精品解析：河北省石家庄市第二十八中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

数学练习 一、选择题 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选A． 2. 如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：C． 3. 如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据垂直平分，得到，然后根据已知条件和线段的和差即可解答． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 4. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 【详解】解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 5. 下列不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. 如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C. D. 如果的三边长分别为a，b，c，且满足 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角的关系和边的关系，选项A、B、C均能判定三角形为直角三角形，而选项D不满足勾股定理，不能判定， 【详解】解：A项：设，，，则，解得， ∴，故是直角三角形； B项：由，得， ∴a为斜边，边长为a的边所对的角为，故是直角三角形； C项：∵，且， ∴，，故是直角三角形； D项：设，，， ∵在三边中c边最长，若为直角三角形，则c为斜边， ∴，，， ∴不满足勾股定理，故不是直角三角形， ∴不能判定是直角三角形的是D， 故选：D． 6. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长100米，长80米，则A点和B点之间的距离为（ ）米． 如图，公园园内池塘边A、B两点，在池塘边选定一点C，构成一个，使 A. 100 B. 80 C. 60 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理可以直接求解． 本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键． 【详解】由题可知，米，米，， 米． 故选：C 7. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 12米 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可； 【详解】如图所示， 由题可知：，， ∴， ∴米； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 8. 如图，在中，，，，垂足为D，，垂足为E，O为的中点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 由直角三角形的性质可得，则，再根据三角形内角和定理可得，同理：，最后根据平角的性质列式计算即可． 【详解】解：∵，O为的中点，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴． 故选C． 9. 如图：，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质，熟记等腰三角形等边对等角的性质是解题的关键．根据等边对等角求出，再利用外角性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图所示的长方形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方形的轴对称性作答即可． 【详解】解：先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是C选项中的图形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的特点． 11. 如图，在中，是的角平分线，，垂足为．若，的面积为20，则的长度为（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键； 根据角平分线性质可知，再通过三角形的面积可求出，进而可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，， ， 又 ∵的面积为， ，即， ， ， 故选：C． 12. 如图，在中，，，点E、F分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的定义，折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①，②，③，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 连接， 设，由对称性可知，， ∴， ∵， ∴， 分类如下： ①如图1，当时，， 由，得， 解得：． 此时， ； ②如图2，当时， 则， 故， 由得：， 解得， 此时， ； ③时， 则， 故， 由得 此方程无解． ∴不成立； 综上所述，的度数是或． 故选：C． 二、填空题 13. 若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，考虑等腰三角形的两种可能情况，利用三角形的三边关系判断是否构成三角形，并计算周长． 【详解】解：当腰长为2，底边为5时，∵，不满足三角形三边关系，故无效； 当腰长为5，底边为2时，∵，，满足三边关系， ∴周长为， 故答案为：12． 14. 如图，，的平分线相交于点，过点作，交于，交于，那么下列结论：①，都是等腰三角形；②；③的周长为；④．其中正确的是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质以及等量代换可得∠DBF=∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理也是等腰三角形；②根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC,然后等量代换即可判定；③根据等腰三角形的性质可得：DF=BD,EF=EC ，然后再判定即可；④无法判断． 【详解】解：①∵BF是∠ABC的角平分线 ∴∠ABF=∠CBF 又∵DE//BC ∴∠CBF=∠DFB ∴∠ABF=∠DFB ∴DB=DF，即△BDF是等腰三角形， 同理可得是等腰三角形，故①正确； ②∵△BDF是等腰三角形， ∴DB=DF 同理：EF=EC ∴DE=DF+EF=BD+CE,故②正确； ③∵DF=BD,EF=EC ∴的周长为AD+DE+AE=AD+DF+AE+EF= AD+BD+AE+CE=AB+AC，故③正确； ④无法判断BD=CE，故④错误． 故答案为①②③． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用，涉及面较广，因此灵活应用所学知识成为解答本题的关键． 15. 如图，在的正方形网格中，与成轴对称且以格点为顶点的三角形有______个． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了成轴对称的性质，根据轴对称图形的性质，不同的对称轴，可以有不同的对称图形，考虑不同的对称轴是解题的关键． 根据网格结构确定出对称轴，然后作出与成轴对称的三角形即可得解． 【详解】解：如图所示，与成轴对称的三角形有，，，，，共有5个． 故答案为：5． 16. 如图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，则第5个三角形的面积为_______，第n个三角形的面积为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】分析: 详解: 根据勾股定理可得: 第一个三角形中:, 第二个三角形中:, 第三个三角形中:, 以此类推,第五个三角形的面积, 第n个三角形的面积, 故答案为,. 点睛:本题主要考查勾股定理与图形规律探究问题,解决本题关键是要通过图形分析出第一个图形,第二个图形,第三个图形的面积与序号之间的关系. 三、解答题 17. 已知，如图，在中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 要求：在横线“______”上填证明步骤，在括号“（ ）”中填证明依据 证明：过点P分别作，，． ∵平分 （已知），且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（ ） ∴平分． 【答案】 证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知），且，， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且，， ∴， ∴（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上） ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质和判定方法，进行作答即可． 【详解】略 18. 如图，下图为的正方形网格，为格点三角形 （1）请画出关于直线l的轴对称图形；并在直线l上确定一点P，使得点P到A、C两点的距离之和最小； （2）请画出关于点M的中心对称图形； 【答案】（1） 解：如图所示，、点即为所求 （2） 解：如图所示，即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了作中心对称图形，画轴对称图形，轴对称的性质求线段和最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质找到关于对称的点，顺次连接，得到，即为所求；再根据轴对称图形的性质连接，则 点即为所求； （2）根据中心对称的性质作图即可． 【小问1详解】 连接交于点， ∵，关于直线l的轴对称，则， ∴，当三点共线时，取等号，则点P到A、C两点的距离之和最小； ∴点即为所求． 【小问2详解】 略 19. 项目式学习 主题 素材 位置要求 设计图 任务 如何确定雕像的位置． 如图，要在一个四边形的公园中建造一个标志性的雕像． 1．到点和点的距离相等； 2．到和边的距离相等． 请按要求将图纸绘制，标注出点的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】作边的垂直平分线和的平分线，两直线交于点即为所求． 【详解】略 20. 已知：如图，的高、相交于点O且，求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵与是的高， ∴， ∵， ∴， 故是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查三角形高的应用，熟练掌握三角形面积公式的应用是解题的关键． 由三角形面积公式得，结合，可得，即可证出是等腰三角形． 【详解】略 21. 已知：如图，在四边形 中，AD，BC相交于点O，且，，，求证：． 【答案】 证明：，， ，， 和都是直角三角形． 在 和 中，，， ． ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，核心是利用“”证明直角三角形全等． 【详解】略 22. 老师在黑板上出了一道题．求证：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．嘉嘉和淇淇看到题目后，做出了自己的思考： 先画图，再写出已知和求证．请你帮他们完成已知和求证． 已知：______ 求证：______ 嘉嘉的思路：取的中点D，连接； 淇淇的思路：延长至点D，使得，连接； 请你从他俩的思路中任选一种，完成证明． 【答案】 已知：在△中，，， 求证：， 故答案为：在△中，，；． 选嘉嘉的思路：证明如下： 证明：取的中点D，连接； ， ， 是等边三角形， ； 选淇淇的思路：证明如下： 证明：延长至点D，使得，连接； ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定及性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．根据题目信息写出已知和求证即可；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及条件，证明是等边三角形即可求证淇淇的思路；利用三角形全等的判定及性质证明，进一步证明是等边三角形． 【详解】解：略． 23. 在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他们搭建帐篷的支架示意图．在中，两根支架从帐篷顶点支撑在水平的支架上，一根支架于点，另一根支架的端点在线段上，且．经测量，知，，．根据测量结果，解答下列问题： （1）求的长； （2）按照要求，当帐篷支架与所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求． 【答案】（1） （2）符合要求 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，是解题的关键． （1）设，则，，在中，利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理求出与的长，从而得出的长，再利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，，进而得出结论． 【小问1详解】 解：设，则，， ， ， 在中，， ，解得． 的长为； 【小问2详解】 帐篷符合要求． 理由如下： 在中，，， ， 在中，，， ， ， ，， ． 是直角三角形，． 帐篷符合要求． 24. 如图，解放广场的草评上有五条小路，且． （1）求小路的长度； （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点O处，小狗从点O开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，设奔跑中小狗的位置为点Q，小狗奔跑的时间为． ①当小狗在小路上奔跑时，求出淇淇与小狗的最近距离，并求此时t的值； ②当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1） （2）①；②t的值为或15或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理先求出，然后在中根据勾股定理求出即可； （2）①根据垂线段最短，结合三角形面积公式进行计算即可； ②分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：在中根据勾股定理得： ， 在中根据勾股定理得： ； 【小问2详解】 解：①过点O作于点Q，如图所示： ∵垂线段最短， ∴当时，淇淇与小狗的距离最小， ∵， ∴， 在中根据勾股定理得： ， ∴此时； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 此时； 当时，如图所示： 此时； 当时，过点作于点E，如图所示： 根据①可得：， ∵，， ∴， 此时； 综上分析可知，当为等腰三角形时，t的值为或15或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，等腰三角形的定义，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握勾股定理，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 一、选择题 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平分，点P在上，，，则点P到的距离是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 5. 下列不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. 如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C. D. 如果的三边长分别为a，b，c，且满足 6. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，嘉淇在C点设桩，使，并测得长100米，长80米，则A点和B点之间的距离为（ ）米． 如图，公园园内池塘边A、B两点，在池塘边选定一点C，构成一个，使 A. 100 B. 80 C. 60 D. 120 7. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 12米 8. 如图，在中，，，，垂足为D，，垂足为E，O为的中点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图：，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示的长方形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在中，是的角平分线，，垂足为．若，的面积为20，则的长度为（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 12. 如图，在中，，，点E、F分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题 13. 若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为_______． 14. 如图，，的平分线相交于点，过点作，交于，交于，那么下列结论：①，都是等腰三角形；②；③的周长为；④．其中正确的是________． 15. 如图，在的正方形网格中，与成轴对称且以格点为顶点的三角形有______个． 16. 如图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，则第5个三角形的面积为_______，第n个三角形的面积为___________． 三、解答题 17. 已知，如图，在中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 要求：在横线“______”上填证明步骤，在括号“（ ）”中填证明依据 证明：过点P分别作，，． ∵平分 （已知），且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分，且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴点P在的平分线上（ ） ∴平分． 18. 如图，下图为的正方形网格，为格点三角形 （1）请画出关于直线l的轴对称图形；并在直线l上确定一点P，使得点P到A、C两点的距离之和最小； （2）请画出关于点M的中心对称图形； 19. 项目式学习 主题 素材 位置要求 设计图 任务 如何确定雕像的位置． 如图，要在一个四边形的公园中建造一个标志性的雕像． 1．到点和点的距离相等； 2．到和边的距离相等． 请按要求将图纸绘制，标注出点的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 20. 已知：如图，的高、相交于点O且，求证：是等腰三角形． 21. 已知：如图，在四边形 中，AD，BC相交于点O，且，，，求证：． 22. 老师在黑板上出了一道题．求证：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．嘉嘉和淇淇看到题目后，做出了自己的思考： 先画图，再写出已知和求证．请你帮他们完成已知和求证． 已知：______ 求证：______ 嘉嘉的思路：取的中点D，连接； 淇淇的思路：延长至点D，使得，连接； 请你从他俩的思路中任选一种，完成证明． 23. 在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他们搭建帐篷的支架示意图．在中，两根支架从帐篷顶点支撑在水平的支架上，一根支架于点，另一根支架的端点在线段上，且．经测量，知，，．根据测量结果，解答下列问题： （1）求的长； （2）按照要求，当帐篷支架与所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求． 24. 如图，解放广场的草评上有五条小路，且． （1）求小路的长度； （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点O处，小狗从点O开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，设奔跑中小狗的位置为点Q，小狗奔跑的时间为． ①当小狗在小路上奔跑时，求出淇淇与小狗的最近距离，并求此时t的值； ②当为等腰三角形时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $