精品解析：山东省枣庄市峄城区12月核心素养检测2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期12月核心素养评价八年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各式中属于二元一次方程的有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列二元一次方程组的解为的是（　　） A. B. C. D. 3. 铜桐收藏有枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：）分别为、、、、、、．这组数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 4. 李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 在一次考试中，某校八年级班和班成绩的箱线图如图所示，已知两个班的人数相等，则下列说法正确的是（ ） A. 班成绩比班成绩集中 B. 班成绩的上四分位数是分 C. 班同学的成绩有超过分的 D. 班和班成绩的中位数相同 7. 已知x，y满足方程组，则的值为（　　） A. 2025 B. C. 1 D. 8. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 9. 已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（ ） A. B. C. D. 10. 当实数，满足时，称点为和谐点，若以关于，的方程组的解为坐标的点为和谐点，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题（每空3分，共18分） 11. 是关于，的二元一次方程，则_____． 12. 甲，乙，丙，丁四名学生进行数学素养能力测试，每人10次测试成绩的平均数及方差如表所示．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加全国中学生数学能力测评，应选择_____． 甲 乙 丙 丁 110 98 110 110 1.5 0.5 1.1 0.5 13. 若是二元一次方程的一个解，则的值是_____． 14. 某学校餐厅有10元、12元、15元三种盒饭供学生选择．某天盒饭的销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是_________元． 15. 已知、是一个等腰三角形的两边长，且与互为相反数，则此等腰三角形的周长为_____． 16. 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，当为11时的值是_____． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程组： （1） （2） 18. 甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 19. 如图，这是某江滩公园正在修建的一运动场馆的规划示意图，运动场馆是一个长方形，长AD为120米，宽AB为90米，计划在甲、乙、丙三块形状及大小相同的小长方形地块上修建网球场，剩余两块形状及大小相同的空地铺设塑胶草坪，求每块草坪的面积． 20. 某校计划选拔一名学生主持校元旦晚会．经过层层选拔，最后甲、乙两名同学进入决赛．决赛成绩由8位评委打分，将根据决赛成绩选择一名同学担任晚会主持． 甲同学的决赛成绩为：4，5，6，7，7，8，9，10 乙同学的决赛成绩为：3，4，6，8，10，9，7，9 甲、乙两名同学的决赛成绩进行了如表分析： 同学 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 7 7 7 c 乙 7 5.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_______； （2）根据决赛成绩，你认为甲、乙两位同学谁能够担任元旦晚会主持？请说明你的理由．（写出一条理由即可） 21. 阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，， ∴原方程组的解为， 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 22. 在技术和政策的推动下，越来越多的市民选择购买新能源汽车．请根据下表信息，回答下列问题． 问题背景 某汽车店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A，B两款新能源汽车若干辆． 素材1 从厂家购进3辆A款新能源汽车和1辆B款新能源汽车共需75万元． 素材2 从厂家购进4辆A款新能源汽车和3辆B款新能源汽车共需125万元． 问题解决 任务（1） 求A，B两款新能源汽车每辆的进价： 任务（2） 要使这240万元正好用完（两种汽车都要购买），请列出购进方案． 任务（3） 在任务（2）的条件下，A，B两款新能源汽车分别在进价的基础上提价3万元和2万元作为定价售卖，将购进的A，B两款新能源汽车全部售出，直接写出最大利润为_____万元． 23. 【材料阅读】二元一次方程有无数组解，如：如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图1中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为___________； （2）已知关于的二元一次方程组无解，请在图2中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与轴的交点分别是，方程②图象与轴的交点分别是，计算的度数，并直接写出的值． 【拓展应用】 （3）图3中包含关于的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解及的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期12月核心素养评价八年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各式中属于二元一次方程的有（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．根据此概念进行判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程的概念知，①③两个方程是二元一次方程；②是一元一次方程；④中项的次数是二次，不是一次，不是二元一次方程；⑤中左边不是整式，故不是二元一次方程； 综上所述，是二元一次方程的有两个； 故选：A． 2. 下列二元一次方程组的解为的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．分别求出各项中方程组的解，即可作出判断． 【详解】解：A、， ①②得：，即， 把代入①得：， 不合题意； B、， ①②得：，即， 把代入①得：， 符合题意； C、， ①②得：，即， 把代入①得：， 不合题意； D、， ②①得：，即， 把代入①得：， 不合题意， 故选：B． 3. 铜桐收藏有枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：）分别为、、、、、、．这组数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，解题的关键是根据数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．将数据从小到大重新排列，再根据中位数的概念求解即可． 【详解】解：将这组数据重新排列得：，，，，，，， ∵数据有奇数个，最中间的数据为：， ∴这组数据的中位数为． 故选：B． 4. 李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查代入消元法求二元一次方程组，利用代入消元法进行求解，进行分析判断即可，掌握解方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 由，得， 将代入得，， , ， ∴解题过程中开始出现错误的同学是丙， 故选：． 5. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为，琎价为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出， 则方程组为：， 故选：B． 6. 在一次考试中，某校八年级班和班成绩的箱线图如图所示，已知两个班的人数相等，则下列说法正确的是（ ） A. 班成绩比班成绩集中 B. 班成绩的上四分位数是分 C. 班同学的成绩有超过分的 D. 班和班成绩的中位数相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查箱线图的解读，准确定位中位数与四分位数是解题关键． 对比两个班箱线图的箱体宽度、最大值和中位数位置，依次验证选项． 【详解】解：、班箱线图的箱体更窄，故班成绩更集中而非班，错误； 、班成绩的下四分位数是分，而非上四分位数，错误； 、班成绩的最大值没有超过分，故没有学生的成绩超过分，错误； 、两个班成绩的中位数均为分，两个班的中位数相同，正确． 故选：． 7. 已知x，y满足方程组，则的值为（　　） A. 2025 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，代数式求值，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 将两个方程相加后两边同时除以5后求得的值，将其代入原式计算即可． 【详解】解：∵ 方程组将两方程相加：， ∴ ， 两边同时除以5得： ， ∴ ． 故选：B． 8. 求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6 D. 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【详解】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． 故选C 9. 已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出a，b的值即可． 【详解】解：由题意，得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ， ∴； 故选A． 10. 当实数，满足时，称点为和谐点，若以关于，的方程组的解为坐标的点为和谐点，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值． 【详解】解：∵， 解得． ∴． 点为和谐点， ∴，． 又， ∴． ∴， 故答案选：C． 二、填空题（每空3分，共18分） 11. 是关于，的二元一次方程，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值． 【详解】解：根据题意，得且， 解得， 故答案为：1． 12. 甲，乙，丙，丁四名学生进行数学素养能力测试，每人10次测试成绩的平均数及方差如表所示．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加全国中学生数学能力测评，应选择_____． 甲 乙 丙 丁 110 98 110 110 1.5 0.5 1.1 0.5 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查的是方差和平均数．根据平均数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度．据此即可判断． 【详解】解：由表知甲、丙、丁成绩的平均数相等，且大于乙的平均数， ∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛， ∵ ∴丁的方差较小， ∴丁发挥稳定， ∴选择丁参加比赛． 故答案为：丁． 13. 若是二元一次方程的一个解，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是把方程的解代入原方程得到代数式的值，再进行求解． 把代入方程，可得，再代入代数式，即可求出答案． 【详解】将代入，得：， 整理得；， ∴． 故答案为：． 14. 某学校餐厅有10元、12元、15元三种盒饭供学生选择．某天盒饭的销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是_________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数平均数，根据加权平均数的计算公式作答即可． 【详解】解：， 平均数是元， 故答案为：． 15. 已知、是一个等腰三角形的两边长，且与互为相反数，则此等腰三角形的周长为_____． 【答案】7或8 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，非负数的性质，解二元一次方程组． 根据相反数的定义得到，根据非负数的性质列二元一次方程组，求出a和b的值，进而根据等腰三角形的性质，三角形三边关系分情况计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得：， 当等腰三角形的腰长是时， ∵，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的周长为； 当等腰三角形的腰长是2时， ∵，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的周长为； 故答案为：7或8． 16. 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，当为11时的值是_____． 【答案】17cm 【解析】 【分析】根据题意可知，单独一个纸杯的高度加三个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解． 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为 由题意得 解得， 则个纸杯叠放在一起时的高度为：， 当时，其高度为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法并根据方程特点灵活选用是解答的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 把代入，得 ， 解得， 把代入，得 ． 该方程组的解为． 【小问2详解】 解： ，得 ， 解得， 把代入，得 ， 解得， 该方程组的解为． 18. 甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出原方程组的解． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方程组的错解复原问题，根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此求出a、b的值，再利用加减消元法解原方程组即可得到答案． 【详解】解：甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得， ，． ，． ∴原方程组为 得 ， 解得， 把代入得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 19. 如图，这是某江滩公园正在修建的一运动场馆的规划示意图，运动场馆是一个长方形，长AD为120米，宽AB为90米，计划在甲、乙、丙三块形状及大小相同的小长方形地块上修建网球场，剩余两块形状及大小相同的空地铺设塑胶草坪，求每块草坪的面积． 【答案】3900平方米 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．三个小长方形的长为x米，宽为y米，根据题意，列出方程，可求出三个小长方形的总面积，再用大长方形的面积减去三个小长方形的总面积，即可求解． 【详解】解：设三个小长方形的长为x米，宽为y米，根据题意得： ， 解得：， ∴三个小长方形的总面积为平方米， ∴每块草坪的面积为平方米． 20. 某校计划选拔一名学生主持校元旦晚会．经过层层选拔，最后甲、乙两名同学进入决赛．决赛成绩由8位评委打分，将根据决赛成绩选择一名同学担任晚会主持． 甲同学的决赛成绩为：4，5，6，7，7，8，9，10 乙同学的决赛成绩为：3，4，6，8，10，9，7，9 甲、乙两名同学的决赛成绩进行了如表分析： 同学 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 7 7 7 c 乙 7 5.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_______； （2）根据决赛成绩，你认为甲、乙两位同学谁能够担任元旦晚会主持？请说明你的理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1），， （2） 选择甲的理由：甲、乙的决赛成绩的平均数都是7分， 从方差来看，甲成绩的方差小于乙成绩的方差， 所以甲的成绩更稳定， 所以甲能够担任元旦晚会主持； 选择乙的理由：甲、乙的决赛成绩的平均数都是7分， 从中位数和众数来看，乙的成绩大于甲的成绩， 所以乙能够担任元旦晚会主持．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（）根据方程、中位数和众数的定义解答即可求解； （）根据平均数、中位数、众数和方差的意义解答即可； 本题考查了平均数、中位数、众数和方差，理解平均数、中位数、众数和方差的意义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由统计表可知，乙同学的决赛成绩从小到大排列为3，4，6，7，8，9，9，10， ∴中位数； ∵乙同学的决赛成绩分的人数最多， ∴众数， ； 【小问2详解】 略 21. 阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，， ∴原方程组的解为， 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 【答案】 【解析】 【分析】根据“整体换元”的解法，设，得，得出m，n的值，再解，即可得答案． 【详解】解：设，，原方程可化为 ，即， ②-①得，， ∴， 把代入②得，， ∴ ∴ 解得：． 【点睛】本题考查了用“整体换元”的思想解二元一次方程组，解题的关键是合理换元，熟练地解二元一次方程组． 22. 在技术和政策的推动下，越来越多的市民选择购买新能源汽车．请根据下表信息，回答下列问题． 问题背景 某汽车店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A，B两款新能源汽车若干辆． 素材1 从厂家购进3辆A款新能源汽车和1辆B款新能源汽车共需75万元． 素材2 从厂家购进4辆A款新能源汽车和3辆B款新能源汽车共需125万元． 问题解决 任务（1） 求A，B两款新能源汽车每辆的进价： 任务（2） 要使这240万元正好用完（两种汽车都要购买），请列出购进方案． 任务（3） 在任务（2）的条件下，A，B两款新能源汽车分别在进价的基础上提价3万元和2万元作为定价售卖，将购进的A，B两款新能源汽车全部售出，直接写出最大利润为_____万元． 【答案】任务（1）：A款新能源汽车每辆的进价为20万元，B款新能源汽车每辆的进价为15万元；任务（2）：一共有三种方案：方案一、购买A款新能源汽车3辆，购买B款新能源汽车12辆；方案二、购买A款新能源汽车6辆，购买B款新能源汽车8辆；方案三、购买A款新能源汽车9辆，购买B款新能源汽车4辆；任务（3）：35 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程组，方程和算式是解题的关键． （1）设A款新能源汽车每辆的进价为x万元，B款新能源汽车每辆的进价为y万元，根据从厂家购进3辆A款新能源汽车和1辆B款新能源汽车共需75万元，从厂家购进4辆A款新能源汽车和3辆B款新能源汽车共需125万元建立方程组求解即可； （2）设购买A款新能源汽车m辆，购买B款新能源汽车n辆，根据总费用为240万元列出方程，求出方程的正整数解即可得到答案； （3）根据题意可得一辆A款新能源汽车的利润比一辆B款新能源汽车的利润大，则在（2）的条件下A款新能源汽车越多，获得的利润越大，据此求解即可． 【详解】解：任务（1）：设A款新能源汽车每辆的进价为x万元，B款新能源汽车每辆的进价为y万元， 由题意得，， 解得， 答：A款新能源汽车每辆的进价为20万元，B款新能源汽车每辆的进价为15万元； 任务（2）：设购买A款新能源汽车m辆，购买B款新能源汽车n辆， 由题意得，， ∴， ∴， ∵两种汽车都要购买， ∴m、n都为正整数， ∴是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，（舍去）； ∴一共有三种方案：方案一、购买A款新能源汽车3辆，购买B款新能源汽车12辆；方案二、购买A款新能源汽车6辆，购买B款新能源汽车8辆；方案三、购买A款新能源汽车9辆，购买B款新能源汽车4辆； 任务（3）：∵A，B两款新能源汽车分别在进价的基础上提价3万元和2万元作为定价售卖， ∴一辆A款新能源汽车的利润为3万元，一辆B款新能源汽车的利润为2万元， ∴一辆A款新能源汽车的利润比一辆B款新能源汽车的利润大， ∴在（2）的条件下A款新能源汽车越多，获得的利润越大， ∴当购买A款新能源汽车9辆，购买B款新能源汽车4辆时，获得的利润最多，最多为万元． 23. 【材料阅读】二元一次方程有无数组解，如：如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图1中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为___________； （2）已知关于的二元一次方程组无解，请在图2中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与轴的交点分别是，方程②图象与轴的交点分别是，计算的度数，并直接写出的值． 【拓展应用】 （3）图3中包含关于的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解及的值． 【答案】（1）图象如图所示： ； （2）解：如图所示： ，； （3）， 【解析】 【分析】a本题考查了二元一次方程的图象，解二元一次方程组，求图象的交点坐标，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． （1）描点画图，解二元一次方程组即可； （2）由二元一次方程组无解，使得两条直线平行，由此可列方程求出k值，再由平行线的性质及直角三角形的两个锐互余可求出； （3）首先判断方程的图象过定点，再判断图象经过第一、三、四象限，求出点也在图象上即可求出m的值． 【详解】解：（1）如图，当时，；当，， 过两点即为方程的图象； 解方程组，两式相加得， 将代入，得， 方程组的解为； 故答案为：； （2）方程组无解， 两直线平行， 方程①化为， 方程②化为， 由， ， 方程①，当时，；当时，， ，直线为方程①的图象，如图2， 方程②，当时，；当时，， ，直线为方程②的图象，如图2， ， 在中，， ； （3）方程变形得，， 当时，， 方程的图象过， 方程的图象经过第一、三、四象限， 把代入得，，， 点在上， ， 解，得． 把代入得，， 解得， 二元一次方程组的解为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $