精品解析：江苏省镇江市丹徒区宜城五校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学阶段性学习评价 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列函数中属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、是二次函数，故该选项符合题意； C、不是二次函数，故该选项不符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：B 2. 下列关于二次函数的性质，说法不正确的是( ) A. 它的图象经过点 B. 它的图象的对称轴是y轴 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，难度较小． 【详解】A、因为，把代入，解得，故它的图象经过点，故该选项是正确的，不符合题意； B、的图象的对称轴是y轴, 故该选项是正确的，不符合题意； C、的图象的对称轴是y轴, 开口向上，当时，y随x的增大而减小，故该选项是正确的，不符合题意； D、因为的图象开口向上，有最小值，故该选项是错误的，符合题意． 故选：D． 3. 已知点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，对称轴为直线，点离对称轴越近，y值越大，再进一步求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴ 点与对称轴的距离越小，y值越大． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ ， ∴． 故选：D． 4. 若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题需要根据二次函数图象平移的规律，逐步分析函数图象平移后的解析式．本题主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵ 二次函数的图象向右平移个单位长度，根据“左加右减”的原则， ∴ 得到； ∵ 再将向上平移个单位长度，根据“上加下减”的原则， ∴ 平移后的二次函数解析式为． 故选：． 5. 如果是一元二次方程的一个根，那么多项式的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是求解代数式的值，一元二次方程的解的含义，由m是方程的根，可得，代入多项式化简即可． 【详解】解：∵ m是方程 的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∴的值为 2023． 故选：C 6. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的一元二次方程的实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的对称轴，关键是掌握二次函数的对称性． 关于的一元二次方程的两实数根，就是二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标，根据一个交点的坐标和二次函数的对称轴，即可求出二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标． 【详解】解：二次函数的解析式是， 该抛物线的对称轴是， 二次函数的图象与轴的一个交点为， 根据抛物线的对称性可知，该抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 关于的一元二次方程的两实数根分别是，． 故选：A． 7. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 利用圆周角定理证得、，根据直角三角形的两锐角互余，进行计算求解即可． 【详解】解：由于为直径， 则， ∵， ∴, ∴， 故选：A． 8. 如图，两灯塔，之间的距离恰好为暗礁区所在的圆的半径倍，要使船不驶入暗礁区，则航行中应保持（ ） A. 大于 B. 大于 C. 小于 D. 小于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理、三角形外角的性质，关键是找到船不驶入暗礁区的条件． 根据勾股定理的逆定理得到，根据圆周角定理和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， 故答案为：C ． 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和一次函数的性质，根据二次函数的性质得对称轴为直线，可判断C；再由二次函数的性质和一次函数的性质对、的符号进行逐项判断，即可求解；掌握二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： 对称轴为直线，当时，则有，即抛物线与y轴的交点坐标为， 故C错误，不符合题意； A．由抛物线的图象得，顶点坐标为，且，所以一次函数交y轴于正半轴，且经过第一、二、四象限，故此项符合题意； B．由抛物线的图象得，由一次函数图象得，符号不一致，故此项错误，不符合题意； D．由一次函数图象得，，则由抛物线的顶点坐标可知，所以前后矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 10. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】①：根据二次函数的对称轴，，即可判断出； ②：结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断； ③：结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断； ④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点， ∴，， ∴，∴，故①正确； 从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确； ∵，∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0， ∴，∴，故③正确； ∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为，将代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴当时，； ∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确； 综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键． 二、选择题（本题共6小题，每题只有1个选项符合题意，每题3分，共18分） 11. 若函数是二次函数且有最小值，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质等知识．根据二次函数的定义得到，解得，根据二次函数有最小值，得到需开口向上，，即可求出，问题得解． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， ∵函数有最小值， ∴， ∴． 故答案为：2 12. 二次函数，当x_______时，y随x的增大而增大． 【答案】小于2 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，通过求对称轴并结合开口方向判断增减性是解题的关键． 首先利用二次函数判断开口方向和求出对称轴，进而判断对称轴两侧的增减性，即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下， 对称轴为直线， ∴ 当时，y随x的增大而增大， 故答案为：小于2． 13. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键． 结合图象，当时，一次函数的图象在二次函数的图象上方，此时二次函数值小于一次函数值，即可确定不等式的解集． 【详解】解：∵， 即二次函数值小于一次函数值， 抛物线与直线交点为，， 当时，一次函数的图象在二次函数的图象上方，此时二次函数值小于一次函数值， 即的解集为， 故答案为：． 14. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸） 答：圆形木材的直径___________寸； 【答案】26 【解析】 【分析】延长DC，交⊙O于点E，连接OA，由题意易得DE即为⊙O的直径，寸，寸，则有寸，设OA=x寸，最后根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 【详解】解：延长DC，交⊙O于点E，连接OA，如图所示： 由题意得CD⊥AB，点C为AB的中点，寸，寸， ∴DE为⊙O的直径， ∴寸， 设OA=x寸，则寸， ∴在Rt△AOC中，，即， 解得：， ∴圆形木材的直径为26寸； 故答案为26． 【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 15. 如图，将二次函数位于x轴下方的图像沿x轴翻折，再得到一个新函数的图像当直线与新函数图像有4个公共点时，a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一次函数的综合、折叠的性质等知识点，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 由二次函数的性质可得抛物线的顶点为，则新函数的图像与y轴的交点坐标为，然后根据图像确定a的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的顶点为， ∴将二次函数位于x轴下方的图像沿x轴翻折，再得到一个新函数的图像与y轴的交点坐标为， 如图： 由函数图像可得：当新函数的图像当直线与新函数图像有4个公共点时，a的取值范围是． 故答案为：． 16. 我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则半径的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆的相关计算，分别求出和的度数是解决本题的关键． 设正六边形外接圆的圆心为，连接、，过点作于，如图所示，易得是等边三角形，则，进而求出和的度数，在等腰中，根据，求出，在中，结合含的直角三角形性质与勾股定理求得的长度，即为半径的长度． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为，连接、，过点作于，如图所示： 则结合题意等分圆周可知，，，， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，，，则， ， 是等腰直角三角形， 在等腰中，，，则由勾股定理可得，解得， 在中，，，则， 又，则勾股定理可得，即，解得， ∴， 则， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是本题的解题关键． （1）先移项，再利用直接开平方法求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法求解即可． 【小问1详解】 解： 解得； 【小问2详解】 解： ∴或， 解得． 18. 如图三个顶点的坐标分别是，，，将绕C逆时针旋转，得到； （1）请在网格图中画出． （2）在（1）的条件下，则点B的路径的长为_____． （3）若是的外接圆，直接写出点M的坐标_______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求. （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作旋转图形、求弧长、求三角形的外接圆的圆心等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键. （1）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点，然后再顺次连接即可解答； （2）先根据勾股定理求得的长，进而利用弧长公式求解即可； （3）根据网格特点作出的垂直平分线的交点M，再结合坐标系即可解答． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：∵ ∴点B的路径的长为． 【小问3详解】 解：如图所示，． 19. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．皮皮决定研究一下圆． （1）如图1，点A在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； （2）在图2中尺规作图：过圆外一点E作的切线，切点为D，保留作图痕迹； （3）如图3，在（2）的前提下，是的一条半径，且垂直于，交于点，连接交于，已知． ①求证：； ②若，求长． 【答案】（1） 解：如图，直线即为所求： （2） 解：如图所示， （3）①证明：如图所示，连接， ∵是切线 ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴，且（对顶角相等）， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，切线的基本性质，勾股定理，熟练掌握切线的基本性质是解题关键； （1）根据方格的特征，因为，，，得是直径，，即得，据此作图即可； （2）如图所示，连接，并以为直径作圆，交于点D，运用直径所对角是直角即可求出点的位置； （3）①根据切线的性质可得，根据，可得，结合圆的基础知识可得，再根据对顶角相等，即可求解；②根据可求出的长，设，则，在中，根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①连接，分别以点O，E为圆心，以大于为半径画弧，交于点； ②连接交于点，以为圆心，以为半径画圆，交于点； ③在中，是直径， ∴，即， ∴为圆O的切线， ∴点即为所求点的位置； 【小问3详解】 ①略 ②已知，， ∴，， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴长为． 20. 已知二次函数y=x2+2mx+m2-3（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个不同的公共点； （2）当m=1时，该函数的图像沿y轴向上平移h个单位长度后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点，则h= ，所得新抛物线的解析式为 ． 【答案】（1）证明：∵， ∴二次函数图像与x轴总有两个不同的公共点； 当m=1时， 即： 由解析式可以知道，当向上平移3个单位便与x轴只有一个公共点，则h=3，所得新抛物线的解析式为 （2）3，． 【解析】 【分析】计算判别式，从而判断与x轴的交点个数． m=1，计算出二次函数，配方成顶点式，再进行平移便可得到答案． 【详解】略 【点睛】本题考查二次函数图形与坐标轴交点关系，以及二次函数平移知识，重点在于理解二次函数与交点的关系需要判别式判断． 21. 在元旦来临之际，宝龙商场某商铺抓住商机，以单价40元的价格购进一批商品，再以单价50元出售，每天可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每天少卖10件（假如售价不能低于50且不能高于56元）． （1）商家每天想获得2210元的利润，需要定价为多少元？ （2）每件商品的定价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）定价为53元 （2）每件商品的定价为55元时，每天可获得最大利润，最大利润是2250元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据题意可以得到利润与售价的方程，并进行求解即可； （2）由（1）可得利润与售价的函数关系式，然后根据二次函数的性质和题目中售价的取值范围即可最终确定本题中每件商品的售价． 【小问1详解】 解：设每件商品的定价为元，则每件利润：元， ∵售价从50元上涨到x元， ∴上涨了元， ∴每天少卖件， ∴销售量为件． 由题意得， 解得（舍去）， ∴需要定价为元； 【小问2详解】 解：设利润为y元， 由（1）得，利润为 ， ∵，抛物线开口向下，且， ∴当时，y取到最大值，为2250， ∴每件商品定价为元时，每天可获得最大利润元． 22. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面（如图）． （1）直接在图中建立适当的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； （2）由于该河流上游暴雨，导致水位上升3m达到警戒线．一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为0.8m．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：能通过，理由如下： 由题意得：当时，， ∴， ∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是把一个实际问题通过数学建模，转化为二次函数问题，用二次函数的性质加以解决． （1）先设抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出桥顶到警戒线的距离为，时，，由此即可求解． 【小问1详解】 解：建立如图示平面直角坐标系 设所求抛物线的解析式为：， 由题意得 把的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 略 23. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． （3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）P点坐标为，四边形ABPC的最大面积为 （3）存在，P点坐标为 【解析】 【分析】（1）直接把B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c可得到关于b、c的方程组，解方程组求得b=﹣2，c=﹣3，则二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3； （2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，则PO=PC，根据翻折的性质得OP′=OP，CP′=CP，易得四边形POP′C为菱形，又E点坐标为（0，﹣），则点P的纵坐标为﹣，再把y=﹣代入y=x2﹣2x﹣3可求出对应x的值，然后确定满足条件的P点坐标． 【小问1详解】 解：把B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c，得 ，解得， ∴这个二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3； 【小问2详解】 如图1 ， 作PF⊥x轴于F点，交BC于E点， 因为四边形ABPC的面积=三角形ABC的面积+三角形BPC的面积； 而三角形ABC的面积不变， 所以当三角形BPC的面积最大时，四边形ABPC的面积的面积也最大； 令y=0，则x2﹣2x﹣3=0， 解得：x1=-1，x2=3， 所以A(-1，0)B(3，0) ∴AB=4，又OC=3 ∴S∆ABC=； BC的解析式为y=x﹣3，设E（m，m﹣3），P（m，m2﹣2m﹣3）． PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+， S△BCP=S△BEP+SCEP=PE×FB+EP•OF =EP•OB =×3[﹣（m﹣）2+] 当m=时，S最大=×3×=， m2﹣2m﹣3=﹣， 此时P（，﹣）； 所以此时，四边形ABPC的面积的面积也最大； S四边形ABPC= S△BCP+ S∆ABC=6+ ∴此时P点的坐标（，﹣），四边形ABPC的最大面积为 ． 【小问3详解】 存在．理由如下： 作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2 ， 则PO=PC， ∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C， ∴OP′=OP，CP′=CP， ∴OP′=OP=CP′=CP， ∴四边形POP′C为菱形， ∵C点坐标为（0，﹣3）， ∴E点坐标为（0，﹣）， ∴点P的纵坐标为﹣， 把y=﹣代入y=x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3=﹣， 解得x=， ∵点P在直线BC下方的抛物线上， ∴x=， ∴满足条件的点P的坐标为（，﹣）． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及到了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解． 24. 我们学习了二次函数后，掌握了二次函数的图象和性质，为了方便进一步研究，我们定义：二次函数的增减性和对称性合起来叫增对性，利用增对性可以解决很多二次函数问题，请利用增对性研究有关二次函数的一些问题． 【特例探究】 （1）若点，是该二次函数图象上两点，则该二次函数的对称轴为_____． （2）当，时， 若，则x的取值范围为_____． 【拓展探究】 （3）①若当时，，则该二次函数的开口向_____（填“上或下”），对称轴为____． ②在①的条件下，点，为二次函数图象上的两点，设，当时均满足，则t的取值范围_____． ③在①的条件下，已知，，该二次函数的图像与线段只有一个公共点，求a的取值范围． 【答案】（1）直线；（2）或；（3）①下，直线；②；③当时，该二次函数的图象与线段只有一个公共点． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，二次函数的增减性，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）根据点，直接可得抛物线的对称轴； （2）先求解抛物线为：，可得当时，，当时，，再结合图象可得答案； （3）①由当，，可得抛物线的开口向下与对称轴；②由①得：对称轴为直线，可得与时的函数值相等，再结合图象解答即可；③如图，当抛物线过时，可得：，如图，当抛物线过时，可得：，再结合图象可得答案． 【详解】解：（1）∵点，是该二次函数图像上两点， ∴抛物线的对称轴为直线， （2）当，时， ∴抛物线为：， ∵， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 如图， ∴当时，或； （3）①当时，，如图， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线； ②由①得：对称轴为直线， ∴与时的函数值相等； 如图， 当时，随的增大而减小， ∵，当时均满足， ∴，解得：； ③在①的条件下，，对称轴为直线：， 如图，当抛物线过时， ∴， ∵对称轴为直线：， 解得：， 如图，当抛物线过时， ∴，而， 解得：， 综上：当时，该二次函数的图象与线段只有一个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段性学习评价 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列函数中属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于二次函数的性质，说法不正确的是( ) A. 它的图象经过点 B. 它的图象的对称轴是y轴 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 有最大值 3. 已知点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如果是一元二次方程的一个根，那么多项式的值等于（　　） A. B. C. D. 6. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的一元二次方程的实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两灯塔，之间的距离恰好为暗礁区所在的圆的半径倍，要使船不驶入暗礁区，则航行中应保持（ ） A. 大于 B. 大于 C. 小于 D. 小于 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、选择题（本题共6小题，每题只有1个选项符合题意，每题3分，共18分） 11. 若函数是二次函数且有最小值，则_____． 12. 二次函数，当x_______时，y随x的增大而增大． 13. 如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是_____． 14. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸） 答：圆形木材的直径___________寸； 15. 如图，将二次函数位于x轴下方的图像沿x轴翻折，再得到一个新函数的图像当直线与新函数图像有4个公共点时，a的取值范围是_____． 16. 我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则半径的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. 如图三个顶点的坐标分别是，，，将绕C逆时针旋转，得到； （1）请在网格图中画出． （2）在（1）的条件下，则点B的路径的长为_____． （3）若是的外接圆，直接写出点M的坐标_______． 19. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．皮皮决定研究一下圆． （1）如图1，点A在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点A画出圆的切线； （2）在图2中尺规作图：过圆外一点E作的切线，切点为D，保留作图痕迹； （3）如图3，在（2）的前提下，是的一条半径，且垂直于，交于点，连接交于，已知． ①求证：； ②若，求长． 20. 已知二次函数y=x2+2mx+m2-3（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个不同的公共点； （2）当m=1时，该函数的图像沿y轴向上平移h个单位长度后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点，则h= ，所得新抛物线的解析式为 ． 21. 在元旦来临之际，宝龙商场某商铺抓住商机，以单价40元的价格购进一批商品，再以单价50元出售，每天可卖出200件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每天少卖10件（假如售价不能低于50且不能高于56元）． （1）商家每天想获得2210元的利润，需要定价为多少元？ （2）每件商品的定价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 22. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面（如图）． （1）直接在图中建立适当的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； （2）由于该河流上游暴雨，导致水位上升3m达到警戒线．一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为0.8m．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由． 23. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． （3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 我们学习了二次函数后，掌握了二次函数的图象和性质，为了方便进一步研究，我们定义：二次函数的增减性和对称性合起来叫增对性，利用增对性可以解决很多二次函数问题，请利用增对性研究有关二次函数的一些问题． 【特例探究】 （1）若点，是该二次函数图象上两点，则该二次函数的对称轴为_____． （2）当，时， 若，则x的取值范围为_____． 【拓展探究】 （3）①若当时，，则该二次函数的开口向_____（填“上或下”），对称轴为____． ②在①的条件下，点，为二次函数图象上的两点，设，当时均满足，则t的取值范围_____． ③在①的条件下，已知，，该二次函数的图像与线段只有一个公共点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $