1.6.1菱形的性质（题型专练）数学新教材湘教版八年级下册

1.6.1菱形的性质 题型一 菱形性质的理解 1．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与菱形的性质，熟记平行四边形的性质与菱形的性质是解决问题的关键． 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，但四条边相等是菱形特有的性质，不是所有平行四边形都具有，从而得到答案． 【详解】A、对边相等是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； B、对角线相等既不是菱形的性质，也不是平行四边形的性质，不符合题意； C、四条边相等是菱形性质，不是平行四边形性质，符合题意； D、对角线互相平分是平行四边形与菱形均具有的性质，不符合题意； 故选：C． 2．下列性质中菱形有而矩形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．邻角互补 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了菱形和矩形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形和矩形的性质． 根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形、以及矩形对角线相等、菱形对角线互相垂直判断即可． 【详解】解：A、菱形和矩形都是特殊的平行四边形，故对角相等，不符合题意； B、菱形对角线垂直，矩形对角线相等，但不一定垂直，符合题意； C、菱形和矩形都是特殊的平行四边形，故邻角互补，不符合题意； D、矩形对角线相等，菱形对角线互相垂直，但不一定相等，不符合题意， 故选：B． 3．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，下列结论中不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，理解菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线、相交于点O， ∴，，，故A、C、D选项不符合题意． 只有当菱形中，时，，故B选项符合题意． 故选B． 4．下列性质中，矩形具有而菱形不具有的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．轴对称图形 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形和菱形的性质，比较矩形和菱形的性质，找出矩形具有而菱形不具有的选项即可，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：、矩形和菱形均为平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，因此两者均具有此性质，原选项不符合题意； 、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，原选项符合题意； 、菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，原选项不符合题意； 、矩形和菱形均为轴对称图形，原选项不符合题意； 故选：． 题型二 根据菱形的性质求角度 5．若菱形中两个相邻内角的度数比是，那其中较大的角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的邻角互补． 根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵菱形中两个相邻内角的度数比是，两个相邻内角的和是 ∴其中较大的角的度数是． 故选：B． 6．如图，在菱形中，点E是边上一点，连接、，，若，则的度数为（   ） A．54° B．72° C．50° D．48° 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 7．如图，在菱形中，连接，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形和垂直平分线的性质，先根据垂直平分线的性质证明，再根据菱形的性质证明，从而可得，进而可得，再根据求得答案． 【详解】解：如下图所示，连接， ∵的垂直平分线是， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边中线性质，解题的关键是利用菱形的性质得出相关角度关系．先根据菱形的性质求出和的度数，再由和得出，计算出的度数，根据直角三角形斜边上的中线性质，得到，最后得到． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 又菱形的对角线平分一组对角， ， ，， ，即， ， 四边形是菱形， 为中点， 在中，为中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得， ， 故选：B． 9．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理、等边对等角等知识点，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 由菱形的性质可得、，可得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得的度数，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 10．如图，菱形中，过点作交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形外角的性质，根据菱形的性质可以求出，，根据三角形外角的性质可以求出． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 是菱形的对角线， ， ， ， ， 是的外角， ． 故选：D． 11．如图，是菱形的对角线，点在边上，过点作交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质． 根据菱形的性质可得，利用等腰三角形的性质求得，最后通过平行的性质可得的度数． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故选：C． 12．如图，在菱形中，对角线和交于点，四边形的周长为28．若，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质． 根据菱形的四边相等得到，则是等边三角形，那么，再由菱形的对角线平分每一组对角即可求解． 【详解】解：∵菱形周长为28， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴在菱形中，， 故选：A． 13．如图，将菱形沿着对角线所在的直线l平移，若，则的度数为（    ） A．45° B．50° C．55° D．60° 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质、图形平移的性质、等腰三角形的性质、直线平行的性质．根据菱形对角线的性质可知对角线将菱形分为两个等腰三角形，三角形底角为，根据三角形内角和定理求出顶角，再根据平移和直线平行的性质可求． 【详解】解：由菱形的性质可知菱形对角相等，对角线平分对角， ∴对角线将菱形分为两个等腰三角形， ∴是底角为65°，如图， ∴顶角为． 根据平移可知，， ∴， 故选：B． 14.如图，四边形是菱形，，． 求： (1)的度数； (2)，的长． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，能灵活运用菱形的性质进行推理是解此题的关键． （1）根据菱形的性质得出，，进而可求出的度数； （2）根据菱形的性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质和菱形的性质求出的长，根据菱形的性质求出的长，再由勾股定理求出的长，则可求出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， 由（1）知， ∴为等边三角形， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴． 15.已知：如图，点、分别是菱形的边、上的点，且，，求：的大小． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，连接，可证是等边三角形，得到，进而可得，即可证明，得到，即得是等边三角形，得到，由利用三角形内角和定理可得，再根据平角的定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 即， 是菱形的一条对角线， ， ∴， ， ， ∵ 是等边三角形， 又 ， ． 16．如图，菱形中的两条对角线，相交于点O，其中，，延长至点E，使，连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了利用平行四边形的判定与性质求解，利用菱形的性质求线段长，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据菱形的性质得出，，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求解； （2）先根据菱形的性质得出，即，从而可求得，再根据平行四边形的性质得出，从而可求得． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴，． ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴的长度为8； （2）∵菱形， ∴， 即． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 题型三 根据菱形的性质求线段的长度 17．菱形的周长为，那么菱形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形四边相等求解即可． 【详解】解：∵菱形的四边相等，周长为， ∴边长， 故选：C． 18．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是边，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质和中位线定理，熟练使用中位线定理是解题的关键． 首先利用中位线定理和勾股定理求解菱形的边长，再根据中位线定理即可求解OM的长度． 【详解】解：∵M，N分别是边，的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵点M是的中点，， ∴， 故选：C． 19．如图，在菱形中，，，则对角线的长是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定，掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的性质证明是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：∵菱形， ∴，平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 20．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为，则的长为（    ） A． B．4 C．7 D．14 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 由菱形四边相等，对角线垂直，可得，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且其周长为， ∴，， ∴， ∵点为边的中点， ∴． 故选：A． 21．菱形的边长为5，一条对角线的长为6，则该菱形一边上的高为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的对角线垂直且互相平分是解题的关键． 由菱形的性质可知，在中可求得的长，则可求得的长，进而可求得菱形的面积，如此一来即可求得边上的高． 【详解】解：如图： 四边形为菱形， ，且，， 菱形的边长为， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， 又边上的高， 边上的高. 故选：A． 22．如图，菱形的对角线相交于点，于点，若该菱形的周长为，面积为，求，，，的长． 【答案】， ，， 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，根据菱形的四条边都相等可知，根据菱形的面积公式可以求出，利用勾股定理可以求出，从而可得：，利用勾股定理即可求出的长度，根据菱形的面积公式求出的长度，过点作，根据三角形的三条高线交于一点，可知经过点，根据菱形的性质可知，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的长度． 【详解】解：菱形的周长为， ， 菱形的面积是， ， ， ； ， ， ， ， ， ； 菱形的面积是， ， ， ； 如下图所示，过点作， 四边形是菱形， ，平分， 、是的两条高， 经过点 ， ， ， 又， ， ， ． 23．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交于点F，若菱形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，灵活运用所学知识，采用数形结合的思想是解题关键． （1）先根据菱形的对角线互相垂直能得到，然后再结合题意即可证明四边形为矩形； （2）先判断与均为等边三角形，然后利用勾股定理计算出长，再次利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，即， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴为等边三角形，， 由（1）可知四边形为矩形，， ∴， 在中，． 24．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点，，． (1)求的长． (2)求菱形的高． 【答案】(1) (2)菱形的高是 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能熟记菱形的性质和矩形的判定是解此题的关键． （1）根据菱形的性质得出，根据矩形的判定得出四边形是矩形，再根据矩形的性质得出即可； （2）过B作于M，根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，求出，求出，再代入求出BM即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ； ． （2）解：过B作于M， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即菱形的高是 题型四 根据菱形的性质求面积 25．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（   ） A．12 B．6 C．2.4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，非负数的性质，利用非负数的性质求出和的值，再根据菱形的面积公式计算即可得出结果，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得：，， ∵菱形的两条对角线的长为a和b， ∴菱形的面积等于， 故选：B． 26．如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，若，则菱形的面积等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是证明是等边三角形． 连接，由垂直平分线得到，可得，然后根据的直角三角形的性质以及勾股定理求解，即可求解，然后证明是等边三角形，再求出，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交对角线于点F， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴ ∴， ∵菱形中，， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴菱形的面积 故选：D． 27．如图，在菱形中，、交于点O，于点E，若，，则等于（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键． 根据菱形的性质得出、、、，求出和，求出AD，根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：四边形是菱形， 、、、 、 、 由勾股定理得： 解得． 故选：A． 28.如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长是10，面积是12．则的值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．连接，根据菱形的性质得，，然后利用三角形面积公式，由，得到，再整理即可得解． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形的周长为10， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则的值为． 故选：B． 29．如图，在菱形中，，垂足为点，点、分别为边、的中点，连接，若，，求菱形的面积． 【答案】120 【分析】本题考查菱形的性质及菱形的面积公式，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形中斜边中线等于斜边一半．连接，交于点，易得是的中位线，则，，由斜边的中线为得到，在中利用勾股定理求出，则，由此可求得菱形的面积为120． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点、分别为边、的中点， ∴是的中位线， ∴，则， ∵，点为边的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积为． 30．如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，菱形的面积为______． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握“菱形对角线的性质及矩形与菱形的线段转化，结合勾股定理计算对角线长度”是解题的关键． （1）先证四边形是矩形，得，再结合菱形对边相等证； （2）利用矩形性质得，结合勾股定理求，再用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积． 【详解】（1）解：， 四边形是平行四边形， 菱形的对角线交于点， ∴， ， 平行四边形是矩形， ， 菱形中，， ； （2）解：四边形是矩形， ， ∴在中，， 菱形中，， ， 菱形的面积， 故答案为：． 31．如图，菱形中，，点，分别在，上，且． (1)求证：为等边三角形； (2)连接，若将四边形的面积分为：两部分，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为或 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，通过证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键． （1）连接AC，由菱形的性质可证明△ACE≌△CDF，得出EC=FC，再证出∠ECF=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出结论． （2）作，分两种情况：当时；当时，分别求出的面积即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 四边形是菱形， ， 又， 和都是等边三角形， ，， ， 又， ； 在和中，，，， ， ， 为等边三角形． （2）解：由（1）可知≌， ， ． 如图，作交于点，在中，，， ， ， ． 当：：时，； 当：：时，． 综上所述，的面积为或． 题型五 利用菱形的性质进行证明 32．如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 33．如图，菱形的对角线与交于点O，点E和F都在上，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 34．如图，已知是菱形的对角线，点E、F分别在、的延长线上，且点、分别是、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）根据菱形的性质可得，再由中位线可得，由此即可证明结论； （2）连接交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，再在中利用勾股定理即可求解． 本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵点A、B分别是、的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴； （2）如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 35．如图，在菱形中，对角线相交于点，，，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质和判定、菱形的性质、平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形和矩形的性质并能灵活运用． （1）首先证明，证出四边形是平行四边形，然后结合，即可证明四边形是矩形． （2）如图，连接，首先证明，得出四边形是平行四边形，即可解决问题． 【详解】（1）四边形是菱形 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴四边形是矩形； （2）如图，连接 四边形是菱形 ∴ 四边形是矩形 ∴四边形是平行四边形 与互相平分 ∴． ． 题型一 与菱形性质相关的多结论问题 36．如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①由菱形的性质得到，再通过平行线的性质得到，再通过邻补角的定义得到，结合判定即可； ②由菱形的性质得到，结合①的结论证明，由直角三角形斜边中线的性质即可得到结论； ③由垂直平分线的判定：“如果一条直线上有两个点，这两个点到一条线段的两个端点的距离分别相等，那么这条直线就是该线段的垂直平分线．”证明，，即可证明垂直平分； ④通过三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质得到，，再由图得到线段间的和差关系即，即可证明． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 是等边三角形 故①符合题意； 连接，令、相交于点，如图所示． 是等边三角形 ，， 是的中点， 在中， 故②符合题意； ，， 和在线段的垂直平分线上， 垂直平分， 故③符合题意； 是的中点， 是的中位线， ， ， 故④符合题意； 其中正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质．准确掌握这些性质，结合图形合理运用这些性质是解题的关键． 37．如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质，得出，结合，可得、是等边三角形，从而可得，再根据E，F分别是，的中点，可得，平分，从而可得，，再利用三角形外角的性质求得，由此可判断①； 先利用等腰三角形三线合一，可得，，再利用证明，从而可得，再根据含有直角三角形的性质得出，，从而可得，由此可判断②； 根据中为斜边，中为直角边，而，可得不全等，由此可判断③； 根据等边三角形的面积等于求出，由此可判断④． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ， ， ∴、是等边三角形， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，平分， ，， ，故①正确； ②∵E，F分别是，的中点，是等边三角形， ∴，， ∵四边形是菱形， ，， ∴，， 在与中， ， ， ， ∴，， ，故②正确； 中为斜边，中为直角边，而，可得不全等，故③错误； ∵是等边三角形，， ∴，故④错误． 综上可得①②正确，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，，三角形外角的性质等知识点，解题关键是熟悉上述知识点，并 熟练运用求解． 38．如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F分别在边上，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，与交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（    ） ①菱形的面积是；②始终为等边三角形；③线段长的最小值为；④点G所走过的路径长为1． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，先由菱形的性质得到，，再证明是等边三角形，得到，利用勾股定理可得，则，根据菱形面积等于其对角线乘积的一半可判断①；证明，得到，进而证明，则是等边三角形，据此可判断②；当时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法可求出的最小值为，据此可判断③；由菱形的对称性可得，整个运动过程是点G的运动是一个往返过程，点G先从点A运动到最远（离点A）为止，再从最远位置运动回点A，且点G运动到最远位置时此时点E刚好是的中点，点F为的中点，当点E刚好是的中点，点F为的中点时，为的中位线，则可证明，，由勾股定理可得，则，即点G离点A的最远距离为。 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，故①正确； 由题意得，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ∴， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， 当时，此时有，即， ∴的最小值为，故③正确； ∵， ∴，即， ∴由菱形的对称性可得，整个运动过程是点G的运动是一个往返过程，点G先从点A运动到最远（离点A）为止，再从最远位置运动回点A，且点G运动到最远位置时此时点E刚好是的中点，点F为的中点， 当点E刚好是的中点，点F为的中点时， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G离点A的最远距离为， ∴整个过程中点G的路程为，故④正确； 故选；A. 39．如图，在菱形中，，在射线、上有两点、，连接、、，下列说法：①若、分别是、的中点，且，则菱形的面积为．②若菱形的周长为16，则． ③若，且，则的长度为．④若，则面积的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，过点作与点H，由菱形的性质和，含30度直角三角形的性质得出，，进而求出，再根据菱形的性质求出面积可判断①，由菱形的性质可判断②，连接．由等边三角形的判定和含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定性质结合勾股定理即可求出进而可判断③，由等边三角形的性质得出，再根据垂线段最短，得出即时，面积的最小值，此时点E为的中点，进而求出面积的最小值，即可判断④． 【详解】解：过点作与点H， ∵， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴， ∵、分别是、的中点，且， ∴ ∴，， ∴， ∴则菱形的面积为，故①正确， 若菱形的周长为16，则， 但无法确定射线、上两点、的位置，故无法推出，故②错误， 如下图，连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，． ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， 又∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵是等边三角形， 过点A作交与点K， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当最小，即时，面积的最小值，此时点E为的中点， 在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴，故④正确， 综上：①③④正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据题意画出图形，利用相关知识求解是解题的关键． 题型二 菱形性质与最值问题 40．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，解题的关键是掌握以上性质． 作点关于的对称点，连接，则，当，且点在上时，则取得最小值，利用求解可得答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴， ∴， 当时，点在上，则取得最小值， 四边形是菱形， 点在上， ， ， 由， 得， 解得：， 即的最小值是； 故选：B． 41．如图，在菱形中，菱形的周长是16，，，分别是边上的动点，连接和，G，H分别为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识． 连接，根据菱形定义得，根据三角形中位线性质得，当时，最小，得到最小值，根据是等腰直角三角形得，得的最小值为． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形，周长为16， ∴， ∵G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时， 最小，得到最小值， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 42．如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，由旋转的性质得到，，，，通过证明得到，利用菱形的性质和等边对等角得到，，则有，分析可得点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即， ， ， 菱形的边长为4， ， ， ， E是的中点， ， ，， ， ， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为． 故选：A． 43．如图，在菱形中，，，为等边三角形，点、分别在菱形的边、上滑动（、不与、、重合），求面积的最大值． 【答案】面积的最大值为． 【分析】连接，利用菱形性质及角度条件证得为等边三角形，得到．通过角的等量代换，证明，从而推出四边形（定值）．依据“垂线段最短”，当时，最短，此时等边面积最小．结合四边形，求出面积的最大值． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴, 由勾股定理得：， ∵为等边三角形， ∴，，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴是定值， ∴， 由“垂线段最短”可知：当等边的边与垂直时，边最短， 此时，， ∴的面积会随着的变化而变化，且当最短时，等边的面积最小， 又∵， 等边的面积最小时，的面积最大， 此时，， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 题型三 菱形性质与旋转问题 44.如图，在菱形中，对角线相交于点于点，且，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的面积为，求矩形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、等边三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，熟练运用相关知识点是解题的关键． （1）根据菱形的性质以及旋转的性质可得，可得到四边形是平行四边形，即可求证； （2）证明是等边三角形，可设，则，，再由菱形的面积为，可得x的值，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，即， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：在中，， ， 是等边三角形， ， 设，则， ， 解得：（负值已舍去）， ， ∴矩形的周长为． 45．如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转得到菱形，点E在上，与交于点P． (1)求的大小（用含的代数式表示）； (2)当时，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由旋转的性质可得，，由菱形的性质可得，，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）连接交于点，当时，由旋转的性质可得，，，由菱形的性质可得，，，，，，再求出，从而可得，最后计算得出，即可得解． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，， ∵四边形是菱形，且， ∴, ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接交于点， 当时，由旋转的性质可得，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 46．如图，在中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接，相交于点． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据菱形的性质，推出为等腰直角三角形，勾股定理求出，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ，， ， 即． 在和中 ， ． （2）四边形为菱形，， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 47．如图所示，在菱形中，，为正三角形，点E、 F分别在菱形的边上滑动，且E、 F不与B、 C、 D重合． (1)证明：不论E、 F在上如何滑动，总有； (2)当点E、 F在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？ 说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)点E、 F在上滑动时，四边形的面积不会变化，理由见详解 【分析】本题主要考查菱形，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）根据题意得到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：四边形的面积不会发生变化，理由如下， 已知， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点G， ∴，， ∴， ∴点E、 F在上滑动时，四边形的面积不会变化． 48．如图1，在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．，分别是在边上． (1)若G，H分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：________；（直接填空，不用说理） (2)在（1）的条件下，当时，求证：四边形是矩形；（提示：在图2中先标出点E、F；可直接使用（1）中的结论） (3)如图3，和分别是和的中点，若从点出发向点运动，从点出发向点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，的值为________． 【答案】(1)平行四边形； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）连接，可得四边形是矩形，得，求出，根据，得，得，即得平行四边形是矩形； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． （2）解∶如图，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （3）解∶如图3，M和N分别是和的中点， 连接，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设， 则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴， 即， ∴当四边形为菱形时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与三角形综合．熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． 49．猜想：如图①，在中，点是对角线的中点，过点的直线分别交、于点、，若的面积是，则四边形的面积是 ． 探究：如图②，在菱形中，对角线、交于点，过点的直线分别交、于点、，若，，求四边形的面积． 应用：如图③，在中，，延长到点，使，连结，若，，则的面积是 ． 【答案】猜想：；探究：；应用： 【分析】猜想：首先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，，证明，再根据全等三角形的性质可得结论； 探究：根据菱形的性质得到，， ，，证明，再根据全等三角形的性质可得结论； 应用：如图，延长到使，证明得，根据勾股定理得到，可得结论． 【详解】解：猜想：∵四边形是平行四边形，点是对角线的中点，的面积是， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即四边形的面积是， 故答案为：； 探究：∵四边形是菱形，对角线、交于点，，， ∴，，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即四边形的面积是； 应用：如图，延长到使， ∴， 在中，，，，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 即的面积是． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的性质，勾股定理，图形面积的计算等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 50．综合与实践 在综合与实践课上，八年级某兴趣小组的三位同学对含角的菱形进行了如下探究． 【背景】 如图，在菱形中，，作，，分别交边，于点，． 【感知】 （1）如图1，若是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个数量关系：_____． 【探究】 （2）如图2，当为边上的任意一点时，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【应用】 （3）若，，求线段的长． 【答案】（1）；（2）仍然成立，详见解析；（3）的值为2或4． 【分析】本题考查菱形，全等三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用． （1）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则，即；再证明，即可得到； （2）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，证明，即可得到； （3）过点作交于点，连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，求出，根据勾股定理求出，，再分类讨论即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴， ∵是边的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）仍然成立，理由如下： 连接， 同理和是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， 由（2）知， ∴， 当点在线段上， ∴； 当点在线段上， ∴； 综上所述，的值为2或4． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.6.1菱形的性质 题型一 菱形性质的理解 1．下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 2．下列性质中菱形有而矩形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．邻角互补 D．对角线相等 3．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，下列结论中不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 4．下列性质中，矩形具有而菱形不具有的是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．轴对称图形 题型二 根据菱形的性质求角度 5．若菱形中两个相邻内角的度数比是，那其中较大的角的度数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，点E是边上一点，连接、，，若，则的度数为（   ） A．54° B．72° C．50° D．48° 7．如图，在菱形中，连接，的垂直平分线分别交、于点E、F，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，菱形中，过点作交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 11．如图，是菱形的对角线，点在边上，过点作交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在菱形中，对角线和交于点，四边形的周长为28．若，则是（    ） A． B． C． D． 13．如图，将菱形沿着对角线所在的直线l平移，若，则的度数为（    ） A．45° B．50° C．55° D．60° 14.如图，四边形是菱形，，． 求： (1)的度数； (2)，的长． 15.已知：如图，点、分别是菱形的边、上的点，且，，求：的大小． 16．如图，菱形中的两条对角线，相交于点O，其中，，延长至点E，使，连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 题型三 根据菱形的性质求线段的长度 17．菱形的周长为，那么菱形的边长是（    ） A． B． C． D． 18．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是边，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 19．如图，在菱形中，，，则对角线的长是（    ） A． B．6 C． D． 20．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为边的中点，菱形的周长为，则的长为（    ） A． B．4 C．7 D．14 21．菱形的边长为5，一条对角线的长为6，则该菱形一边上的高为（   ） A． B．4 C． D． 22．如图，菱形的对角线相交于点，于点，若该菱形的周长为，面积为，求，，，的长． 23．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接交于点F，若菱形的边长为6，，求的长． 24．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点，，． (1)求的长． (2)求菱形的高． 题型四 根据菱形的性质求面积 25．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（   ） A．12 B．6 C．2.4 D． 26．如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，若，则菱形的面积等于（   ） A．2 B． C． D． 27．如图，在菱形中，、交于点O，于点E，若，，则等于（   ） A． B．5 C．6 D． 28.如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长是10，面积是12．则的值是（    ） A．4 B． C．6 D． 29．如图，在菱形中，，垂足为点，点、分别为边、的中点，连接，若，，求菱形的面积． 30．如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，菱形的面积为______． 31．如图，菱形中，，点，分别在，上，且． (1)求证：为等边三角形； (2)连接，若将四边形的面积分为：两部分，当时，求的面积． 题型五 利用菱形的性质进行证明 32．如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 33．如图，菱形的对角线与交于点O，点E和F都在上，．求证：． 34．如图，已知是菱形的对角线，点E、F分别在、的延长线上，且点、分别是、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积． 35．如图，在菱形中，对角线相交于点，，，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：． ． 题型一 与菱形性质相关的多结论问题 36．如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E、F分别在边上，点E、F同时以相同的速度分别从点B向点A和从点A向点D运动，与交于点G，则在这个运动过程中，下列说法正确的个数是（    ） ①菱形的面积是；②始终为等边三角形；③线段长的最小值为；④点G所走过的路径长为1． A．4 B．3 C．2 D．1 39．如图，在菱形中，，在射线、上有两点、，连接、、，下列说法：①若、分别是、的中点，且，则菱形的面积为．②若菱形的周长为16，则． ③若，且，则的长度为．④若，则面积的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 题型二 菱形性质与最值问题 40．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 41．如图，在菱形中，菱形的周长是16，，，分别是边上的动点，连接和，G，H分别为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 42．如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 43．如图，在菱形中，，，为等边三角形，点、分别在菱形的边、上滑动（、不与、、重合），求面积的最大值． 题型三 菱形性质与旋转问题 44.如图，在菱形中，对角线相交于点于点，且，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的面积为，求矩形的周长． 45．如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转得到菱形，点E在上，与交于点P． (1)求的大小（用含的代数式表示）； (2)当时，求证：． 46．如图，在中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接，相交于点． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 47．如图所示，在菱形中，，为正三角形，点E、 F分别在菱形的边上滑动，且E、 F不与B、 C、 D重合． (1)证明：不论E、 F在上如何滑动，总有； (2)当点E、 F在上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？ 说明理由． 48．如图1，在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．，分别是在边上． (1)若G，H分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：________；（直接填空，不用说理） (2)在（1）的条件下，当时，求证：四边形是矩形；（提示：在图2中先标出点E、F；可直接使用（1）中的结论） (3)如图3，和分别是和的中点，若从点出发向点运动，从点出发向点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，当四边形为菱形时，的值为________． 49．猜想：如图①，在中，点是对角线的中点，过点的直线分别交、于点、，若的面积是，则四边形的面积是 ． 探究：如图②，在菱形中，对角线、交于点，过点的直线分别交、于点、，若，，求四边形的面积． 应用：如图③，在中，，延长到点，使，连结，若，，则的面积是 ． 50．综合与实践 在综合与实践课上，八年级某兴趣小组的三位同学对含角的菱形进行了如下探究． 【背景】 如图，在菱形中，，作，，分别交边，于点，． 【感知】 （1）如图1，若是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个数量关系：_____． 【探究】 （2）如图2，当为边上的任意一点时，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【应用】 （3）若，，求线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $