第2章 特殊三角形（高效培优单元测试·提升卷）数学浙教版2024八年级上册

第二章 特殊三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度（单位：）的各组线段中，能组成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．2，2，2 C．3，4，5 D．6，6，8 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A：，此选项不符合题意； B：，此选项不符合题意； C：，此选项符合题意； D：，此选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，在中，，与关于直线EF对称，，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠BAC的度数是解题关键．由轴对称图形的性质可得，进而结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】∵在中，， ∴，， ∵与关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据等边三角形三线合一的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了等边三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵高与交于点O， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：在中，是的中点， ， 故选：D． 5．将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，连接，求出可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长米，高米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为米，则共需购买（    ）的红地毯． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．利用勾股定理解图中直角三角形得台阶的地面长度为米，则通过观察台阶可知需买红地毯的总长度为米，根据红地毯的宽是台阶的宽米，即可求解． 【详解】解：依题意图中直角三角形一直角边为米，斜边为米， 另一直角边长：（米）， 需购买红地毯的长为（米）， 红地毯的宽则是台阶的宽米， 红地毯面积是：（平方米）． 故选：C． 7．如图，，点A在上，且．按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等知识，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得的度数，的度数，的度数，的度数，…，依此得到规律，再根据即可求解． 【详解】解：由题意可知：，，…， 则，，…， ∵， ∴，，，，…， ∴， 解得， ∵n为整数， ∴． 故选：D． 8．如图所示，已知和都是等边三角形．下列结论：①；②；③平分；④，⑤是等边三角形；⑥．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、三角形外角的定义及性质，由等边三角形的性质可得，，，证明得出，，即可判断①；证明，得出，即可判断②；得出为等边三角形，即可判断⑤；作于，于，求出，即可判断③；由三角形外角的定义及性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即，，故⑥正确； ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∴为等边三角形，故⑤正确； 如图，作于，于， ∵， ∴， ∵，，, ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分，故③正确； ∵， ∴，故④错误， 综上所述，正确的有①②③⑤⑥，共个， 故选：C． 9．如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，且分别交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）以及三角形内角和定理，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到等角关系，再结合三角形内角和与已知角度建立等式求解． 由、分别垂直平分、得、故设根据三角形内角和可知；结合，联立方程求出的度数． 【详解】解：∵垂直平分垂直平分 ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． ∴（等边对等角）． 设． 在 中，（三角形内角和定理）， 即①． ∵，且 ∴②． 将①中代入②，得， 即， 解得． 故选：B． 10．如图，在中，，，点C在边BO延长线上一点，过点B作交CA的延长线于点D，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，可证，可得，可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵ ，   ∴，   ∴ ，   ∴，   ∴，，   ∴，   在和中：   ，     ∴ ∵，   ∴   在和中：   ∴ ，   ∴，   ∴ 故选：B. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，在和中，，要使≌，则需再添加一个条件为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据推出，再考虑添加的条件即可． 【详解】解：条件可以是：； 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌． 故答案为： （答案不唯一）． 12．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和勾股定理，利用对应边和对应角分别相等的全等三角形性质，可以得到正方形的边长为，然后，在中，运用勾股定理可得． 【详解】解：由题意可知，四个直角三角形全等，，， ，， 同理，可得， 在中，应用勾股定理得到： ． 故答案为：． 13．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据即可解答．本题考查了勾股定理，数轴上两点之间的距离公式，数轴上表示的数，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， 设点表示的数是， ∴， ∴， ∴， 故答案为； 14．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是 °（用含α的代数式表示）． 【答案】 【分析】该题考查了折叠的性质，根据图a得出，，根据图b得出，再根据图c即可求解． 【详解】解：根据图a，， ， ， 根据图b，， 根据图c，， 故答案为：． 15．如图，在等腰中，，以为直角边作等腰，以为直角边作等腰，…，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理；由等腰三角形的性质，勾股定理得，，即可求解． 【详解】解： 是等腰三角形， ， 同理可得：， ， 故答案为：． 16．如图，在等腰中，，于点，两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】度/ 【分析】连接，先证明 ，得到，从而推出当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， 又∵是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线且时最小，即此时最小， 过点作于点，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，线段最短问题，三角形外角的性质等知识，解题的关键将的最值转化为． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如下图，某开发区有一块四边形空地，现计划在这块空地上种植草皮，经测量，，，，，．若种植每平方米草皮需要元，则在这块空地上种植草皮共需要多少元？ 【答案】（元） 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，连接，利用勾股定理可求，利用勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出四边形空地的面积，再根据种植每平方米草皮需要元，即可求出所需费用． 【详解】解：如下图所示，连接， ， 为直角三角形， ，， ， ， ，， ， 为直角三角形，且， 这块空地的面积为 ， 在这块空地上种植草皮共需要元． 18．（8分）如图，是等腰直角三角形，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为17 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理： （1）由是等腰直角三角形，，得，而，，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，，所以，则． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点C在的延长线上，点F在线段上， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为17． 19．（8分）如图，在中的垂直平分线分别交于点D，E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理（及逆定理）的应用，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到，进而通过边的关系转化证明直角或列方程求解． （1）连接，由垂直平分线性质得，结合已知等式转化为，利用勾股定理逆定理证； （2）设，用表示的长度，在中通过勾股定理列方程求解x． 【详解】（1）证明：连接 ∵是的垂直平分线 ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∵，且 ∴ 即 ∴是直角三角形，且（勾股定理的逆定理） 即 （2）解：设的长为x ∵ ∴ ∵ ∴ 在中，由勾股定理得： 即 展开得： 化简得：,即 ∴ ∴的长为． 20．（8分）几何直观  【阅读理解】 （1）若一个三角形的三边长a，b，c满足，则我们称该三角形为“变异直角三角形”．如图①，在中，，则 ________“变异直角三角形”（填“是”或“不是”）． 【变式迁移】（2）如图②，在与中，，．试说明：以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”． 【拓展创新】（3）如图③，在四边形中，，E为线段上一点，以为边向外作正方形．若以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，请求出正方形的面积． 【答案】（1）是；（2）见解析；（3）正方形的面积为8 【分析】（1）可得，根据“变异直角三角形”的定义即可求解； （2）连接，由可判定，由全等三角形的性质得，根据“变异直角三角形”的定义即可求解； （3）连接，过点C作，交的延长线于点M，由可判定，由全等三角形的性质得，由以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，①当时，②当时，即可求解． 【详解】解：（1）， ， 是“变异直角三角形”， 故答案为：是； （2）如图②，连接． ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， 故以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”． （3）如图③，连接，过点C作，交的延长线于点M． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． E为线段上一点， ， ， ， 以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”， 分两种情况讨论： ①当时，得，不符合题意，舍去； ②当时，． 综上所述，正方形的面积为8． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，理解新定义，添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 21．（8分）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是线段的中点； (2)求证：； (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）先证明，，进一步证明，再结合等腰三角形的性质可得结论； （2）先证明，可得，结合，可得，进一步可得结论； （3）先证明，结合，可得，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ∴，即E是线段的中点． （2）证明：由（1）可得． ，D为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即． （3）解： 为等腰三角形． 理由：如图，连接， ∵E是线段的中点，， ， 由（2），得， ， ， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 22．（10分）【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图1，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，，BD， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴______，________， ∴_____ 在中， ∵， ∴． ∴，即最小， 【任务二】如图3，有两条公路AO和BO经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM，PN，MN，使三条小路刚好围成一个三角形，周长的最小值为_____米． 【任务三】实践应用：如图4，在中，，，，，AD平分，M、N分别是AD、AC边上的动点，求的最小值． 【答案】任务一：，，； 任务二：500 任务三： 【分析】任务一：根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可； 任务二：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到△的周长的最小值为，再证得△为边长为500的等边三角形即可得出答案； 任务三：过点作交于点，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质得到，这时有最小值，即的长度，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】任务一：证明：如图2，在直线上另取任一点，连结，，， 直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在△中， ， ． ， 即最小， 故答案为：，，； 任务二：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ，， 的周长为， 此时的周长取得最小值，且最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， △为边长为500的等边三角形， ， △的周长的最小值为500米， 故答案为：500； 任务三：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点， 是的平分线． ， ， 这时有最小值，即的长度， ，，，， ， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查轴对称，三角形的面积公式，三角形的三边关系，等边三角形的判定与性质，最短路径问题，角平分线的性质，文字量多，读懂题意是解题的关键． 23．（10分）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 24．（12分）【探究发现】 （1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证： 【拓展迁移】 （2）如图2，以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证： （3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，求 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【分析】（1）由，根据勾股定理得，，，，则； （2）由四边形ABDE和四边形都是正方形，得，，，则，即可证明，得，而，则，即可证明； （3）由（2）得，则，由，，，得，由勾股定理求得，由，，得，由，，得，则，即可求得结论． 【详解】（1）证明： 于点O， ， ，，，， ，， （2）证明：四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， （3）解：如图3，连接， 由得， ， ，，， ，， ，， ， ，， ， ， 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理的应用等知识，此题综合性强，难度较大，根据勾股定理证明是解题的关键． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 特殊三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度（单位：）的各组线段中，能组成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．2，2，2 C．3，4，5 D．6，6，8 2．如图，在中，，与关于直线EF对称，，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是等边三角形，高与交于点O，则等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 5．将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长米，高米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为米，则共需购买（    ）的红地毯． A． B． C． D． 7．如图，，点A在上，且．按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 8．如图所示，已知和都是等边三角形．下列结论：①；②；③平分；④，⑤是等边三角形；⑥．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，且分别交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，点C在边BO延长线上一点，过点B作交CA的延长线于点D，若，则（   ） A． B．2 C． D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，在和中，，要使≌，则需再添加一个条件为 ．（写出一个即可） 12．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图．此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，则的值是 ． 13．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为 ． 14．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是 °（用含α的代数式表示）． 15．如图，在等腰中，，以为直角边作等腰，以为直角边作等腰，…，则的长度为 ． 16．如图，在等腰中，，于点，两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如下图，某开发区有一块四边形空地，现计划在这块空地上种植草皮，经测量，，，，，．若种植每平方米草皮需要元，则在这块空地上种植草皮共需要多少元？ 18．（8分）如图，是等腰直角三角形，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（8分）如图，在中的垂直平分线分别交于点D，E，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．（8分）几何直观  【阅读理解】 （1）若一个三角形的三边长a，b，c满足，则我们称该三角形为“变异直角三角形”．如图①，在中，，则 ________“变异直角三角形”（填“是”或“不是”）． 【变式迁移】（2）如图②，在与中，，．试说明：以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”． 【拓展创新】（3）如图③，在四边形中，，E为线段上一点，以为边向外作正方形．若以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，请求出正方形的面积． 21．（8分）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是线段的中点； (2)求证：； (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 22．（10分）【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图1，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，，BD， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴______，________， ∴_____ 在中， ∵， ∴． ∴，即最小， 【任务二】如图3，有两条公路AO和BO经过村庄，它们的夹角，现要在距离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM，PN，MN，使三条小路刚好围成一个三角形，周长的最小值为_____米． 【任务三】实践应用：如图4，在中，，，，，AD平分，M、N分别是AD、AC边上的动点，求的最小值． 23．（10分）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 24．（12分）【探究发现】 （1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证： 【拓展迁移】 （2）如图2，以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证： （3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，求 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$