1.5.2矩形的判定（题型专练）数学新教材湘教版八年级下册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.5.2矩形的判定 题型一矩形判定的理解 题型二添加条件使四边形是矩形 题型三证明四边形是矩形 题型四根据矩形的性质与判定求角的度数 基础达标练 题型五根据矩形的性质与判定进行求线段的长度 题型六根据矩形的性质与判定进行求面积 题型七由矩形的性质与判定进行证明 1.5.2矩形的判定 题型一与矩形性质与判定相关的多结论问题 题型二与矩形有关的最值问题 能力提升题 题型三与矩形有关的动点问题 拓展培优练 基础达标题 题型一矩形判定的理解 1.下列命题中，不成立的是() A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角互补的平行四边形是矩形 C.有一个角是直角的平行四边形是矩形D.对角线相等的四边形是矩形 2.在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组 拟定的方案，其中正确的方案是() A.测量其中三个角是否为直角 B.测量两组对边是否相等 C.测量对角线是否相互平分 D.测量对角线是否相等 3.甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框 是否是矩形，他们各自做了如下检测：检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力 的是() A.甲量得窗框两组对边分别相等 B.乙量得窗框的对角线相等 C.丙量得窗框的一组邻边相等 D.丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等 4.下列说法错误的是() 1 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.四角相等的四边形是矩形 B.三角相等的平行四边形是矩形 C.两角为直角的四边形是矩形 D.一角为直角的平行四边形是矩形 5.9.如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角 是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再 连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致这种检查方法用到的数学依据是( A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.三个角都是直角的四边形是矩形 C,对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相平分的四边形是矩形 6.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： A -B C E G、 7- (1) 2 (4) (1)先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图(1)，使AB=CD,EF=GH: (2)摆放成如图(2)的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是： 一 (3)将直角尺靠紧窗框的一个角，如图(3)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边 与窗框无缝隙时，如图(4)，说明窗框合格，这时窗框是一，根据的数学道理是： 题型二添加条件使四边形是矩形 7.在0ABCD AC.BD 中，连接 ，再添加一个条件，可以判定ABCD 为矩形的是（) A.AC L BD B.∠ABC=90 C.AB=BC D.∠ABC=∠ADC 8.如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是 2 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AO=BO B.AC=BD AB2+BC2=AC2 AB=BO c. D. 9.在口ABCD中，添加下列一个条件，不能判定该四边形为矩形的是() A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.BC⊥CD D.AC=BD 1O.如题图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH,为了使四边形EFGH是矩 形.还需添加条件() E A G A.AC=BD B.AC∥BD C.AC⊥BD D.四边形ABCD是矩 形 11.如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇 以点C为圆心，AB长为半径作弧交射线AE于点D,连接CD,则四边形ABCD即为所求. 对于淇淇得到的四边形ABCD,下列说法正确的是() 如图，用尺规作图作出口ABCD 图1 图2 A.四边形ABCD一定是平行四边形 B.当AB⊥BC时，四边形ABCD一定是矩形 C.四边形ABCD一定不是平行四边形 3 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.当AB=BC时，四边形ABCD是平行四边形 12.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，BF=DE. D (1)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)要使四边形AECF是矩形，需添加（一个条件），理由是 13.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交 CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF. (1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？ (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由. 14.如图，D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点. D (1)求证：AE与DF互相平分. (2)当△ABC满足」 时，四边形ADEF是矩形. 15.如图，点M在口ABCD的边BC上，AM=DM,请从以下四个选项中，选择一个合适 的选项作为已知条件，使口ABCD为矩形. 4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 D B M ①∠I=∠3；②M为BC的中点；③∠2=∠4；④AM平分∠BAD;DM平分∠ADC, (1)你选择的条件是 ；(填序号，填写一种即可) (2)添加条件后，求证：口ABCD为矩形 题型三证明四边形是矩形 16.如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列 四边形不一定为矩形的是() A40°40y☑ B∠40°40C 17.已知：如图，在平行四边形ABCD中，M是平行四边形ABCD内的一点，且AM=DM, BM=CM求证：四边形ABCD是矩形 B 18.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，E是AB的中点，AC、DE交于点F, AF=FC,BF∥CD D (1)求证：四边形BCDF为矩形： (2)若CD=DE=3,求AB的长. 19.如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作BC的 平行线交CE的延长线于点F,连接BF. 5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D (1)求证：AF=BD: (2)如果AB=AC,试证明：四边形AFBD为矩形： 20.如图，AD和BC相交于点O,∠ABO=∠DCO=90°，OB=OC,E,F分别是AO, DO的中点. (1)求证：OE=OF. (2)当∠A=30°时，求证：四边形BECF是矩形， 21.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,点F在边C上，CF=AE, 连接AF,BF. D E B (1)求证：四边形EBFD是矩形： (2)若AE=3,DE=4,DF=5,求证：AF平分∠DAB. 题型四根据矩形的性质与判定求角的度数 22.如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=55°，则 ∠OBA的度数为() 6 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.35° B.40 C.450 D.50° 23.两个矩形的位置如图所示，若∠1=120，则∠2的度数为) A.30° B.15° C.60° D.45° 24.将一个含30°的角的直角三角尺(LAMF=90)按如图所示放置在矩形纸板上，己知矩形 纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为() E FD A M A.20° B.30 C.15° D.5° 25.如图，四边形ABcD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠B的度数之间的关系为( B D A.B=180-a B.B=180°-20 C.B=90°-a 0.B=900 26.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,点M,N在AC上，且 7 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM=CN,延长BM至点E,使EM=BM,连接DE,DN. 0 B △AMB≌△CND (1)求证： (2)若点M,N分别为OA,OC的中点，BD=2AB,求∠E的度数. 27.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F, AE=DF A D B (1)求证：四边形ABCD是矩形 2若∠BAE=)∠EAD,求∠AOE的度数 题型五根据矩形的性质与判定进行求线段的长度 28.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，若AB=9,BC=3,则折痕EF 的长度为() B 310 A.5 B.25 c.√10 D.2 29.在一张矩形1BCD AD=15,AB=1 B,CD 纸片中， ,M,N分别为 的中点，现将这张 8 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 纸片按图方式折叠，使点B落在MN上的点F处，则FN的长为() A D N B E A.5 8.4V5 c.15-4v5 D.15-65 30.在口ABCD中，点E为CD的中点，过点D作DG⊥BC于点G,若点F为BG的中点， DG=6,BC=10,则EF的长为一· 31.如图，在口ABCD中，对角线BD L AB,E为BC的中点，分别延长AB和DE,两线 相交于点F,连接 E,CF (1)试判断四边形BFCD的形状，并证明你的结论： (2)若AB=1,BC=2,求AE的长 题型六根据矩形的性质与判定进行求面积 32.如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC= 8cm,则平行四边形ABCD的面积是()cm2. 9 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.16 8.46 C.86 D.165 ABCD 33.如图，在四边形 中，M,Np ，分别是边MB,BC CD AD 的中点， 连接MN,NP,PO和MQ得到四边形MNPO,当对角线AC和BD满足AC⊥BD, AC=6 BD=4 MNPO 时，四边形 的面积为() A.4 B.6 C.8 D.12 34.如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，连接DE,过点D作 DF⊥DE交BC边于点F,点G在DE的延长线上，且DG=FC.连接CG. G B (1)求证：四边形DFCG是矩形； (2)若∠B=45°，GC=3,DE=4,求四边形DFCG的面积. 35.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角 ∠CAM的平分线，CE⊥AW,垂足为E. 10 1.5.2矩形的判定 题型一 矩形判定的理解 1．下列命题中，不成立的是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角互补的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、三个角都是直角的四边形是矩形，成立，不符合题意； B、对角互补的平行四边形是矩形，成立，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，成立，不符合题意； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线相等但不是矩形，故该命题不成立，符合题意． 故选：D． 2．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（   ） A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否相互平分 D．测量对角线是否相等 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定为矩形；符合题意； B、测量两组对边是否相等，只能判定为平行四边形；不符合题意； C、测量对角线是否相互平分，只能判定为平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否相等，不能判定其为矩形（如等腰梯形的对角线也相等），不符合题意； 故选：A． 3．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（    ） A．甲量得窗框两组对边分别相等 B．乙量得窗框的对角线相等 C．丙量得窗框的一组邻边相等 D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定定理，需满足对角线相等的平行四边形或三个角都是直角等条件，逐一分析选项，判断其是否满足矩形判定条件即可． 【详解】解：A、两组对边分别相等说明是平行四边形，但无法确定是矩形，故甲的说法不准确，不符合题意； B、对角线相等可能是正方形、矩形或等腰梯形，故乙的说法不准确，不符合题意； C、一组邻边相等无法确定是否为矩形，可能为菱形，故丙的说法不准确，不符合题意； D、两组对边分别相等且两条对角线也相等的是矩形，故丁的说法正确，符合题意． 故选：D． 4．下列说法错误的是（   ） A．四角相等的四边形是矩形 B．三角相等的平行四边形是矩形 C．两角为直角的四边形是矩形 D．一角为直角的平行四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理．根据矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、四角相等的四边形是矩形，原说法正确，本选项不符合题意； B、三角相等的平行四边形是矩形，原说法正确，本选项不符合题意； C、两角为直角的四边形不一定是矩形，原说法不正确，本选项符合题意； D、一角为直角的平行四边形是矩形，原说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 5．9．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（   ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键．根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架的对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 这种检查方法用到的数学依据是：对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：C． 6.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： （1）先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图（1），使； （2）摆放成如图（2）的四边形，则这时窗框的形状是______形，根据的数学道理是：______； （3）将直角尺靠紧窗框的一个角，如图（3），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图（4），说明窗框合格，这时窗框是______，根据的数学道理是：______． 【答案】（2）平行四边形；两组对边分别相等的四边形为平行四边形（3）矩形，有一个角为直角的平行四边形为矩形 【分析】本题考查了平行四边形和矩形的判定，根据平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，即可得出（2）的结论，当把一个角变为直角时，根据一个角为直角的平行四边形为矩形即可得出（3）的结论． 【详解】解：（2）如图所示： ∵， ∴四边形为平行四边形．（两组对边分别相等的四边形为平行四边形） （3）如图所示： 由（2）知四边形为平行四边形， ∵为直角， ∴四边形为矩形．（有一个角为直角的平行四边形为矩形） 题型二 添加条件使四边形是矩形 7.在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解题的关键． 根据矩形的判定定理，结合平行四边形的性质，逐一分析各选项是否能判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项B： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； 选项C： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项D： ∵ 平行四边形中本身就有（平行四边形对角相等）， ∴ 此条件不能判定为矩形． 故选：B． 8．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形添加条件判定矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．根据对角线相等或有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合添加各选项的条件逐一判别即得． 【详解】解：A、， ∵四边形是平行四边形，对角线相交于， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形， 故A能判定，该选项不符合题意； B、， ∴平行四边形为矩形， 故B能判定，该选项不符合题意； C、 ∴是直角三角形， ， ∴平行四边形为矩形，故C能判定，该选项不符合题意； D、添加， 不能判定或， ∴平行四边形不一定是矩形，故D不能判定，该选项符合题意． 故选： D． 9．在中，添加下列一个条件，不能判定该四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了添加条件进行矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解决本题的关键． 根据矩形的判定方法逐一分析选项，结合平行四边形的性质进行判断． 【详解】解：A、在平行四边形中，邻角互补（和为），若，则每个角为，故四边形为矩形，不符合题意； B、平行四边形的对角相等（是固有性质），无论是否为矩形均成立，因此无法判定为矩形，符合题意； C、若，则，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判定为矩形，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故可直接判定为矩形，不符合题意； 故选B． 10．如题图，连接四边形各边中点，得到四边形，为了使四边形是矩形．还需添加条件（   ） A． B． C． D．四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，解题关键是掌握这些定理，并能运用这些定理求解． 根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是四边形各边中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 当时，， ∴， ∴四边形为矩形， 故选：C． 11．如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形一定是矩形 C．四边形一定不是平行四边形 D．当时，四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、尺规作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质．核心素养表现为推理能力和空间观念．先证明，，进而得出，按作图要求得出四边形可能是平行四边形，得出结论． 【详解】解：平分． ， ， ， ， ．以点为圆心，长为半径作弧交射线于点，点会有两个位置，右侧的点可以使四边形为平行四边形，左侧的点使四边形为梯形， 四边形可能是平行四边形． 当时，点仅会有一个位置，故四边形一定是矩形， 故选B． 12．如图，四边形是平行四边形，是对角线上的点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)要使四边形是矩形，需添加______（一个条件），理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)（不唯一）；对角线相等的平行四边形是矩形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接对角线交对角线于点，由，，即可得出结论； （）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接对角线交对角线于点，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，是对角线上的点，， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：要使四边形是矩形，需添加（不唯一），理由如下： 由（）知，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） 故答案为：（不唯一），对角线相等的平行四边形是矩形． 13．如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． (1)线段与有何数量关系，为什么？ (2)当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当满足时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、矩形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先证明得到，再结合，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，由（1）得，当满足时，利用三线合一性质得到，再根据矩形的判定即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：当满足时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， 由（1）得，， 当时，则， ∴， ∴平行四边形是矩形． 14．如图，D，E，F分别是的边，的中点． (1)求证：与互相平分． (2)当满足___________时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的中位线定理，得出，进而得出四边形是平行四边形，即可求证与互相平分； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得当满足时，四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵、、分别是边、、的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． （2）解：当满足时，四边形是矩形， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 15．如图，点在的边上，，请从以下四个选项中，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． ①；②为的中点；③；④平分；平分． (1)你选择的条件是___________；（填序号，填写一种即可） (2)添加条件后，求证：为矩形． 【答案】(1)③或② (2)见详解 【分析】本题考查了三线合一，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，选择的条件是③，为矩形． （2）先运用平行四边形的性质，证明，则，根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，即可作答．如果选②为的中点，则先证明，再根据三线合一性质，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，选择的条件是③，为矩形．或选择的条件是②，为矩形． （2）解：由（1）得选择的条件是③， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为矩形． 当选择②为的中点，过程如下： ∵为的中点； ∴延长至点，， 连接， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴三线合一得， ∴为矩形． 题型三 证明四边形是矩形 16．如图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，， 四边形是平行四边形， ，，，， 即， ， 四边形是矩形； 故A选项不符合题意； B、观察图形可知，四边形的对角线互相平分且相等， 四边形是矩形； 故B选项不符合题意； C、观察图形可知，， 四边形是矩形； 故C选项不符合题意； D、观察图形可知，，故不能判定四边形是矩形， 故D选项符合题意． 故选：D． 17.已知：如图，在平行四边形中，是平行四边形内的一点，且，求证：四边形是矩形 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等边对等角，矩形的判定等知识，先利用平行四边形邻角互补得到，证明得到，等边对等角得到，继而得到，从而得到，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形是矩形． 18．如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得 ，再根据三角形的中位线定理可得，然后利用勾股定理可得的长，根据线段中点的定义即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2）解：由（1）已证：四边形为矩形， ∴ ， ∵， ∴， 由（1）得：是的中位线， ∴，   ∵， ∴， ∴在中， ， ∵是的中点， ∴． 19．如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合点E是的中点，，得，，再结合对顶角相等，证明，则，又因为是边上的中线，故，即可作答； （2）因为，，得，由（1）得，又∵，得出四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是边上的中线， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 20．如图，和相交于点O，，，E，F 分别是，的中点． (1)求证：． (2)当时，求证：四边形 是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）直接证明，得出，根据、分别是、的中点，即可得证； （2）证明四边形是平行四边形，进而根据，推导出是等边三角形，进而可得，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：在与中， ∴， ∴， 又∵、分别是、的中点， ∴； （2）证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 21．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，即，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，根据矩形的判定得出即可； （2）根据矩形的性质求出，根据勾股定理求出，求出，推出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴，，即， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）∵四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 题型四 根据矩形的性质与判定求角的度数 22．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 23．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 24．将一个含30 °的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为（   ） A．20° B．30° C．15° D．5° 【答案】C 【分析】由BC=2AB=2BM，得到△ABM是等腰直角三角形，又根据四边形ABCD是矩形，得到AD∥BC，推出∠AFM=∠FMC=45°，因为∠MFE=60°，得到∠AFE=15°． 【详解】解：∵BC=2AB=2BM， ∴AB=BM， ∴∠AMB=45°， ∵∠AMF=90°， ∴∠FMC=45°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AFM=∠FMC=45°， ∵∠MFE=60°， ∴∠AFE=15°． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟记定理． 25．如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为(   ) A．β= 180-α B．β=180°- C．β=90°-α D．β=90°- 【答案】D 【分析】如图，根据题意得∠DAC=∠α，∠EAO=∠α，∠AEO=∠β,∠EOA=90°，再根据三角形内角和定理可得β=90°-. 【详解】如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠α 由作图痕迹可得AE平分∠DAC，EO⊥AC ∴∠EAO=∠α， ∠EOA=90° 又∠AEO=∠β， ∠EAO+∠AOE+∠AEO=180°， ∴∠α+∠β+90°=180°， ∴β=90°- 故选D. 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握和运用相关的知识是解题的关键. 26．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，在上，且延长至点，使，连接，． (1)求证：； (2)若点，分别为，的中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质推出，即可利用证全等； （2）利用平行四边形的性质证出和，得到和，推出四边形是平行四边形，再证出即可推出四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定，中位线的性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 27．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 题型五 根据矩形的性质与判定进行求线段的长度 28．如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，矩形的判定和性质，等角对等边，勾股定理； 过作于，设，根据勾股定理求出，进而得出的长，再证明，四边形是矩形，求出的长，再在中运用勾股定理即可得到的长． 【详解】解：过作于，在矩形中，， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ∵在矩形中，， ∴， 由折叠可知， ， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴在中，， 故选：C． 29．在一张矩形纸片中，，M，N分别为的中点，现将这张纸片按图方式折叠，使点B落在上的点F处，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等，解题关键是掌握翻折的性质，然后作出相应辅助线．由矩形的性质得到，，再根据M，N分别为的中点，易证四边形是矩形，推出，，由折叠的性质求出，利用勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：∵矩形纸片中，， ∴，， ∵M，N分别为的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴． 故选：D． 30．在中，点E为的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，矩形的性质和判定，勾股定理；连接，取中点M，连接，，得出是的中位线，得出，，，，再由得出四边形是矩形，最后通过勾股定理即可求出. 【详解】解：连接，取中点M，连接，，交于点，如图所示， ∵E是中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理：，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 31．如图，在中，对角线，为的中点，分别延长和，两线相交于点，连接． (1)试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是矩形，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质以及相关已知条件可证明可得，易得四边形是平行四边形，再结合即可证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质、矩形的性质证明是等边三角形，再说明，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，证明如下： ∵， ∴， ∴ ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型六 根据矩形的性质与判定进行求面积 32．如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得AC=BD=8，AB=4，进而证得四边形ABCD为矩形，利用勾股定理求得BC即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∵△ABO是等边三角形，AC=8cm， ∴AO=OB=AB=4cm， ∴AC=BD， ∴四边形是ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，BC=， ∴平行四边形ABCD的面积是AB·BC= ×4= (cm2)， 故答案为：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． 33．如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，连接，， 和得到四边形，当对角线 和 满足，，时，四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质与判定，根据中位线的性质以及得出四边形是矩形，进而根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，，分别是边，，，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形， ∴四边形的面积为 故选：B． 34．如图，在中，、分别为边、的中点，连接，过点作交边于点，点在的延长线上，且．连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）利用三角形中位线定理求出，利用矩形的性质得到，根据等角对等边证明，则，根据矩形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴；， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 35．如图，在中，，是的一条角平分线，为的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理． （1）根据等腰三角形三线合一得到，，结合是的外角的平分线，可得出，又由即可得到，然后根据矩形的判定即可得证； （2）利用，，证明是等边三角形，求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：，是角平分线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， 即， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知，四边形为矩形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴矩形的面积． 题型七 由矩形的性质与判定进行证明 36．如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后证出，根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 37．如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使，连接、和，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点A和点C之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点A和点C之间的距离为 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，熟悉掌握矩形的判定是解题的关键． （1）利用平行四边形的判定方法先判定出四边形是平行四边形，再利用对角线相等判定出四边形为矩形即可； （2）连接，利用勾股定理求出的长，利用矩形的性质得到的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接． ，， ， ， 在中，由勾股定理可得， ∵四边形是矩形， ， ，， ， ， ∵四边形是矩形 ∴， 在中，由勾股定理可得，， ∴点A和点C之间的距离为． 38.如图，四边形的对角线与相交于点，，交于点，交于点，是上的一点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，为中点，求的长； (3)若，现有以下个结论：，，．请你看一看，想一想，证一证以上个结论中正确的一个． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则四边形是平行四边形，，然后通过矩形的判定方法即可求证； （）由四边形是矩形，，即，通过勾股定理得，因为为中点，所以，再根据即可求出的长； （）连接，证明，则，再证明，得到，，，设，则有，然后通过三角形内角和定理得出，最后由线段的和与差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （3）解：， 证明：如图，连接， 由（）得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴，，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ． 题型一 与矩形性质与判定相关的多结论问题 39．为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行四边形和矩形的性质即可判断． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， AB与BC不一定相等， ∴∠BCA不一定45°，故①错误； AC的长度变小，故②正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，故③正确； 矩形对角线不垂直，故④错误； 综上，正确的有②③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键． 40．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解． 【详解】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∵∠CAE＝15°， ∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°， ∴∠BAO＝90°−30°＝60°， ∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD， ∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确； ∴OB＝AB， 又∵ AB＝BE， ∴OB＝BE， ∴△BOE是等腰三角形，故②正确； 在Rt△ABC中 ∵∠ACB=30° ∴BC＝AB，故③错误； ∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB， ∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°， ∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误； ∵AO＝CO， ∴，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 41．如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】连接，可证四边形是矩形，，即可判断①③；根据①③的结论可推出垂直平分，进而可得是等腰直角三角形，从而可判断②；证明，推出，设，推出，，判断④即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴ 由题意得： ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点是的中点 即：，故①正确； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可证 ∴，故③正确； ∵ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则：， ∴， ∴， ∴；故④正确； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、斜中半定理等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 42．如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，连接，根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得，，，即可判断①③，根据，可得四边形为矩形，即可判断②． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，与交于点， ∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴分别为的垂直平分线， ∴， ∴，故①正确； ∵分别为的垂直平分线， ∴四边形为矩形， ∴，故②正确； ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理得 ∵， ∴，故③错误； ∴正确的结论是①②， 故选：B． 题型二 与矩形有关的最值问题 43．如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形为矩形，再由轴对称的性质得出点C为的中点，据此得出，最后由时，取得最小值即可解决问题． 【详解】解：连接， 点D关于边，的对称点分别为E，F， ，，， 又， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 当时，取得最小值， 由面积法可知，， 的最小值为． 故选：A． 44．如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作于点M，作于点N，点O是的中点，若，当点P在上运动时，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理的运用，掌握矩形的判定和性质，得到时线段最短是解题的关键． 根据题意得到四边形是矩形，的最小值即可得到的最小值，且，由垂线段最短，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 如图所示，连接， ∴，则，，即点三点共线， ∴的最小值即可得到的最小值，且， 当时，的值最小，则的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 45．如图，在矩形中，，点分别是和上的动点，四边形是矩形，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，垂线段最短，连接，根据矩形的性质得到，当最小时，最小，当时，的值最小，根据矩形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， 当最小时，最小， 当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为2， 故选：B． 46．如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形，， ， 的最小值为． 故选：C． 47．如图，在中， ，D是的中点，直线l经过点D，垂足分别为E，F，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，构建全等三角形是解答此题的关键． 过点C作于点K，过点A作于点H，过点C作交的延长线于点N，证明，则，然后再根据垂线段最短来进行计算即可． 【详解】解：如图，过点C作于点K，过点A作于点H， 在中， ∵， ∴, ∴ ∴, 在中， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∵点D为中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 过点C作交的延长线于点N， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 可得， 在中， ， 当直线时，和重合，最大值为， 综上所述，的最大值为． 故答案为：． 题型三 与矩形有关的动点问题 48．如图，是线段所在直线上的一动点，点，在的两侧，于，于，，，，连接，，分别取，的中点，，连接．随着点的运动，线段的长（    ） A．随着点的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为 D．保持不变，长为 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，过点作，交的延长线于，可得四边形为矩形，即得，，得到，进而由勾股定理得，再根据三角形中位线的性质得到，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 即的长保持不变，长为， 故选：C． 49．如图，在中，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接，，当为直角三角形时，t的值为（   ） A．6或18 B．6或16 C．10或18 D．10或16 【答案】D 【分析】主要考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，分情况讨论，分别计算三个角为直角时t的值，并判断是否存在． 【详解】解：当或16时，为直角三角形；理由如下： ①时，四边形为矩形， 在中，， ∴，即， ∴； ②时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， ∴； ③时，此种情况不存在； 综上所述，当或16时，为直角三角形． 故选：D． 50．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 51．如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． ①当时，得到四边形是矩形，即可求解；②根据“平行线间的距离处处相等”，即可判断；③根据②中的发现即可判断；④利用三角形的中位线定理即可判断． 【详解】解：①当时，， ， ，， 四边形是矩形， ， 四边形的周长是，故①正确； ②，，， 直线与直线之间的距离是， 当时，点到直线的距离等于，故②错误； ③由②可知点到的距离为定值，即的边上的高为， 又， 的面积为定值，故③错误； ④点，分别是线段，的中点， 是的中位线， ， 即线段的长度不变，故④正确； 故选：A． 52.在矩形中，，点P在边以的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以的速度在C、B间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当 时，四边形为矩形． 【答案】2.4或4或7.2或12 【分析】本题考查矩形的判定和性质，一元一次方程的实际应用．利用数形结合和分类讨论的思想是进行求解是解题关键． 由矩形的判定和性质可知当时，四边形为矩形．再求出点P运动的时间为12秒，即可求出点Q可在间往返4次，即在这段时间内与有4次平行．设运动时间为t，分类讨论4种情况，分别用含t的代数式表示出和，再列出方程，解出t的值即可． 【详解】解：当时，四边形为矩形． ∵矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． ∵点P运动的时间秒， ∴点Q运动的路程， ∴点Q可在间往返4次， ∴在这段时间内有四次． 设运动时间为t，则， 分类讨论：①第一次：，， ∴， 解得：； ②第二次：，， ∴， 解得：； ③第三次：，， ∴， 解得：； ④第四次：，， ∴， 解得：． 故答案为：2.4或4或7.2或12． 53．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？    【答案】当时，四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的性质和判定的应用．根据矩形的性质得出，，，当时，四边形是矩形，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 当时，四边形是矩形， 即， 解得：． 所以当时，四边形是矩形． 54．课本再现 思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小聪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，交点为O． 求证：四边形是矩形． 应用定理 （2）如图2，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接， ，．求证：四边形是矩形．（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析 【详解】本题主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，可得，再结合，可得，即可求证； （2）证明∴，可得，可得到四边形是平行四边形，再由，可得，即可求证． （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 （2）证明：∵O为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 55．如图1，在矩形中，，，、分别是、上的点（不含端点），．连接，将四边形沿所在直线对折，得到四边形，点、的对应点分别为点、． 备用图1                                 备用图2 (1)若，当时，__________；当时，__________． (2)如图2，当点恰好落在的中点，交于点，，求的值． (3)若，，当所在直线经过矩形的顶点时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识以及分类讨论思想是解题的关键． （1）当时，先说明四边形是矩形，再根据矩形的性质即可解答；当时，然后根据矩形的性质以及等腰三角形的性质即可解答； （2）由矩形的性质以及中点的定义可得，再根据翻折的性质可证明，则、，进而得到、、；再在中运用勾股定理列方程求解即可； （3）分当所在直线经过矩形的顶点、顶点在的延长线上时、顶点在的延长线时三种情况，然后根据矩形的性质、折叠的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图：∵矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； ∵将四边形沿所在直线对折，得到四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：2，4． （2）解：四边形是矩形， ，，， 为的中点， ， 将四边形沿翻折， ，，，， 在和中 ， ，， 在中，根据勾股定理得：， 设，则， ∴，解得： （3）解：①如图：当所在直线经过矩形的顶点时， 根据折叠可知：，，，， ，，， ， ，， ， ， ， ，， 根据勾股定理得：，即，解得： ②如图：当顶点在的延长线上时，连接， 在中，，，，， ， ， ，， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ， ，解得：． ③如图：当顶点在的延长线时， 在中，，，，， 在中，，，，， ，， 在中，，，， 根据勾股定理得：， 即，解得：． 综上，的值为或或． 56．课本再现： （1）如图所示的是数学课本上的一道题： 如图，在矩形中，是上不与点和点重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为．求的值． 如图①，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值．请你写出求解过程； 知识应用． （2）如图②，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处． ①当为线段上一动点（不与点重合），过点分别作直线的垂线，垂足分别为和，以为邻边作平行四边形．若，求的周长； ②如图③，当点在线段的延长线上运动时，若，请用含的式子直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）；过程见解析；（2）①；② 【分析】（1）连接由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论； （2）①连接过点证再由勾股定理得然后由三角形面积求出即可解决问题； ②同①得再由勾股定理得，然后由三角形面积得即可解决问题． 【详解】解：（1）四边形为矩形， ，，，，， ，， ，， ， ， 解得． （2）①四边形为矩形， ，，， ． 连接，过点作于点，如图①所示， 则四边形为矩形， ． 由折叠的性质，得，， ， ， ， ． 在中，由勾股定理，得， ． ，， ． ， 的周长． ②与之间的数量关系为． 连接，过点作于点，如图②所示． 由（1）同理可得 ， ， ． ，， ． ， ． 四边形为平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握面积法是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $