1.4三角形的中位线（题型专练）数学新教材湘教版八年级下册

1.4三角形的中位线 题型一 运用三角形的中位线求长度 1．如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判断与性质，说明是的中位线是解题的关键． 先证明是的中位线，再根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，D，E分别是边的中点． ∴是的中位线， ∴． 故选C． 2.如图，在中，于点D，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理． 根据中位线定理得到，，即． 【详解】解：∵E，F分别是，的中点， ∴是中位线， ∴， 同理可得， 即． 故选：D． 3.已知直角三角形的两直角边长分别为和，连接这两边中点的线段长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 连接直角三角形两直角边中点的线段是中位线，其长度等于斜边的一半，先利用勾股定理求斜边长，再求中位线长． 【详解】解：∵ 直角三角形的两直角边分别为和， ∴ 斜边长 = ． ∵ 连接两直角边中点的线段是中位线， ∴ 中位线长 = ． 故选：C． 4.如图，在中，，点D、E、F分别为的中点，连接．若，则的长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理及直角三角形斜边中线的性质，掌握这两个知识点是关键；由三角形中位线定理得，再由直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：∵E、F分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； ∵点D为的中点，， ∴是斜边上的中线， ∴， 故选：C． 5.如图，在中，点、分别是边、的中点，连接，点在线段上，连接、，，若，，则的长为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是利用中位线定理得出的长度，结合直角三角形斜边中线性质求出，进而计算． 由D、E是、中点，得是的中位线，故；在中，E是中点，故；用减去得的长度． 【详解】解：∵D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，E是中点， ∴． ∴． 故选：C． 6.如图，、分别是的角平分线和中线，于点F，交于点G，连接．若，，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，根据证明，得，，得到是的中位线，推出，即可得到的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：B． 7.如图，的周长为16，G、H分别为的中点，分别以为斜边向外作和，连接，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质和定理是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得， ，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，然后求出的值为的一半． 【详解】解：∵G、H分别为的中点，和为直角三角形， ∴， ，为的中位线， ∴， ∴． 故选：C． 8．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边交于点P，E是的中点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 证明，，推出，再利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ∴， 平分， ， ， ， ∵E是的中点， ， ∵， 是的中位线， 故选：B 题型二 运用三角形的中位线求角度 9.如图，在中，、分别是、的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理和平行线的性质，准确分析与计算是解题的关键． 根据已知条件可得，再根据得到，即可得解． 【详解】、分别是、的中点， ， ， ， ， ； 故选． 10.如图，在中，点D是边中点，点E是边中点，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据题意，易得是的中位线，进而得到，根据三角形的内角和定理和平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵点D是边中点，点E是边中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：C． 11.如图，在中，点D，E，F分别是的中点，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由点D，E，F分别是的中点，可得都是的中位线，利用中位线的性质即可求解题目． 【详解】解：∵点D，E，F分别是的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， 同理， ∴． 故选：C． 12.如图，在中，A，E分别是的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握等边对等角是解题的关键．利用等边对等角得到，再根据三角形外角的性质求出，由题意证明是的中位线，推出，进而得到，推出，进而求出，再利用三角形内角和定理求出，最后根据平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵A，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 13.如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边对等角，平行线的性质，三角形内角和等知识，由点，分别是，的中点，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”得，由点，分别是，的中点，得，而，所以，则，于是得到问题的答案，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 14.如图，中，，点在上，将分割成两个等腰三角形和，和分别是和的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中位线，平行线的性质． 根据等腰三角形的定义求出，，证明是的中位线，可知，即可得到． 【详解】解：∵，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴ ∵和分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：A． 15.如图，在四边形中，，．点E、F分别为的中点，连接． (1)证明：； (2)连接，当时，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由三角形中位线定理得到，根据，即可证明； （2）先由等腰三角形的三线合一得到，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，则，，再由三角形的外角定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是的中点． ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图， ∵，为中点， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，三角形的外角定理等知识点． 题型三 运用三角形的中位线求周长或面积 16.如图，D，E，F分别是三边的中点，若的周长为20，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．20 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理，先根据三角形中位线定理求出的周长，再利用同样的定理求出三边中点围成的三角形的周长即可． 【详解】解：∵D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 17．等腰三角形中有一条边长为4，其三条中位线的长度总和为8，则底边长是（　　） A．4 B．8 C．4或6 D．4或8 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的中位线的性质，三角形三边关系，根据三角形的中位线的性质先求解等腰三角形的周长，再分情况讨论即可． 【详解】解：∵等腰三角形三条中位线的长度总和为8， ∴等腰三角形的周长为， 当4为腰，则底边为， 此时，不能构成三角形， 当4为底，则腰为； ，能构成三角形， ∴底边为． 故选：A． 18．如图，的周长为，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质，是解题的关键； 根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，又因为点是的中点，可得是的中位线，可得，所以易求的周长． 【详解】解：平行四边形的周长为， ∴， ∵对角线、相交于点，点是的中点 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故选：A． 19．如图，在中，是的中线，与相交于点O，点F、G分别是的中点，连接．若，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握定理是解题的关键；是的中线，得，由点F、G分别是的中点，得，从而有；同理得，即可求得四边形的周长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵F是的中点，G是的中点， ∴， ∴， 同理， ∴四边形的周长． 故选：A． 20.如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，，点F，G分别是的中点，若，则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作图——基本作图，角平分线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 先由作图知平分，然后利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定证出，再由中位线的性质和平行四边形的性质可得，进而根据已知得出，进而求得平行四边形的周长． 【详解】解：由题意可知，是的平分线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F，G分别是的中点，， ∴， ∴， ∴的周长（）， 故选：D． 21.已知三角形的各边长分别为，，，则以各边中点为顶点的三角形的面积是（    ）． A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】A 【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形的面积，勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理分别求出、、，根据勾股定理的逆定理得到以各边中点为顶点的三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：已知三角形的各边长分别为，，， 设此三角形为，，，，D、E、F分别为、、的中点，如图， ∴， 同理可得：，， ∵， ∴以各边中点为顶点的三角形是直角三角形， ∴以各边中点为顶点的三角形面积为：， 故选：A． 22.在中，已知和分别是两边上的中线，并且，，，那么的面积等于（  ） A．24 B．32 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，三角形中线的性质，平行四边形的判定及性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键． 连接，过点作，交的延长线于点．根据中位线的性质，，，从而得到四边形是平行四边形，求得，进而求得，由可得到，最后根据三角形中线的性质即可得出的面积． 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点． ∵和分别是两边上的中线 ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴ 故选：B 23.中国古代数学家刘刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，长方形的性质，中位线定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明， ，得出，，从而得出的面积等于长方形的面积；利用全等三角形的性质以及中位线定理得出长方形的长和宽，计算即可． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， ， D，E分别为，的中点， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， D，E分别为，的中点， 是的中位线， ， 的面积是30． 故选：C． 24.如图，是的高，是的中线，的周长比的周长大1，． (1)求的长； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了三角形的高线与中线的性质，中位线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造中位线． （1）根据的周长比的周长大1，可得的长度比的长度大1，由此可求解； （2）作辅助线构造中位线，由中位线的性质可求解的长度并得到垂直关系，由此可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大1， ∴， ∵， ∴； （2）解：取中点记作点，连接，如图， ∵点为中点，点为中点， ∴，且， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 题型四 运用三角形的中位线求最值 25.如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N，则∠ANB=90°， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 故选：C． 26.如图，在中，，，，点为上的动点，点，分别为，的中点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短问题，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，先根据勾股定理求出，由题意可知，是的中位线，得到，当最小时，的值最小，当时，最小，利用等面积法求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ， 当最小时，的值最小， 当时，最小， 此时，， 即， ， ， 故选：C． 27.如图，在中，，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到点F，则长的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理．将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，得出点的运动轨迹为线段，当时，的长度最小，由直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上， ，，， ， ， 随着点的运动，总有，， ，即、、三点在同一直线上， 点的运动轨迹为线段， 当时，的长度最小， 在中，，，，， ， ， 故选：C． 题型五 运用三角形的中位线进行证明 28.如图，已知是的中位线，是延长线上一点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线的性质得到，又，故四边形两组对边分别平行，因此为平行四边形； （2）先求得，得到，再在中，根据勾股定理求得，进而由平行四边形的对边相等得到，再由三角形中位线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中位线， ∴． 29.如图，在中，，，点D，E分别是，的中点，连接，． (1)求证：； (2)过点A作于点F，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查三角形的中位线定理，的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由，，得到，由三角形中位线定理得到，即可得到结论； （2）由，E是的中点，得到，因此，求出，得到，因此，由，然后根据三线合一得到，根据证明三角形全等即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）∵，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵，D是中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 30.如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形．求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定．连接，根据三角形的中位线定理得到，，同理推出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形． 【详解】证明：连接．   是的中点，H是的中点， ∴，且， 同理可知，且， ∴，且， 四边形是平行四边形． 31.如图，E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的判定及三角形中位线的性质定理，熟练掌握平行四边形的判定定理及三角形中位线是解题的关键；连接，根据三角形中位线可得，同理可得，然后问题可求证． 【详解】证明：连接，如图所示： ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得：， ∴， ∴四边形是平行四边形． 32.如图，中，，点在上，连接，． (1)求证：； (2)分别取、的中点、，连接、，如图，图中长度等于的线段（不包括）． 【答案】(1)见解析 (2)、、 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等角对等边，解题的关键是熟练掌握相关性质定理并构造辅助线进行线段的等量代换． （1）在的延长线上截取，证明，得到，，通过角度的等量代换证明，进而通过等角对等边证明，然后通过线段和差关系等量代换即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再通过中位线的性质得到，结合（1）所证得，，，从而通过线段和差关系等量代换证得． 【详解】（1）证明：如图所示，在的延长线上截取， 在和中， ， ， ，， 又∵ ， ， ， ， ； （2）解：在中，点是的中点， ， 点、分别是、的中点， 是的中位线，且， 如图，在的延长线上截取， 由（1）可知，，， ， 综上，图中长度等于的线段（不包括）的有、、． 题型六 三角形中位线的实际应用 33．如图，这是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，，分别是，的中点．若，则，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形中位线的性质求解． 【详解】解：连结， ∵，分别是，的中点，， ∴， 即，两点之间的距离为， 故选：B． 34.如图是小朋友们喜爱的跷跷板，横板绕其中点上下转动，当小朋友离地面的最大距离为时，跷跷板另一端点刚好接触地面，点是的中点，则立柱的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据题意可得是的中位线，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 35.如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 36.如图，明明家有一块三角形空地，其中，，E，F分别是边的中点．若他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 根据点E，F分别是边，的中点得，，是的中位线，根据得，即可求解． 【详解】解：∵点E，F分别是边，的中点， ∴，，是的中位线， ∵， ∴， ∴篱笆的长为：， 故选：C． 37.【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 【答案】(1)中位线， (2)三角形中位线定理 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． （1）根据小明的求解过程补充即可； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的中位线． ∵， ∴． 故答案为：中位线，； （2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理． 故答案为：三角形中位线定理． ． 题型一 与三角形中位线相关的多结论问题 38.如图，的对角线交于点O，点是的中点，且，， 连接．给出下列4个结论：①是等边三角形；②；③； ④若，则． 上述结论错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】运用平行四边形的性质可得 再证明，从而可得是等边三角形，故可判断①正确；由是等边三角形可得，，从而可求出，故可判断②正确；证明得出为的中点，又为的中点，故为的中位线，故可得，由可得出，故可判断③正确；由①②可判断，根据勾股定理求出，进一步求出，由中线的性质可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形，故结论①正确； ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴，故结论②正确； ∵， ∴点为的中点， 又∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵为的边上的中线， ∴, ∵为的边的中线， ∴，故结论④错误； 综上，错误的结论有④，共1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，中位线定理等知识，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键． 39.如图所示，在中，，是边上的中线，点E是边上一动点（不与A、B重合），连结，过点P作的垂线交于点F，连结．有下列四个结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④．其中一定正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理．根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴，，， ∴均为等腰直角三角形，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴，故③正确； ∵， ∴， 当为的中位线时，满足，此时， ∵点E是边上一动点， ∴无法确定是否为的中位线， ∴无法判断和的大小关系，故④错误； 故选∶B 40.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质得，，，则，因为，所以，而E是的中点，则，可判断①正确；由，G是的中点，得，根据三角形中位线定理得，，所以，可判断②正确；因为，，所以，且，则，可根据证明，可判断③正确；由，，推导出，则平分，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ，，， ，， ， ， ， 是的中点， ，即， 故①正确； ，G是的中点， ， 、F分别是、的中点， ∵，， ， 故②正确； ∵，，G是的中点， ∴，， ∴，且， ， 在和中， ， ， 故③正确； ， ， ∵， ， ， 平分， 故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理、全等三角形的判定、等边对等角、平行线的性质等知识，推导出，，且，是解题的关键． 41.如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，即可判断③；得到，然后结合等边对等角得到，即可判断④． 【详解】∵，但不一定等于， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵中点为F， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴是的中位线，故③正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，所有正确的结论为②③④． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的定义、平行线的性质等知识点．掌握相关结论是解题关键． 题型二 与三角形中位线有关的规律性问题 42.如图1，将一个面积为1的等边三角形纸片挖去连接三边中点所组成的三角形后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如图2、图）如此进行挖下去，第6个图中，剩余图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线定理，两平行线间的距离，图形类规律探究等知识，解答此题的关键是求出剩余部分的面积为 ． 先根据三角形中位线的性质和两平行线间的距离相等求出第1个图形中，然后总结规律求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴． ∵点D，E，F分别是中点， ∴，， ∴， 同理可求，， ∴第1个图中，剩余图形的面积为， 第2个图中，剩余图形的面积为 第3个图中，剩余图形的面积为 第n个图中，剩余图形的面积为 第6个图中，剩余图形的面积为． 故选：C． 43.如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，…如此下去，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是中位线定理的应用，图形类规律探索，解题关键是熟练掌握中位线定理． 根据中位线定理推出的周长为，的周长为，根据此规律即可得解． 【详解】解：依题得：、、是的中位线， ，，， ， 的周长为， 的周长为， 同理，，，， 的周长为， 根据此规律得的周长为． 故选：． 44．如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理，牢记三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）是解题的关键． 根据三角形的中位线定理可知，第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半，可得到第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：，同理可得到第个三角形的周长的表达式． 【详解】解：根据题意得：第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半， ∴第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：． 同理可得，，，，． ∴第个三角形的周长． 故选：B． 题型三 构造三角形的中位线 45.如图，在中，平分，是的中点，，，，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形． 延长交的延长线于点，证明，则，即可求得的长，点E是的中点，求得的长，从而得到是中位线，即可求得的长． 【详解】解：延长交的延长线于点，如图， ， ， 平分， ， ∵， ∴ ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ． 故选：A． 46.如图，四边形中，，，，点E、F分别为边、的中点．则长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，解题的关键是构造中位线，将转化为直角三角形的斜边计算． 取中点，连接，利用中位线定理得的长度与位置关系，再用勾股定理求． 【详解】解：取的中点，连接， 是中点，是中点， 是的中位线， ，且， 是中点，是中点， 是的中位线， ，且， 又， ，即． 在中，由勾股定理得： ． 故选：B． 47.如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，取的中点构建平行四边形是解题的关键．取的中点，则，连接，根据三角形中位线的性质可证得四边形是平行四边形，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，则，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 48.如图，是的边上的中线，点是的中点，连接并延长交于点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过构造全等三角形，结合三角形中位线的性质，找出线段间的等量关系，进而求解 的比值．本题主要考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些定理和性质，通过构造中位线与全等三角形建立线段联系是解题的关键． 【详解】解：取 中点 ，连接 ． 是 中线， ， 又 是 中点， 是 的中位线， ，， 是 中点， ， ∵ ， ，， ， ， ，， ，即 ， 故选：． 49.如图，在四边形中，，点，，，分别为边，，，的中点，连接，，相交于点，则的值为（   ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【分析】本题考查中位线的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，，，,根据中位线的性质，解得，结合题意，可知，进而可证明四边形是菱形，再由菱形对角线互相垂直且平分的性质，及勾股定理计算，据此解题即可. 【详解】解：连接，，，， 分别是的中点， 分别为的中位线， ， ， 四边形EFGH是菱形， 在中 ， 即， ， 故选：A ． 50.【教材呈现】： （1）如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【结论应用】 （2）如图，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，求证：； （3）如图，四边形中，，M是中点，N是中点，连接，延长交于点E：若，则的大小为______． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，四边形的内角和等知识点．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． (1)延长至点G，使，连接，证明，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； (2)根据教材呈现中的结论，得出，，再利用，即可得出结论； (3)连接，取的中点P，连接，得出，进而求出，由，， 得，，根据三角形的内角和以及等量代换即可求解． 【详解】(1)证明：延长至点G，使，连接，如图， 点D、E分别是的边与的中点， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，， 且； (2)证明：是的中点，M是的中点， ， 是的中点，N是的中点， ， ， ， ； (3)解：连接，取的中点P，连接，如图2， 是中点，N是中点，， ，，， ， ， ， ，， ，， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 51.【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F，G，．求证：． 【答案】中位线定理：；应用：；拓展：证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． 三角形中位线定理：根据三角形中位线定理即可得到结论； 应用：连接，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； 拓展：取的中点H，连接，则分别是的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】解：【三角形中位线定理】； 理由：∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴； 【应用】连接，如图所示， ∵E、F分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【拓展】证明：取的中点H，连接． ∵M、H分别是的中点， ∴是的中位线， ∴且， 同理可得且． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 52.知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）中，是的中位线，连接．则与的数量关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点M，N分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ： 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，与三角形中位线有关的证明，梯形中位线定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先说明是的中位线，再根据三角形的中位线定理得出结论即可； 【详解】（2）先证明，从而可得，，于是有，再根据三角形的中位线定理得出，从而可得； （3）根据梯形的面积公式，结合（2）中的结论求解． （1）解：∵点E是边的中点，点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． （2）， 理由：如图（2），连接并延长交的延长线于点E， ∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵M为的中点，N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）∵梯形的中位线长为，高为， ∴（）， 故答案为：． 53.在中，，，为边上的中线．在中，，，．连接，，分别为线段，的中点，连接． (1)如图，当点在内时，依题意补全图，求证：； (2)如图，当点在外时，连接，，判断与的数量关系与位置关系，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)，，证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，中位线定理，三角形内角和定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先根据题意画出图形，通过直角三角形的性质得，通过中位线定理可得，从而求证； （）同（）理可得，又，分别为线段，的中点，是的中位线，则，，，同理可得，则有，， 从而得，然后证明，可得，，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵，为边上的中线， ∴， ∵，分别为线段，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）证明：，，如图， 同（）理可得， ∵，分别为线段，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， ∵，分别为线段，的中点，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，为线段的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：，． 54．综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践中提出这样一个问题：分别以的边、为腰，向外作等腰和等腰，使，，，点，，分别是边、，的中点，连接，，探究，的数量关系． 特例感知 （1）如图，当，，，的数量关系为：______； 类比探究 （2）如图，当为任意三角形时，猜想并证明，的数量关系； 拓展应用 （3）如图，若，直接写出的度数；（用含的式子表示） （4）如图，点，分别在外，，，点是的边的中点，连接，，证明：． 【答案】（1） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，中位线的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定； （1）根据题意得出三点共线，根据已知得，进而根据中位线的性质，即可得出结论； （2）证明，得出，进而根据中位线的性质，即可得出结论； （3）设交于点，交于点，根据全等三角形的性质可得，进而可得，则，设交于点，交于点，根据中位线的性质可得则四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求解； （4）延长至，连接，同理可得则，进而根据中位线的性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴三点共线， 又∵， ∴ 即 ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （2）如图，连接， ∵ ∴即 又∵， ∴ ∴ ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴ （3）解：如图，设交于点，交于点， ∵ ∴即 又∵ ∴ ∴ 如图，设交于点，交于点， ∵点，，分别是边、，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， （4）如图，延长至，使得，连接， ∵ ∴ 同理可得 ∴ 又∵点是的边的中点，分别为的中点 ∴ ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.4三角形的中位线 题型一运用三角形的中位线求长度 题型二运用三角形的中位线求角度 题型三运用三角形的中位线求周长或面积 基础达标练 题型四运用三角形的中位线求最值 题型五运用三角形的中位线进行证明 题型六三角形中位线的实际应用 1.4三角形的中位线 题型一与三角形中位线相关的多结论问题 题型二与三角形中位线有关的规律性问题 能力提升题 题型三构造三角形的中位线 拓展培优练 基础达标题 题型一运用三角形的中位线求长度 1.如图，在ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点.若DE=2,则BC=() A.2 B.3 C.4 D.5 2如图，在ABC中，AD⊥BC于点D,E,F,G,H分别是AB,BD,AC,CD的中点， 若GH=5,则EF的长为() A. 2 B.3 C.4 D.5 3.已知直角三角形的两直角边长分别为6cm和8cm,连接这两边中点的线段长为() A.3cm B.4cm C.5cm D.7cm 4.如图，在ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别为AB、AC、AD的中点，连接 CD、EF.若EF=3,则AB的长为() 1 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.9 B.10 C.12 D.15 5.如图，在ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE,点F在线段DE上， 连接AF、CF,∠AFC=90°，若AC=10,BC=14,则DF的长为() E A.8 B.4 C.2 D.1 6.如图，AD、AE分别是ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于点F,交AB于点G,连接 EF.若EF=1,AC=6,则AB=() G B ED A.6 B.8 C.9 D.10 7如图，ABC的周长为16，G、H分别为AB、AC的中点，分别以AB、AC为斜边向外作 Rt△ADB和Rt△AEC,连接DG、GH、EH,则DG+GH+EH的值为() A.6 B.7 C.8 D.9 8.如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠BAD的平分线与边BC交于点P,E是 AP的中点，若AB=8,AD=12,则OE的长为() D C B 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 题型二运用三角形的中位线求角度 9.如图，在ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，且∠A+∠B=120°，则∠ANM=() M A.30° B.45° C.60° D.75 10如图，在ABC中，点D是边AB中点，点E是边AC中点，连接DE,∠A=70°， ∠C=60°，则∠BDE的度数是() 4 A.110° B.120° c.130° D.140° 11.如图，在ABC中，点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点，己知LCFE=65°，则 ∠ADE的度数是() A B A.75° B.70° C.650 D.60 12.如图，在△BCD中，A,E分别是BD,BC的中点，若AE=EC,∠B=40°，∠1=30°，则 ∠CAD=() 3 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E A.80° B.70° C.60° D.40° 13.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是 AB的中点，∠A=70°，∠ABC=80°，则∠PNM的度数是() D M A.10° B.15° C.20° D.259 14.如图，ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD将ABC分割成两个等腰三角形△ACD 和△ADB,E和F分别是AB和DB的中点，则∠FEB的度数为() B A.22.50 B.25° C.30° D.45° 15.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AB=AC,点E、F分别为AC、BC的中点， 连接EF,DE. B (1)证明：DE=EF; (2)连接AF,当∠DEF=90°时，求∠DAF的大小. 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三运用三角形的中位线求周长或面积 16.如图，D,E,F分别是ABC三边的中点，若ABC的周长为20，则△DEF的周长为() D A.5 B.10 C.20 D.40 17.等腰三角形中有一条边长为4，其三条中位线的长度总和为8，则底边长是() A.4 B.8 C.4或6 D.4或8 18.如图，口ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点， BD=12,则△DOE的周长为() A.15 B.18 C.21 D.24 19.如图，在ABC中，BD、CE是ABC的中线，BD与CE相交于点O,点F、G分别是 BO、C0的中点，连接A0.若A0=6cm,BC=8cm,则四边形DEFG的周长是() D C A.14cm B.18cm C.24cm D.28cm 20.如图，在口ABCD中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点M,交AB于点N, 分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线4AP交DC于点 E,DE=2CE,点F,G分别是AE,BE的中点，若FG=6cm,则四边形ABCD的周长是 () 5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E M F A.20cm B.32cm C.36cm D.40cm 21.已知三角形的各边长分别为6cm,8cm,10cm,则以各边中点为顶点的三角形的面积是 (）cm2. A.6 B.8 C.12 D.24 22.在ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE,BD=8,CE=6,那 么ABC的面积等于() A.24 B.32 C,36 D.48 23.中国古代数学家刘刘微在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法，如 图，在ABC中，分别取AB,AC的中点D,E,连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为F, 将ABC分割后拼接成长方形BCHG.若DE=5,AF=3,则ABC的面积是() G A.15 B.20 C.30 D.35 24.如图，BE是△ABC的高，EM是△ABE的中线，△AME的周长比△MBE的周长大1， AE=4,CE=1. B (1)求BE的长： (2)连接CM,求△MCE的面积. 6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四运用三角形的中位线求最值 25.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AB=2,点P是BC边上的动点，连接AP、 DP,E是AD的中点，F是PD的中点，则EF的最小值是() A.1 B.2 c.3 2 D. 26.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4,点D为AC上的动点，点E,F分 别为AB,AD的中点，则EF最小值为() A D 5 A. B. 5 4 2 c D. 5 27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=12,BC=6,点E是边AC上 点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F,则CF长的最小值是() B A.3√2 B.23 C.3 D.5 题型五运用三角形的中位线进行证明 28.如图，己知CD是Rt△FBE的中位线，A是EB延长线上一点，AD|BC. (1)求证：四边形ABCD是平行四边形： 1 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若BD=3cm,∠A=60°，求BE的长， 29.如图，在RtAABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，点D,E分别是AB,BC的中点，连 接DE,AE B L)求证：DE=BC; (2)过点A作AF⊥BC于点F,求证：△ADE≌AAFE. 30.如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,顺次连接EF、FG、GH、 HE,得到四边形EFGH,求证：四边形EFGH是平行四边形 H 31.如图，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点.求证：四边形EFGH是平行 四边形 G E 32.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，连接AD,LB=2LCAD. M D D 图1 图2 (1)求证：BC+CD=AB; (2)分别取AB、BD的中点M、N,连接CM、MN,如图2，图2中长度等于CM的线段 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (不包括CM)· 题型六三角形仲位线的实际应用 33.如图，这是人字梯及其侧面示意图，AB,AC为支撑架，DE为拉杆，D,E分别是 AB,AC的中点.若DE=30cm,则B,C两点之间的距离为() A.50cm B.60cm C.70cm D.80cm 34.如图是小朋友们喜爱的跷跷板，横板AC绕其中点0上下转动，当小朋友离地面的最大距 离CB为120cm时，跷跷板另一端点A刚好接触地面，点D是AB的中点，则立柱OD的高度 为() O D A.30cm B.40cm C.50cm D.60cm 35.如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如 图所示，则DE的长是() 20m 18m D E 20m 18m 22m A.9m B.10m C.11m D.20m 36.如图，明明家有一块三角形空地ABC,其中AB=AC=10m,BC=8m,E,F分别是边 AB,AC的中点.若他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是(). 9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.18m B.20m C.22m D.24m 37.【综合与实践】 任 如图1，测出水池A,B两点间的距离（水池有 务 障碍物不能直接测量)· 图1 测 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离(。 工 的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m); 具 小明的测量及求解过程 (1)如图2，在水池外选点C,用皮尺测得 测 B 量 AC=am,BC=bm . M 过 (2)分别在AC,BC上用皮尺测得CM= 2 程 b CN=2m,测得MN=dm. 2 图2 由测量可知： 求 AC am,BC=bm, CM=4m.CN-2m 解 .点M是AC的中点，点N是BC的中点， 过 .MN是ABC的 程 MN dm ∴.AB= m. (1)把小明的求解过程补充完整： 10