阶段检测验收卷四 三角形（综合训练）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第四章 三角形 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【详解】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 2．如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一直线上，连结交于点，连结分别与、交于点、，下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质及相似三角形的判定可进行求解． 【详解】解：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即，且相似比为1， ∵， ∴， ∴，， ∴不一定成立； 故选C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质是解题的关键． 3．在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得；当与相交时，圆心距需满足条件，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵，D为中点， ∴，； ∵锐角三角形中，， ∴外接圆心O在上， 连接，由勾股定理得：；      设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：， 即，解得：； 在此范围的半径只有选项B； 故选：B． 4．一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然后再沿北偏西方向走了500米到达目的地处（如图所示），那么A,C两地的距离是（   ） A．米 B．1500米 C．米 D．1000米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，平角的定义等知识．作出辅助线求出为是解题的关键．过B点作直线，根据平行线的性质，平角的定义，勾股定理即可得到结论； 【详解】解：如图，过B点作直线， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形． ∵，， ∴， 故选：D． 5．如图，已知，，，，、是边上的点，，如果以为直径的圆与以为直径的圆相离，且以为直径的圆与边有公共点，那么的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线和圆的位置关系，解三角形等知识点，解题关键是根据确定以为直径圆的圆心是的中点，根据直角三角形的边角关系求出，进而求出，再根据确定的中点是以为直径的圆的圆心，由与直线有公共点，以为直径的圆相离，确定半径的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，（负值已经舍去） ∴， 如图，取的中点，即， ∵， ∴，即， 过点作，连接， ∴， ∴以为直径的圆与边有公共点时，， ∴，即， ∴， 取的中点，即， ∴， 又∵以为直径的圆与以为直径的圆相离，即， ∴， ∴，即： ∴， 综上所述：， ∵，C选项在取值范围内，故符合题意， ，， ，选项A、B、D不在取值范围内，不符合题意． 故选：C． 6．我们把一个等腰三角形的腰与底边的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”．设等腰△的特征值是，下列命题中假命题是（    ） A．如果，那么△是直角三角形 B．如果，那么△有一内角为 C．如果△是直角三角形，那么 D．如果△有一内角为，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数，根据“特征值”的定义，再利用等腰三角形的性质，根据等腰三角形的特征值求出三角形的两的角的度数，或根据等腰三角形中角的度数求出它们的特征值，根据计算结果判断各选项的正误即可． 【详解】解：A选项：当时，可设腰长为，则底长为， ， △是直角三角形是直角三角形， 故 A选项正确，不符合题意； B选项：如下图所示，过作于点， ， 设，则， ，且， ， ， ， 故B选项正确，不符合题意； C选项：如下图所示，，， ， ， 故C选项正确，不符合题意； D选项：当这个角底角为时，由选项可知，此时， 当顶角为时， 如下图所示，，， 过作于点， 在△中，设，则，， ， 在△中，， ， 故D选项错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．如图，在中，，是边的中点，过点作交边于点，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得，根据等边三角形的判断得的等边三角形，所以，，可得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴的等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，将宽均为1的两张矩形纸片，交叉放置，形成的锐角为，那么重叠部分（阴影部分）的周长是 ．（结果用含的三角比的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，萎形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【详解】解：当两个宽度均为1的矩形交叉形成锐角时，重叠部分为菱形． 菱形的边长由矩形宽度在垂直方向上的投影决定． 由于每个矩形的宽度为1，且两矩形夹角为，菱形的高为1， ∴菱形的边长为：， 因此，菱形的周长为， 故答案为∶． 9．有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为米，那么这个斜坡的长度为 米． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键． 根据坡度的定义求解即可． 【详解】解：设这个斜坡的水平距离为x米， 根据题意得：，解得：， ∴这个斜坡的长度（米）， 答：这个斜坡的长度为3米． 故答案为：3． 10．如图，平行四边形中，点在边上，，连结并延长交的延长线于点，设，．如果向量用向量、表示，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查平面向量，平行向量等知识，利用三角形的法则以及相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，矩形中，，点F在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点分别落在点处，若，那么的长为 ． 【答案】9 【分析】考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题． 首先求出，由矩形的性质得出，，由平行线的性质得出，由翻折不变性可知，，证出，由等腰三角形的判定定理证出，再由勾股定理求出，可得，再利用翻折不变性，可知，由此即可解决问题． 【详解】解：， ， ∵将纸片折叠，使落在射线上， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 12．如图，在菱形中，于点，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识．利用勾股定理求得菱形的边长，再利用菱形的面积公式：，即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，梯形中，，，，，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是梯形是性质、解直角三角形、平行四边形的判定和性质．过点C作，交的延长线于E，根据平行四边形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：如图，过点C作，交的延长线于E， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，正八边形的对角线、交于点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出，得出，运用勾股定理表示，因为，证明△△，则，即可作答． 【详解】解：如图，设正八边形的中心为点，连接、、， 则， ， 、、三点在同一条直线上， 点在上， 连接、， 则， ， ， ， 则， ， ， ∴， △△， ， 故答案为：． 15．如图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具---“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．如果分米，分米，，那么点C到水平线l的距离为 分米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．延长，交直线l于点G，先证明，然后求出，最后根据列方程求解即可． 【详解】解：延长，交直线l于点G， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 设（分米），则（分米）， （分米）， ， 在中，， ， 解得（分米）， （分米）． 故答案为：． 16．如图，平行四边形，，对角线，将绕点B旋转，使得点A落在直线上的点处，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，旋转的性质；如图，以点B为圆心，为半径画圆，与直线交点即为，过作交直线于，设，则，，，再证明得到，，代入求出，，利用勾股定理求出，即可求出和，再求即可，注意分情况讨论． 【详解】解：如图，以点B为圆心，为半径画圆，与直线交点即为，过作交直线于，则； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 当在右边时，， ， ∴； 当在左边时，， ， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 17．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，“邻补四边形”的定义．分四种情况讨论，作于点，利用四边形的面积，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是“邻补四边形”， 分情况讨论， ①当时， ∵，， ∴这种情况不符合题意，舍去； ②当时，由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点和点重合， ∴这种情况不符合题意，舍去； ③当时，同②得， ∴， ∴， ∴， 作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的面积是； ④当时， 同理， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， 解得， 则，，， ∴四边形的面积是； 故答案为：或． 18．如图，在中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，点落在边延长线上的点处，连接，与边交于点，，，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】过作交延长线于，证明，得出，设，则，则，证明，得出，根据，得出，即，求出k的值，即可得出答案即可． 【详解】解析：如图：过作交延长线于， 根据旋转可知：， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 设，则，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：或（舍去）， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．第19-22题每题10分，第23-24题每题12分，第25题14分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，化简绝对值，特殊三角函数值，先计算负整数指数幂，化简绝对值，代入特殊三角函数值，然后再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：原式 ． 20．（10分）如图，在中，为中线，平分，且，分别交、于点、，，交于点，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角函数计算出，，从而得到，结合角平分线得到，即可得到答案； （2）根据垂直得到，从而得到，，即可得到答案． 【详解】（1）解析：，， ，， ∴， ∵平分， ∴， ； （2）解：为中线， 为中点， ，， ∴， ∴， ∴ 为中点， ， 同理可得，， ， ， ∵， ， ． 【点睛】本题考查解直角三角形及三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据题意找到直角三角形，合理的应用三角函数． 21．（10分）如图，已知在等腰梯形中，，，，联结、交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，得到；由相似三角形性质可得，进而得出结论． （2）先证明，得到；再证明，得到，等量代换即可． 【详解】（1）证明：， ，， 又， ， ， （2），，， ， ， ， ． 在等腰梯形中，，， 又， ， ， ， ， ， 22．（10分）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：    第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为； 第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为； 第三步：测得小河宽BC为33米． 已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度． （参考数据：，，，，，） 【答案】山坡AB的坡度 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点A作，交的延长线于点H，根据正切的定义用表示出，进而出去，再求出，根据坡度的概念计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，    在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴， ∴山坡的坡度为：． 23．（12分）为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上； 花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号） 【答案】花圃一：画图见解析，半圆形步道的半径为；花圃二：画图见解析，半圆形步道的半径为 【分析】花圃一：分别以点B和点C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于F，连接交于点D即为所求的圆心；过点D作于点E，利用三线合一得到，勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可； 花圃二：延长，交于点H，尺规作的角平分线交于点A即为所求作的圆心；过点A作于点N，过点A作于点M，设，则，，，根据列方程求解即可． 【详解】花圃一：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大， 如图所示，点D即为所求作的圆心； 过点D作于点E，故为半圆的半径 ∵， 由作图得，垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴半圆形步道的半径为； 花圃二：根据题意得，当半圆与，相切时，半圆的半径最大， 如图所示，点A即为所求作的圆心； 过点A作于点N，过点A作于点M ∴，且，为半圆的半径 ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴设，则 ∴， ∵ ∴ 解得 ∴ ∴半圆的半径为． 【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24．（12分）如图，在中，，点在的延长线上，，，点在边上，，的延长线交线段于点． (1)求证：； (2)当点是的中点时，求证：； (3)已知，，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，x的取值范围为． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形可得，再根据平行线的性质以及等腰三角形的判定定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据“边角边”即可证明结论； （2）由中点的定义可得，由可得，再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式化简即可证明结论； （3）如图，延长交的延长线于点N，过A作于点H，过E作于点G，根据题意求出、根据平行线分线段成比例，列出比例式，求出即可得到关系式；然后再根据确定x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即． （3）解：如图，延长交的延长线于点N，过A作于点H，过E作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴, ∵, ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∵（比值）， ∴，解得：． ∴，x的取值范围为． 25．（14分）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点分别在上，连接． (1)如图，是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； (3)如图，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行线分线段成比例定理可得，，又是中点，则，所以，故，从而求证； （）由是的镶嵌相似形，，，则，，证明，所以，然后代入即可求解； （）由 是的镶嵌相似形，，则分当 时，当 时两种情况分析即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的镶嵌相似形； （2）解：∵是的镶嵌相似形，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，    ∴； （3）解：∵是的镶嵌相似形，， 当 时， ∴， 过点作于，作于， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，     ∴， ∵， ∴，       设，， ∵， ∴，       设，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，， ∴； 当 时，不成立，舍去． 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第四章 三角形 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一直线上，连结交于点，连结分别与、交于点、，下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 3．在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 4．一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然后再沿北偏西方向走了500米到达目的地处（如图所示），那么A,C两地的距离是（   ） A．米 B．1500米 C．米 D．1000米 5．如图，已知，，，，、是边上的点，，如果以为直径的圆与以为直径的圆相离，且以为直径的圆与边有公共点，那么的值可以是（    ） A．1 B． C． D． 6．我们把一个等腰三角形的腰与底边的比值叫做这个等腰三角形的“特征值”．设等腰△的特征值是，下列命题中假命题是（    ） A．如果，那么△是直角三角形 B．如果，那么△有一内角为 C．如果△是直角三角形，那么 D．如果△有一内角为，那么 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．如图，在中，，是边的中点，过点作交边于点，如果，，那么 ． 8．如图，将宽均为1的两张矩形纸片，交叉放置，形成的锐角为，那么重叠部分（阴影部分）的周长是 ．（结果用含的三角比的代数式表示） 9．有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为米，那么这个斜坡的长度为 米． 10．如图，平行四边形中，点在边上，，连结并延长交的延长线于点，设，．如果向量用向量、表示，那么 ． 11．如图，矩形中，，点F在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点分别落在点处，若，那么的长为 ． 12．如图，在菱形中，于点，，，则的长是 ． 13．如图，梯形中，，，，，那么的值是 ． 14．如图，正八边形的对角线、交于点，那么的值为 ． 15．如图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具---“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．如果分米，分米，，那么点C到水平线l的距离为 分米． 16．如图，平行四边形，，对角线，将绕点B旋转，使得点A落在直线上的点处，那么的值是 ． 17．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ． 18．如图，在中，，点是的中点，将线段绕点逆时针旋转，点落在边延长线上的点处，连接，与边交于点，，，那么的长为 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．第19-22题每题10分，第23-24题每题12分，第25题14分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）计算：． 20．（10分）如图，在中，为中线，平分，且，分别交、于点、，，交于点，，． (1)求的长； (2)求的值． 21．（10分）如图，已知在等腰梯形中，，，，联结、交于点，为上一点，． (1)求证：； (2)若，求证：． 22．（10分）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：    第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为； 第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为； 第三步：测得小河宽BC为33米． 已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度． （参考数据：，，，，，） 23．（12分）为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，是一个等腰三角形的花圃，经测量，，半圆形步道的圆心在边上； 花圃二：如图2，四边形是一个梯形的花圃，，经测量，，，，半圆形步道的圆心在边上．（结果保留根号） 24．（12分）如图，在中，，点在的延长线上，，，点在边上，，的延长线交线段于点． (1)求证：； (2)当点是的中点时，求证：； (3)已知，，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 25．（14分）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点分别在上，连接． (1)如图，是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； (3)如图，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 2 / 33 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $