6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 基础知识巩固练 知识点1　平面向量的正交分解及坐标表示 1.(多选)已知向量i=(1,0), j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,下列结论中正确的是(　　) A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y) B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2或y1≠y2 C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是坐标原点O D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y) 知识点2　平面向量加、减运算的坐标表示 2.如果用i, j分别表示与x轴、y轴方向相同的单位向量,且A(2,3),B(4,2),则可以表示为(　　) A.2i+3j B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j 3.若=(3,4),A点的坐标为(-2,-1),则B点的坐标为(　　) A.(1,3) B.(1,-3) C.(-5,-5) D.(5,5) 4.在平面直角坐标系xOy内,已知点A(-1,1),=(1,-2),则=　　(　　) A.(2,-3) B.(0,-1) C.(-2,3) D.(0,1) 综合能力提升练 5.已知扇形AOB的半径为5,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,=(5,0),=(4,3),弧AB的中点为C,则=(　　) A. B. C.(4,2) D.(2,) 6.已知点A(-2,-3),B(2,2),C(1,3),若四边形ABCD为平行四边形,则点D的坐标为(　　) A.(-1,-4) B.(-3,-2) C.(5,8) D.(-1,0) 7.(多选)已知点A(2,5),B(-1,7),C(4,-2),若A,B,C,D四个点能构成平行四边形,则点D的坐标可以是(　　) A.(-3,14) B.(-1,0) C.(7,-4) D.(1,0) 8.已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2=(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 9.已知点A(1,3),B(4,-1),则与同方向的单位向量为(　　) A. B. C. D. 10.向量的正交分解:向量a能表示成两个相互　　　　的向量i,j的线性组合,即a=xi+yj,这种向量的表示方法叫做向量的正交分解.把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记为a=　　　　.  11.如图,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j,{i,j}作为基底,若|a|=,θ=45°,则向量a的坐标为(　　) A.(1,1) B.(-1,-1) C.(,) D.(-,-) 12.已知a=(3,0),b=(1,4),则a+b=　　　　;a-b=　　　　.  13.如图,写出向量a、b与c的坐标. 14.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),求向量的坐标. 答案 1.AB　由题意可知,i, j是不共线的向量,根据平面向量基本定理可知A中的结论正确;B中的结论显然正确;因为向量是可以自由移动的,所以C,D中的结论均不正确.故选AB. 2.C　记O为坐标原点,则=2i+3j,=4i+2j, 所以=-=2i-j. 3.A　设B(x,y),故=(x+2,y+1),而=(3,4),故故故B(1,3),故选A. 4.B　因为点A(-1,1),所以=(-1,1), 故=+=(-1,1)+(1,-2)=(0,-1).故选B. 5.B　设∠AOC=α,则∠AOB=2α,易知α∈,tan 2α==,解得tan α=(负值舍去),即=,又sin2α+cos2α=1,α∈,所以sin α=,cos α=, 则C,即C,所以=.故选B. 6.B　设点D的坐标为(x,y),则=(x+2,y+3), 易知=(-1,1), 若四边形ABCD为平行四边形,则=, 所以解得即点D的坐标为(-3,-2).故选B. 7.ACD　设点D的坐标为(x,y), 当四边形ABCD为平行四边形时,=,则(-3,2)=(4-x,-2-y),解得x=7,y=-4,则D(7,-4); 当四边形ABDC为平行四边形时,=,则(-3,2)=(x-4,y+2),解得x=1,y=0,则D(1,0); 当四边形ADBC为平行四边形时,=,则(x-2,y-5)=(-5,9),解得x=-3,y=14,则D(-3,14). 综上,点D的坐标可以是(7,-4),(1,0),(-3,14).故选ACD. 8.B　∵a+b=(2,3),a-b=(-2,1),∴a=(0,2),b=(2,1),∴|a|2-|b|2=4-5=-1. 9.A　因为=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以与同方向的单位向量为e==(3,-4)=,故选A. 10.垂直　(x,y) 11.A(提示:a=cos 45°i+sin 45°j=i+j=(1,1)) 12.(4,4)　(2,-4) 13.解：　a=b=(1,2),c=(1,-2). 14.解：　在平行四边形ABCD中,=(2,4),=(1,3),所以=-=(-1,-1),所以=+=(-3,-5). ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $