第2章 一元二次方程考题分析+达标训练- 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以题载法构建一元二次方程“概念-解法-应用”逻辑链，通过典例提炼判别式、根与系数关系、换元法等核心方法，强化运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考题分析|3道综合题|根的判别式应用、换元法降次、增长率模型构建|从方程根的性质到实际问题解决，层层递进| |达标训练|20题（选择8/填空6/解答6）|因式分解法、配方法、公式法及几何应用|覆盖概念辨析、解法迁移与跨情境应用，衔接考题方法|

第2章一元二次方程考题分析+达标训练-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 考题分析 1．（2025秋•龙马潭区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1，x2满足，求实数k的值． 【思路导航】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系找出x1+x2＝1﹣2k，，结合即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值，结合（1）的结论即可得出k的值． 【详细解析】解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1和x2． ∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0， ∴． （2）∵x1+x2＝1﹣2k，，， ∴， ∴（1﹣2k）2＝3（k2﹣1）+16， 即k2﹣4k﹣12＝0， 解得：k＝6或k＝﹣2， ∵， ∴k＝﹣2． 【画龙点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是根据方程解的情况结合根的判别式得出关于k的不等式． 2．（2026•海门区校级模拟）阅读下面的材料： 解方程x4﹣7x2+12＝0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12＝0，解得y1＝3，y2＝4，当y＝3时，x2＝3，，当y＝4时，x2＝4，x＝±2．∴原方程有四个根是：，，x3＝2，x4＝﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法，详细解析下列问题． （1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0； （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值． 【思路导航】（1）设y＝x2+x，则y2﹣5y+4＝0，整理，得（y﹣1）（y﹣4）＝0，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设x＝a2+b2，则x2﹣3x﹣10＝0，整理得（x﹣5）（x+2）＝0，解一元二次方程即可求解． 【详细解析】解：（1）∵（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0， ∴设y＝x2+x， ∴y2﹣5y+4＝0， ∴（y﹣1）（y﹣4）＝0， y﹣1＝0或y﹣4＝0， 解得：y1＝1，y2＝4， 当x2+x＝1，即x2+x﹣1＝0时， 解得； 当x2+x＝4，即x2+x﹣4＝0时， 解得． 综上所述，原方程的解为． （2）∵实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0， ∴设x＝a2+b2，则x2﹣3x﹣10＝0， 整理得：（x﹣5）（x+2）＝0， x﹣5＝0或x+2＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣2 （舍去）， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2＝5． 【画龙点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键． 3．（2025秋•夏津县期末）新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条． （1）求该门店这两周该数据线销量的周均增长率； （2）为响应绿色能源推广政策，同时尽可能让利于顾客，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现，当以每条25元的零售价售出时，周销量为180条，若在此基础上每条数据线每上涨1.5元，销量就会减少15条．该门店希望每周通过销售该数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元？ 【思路导航】（1）设该门店这两周该数据线销量的周均增长率为x，根据题意可得125（1+x）2＝180，解方程即可； （2）设每条数据线上涨1.5y元，则每周的销量为（180﹣15y）条，结合总利润等于一条数据线的利润乘销售数量，进行列式计算，即可作答． 【详细解析】解：（1）设该门店这两周该数据线销量的周均增长率为x， 由题意，得125（1+x）2＝180， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：该门店这两周该数据线销量的周均增长率为20%． （2）设每条数据线上涨1.5y元，则每周的销量为（180﹣15y）条， 由题意，得（25+1.5y﹣16）（180﹣15y）＝1800， 整理，得y2﹣6y+8＝0﹣3x+1＝5， 解得y1＝4，y2＝2， ∵尽可能让利于顾客， ∴y＝2， ∴25+1.5×2＝28． 答：应将零售价定为28元． 【画龙点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． 达标训练 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•江津区期末）将一元二次方程3x2﹣x＝2化成一般形式是（　　） A．3x2﹣x+2＝0 B．3x2+x﹣2＝0 C．﹣3x2﹣x+2＝0 D．3x2﹣x﹣2＝0 2．（2025秋•福州期末）方程x2﹣2x＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝0 3．（2025秋•湘潭期末）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2＝n的形式，则m值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．2 4．（2025秋•游仙区期末）一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（　　） A．25 B．36 C．25或36 D．无法确定 5．（2026春•界首市期末）若实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m﹣n的值为（　　） A． B． C．或 D．或 6．（2026秋•同步）用公式法解方程2x2﹣1＝2x的结果是（　　） A． B． C． D． 7．（2026秋•同步）已知a≥2，m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（　　） A．6 B．3 C．﹣3 D．0 8．（2026•西岗区校级模拟）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（　　） A．8.98（1+x）＝12.93 B．8.98（1+x）2＝12.93 C．8.98+8.98（1+x）2＝12.93 D．8.98+8.98（1+x）+8.98（1+x）2＝12.93 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•常德校级期末）若方程（a+2）x|a|﹣x＝1是关于x的一元二次方程，则a的值为　 　 ． 10．（2025秋•九龙坡区期末）某公司2023年的年利润为300万元，2025年的年利润达到432万元．若该公司这两年年利润的年平均增长率相同，则年平均增长率为　 　 ． 11．（2025秋•高唐县期末）已知关于x的方程3x2﹣2x+m＝0有两个实数根，那么实数m的取值范围是　 　 ． 12．（2026春•榆树市期中）已知方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，则方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0的根是 　 　 ． 13．（2025秋•镇江期末）通过学习，我们知道：若关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，已知a2+3a﹣7＝0，b4﹣3b2﹣7＝0，且a+b2≠0，则代数式的值等于　 　 ． 14．（2025秋•平武县期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 15．（2026•鼓楼区校级开学）解方程： （1）x2﹣9＝0； （2）x2+3x﹣5＝0． 16．（2025秋•丰南区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣3＝0． （1）求证：无论m为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）若方程的两根一正一负，求m的取值范围． 17．（2025秋•海伦市期末）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 18．（2026秋•同步）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根． （1）若x1，x2恰好是矩形的两邻边长，且m＝3，求该矩形的周长和面积； （2）若2x1，2x2恰好是菱形的两条对角线的长，菱形边长为6，求m的值； （3）若等腰△ABC的一边长为7，且x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长． 19．（2026春•周村区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为“近根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“近根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣7x+12＝0是否是“近根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“近根方程”，求m的值． 20．（2026秋•单元）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AB＝20cm．在矩形DEFG中，EF＝30cm，DE＝10cm，△ABC在矩形DEFG的左侧，AB与EF在一条直线上，且点B与点E重合．现△ABC以1cm/s的速度沿直线AF从左向右运动（矩形DEFG保持不动），当△ABC运动到如图②所示的位置时，△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为68cm2，此时△ABC运动了多少秒？ 第2章一元二次方程考题分析+达标训练-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•江津区期末）将一元二次方程3x2﹣x＝2化成一般形式是（　　） A．3x2﹣x+2＝0 B．3x2+x﹣2＝0 C．﹣3x2﹣x+2＝0 D．3x2﹣x﹣2＝0 【解答】解：将原方程整理得3x2﹣x﹣2＝0； 故选：D． 2．（2025秋•福州期末）方程x2﹣2x＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝0 【解答】解：由题知， x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， 则x＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝0，x2＝2． 故选：C． 3．（2025秋•湘潭期末）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2＝n的形式，则m值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．2 【解答】解：∵x2﹣6x+2＝0， ∴x2﹣6x＝﹣2． x2﹣6x+9＝﹣2+9， 即（x﹣3）2＝7． ∵配方法解方程x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2＝n的形式， ∴m＝3． 故选：B． 4．（2025秋•游仙区期末）一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（　　） A．25 B．36 C．25或36 D．无法确定 【解答】解：个位上的数字比十位上的数字大3，这个两位数等于它的个位数字的平方，设这个两位数字的个位数字是x，则十位数字是（x﹣3），根据题意得： 10（x﹣3）+x＝x2， 原方程可化为：x2﹣11x+30＝0， ∴x1＝5，x2＝6， 当x＝5时，x﹣3＝2，两位数为25； 当x＝6时，x﹣3＝3，两位数为36； 答：这个两位数是25或36． 故选：C． 5．（2026春•界首市期末）若实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m﹣n的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【解答】解：∵实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0， ∴m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1， ∴（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣4mn＝1+4＝5， ∴m﹣n＝±， 故选：C． 6．（2026秋•同步）用公式法解方程2x2﹣1＝2x的结果是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：2x2﹣1＝2x， 2x2﹣2x﹣1＝0， Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0， 则x， 所以． 故选：C． 7．（2026秋•同步）已知a≥2，m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（　　） A．6 B．3 C．﹣3 D．0 【解答】解：由条件可知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+2＝0的两个根， ∴m+n＝2a，mn＝2， ∴（m﹣1）2+（n﹣1）2 ＝m2﹣2m+1+n2﹣2n+1 ＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2 ＝4a2﹣4﹣4a+2 ＝4（a）2﹣3， ∵a≥2， ∴当a＝2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值， ∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值＝4（2）2﹣3＝6， 故选：A． 8．（2026•西岗区校级模拟）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（　　） A．8.98（1+x）＝12.93 B．8.98（1+x）2＝12.93 C．8.98+8.98（1+x）2＝12.93 D．8.98+8.98（1+x）+8.98（1+x）2＝12.93 【解答】解：上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长， 增长率为x，则第二周的票房为8.98（1+x），第三周的票房为8.98（1+x）2， 所以可列方程为8.98（1+x）2＝12.93． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•常德校级期末）若方程（a+2）x|a|﹣x＝1是关于x的一元二次方程，则a的值为　2　 ． 【解答】解：∵方程（a+2）x|a|﹣x＝1是关于x的一元二次方程， ∴|a|＝2且a+2≠0， 解得a＝2， 故答案为：2． 10．（2025秋•九龙坡区期末）某公司2023年的年利润为300万元，2025年的年利润达到432万元．若该公司这两年年利润的年平均增长率相同，则年平均增长率为　20%　 ． 【解答】解：设年平均增长率为x， 依题意得：300（1+x）2＝432． 解得：x＝0.2（舍去负值）， ∴x＝0.2＝20%． 故答案为：20%． 11．（2025秋•高唐县期末）已知关于x的方程3x2﹣2x+m＝0有两个实数根，那么实数m的取值范围是m　 ． 【解答】解：由题知， 因为关于x的方程3x2﹣2x+m＝0有两个实数根， 所以Δ＝（﹣2）2﹣4×3×m≥0， 解得m． 故答案为：m． 12．（2026春•榆树市期中）已知方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，则方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0的根是 x1＝2，x2＝4　 ． 【解答】解：∵方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7， ∴在方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0中2x﹣1＝3或2x﹣1＝7， 解得x＝2或x＝4， 故答案为：x1＝2，x2＝4． 13．（2025秋•镇江期末）通过学习，我们知道：若关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，已知a2+3a﹣7＝0，b4﹣3b2﹣7＝0，且a+b2≠0，则代数式的值等于　　 ． 【解答】解：设c＝b2，则c2﹣3c﹣7＝0． 令d＝﹣c＝﹣b2，代入得d2+3d﹣7＝0，与a2+3a﹣7＝0形式相同， 故a和﹣b2是方程x2+3x﹣7＝0的两个根． ∴a+（﹣b2）＝﹣3，a•（﹣b2）＝﹣7， 即：a﹣b2＝﹣3，ab2＝7， 代入代数式：， 由a﹣b2＝﹣3得b2＝a+3， 代入分子：（a﹣1）（a+3）﹣4＝a2+2a﹣3﹣4＝a2+2a﹣7， 由a2+3a﹣7＝0得： a2＝﹣3a+7，代入分子：（﹣3a+7）+2a﹣7＝﹣a， ∴． 故答案为：． 14．（2025秋•平武县期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为 　5　 ． 【解答】解：设矩形的宽为x，长为x+a， ∵大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴（2x+a）2＝144，（x+a﹣x）2＝4， ∴2x+a＝12（负值已舍去），a＝2（负值已舍去）， ∴x＝5， 故答案为：5． 三．解答题（共6小题） 15．（2026•鼓楼区校级开学）解方程： （1）x2﹣9＝0； （2）x2+3x﹣5＝0． 【解答】解：（1）x2＝9， x＝±3， ∴x1＝3，x2＝﹣3； （2）Δ＝32﹣4×1×（﹣5）＝29＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 16．（2025秋•丰南区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣3＝0． （1）求证：无论m为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）若方程的两根一正一负，求m的取值范围． 【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（m﹣3） ＝（m﹣2）2﹣4（m﹣3） ＝m2﹣4m+4﹣4m+12 ＝m2﹣8m+16 ＝（m﹣4）2， ∵（m﹣4）2≥0， ∴无论m为何值，该一元二次方程总有实数根； （2）解：两根之积， ∵方程的两根一正一负， ∴两根之积＜0， 即m﹣3＜0， 解得：m＜3． 17．（2025秋•海伦市期末）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【解答】解：（1）设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意列一元二次方程得：3（1+x）2＝5.07， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）； 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%； （2）设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为（y﹣15）万元，平均每周可售出辆， 根据题意列一元二次方程得：（y﹣15）（58﹣2y）＝96， 整理得：y2﹣44y+483＝0， 解得y1＝21，y2＝23， 又∵要尽量让利于顾客， ∴y＝21， 所以下调后每辆汽车的售价为21万元， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 18．（2026秋•同步）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根． （1）若x1，x2恰好是矩形的两邻边长，且m＝3，求该矩形的周长和面积； （2）若2x1，2x2恰好是菱形的两条对角线的长，菱形边长为6，求m的值； （3）若等腰△ABC的一边长为7，且x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长． 【解答】解：（1）当m＝3时，则方程为x2﹣8x+14＝0， ∴矩形面积＝x1•x2＝14， 矩形周长＝2（x1+x2）＝16； （2）由题可知Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+5）＝8m﹣16≥0， ∴m≥2， 根据菱形对角线互相垂直且平分可得36， 即（x1+x2）2﹣2x1x2＝36， ∴4（m+1）2﹣2（m2+5）＝36， 解得m＝3或m＝﹣7； ∵x1+x2＝2（m+1）＞0， ∴m＞﹣1， ∴m＝3； （3）当7为底时，由题意得，Δ＝0，得m＝2，代入求得两边长为3，因为3+3＜7，舍去； 当7为腰时，将x＝7代入得，m＝4或m＝10， 当m＝10时，算得三边长为7、7、15，因为7+7＜15（舍去）， 当m＝4时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形， 所以周长为3+7+7＝17． 19．（2026春•周村区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为“近根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“近根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣7x+12＝0是否是“近根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“近根方程”，求m的值． 【解答】解：（1）原方程分解因式可得： （x﹣3）（x﹣4）＝0， 解得x1＝3，x2＝4， ∴方程x2﹣7x+12＝0是“近根方程”； （2）原方程分解因式可得： （x﹣m）（x+1）＝0， 解得：x1＝m，x2＝﹣1， ∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“近根方程”， ∴|m﹣（﹣1）|＝1， 解得m1＝0，m2＝﹣2． 20．（2026秋•单元）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AB＝20cm．在矩形DEFG中，EF＝30cm，DE＝10cm，△ABC在矩形DEFG的左侧，AB与EF在一条直线上，且点B与点E重合．现△ABC以1cm/s的速度沿直线AF从左向右运动（矩形DEFG保持不动），当△ABC运动到如图②所示的位置时，△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为68cm2，此时△ABC运动了多少秒？ 【解答】解：过点C作CH⊥EF于点H，设AC与DE相交于点P，如图所示： 在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AB＝20cm， ∴CHAB＝10cm，∠CAB＝45°， ∵四边形DEFG是将矩形， ∴∠DEF＝90°， ∵AB与EF在一条直线上，DE＝10cm， ∴CH＝DE＝10cm，∠PEA＝180°﹣∠DEF＝90°， ∴点C在DG上， 设△ABC运动了t秒， ∵现△ABC以1cm/s的速度沿直线AF从左向右运动（矩形DEFG保持不动）， ∴BE＝tcm， ∴AE＝（20﹣t）cm， 在△APE中，∠PEA＝90°，∠CAB＝45°， ∴△APE是等腰直角三角形， ∴AE＝PE＝（20﹣t）cm， ∵△ABC与矩形DEFC重叠部分的面积为68cm2， ∴AB•CHAE•PE＝68， ∴20×10（20﹣t）•（20﹣t）＝68， 整理得：（20﹣t）2＝64， ∴20﹣t＝±8， 由20﹣t＝8，解得：t＝12， 由20﹣t＝﹣8，解得：t＝28（不合题意，舍去）， 答：此时△ABC运动了12秒． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $