可得的长． 此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴和是直角三角形， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：过点E作于G，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 19．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)当时，请直接写出点坐标与； (2)连接，当时，求点坐标； (3)当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标并求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)，或, 或, ． 【分析】此题考查动点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，分类讨论，解题的关键是根据点P的不同位置进行分类讨论． （1）根据点P运动的时间和速度相乘得到，求出，由此得到点P的坐标及的面积； （2）分两种情况讨论|：当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据面积分别求出点P的坐标； （3）分三种情况，分别求出的长以及的长，即可得出所有点P的坐标和t的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动5秒， ∴， ∴，， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ 当点P在点C左侧时，，则, 即，解得 ∴, ∴； 当点P在点C右侧时，，则, 即，解得 ∴, ∴； 综上，点P的坐标为或； （3）解：如图， 当时，     ∵，   ∴，， ∴，；   当时，   ∵ ,,，   ∴，   ∴，， ∴,；   当时，设，则，   ∴，解得，   ∴，   ∴ , ． 综上，，或, 或, ． 20．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等边三角形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且． (1)当是的中点时，求的度数． (2)当是边上的任意一点时，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）证明，，可得，再结合三角形的外角的性质可得答案； （2）作交于点，可得，证明，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：在等边中，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴， 作交于点， ∴，，， ∴为等边三角形；， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型六 等边三角形的判定与性质 答｜题｜模｜板 题目图形中有两个以上的以图形中的线段为边向图形同侧或异侧作的特殊图形(特殊图形包括等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，在分析条件时，经常先寻找图形中有无全等三角形（手拉手模型），若有，这对全等三角形的性质常常是解题的关键所在. 21．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知和均为等腰三角形且， ①连接，求证：． ②如图2，线段交线段于点E，交线段于点F，且．若，，求线段的长． 【学以致用】 （2）如图3，已知点C在的右侧，连接．若，，且，求线段的长． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2） 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）①由可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，，由可证，可得，即可求解； （2）先证是等边三角形，可得，，由直角三角形的性质可得，可得，，即可求解． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ． 在和中， ②， ． 由①得，， ． ， ． ． ， ； （2）解：延长，交于点，过点作于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 22．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，为上方一个点，且，过点作直线交线段于点，交线段于点，且使得． (1)的度数为______； (2)探究线段，，的数量关系； (3)如图2，画出关于直线的对称图形，得到，连接，． ①若长为、长为，求四边形的周长（用含，的式子表示）； ②若，，请直接写出的面积（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)    【分析】（1）由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数； （2）由三角形的内角和定理可得，由邻补角互补可得，，进而可得，由三角形的内角和定理可得，由平角的定义可得，进而可得，再结合，利用可证得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，再利用等量代换即可得出结论； （3）①由已知条件可得为等边三角形，由轴对称的性质可得为等边三角形，于是可得，，由（2）得，，则，进而可得，利用可证得，于是可得，，则，即，于是可得为等边三角形，则，进而可得四边形的周长，于是得解；②连接，由（2）得，因而设，可得，，于是可得为等边三角形，则，进而可得，于是可得四边形是菱形，则，由全等三角形的性质可得，进而可得，即，由轴对称的性质可得，于是可得，解方程即可求出的值，进而可得的面积． 【详解】（1）解：，， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 即：； （3）解：①，， 为等边三角形， 与关于直线对称， 为等边三角形， ，， 由（2）得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ，， 四边形的周长 ； ②如图，连接， 由（2）得：， 设， ，， ， 又， ， 为等边三角形， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 与关于直线对称， ， ， 解得：， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（、），等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，列代数式，解一元一次方程，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（24-25八年级上·浙江·期末）（1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，点M，N在斜边上，，，，你能求出的长度吗？ 小清通过观察，分析，思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，显然，连接；求出的长度； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，显然，连接，求出的长度； 请参考小清的思路，任选一种写出完整解答过程． （2）【类比探究】如图2，在等边中，点、在边上，，，，求的长．（直接写出答案）    【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）思路一：将绕点逆时针旋转，得到，易得为直角三角形，证明，得到，利用勾股定理求出的长即可；思路二：同思路一； （2）将绕点逆时针旋转，得到，同理得到，推出，作交的延长线于点，设，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，    ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中：； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，    ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中：； （2）∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 将绕点C逆时针旋转，得到，    ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键是通过旋转构造全等三角形． 24．（21-22八年级上·浙江丽水·期末）如图，等腰中，，点在边上，连接并延长到，连接，． (1)如图①，若，，在上取点，连接，使，试证明： (2)如图②，若，，探究，，的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若，，探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）如图中，证明，可得结论； （2）结论：如图中，作交于只要证明即可解决问题； （3）结论：如图中，在上取一点，使得只要证明即可解决问题． 【详解】（1）如图中， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （2）． 理由如下： 如图中，作交于． ，， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ． （3）． 理由如下： 如图中，在上取一点，使得． ， ， ， 作于，且， ∴ ∴， ∴， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于全等三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 题型七 直角三角形的判定与性质 答｜题｜模｜板 判断直角三角形的方法：①利用定义，如果已知条件与角度有关，可利用三角形的内角和定理判断，得出其中的一个角等于90°；②若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方. 25．（24-25八年级上·浙江·期末）已知，下列命题是真命题的是（   ） A．若，，则是等腰三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了命题，三角形内角和定理、等腰三角形的定义、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、∵，， ∴， 故不是等腰三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； B、∵，， ∴，则，角度不确定，则不一定是等腰三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； C、∵，令，，， ∴，故是直角三角形，说法正确，是真命题，符合题意； D、∵，令，， ∴， ∴，则故不是直角三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； 故选：C． 26．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理一一判断即可． 【详解】解：A、，， ， 是直角三角形，本选项不符合题意； B、，，， ， ， 是直角三角形，本选项不符合题意； C、 ，， ， ， 是直角三角形，本选项不符合题意． D、，， 不能得出是直角三角形，本选项符合题意， 故选：D． 27．（24-25八年级上·浙江·期末）若一个三角形三边长，，满足，则这个三角形是（   ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，勾股定理逆定理，先对等式进行整理，再根据勾股定理逆定理，即可求解，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：． 28．（21-22八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，，是直线上的三点，，，是直线外一点，且，，若动点从点出发，向点移动，移动到点停止，在形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形 B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形 C．等边三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形 D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键．点Q从点M出发，沿直线l向点N移动，移动到点N停止的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可判断． 【详解】解：当点Q移动到，此时点Q在点A的左侧，且，是等腰三角形； 当点Q移动到点A的右侧，且，是直角三角形； 当点Q移动到点A的右侧，且，是等边三角形； 当点Q移动到点A的右侧，且，是直角三角形； ∴在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形． 故选：D． 29．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，是等腰三角形，其中，，是线段上一点，满足，连接，． (1)求证：； (2)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； （2）解：设， 则， ∵， ∴，则， 解得：， ∴． 题型八 利用勾股定理求解 易｜错｜点｜拨 求直角三角形的边长时，未分类讨论而致错. 30．（24-25八年级下·湖北黄冈·月考）已知一个直角三角形的两条边长分别为 和1，则第三边长为（    ） A． B．2 C．或2 D．或4 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，分两种情况：边长为和1的两条边都是直角边，边长的边为斜边，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当边长为和1的两条边都是直角边时， 第三边长为：； 当边长的边为斜边时， 第三边长为：， 故第三边长为或2， 故选C． 31．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为 ． 【答案】3.5 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理得到，求出，然后由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理即可求出的长，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3.5． 32．（2021·湖北黄石·模拟预测）如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】求出、点，分平行x轴、不平行x轴两种情况，作出图形，结合图形分别求解即可． 【详解】解：将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 故直线的表达式为：， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即点； ①如图，当平行x轴时， 点，，为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形， 则，则点， ②当不平行x轴时，如下图所示，，    ∵， ∴， ∴， ∴轴，且， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，并注意分类求解，题目难度较大． 题型九 利用勾股定理解决实际问题 答｜题｜模｜板 在实际问题中，往往需要利用数学建模思想抽象出直角三角形，在无法直接计算时，应设未知数， 运用勾股定理找相等关系建立方程. 33．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）为了提高同学们的数学核心素养，年春季学期常州市某学校组织了一次研学活动，要求同学们合作搭建帐篷，如图是他们搭建帐篷的支架示意图在中，两根支架从帐篷顶点支撑在水平的支架上，一根支架于点，另一根支架的端点在线段上，且经测量，，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设，则，，根据勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵， ， 在中，， 在中， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴的长为． 34．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，为米，为米． (1)求梯子的长； (2)当梯子的顶端下滑米时，求梯子的底端到点的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用； （1）由题意得米，米，根据勾股定理可求出梯子的长； （2）由题意得此时米，米，米，由勾股定理可得出，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解： 米，米，， 根据勾股定理可得：（米）． 梯子的长为米； （2）如图，由题意可知：米． 米， 米 米，米，， 根据勾股定理可得：（米） 即梯子的底端到点的距离为米． 35．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，圆柱形玻璃杯高为14，底面周长为32，在杯内壁离杯底5的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离．（杯壁厚度不计）    【答案】20 【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图，解题的关键是：该圆柱的侧面展开，作A关于的对称点，可得即为最短距离，在直角中，、和的长度满足勾股定理，据此求解． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作A关于的对称点， 则，， 连接，则即为最短距离，    在直角中， 由勾股定理得： ， 则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20． 36．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 37．（24-25八年级下·云南红河·期末）台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 【答案】农场会受到台风的影响，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理求线段长度、利用面积法求点到直线的距离是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过三角形面积公式求出到的距离，最后比较与台风影响半径的大小，判断农场是否受影响． 【详解】解：农场是否会受到台风的影响，理由如下： 过点作于． ，，， 在中，由勾股定理得 ， ， ， 解得， ， 农场会受到台风的影响． 38．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． 39．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)见解析 (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 题型十 利用勾股定理逆定理求解 40．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知的三条边分别长为，，，则是（    ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，根据勾股定理逆定理，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，且第三边为斜边，据此解答即可． 【详解】解：∵，且b为最长边， ∴，， ∴， ∴是以b为斜边的直角三角形。 故选：B． 41．（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，设结间距为，再根据勾股定理的逆定理即可求解，掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设结间距为， ∴， ∴这个三角形其中一个角是， 故选：． 42．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）若的三边、、满足，则形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查因式分解、等腰三角形的判定、勾股定理逆定理的应用，解题的关键是通过代数变形得到边的关系． 通过因式分解将方程化为，结合三角形边长为正，得出或者，从而判断形状． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或者， ∴为等腰三角形或直角三角形 故选：D． 43．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在3×4的正方形网格中， 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理；根据网格的特点可得三角形是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 44．（25-26七年级上·山东威海·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米，千米． (1)求小溪流的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)千米 (2)平方千米 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，千米，千米， ∴（千米）； （2）解：∵千米，千米，千米． ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴ （平方千米）． 45．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图， ，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)点与点间的距离， (2)350元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离，运用的长度验证从而确定， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C间的距离；米 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为元． 题型十一 将军饮马问题 答｜题｜模｜板 (1)最值问题基本原理:① 两点之间线段最短;②点到直线，垂线段最短. (2)将军饮马解题步骤:第一步，明确动点、定点； 第二步，明确问题属于哪种将军饮马模型，要求哪些线段和的最小值(注意去掉长度固定的线段)； 第三步，利用平移、对称等方法，将问题转化为基本原理①或②. 46．（24-25七年级下·河北保定·期末）转化策略 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，很多问题的解决都用到了转化策略，转化是解决数学问题的一种重要策略．相信你也经历过“理解问题——拟定计划——实施计划——回顾反思”的思考和解决问题的过程，感悟到转化策略在问题解决过程中起着重要作用． 问题提出 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 问题解决 （1）如图，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使最短； （2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如图2，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （3）为了说明（2）中点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线l上另外取点C，连接，，说明即可，请你借助（2）中所作的图说明道理； 类比探究 （4）如图3，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处．请分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短，并说明道理．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示．） 反思提炼 （5）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）见解析 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）根据轴对称性的性质得出，，然后根据“两点之间，线段最短”得出，即可得证； （4）作P关于的对称点，关于的对称点，连接交于E，于F即可； （5）利用轴对称的性质可以解决最短问题． 【详解】解：（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）连接， ∵、关于对称， ∴，， ∴，， ∴； （4）如图，点E、F即为所求， （5）感悟：利用轴对称的性质可以解决最短问题． 47．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 48．（23-24八年级下·山东济南·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？ 【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小． 解决方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且． 【模型应用】 问题1．如图2，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 问题2．如图3，在平面直角坐标系中，点，点． （1）请在x轴上确定一点P，使的值最小，求出点P的坐标； （2）请直接写出的最小值． 【模型迁移】 问题3．如图4，在菱形中，对角线相交于点O，，．点P和点E分别为上的动点，求的最小值． 【答案】问题1：；问题2：（1）；（2）的最小值；问题3：． 【分析】问题1：连接，则，，即的最小值是长度，再根据勾股定理求出答案即可． 问题2：（1）由待定系数法可求的解析式，即可求解； （2）由，则当点A，点P，点三点共线时，的最小值为的长，由勾股定理可求解； 问题3：由菱形的性质可得，，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，即可求解． 【详解】问题1：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是BE长度， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 故答案为：； 问题2：（1）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．此时，的值最小， ∵点． ∴， 设直线的解析式为， ∵点，点． ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标； （2）的最小值； 问题3：如图5，过A作，交于P，连接， 此时线段最小，且， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 即： ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称最短问题，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 49．（23-24八年级上·湖南株洲·月考）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如下图，作B关于直线l的对称点，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如下图，在直线l上另取任一点，连接，，， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴______=______． 在中，∵， ∴即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在与l的交点上，即A、C、三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【简单应用】 （1）如下图，在等边中，，，E是AC的中点，M是上的一点，求的最小值； （2）如下图，在四边形中，，，在上分别找一点M、N当周长最小时，求的值． 【拓展应用】 如下图，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，，千米，千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠岸C处装货，再停靠岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．（注：在直角三角形中有直角边的平方和等于斜边的平方，如图即在直角中，有 ） 【答案】简单应用：（1）6；（2）；拓展应用：千米 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，等边三角形的性质等等，正确理解题意利用轴对称的性质构造最短路径是解题的关键． 简单应用：（1）根据等边三角形的性质可得垂直平分线，则，故当三点共线且时，最小，即此时最小，则此时都是等边的高，即，故的最小值为6； （2）如图5所示，作A关于和的对称点，连接，连接，由轴对称的性质可得，故当四点共线时，的值最小，即此时的周长的周长最小，由三角形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形外角的性质可得； 拓展应用：如图6所示，分别作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，当四点共线时，的值最小，即此时货船行驶的水路长最小， 由轴对称的性质可得，则，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：简单应用：（1）∵是等边三角形，， ∴垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小，即此时最小， ∵， ∴都是等边的高， ∴， ∴的最小值为6； （2）如图5所示，作A关于和的对称点，连接，连接， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∴当四点共线时，的值最小，即此时的周长的周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴；    拓展应用：如图6所示，分别作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可得， ∴货船行驶的水路长， ∴当四点共线时，的值最小，即此时货船行驶的水路长最小， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴货船行驶的水路最短路程为千米． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江台州·月考）2025年全运会，浙江代表团创佳绩，如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及作图，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质等知识，确定分割三角形中的哪一个角是解题的关键． 根据相关知识分别进行判断即可． 【详解】解：A．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； B．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； C．如图，取的中点，作直线，则，直线能把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； D．不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·福建莆田·月考）一个等腰三角形两边长分别为6，3，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．12 B．15 C．12或15 D．15或18 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义、三角形的三边关系的应用等知识点，分类讨论是解本题的关键．分两种情况讨论：①当3为底时，其它两边都为6，②当3为腰时，其它两边为3和6，再结合三角形的三边关系作答即可． 【详解】解：①当3为底时，其它两边都为6， 由，则3、6、6可以构成三角形，此时三角形的周长为； ②当3为腰时，其它两边为3和6， ∵， ∴不能构成三角形，故舍去， ∴这个等腰三角形的周长为15． 故选B． 4．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）如图，在中，于点D，且，则的长为（   ） A．30 B．24 C．18 D．32 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理并正确运算是解题关键． 先将，转化为，利用勾股定理求出，再用勾股定理求出即可． 【详解】解：由，得， 在中，，即， 解得， 在中，， 故选：A． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列条件中，可以判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键． 使用勾股定理的逆定理（若两边平方和等于第三边平方，则为直角三角形）或检查是否有一个角为90度，据此逐一判断． 【详解】解：A：∵， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； B：设， ∴， ∴， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； C：设， ∵， ∴，故是直角三角形，符合题意； D：∵， ∴，故不满足勾股定理，不是直角三角形，不符合题意； 故选C． 6．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵是等边三角形， 是边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， 是等边三角形， ， 故选：B． 7．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，分别以它的四条边为斜边向外作等腰直角三角形，若，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．9 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理以及等腰直角三角形的定义等知识，熟练掌握勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．连接，由勾股定理和等腰直角三角形的定义得，，，，，，则，推出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，分别以四边形的四条边为斜边，向外作四个等腰直角三角形， ，，，，，， ， ， ， 故选：B． 8．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为 ． 【答案】或/12或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知，，点在边上，，，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，求得是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，取的中点，连接，根据斜边上的中线等于斜边的一半，推导出，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：， ， ，． 如图，取的中点，连接， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 ． 【答案】5米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为4米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙至少为（米）， 故答案为：5米． 12．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，点是边长为的等边边上一点，，垂足为，，垂足为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算方法等知识． 连接，作交于点，由，得，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求出的长即可得到答案，通过作辅助线，根据三角形面积相等得出是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接，作交于点， 则， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和折叠，先根据勾股定理求出，根据折叠的性质得出，，，在中，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在下列网格中，每个小正方形的边长均为1．请按要求画出格点三角形． (1)在图1中画出一个等腰． (2)在图2中画出一个，且其三边都为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形的定义及勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的性质画图即可，由图可得，即△是等腰三角形． （2）利用网格按照题意画图即可，由图可得可得，得出． 【详解】（1）解：如图1，等腰△即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图2，△即为所求（答案不唯一）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄C，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站D，使村庄C到停靠站D的距离最短．经测量，． ①求停靠站A与D之间的距离； ②经测量发现停靠站B到村庄C和停靠站A的距离相等，求停靠站B到村庄C的距离． 【答案】（1）见解析；（2）①，② 【分析】本题是四边形综合题，考查勾股定理的证明与应用，理解题意和题目中体现的方法是解题的关键． （1）依据图1中的正方形的面积可以用两种方式表示出来，即可验证勾股定理； （2）①由勾股定理直接求出；②设，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）由图1可得，大正方形的边长为c，小正方形的边长为， 大正方形的面积为，也是4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即大正方形的面积，其中小正方形的面积为， 大正方形的面积， ∴， 化简可得，； （2）①当时，A到停靠站D的距离最短， 在中，， ∴， 答：停靠站A与D之间的距离为； ②设， ∵， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即， 答：停靠站B到村庄C的距离为． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）我们把三角形的一条边与这条边上的高的长度之差叫做这条边的“边高差”．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． (1)如图2，若中，，，，则_____； (2)若中，，，，则_____； (3)若中，，，边上的高为15，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】本题考查三角形的边长、高的计算，根据三角形的性质和公式求出“边长”和“这条边上的高”是解题关键． （1）利用等腰三角形三线合一、勾股定理直接求边长； （2）在直角三角形中，用面积法求出斜边上的高； （3）三角形形状不确定，分“高在上”和“高在的延长线上”两种情况，用勾股定理求的长度，再计算边高差． 【详解】（1）解：，，， ，， ， 故答案为：1． （2）解：如图，作于， ，，， ， ， ，， ， 故答案为：． （3）如图，分两种情况讨论： 当是锐角三角形时： ，，，， ， ， ，， ， ； 当是钝角三角形时： 同理可得，，， ． ∴的值为或. 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在中，点是边的中点，点、分别在边、上，且，连接． (1)如图1，是等腰直角三角形，，，求证：； (2)如图2，，是等边三角形，，求证：； 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质；解题的关键是通过构造辅助线实现线段或角的转化，从而构造全等三角形；易错点在于辅助线的合理添加以及图形变换后对应关系的准确识别． （1）在等腰直角三角形中，利用中点构造全等三角形，将分散的线段或角集中到同一个三角形中，结合垂直条件推导角度关系； （2）在等边三角形中，利用三线合一以及角平分线上的点到两边距离相等，构造全等三角形，通过证明三角形全等得到对应边相等． 【详解】（1）证明：连接， ∵，，点是边的中点 ∴， 又∵在四边形中， ， ∴ 又∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ （2） 连接，过点作于，过点作于 ∵点是边的中点，是等边三角形， ∴平分 ∴ 又∵在等腰中， ∴在和中 ∴ 同理可证 ∴ ∴ ∴ 2．（25-26八年级上·浙江温州·月考）【问题发现】（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则 ___________． 【问题提出】（2）如图2，在中，，过点作，且，求． 【问题解决】（3）如图3，四边形中，面积为12且的长为6，求的长． 【答案】（1）7；（2）；（3） 【分析】（1）由，得，可证明，即得，，再根据求解； （2）过D作交延长线于E，由，，得，即得，可证明，得，，则，再由勾股定理求即可； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为12且的长为6，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，，根据，可得，，即有，即可证明，从而，，则，再由勾股定理求即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：7； （2）过D作交延长线于E，如图： ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图： ∵面积为12且的长为6， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、性质及应用，涉及等腰直角三角形、四边形、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形（K型全等）． 3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）阅读理解： 在中，，，； ①我们知道，若为直角，则三边满足勾股定理，即； ②其实若为锐角，则与的关系为：，推导过程如下： 证明：如图①过作于，则， 在中： 在中： ∴ ∵，， ∴， ∴． 探究问题： (1)下列三组三角形三边，能构成锐角三角形的是 （填序号） ①3，5，7    ②30，34，16   ③11，8，9 (2)如图②若为钝角，试用上述方法推导与的关系． (3)在中，，，；若是钝角三角形，求第三边的取值范围． 【答案】(1)③ (2)；见解析 (3)当为钝角时，；当为钝角时， 【分析】本题考查了勾股定理的综合运用、三角形的三边关系的应用；熟练掌握勾股定理，通过作辅助线运用勾股定理是解决问题的关键． （1）根据题干信息进行判断即可． （2）作于D，则，由勾股定理得出，，得出，整理即可得出结论； （3）①当为钝角时，由（2）得：，即可得出结果；②当为钝角时，得：，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵①，则不能构成锐角三角形； ②∵，则三角形是直角三角形； ③∵， ∴三角形是锐角三角形； 故选：③ （2）解：，理由如下， 当为钝角，过作于D，如图所示： 则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴； （3）解：当为钝角时，由（2）得：， 即， ∴； 当为钝角时，同理可得：， ∴， 即， ∴； 综上所述：第三边c的取值范围为或． 4．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是中点，是上一动点，连接，将沿直线折叠得． (1)如图，当点恰好落在线段上时，求证：； (2)如图，在中，，，当点恰好落在线段上时，连接，求的长度； (3)如图，若为直角三角形，，，．连接、、，当与面积相等时，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（）由折叠性质可得，则，，又是中点，从而可得，则，然后通过三角形外角性质得到，根据平行线的判定即可求证； （）由折叠性质可得，则，证明为等边三角形，所以，又是中点，从而可得，所以，然后求证明为直角三角形，最后通过勾股定理即可求解； （）延长交于点，过点，作于，于，则，又，所以，证明，得，则有，重合，即三点共线，由勾股定理得，设，则在中，，即，解得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：由折叠性质可得， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由折叠性质可得， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， 由勾股定理可得，； （3）解：延长交于点，过点，作于，于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，重合，即三点共线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， 则在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，图形的变换——折叠，平行线的判定，直角三角形的判定，三角形的外角性质，等边三角形的性质和判定，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $