第25章 一元二次方程 运算与根的性质重点题型 归纳练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心方法，以配方法、判别式、韦达定理为脉络，构建“运算-性质-综合应用”逻辑体系，提炼可迁移解题策略，培养运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |配方法专项|4题（含最小值与解方程）|换元转化、配方步骤、非负性应用|从基础运算到代数变形，强化转化思想| |根的情况求参数范围|4题（含新定义）|△计算、二次项系数限制、参数分类|判别式与方程定义结合，构建参数求解模型| |判别式判断根的情况|3题（含运算定义）|△符号分析、新定义转化|通过变式情境巩固根的性质判定逻辑| |韦达定理整体代入|4题（含菱形面积）|两根和积关系、代数式恒等变形|结合几何应用，体现模型意识与数学表达| |整数根含参综合|5题（含概率与函数综合）|整数根分类、分式方程增根检验|跨知识整合，提升综合解题与数学思维能力|

第25章 一元二次方程 运算与根的性质重点题型 归纳练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、配方法专项 1．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 2．若（为实数），则的最小值为__________． 3．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 二、由根的情况求参数范围 4．规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 7．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 三、判别式判断根的情况 8．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 9．对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 10．已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 四、韦达定理整体代入 11．一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 12．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 13．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 14．已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 五、整数根、含参综合 15．从这七个数中，随机抽一个数，记为a．若数a使关于x的一元二次方程有实数解，且关于y的分式方程有正整数解，则抽到的数a恰好符合条件的概率是（   ） A． B． C． D． 16．从背面完全相同，正面分别标有数的四张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为，则使关于的方程有整数解且使关于的一元二次方程有正数解的概率为___________． 17．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 18．关于的一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，是坐标原点． 【性质初探】 (1)随的增大而 （填“增大”或“减小”）； (2)求证：的面积为1； 【归纳提炼】我们把形如的一次函数称为“正向积1”函数． 【深入探究】 (3)图象经过点的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由； (4)已知点不在坐标轴上，若图象过点的“正向积1”函数有且只有一个． ①求关于的函数解析式； ②选取一个符合条件的点，并验证该点是线段的中点． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 4 5 6 8 9 10 11 12 15 答案 D B D A A C C C D 1．/ 利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 2． 运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可． 解： = = = ∵为实数， ∴ ∴的最小值为, 故答案为：． 3．(1)， (2)， （1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． （1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 4．D 此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 5．B 当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 6．D 利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 7． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 8．A 解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 9．A 根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 10．C 本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 11．C 先求得，，再将变形，代入与的值求解即可． 解：∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴ ． 故选C． 12．C 根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 13． 先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 14． 设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 15．D 本题考查概率公式，根的判别式，分式方程的解，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 利用一元二次方程根的判别式可得，即．由分式方程可得，进而可得为正整数，且不等于1．由题意可知，抽到的数共有7种等可能的结果，其中抽到的数恰好符合条件的结果有2种，利用概率公式可得答案． 解：∵关于的一元二次方程有实数解， ， 解得：． 解分式方程得， ∵关于的分式方程有正整数解， ∴为正整数，且不等于1． ∴这七个数中，满足以上条件的的值有：0，2， ∴抽到的数恰好符合条件的概率是． 故选：D． 16． 本题主要考查了概率公式的应用、分式方程、一元二次方程解等知识点．掌握分式方程的解法是解题的关键． 先求得使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解时的情况，再利用概率公式求解即可． 解：∵， ∴， 当，即时原分式无解， ∴使关于x的方程有整数解的：，1，2； ∵， ∴，解得：， ∵关于x的一元二次方程x2+mx=0有正数解， ∴或， ∴使关于x的方程有整数解，且使关于x的一元二次方程有正数解的只有， ∴使关于x的一元二次方程有正数解的概率为：． 故答案为：． 17．(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 （1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． （1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 18．(1)增大 (2)证明：函数与轴，轴分别交于，两点， 令，得， ，， 令，得， ，两边除以得， 解得， ，， (3)存在，函数解析式为和 (4)① ；② 示例：点符合条件，验证见解析（答案不唯一） （1）根据一次函数增减性的判定，由得一次项系数，可直接判断增减性； （2）先求出函数与两坐标轴的交点坐标，得到直角三角形两条直角边的长度，代入三角形面积公式计算即可证明结论； （3）将点坐标代入函数解析式，得到关于的一元二次方程，求解得到非零的，即可得到对应函数解析式； （4） ① 将点代入函数，整理得到关于的一元二次方程，由函数有且只有一个可知方程有两个相等实根，利用判别式为0整理即可得到关于的解析式； ② 任意取符合条件的点，求出对应函数和坐标，计算中点验证即可． （1）一次函数为， ， ，即， 随的增大而增大. （2）略 （3）解： 将代入得： ， 整理得， 解得，，均满足， 因此存在符合要求的函数， 当时，解析式为， 当时，解析式为. （4）① 解： 将代入 得： ， 整理得， 函数有且只有一个，即关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 判别式， 令得， 不在坐标轴上， ， 整理得. ② 验证： 取，得，即， 代入得， 解得，满足， 函数解析式为， 令得， ， 令得， ， 中点坐标为，与坐标一致，因此是的中点. 学科网（北京）股份有限公司 $