专题06 期末真题百练通关（100题15大易错题型）（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题06 期末真题百练通关（100题15大易错题型）（期末复习专项训练） 题型1 平方根与立方根 题型9 规律探究与新定义 题型2 无理数的大小估算 题型10 由一元二次方程的定义求参数 题型3 实数与数轴 题型11 一元二次方程的解法 题型4 求二次根式中的参数 题型12 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型5 利用二次根式的性质化简 题型13 根据一元二次方程根的情况求参数 题型6 同类二次根式 题型14 根与系数的关系 题型7 分母有理化 题型15 一元二次方程的应用 题型8 二次根式的应用 题型一、平方根与立方根 1．若与是同一个数的平方根，则k的值是（   ） A． B． C．1 D．或1 2．设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 3．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 4．已知   则 （精确到百分位） 5．（25-26八年级上·上海·月考）如果x，y满足，那么的立方根是 ． 6．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为 ． 7．已知x、y是实数，，则 ． 8．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则的值为 ． 题型二、无理数的大小估算 9．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 10．（25-26八年级上·上海·月考）设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·上海金山·月考）已知、是两个连续的整数，且，则 ． 12．我们用表示不大于的最大整数．的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)＝ ，＝ ； (2)设的小数部分为a，则＝ ； (3)已知：，其中是整数，且，求的值的相反数． 13．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 题型三、实数与数轴 14．数轴上点、点表示数如图所示，且点与点关于点成中心对称，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 15．如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为 ． 16．（25-26八年级上·上海宝山·月考）正方形和正方形在数轴上位置如图①所示，其中A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足；点E、F在正半轴上，在数轴上表示的数分别为m、n，且m是64的算术平方根，． (1) _____， _____，线段的长为____； (2)若正方形以6个单位/秒的速度水平向右匀速运动，正方形以2个单位/秒的速度水平向左匀速运动．两者同时出发，设运动时间为t． ①如图2，当正方形在正方形内部（即重叠部分面积等于正方形面积）时，求t的取值范围； ②当正方形运动到点E在正方形的左侧某位置时，，求此时t的值． 17．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． 18．阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 题型四、求二次根式中的参数 19．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 21．二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 题型五、利用二次根式的性质化简 22．（25-26八年级上·上海·月考）若，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．2a 23．（25-26八年级上·上海·月考）若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·上海·月考）若，且满足，则 ． 25．（25-26八年级上·上海·月考）已知，，的位置如图所示，求的值． 26．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 题型六、同类二次根式 27．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·上海·月考）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 29．（25-26八年级上·上海·月考）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ． 30．（25-26八年级上·上海闵行·月考）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 31．（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 题型七、分母有理化 32．（23-24八年级上·上海·期末）计算： ． 33．（25-26八年级上·上海闵行·月考）分母有理化： ． 34．已知 ，，，比较的大小关系． 35．（25-26八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 36．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 37．（25-26八年级上·上海·月考）先化简，再求值：已知，求的值． 38．（25-26八年级上·上海静安·期中）先化简，后求值：，其中． 题型八、二次根式的应用 39．如图，从一个大正方形中裁去面积为和48 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 40．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 41．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为 ． 42．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 题型九、规律探究与新定义 43．对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 44．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根是 ． 45．（25-26八年级上·上海虹口·月考）观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． 46．（25-26八年级上·上海嘉定·月考）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： （1）__________； （2）__________； （3）__________； 根据你的阅读回答下列问题： （4）请根据上面式子的规律填空： ____________________（为正整数）； （5）请直接写出下列式子的结果 ____________． 47．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 48．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 题型十、由一元二次方程的定义求参数 49．如果方程是关于x的一元二次方程，则k的值是（    ）． A．2 B． C． D．3 50．方程是关于的一元二次方程，则的值为（  ） A． B． C． D．以上都不对 51．（25-26八年级上·上海黄浦·月考）关于的方程是一元二次方程．则需满足条件是 ． 52．（25-26八年级上·上海·月考）如果方程是一元二次方程，那么m的值为 ． 题型十一、一元二次方程的解法 53．下列一元二次方程的根是的是（   ） A． B． C． D． 54．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 55．一元二次方程配方，得，则是 ． 56．已知，则的值为 ． 57．（25-26八年级上·上海·月考）若且，则 ． 58．解方程： 题型十二、根据判别式判断一元二次方程根的情况 59．（25-26八年级上·上海·期中）关于 的方程 ，下列说法中正确的有（     ）个 ①若 ，则该方程没有实数根； ②若 ，则该方程的两个根互为相反数； ③若 ，则该方程一定有两个实数根； ④若该方程的一个根是 ，则另一个根是 ． A．1 B．2 C．3 D．4 60．对于一元二次方程为常数，且，下列条件：；②；；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 61．（25-26八年级上·上海·期中）已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 62．（24-25八年级上·上海闵行·月考）已知关于的一元二次方程 ． (1)说明原方程一定有两个实数根； (2)若方程的两个实数根一个小于2，另一个大于5，求实数的取值范围． 63．（25-26八年级上·上海·期中）如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况． 64．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程（是实数） (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 题型十三、根据一元二次方程根的情况求参数 65．（25-26八年级上·上海静安·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 66．（25-26八年级上·上海·期中）关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 67．（25-26八年级上·上海·月考）若二次三项式在实数范围内可以因式分解，则常数的取值范围是 ． 68．（25-26八年级上·上海嘉定·月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 69．（25-26八年级上·上海·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 题型十四、根与系数的关系 70．若，是一元二次方程的两根，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 71．（25-26八年级上·上海·期中）已知和是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 72．已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 73．（25-26八年级上·上海虹口·期中）若关于方程的两根为，，且，则 ． 74．（25-26八年级上·上海·月考）如果关于的一元二次方程有实数根， (1)求的取值范围； (2)若分别是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 75．已知关于的一元二次方程有两个异号的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是该方程的两个根，且，求的值． 76．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 77．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，求的值． 题型十五、一元二次方程的应用 78．（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 79．（25-26八年级上·上海·月考）小杰将元压岁钱按一年定期存入银行，到期后取出元用来购买学习用品，剩下的元和应得的利息又全部按一年定期存入银行．若存款的年利率为，这样到期后账户里有元，由题意可列方程： ． 80．（25-26八年级上·上海长宁·月考）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 81．（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 82．（25-26八年级上·上海·期中）赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即； 第三步：得新方程；因为x表示边长，所以，即．一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为2，那么此方程的正根为 ． 83．（25-26八年级上·上海长宁·月考）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明用几何法解一元二次方程的过程： 分析：由于，因此．如图（1）所示分别以x和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（2）所示再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形，将分割后的图形重新拼接成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36． 通过以上图形变化上将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为10，故，得． 注：用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根． 请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根．具体过程如下： ①仿照图（1）（2）（3）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度 ②根据①中所画图形求出方程的正数根．（填空） 通过以上图形变化上将一个面积为32的长方形和四个面积为________的小正方形切拼成了一个面积为________，且边长是________的正方形． 显然该正方形的边长为________，故________，得________． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求方程的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体________块；需要准备图（5）中的几何体________块； 需要准备图（6）中的几何体________块；需要准备图（7）中的几何体________块． 请直接写出方程的一个正数根； ________． 一、单选题 1．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（   ） A．2022 B．2024 C．4048 D．4046 2．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（） A．2023 B．2022 C．2021 D．2024 3．若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记，则的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 4．如图，将边长为2的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点A处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点E将落在下列哪条线段上（    ） A． B． C． D． 5．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为（   ） A．0 B．2024 C．2025 D．2026 7．若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．设，是方程的两个根，那么的值为 ． 9．若，是两个连续整数，且，则 ． 10．新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么 ． 11．若t是方程的一个根，则的值为 ． 三、解答题 12．先化简，再求值：，其中m 为方程的解 ． 13．已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；填写序号 ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 14．我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 15．（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 16．某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 17．某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 试卷第1页，共3页 1 / 72 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 期末真题百练通关（100题15大易错题型）（期末复习专项训练） 题型1 平方根与立方根 题型9 规律探究与新定义 题型2 无理数的大小估算 题型10 由一元二次方程的定义求参数 题型3 实数与数轴 题型11 一元二次方程的解法 题型4 求二次根式中的参数 题型12 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型5 利用二次根式的性质化简 题型13 根据一元二次方程根的情况求参数 题型6 同类二次根式 题型14 根与系数的关系 题型7 分母有理化 题型15 一元二次方程的应用 题型8 二次根式的应用 题型一、平方根与立方根 1．若与是同一个数的平方根，则k的值是（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】D 【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是．所以分两种情况讨论：一是两个平方根相等；二是两个平方根互为相反数．本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的性质，分两种情况（两个平方根相等或互为相反数）讨论是解题的关键． 【详解】解：情况一： 情况二： 综上，的值为或． 故选：D． 2．设，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式，分式的求值，利用平方根解方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 由条件，利用完全平方公式求出和，再计算其比值的平方，结合 确定符号，得到最终结果． 【详解】解：∵ ∴， ， ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 3．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，解决本题的关键是看懂运算顺序． 【详解】解：当，取算术平方根，可得：， 是有理数， 再取的立方根， 又是有理数， 再取的算术平方根， 的算术平方根是是无理数， ． 故选：C． 4．已知   则 （精确到百分位） 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的求解，立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的运算法则． 对立方根进行变式，然后根据给出的值进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海·月考）如果x，y满足，那么的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，求一个数的立方根，将等式的左边化为两个完全平方的和的形式，利用非负性求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为： 6．（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．根据非负数的性质，算术平方根和平方均为非负数，它们的和为零则每个部分为零，从而得到关于和的方程组，解出和的值；再根据等腰三角形的性质，分情况讨论，并利用三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：，且，， 且． 解方程组得， 、是等腰三角形的两边长， 需分情况讨论： 当为腰时，则腰长为3，底边为7，此时两边之和，不满足三角形三边关系，故不成立； 当为腰时，则腰长为7，底边为3，此时两边之和，，满足三角形三边关系，故成立． 综上，等腰三角形的三边分别为：，周长为：． 故答案为：． 7．已知x、y是实数，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查算术平方根有意义的条件、分式有意义的条件、代数式求值，先根据算术平方根的性质及分式有意义的条件求得x、y值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即且， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 8．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据“完美实数”的定义得出或1，即可求出m的值． 【详解】解：若是“完美实数”， 则或1， 解得或， 故答案为：或． 题型二、无理数的大小估算 9．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算及其整数部分，根据无理数的估算得出，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 10．（25-26八年级上·上海·月考）设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，先估算的值，确定其范围，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 11．（25-26八年级上·上海金山·月考）已知、是两个连续的整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，代数式求值，先估算的取值范围，得出的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵、是两个连续的整数，且， ∴， ∴， 故答案为：． 12．我们用表示不大于的最大整数．的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． (1)＝ ，＝ ； (2)设的小数部分为a，则＝ ； (3)已知：，其中是整数，且，求的值的相反数． 【答案】(1)， (2)0 (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据平方运算估算出和，进而求解； （3）估算的范围即可得到和，然后根据相反数的意义，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵，是整数，且， ∴，， ∵， ∴， ∴的相反数为：． 13．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较． （1）根据“作差法”比较大小即可； （2）根据“作差法”比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型三、实数与数轴 14．数轴上点、点表示数如图所示，且点与点关于点成中心对称，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴的对应关系和中心对称的性质，先根据点与点关于点成中心对称，得到，再由数轴上两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：∵点与点关于点成中心对称， ∴， ∴点表示的数是， 故选：B． 15．如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点M在点A的右侧，即可求出M点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为1，且点M在点A的右侧， ∴M点所表示的数为． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·上海宝山·月考）正方形和正方形在数轴上位置如图①所示，其中A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足；点E、F在正半轴上，在数轴上表示的数分别为m、n，且m是64的算术平方根，． (1) _____， _____，线段的长为____； (2)若正方形以6个单位/秒的速度水平向右匀速运动，正方形以2个单位/秒的速度水平向左匀速运动．两者同时出发，设运动时间为t． ①如图2，当正方形在正方形内部（即重叠部分面积等于正方形面积）时，求t的取值范围； ②当正方形运动到点E在正方形的左侧某位置时，，求此时t的值． 【答案】(1)，， (2)①；② 【分析】本题考查了绝对值的非负性，实数与数轴，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是正确用t的代数式表示各点． （1）根据绝对值和平方式的非负性求解即可； （2）①先用t的代数式表示运动后点的所对应的数，再找出两个临界位置求出t值，即可求解取值范围； ②由面积关系得到，再用t的代数式表示，然后建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵m是64的算术平方根， ∴，， ， 故答案为：，，； （2）解：①当点B与F重合时，则， 解得； 当点与点重合时，则， 解得， ∴t的取值范围为； ②∵， ∴， ∴， ∴ 解得． 17．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． 【答案】(1) (2) (3)不存在 (4) 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数； （3）设存在正整数n，则，由进行判断即可求解； （4）设点D与数x对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：； 故答案为：； （2）∵点A表示的数为，正方形的边长为， ∴第一次翻滚后B表示的数为， 第二次翻滚后C表示的数为， 第三次翻滚后D表示的数为， ∵经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P， ∴点P表示的数为； 故答案为：； （3）设存在正整数n，则， ∴， ∵n为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数n； 故答案为：不存在； （4）设点D与数x对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 18．阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】（1）  （2），  （3），数轴表示见解析 【分析】本题考查了图形的变换、无理数、实数与数轴、绝对值化简、熟练掌握无理数的数轴上表示是关键． （1）根据正方形的面积，求出表示的数即可； （2）根据点在数轴上的位置，直接写出点和点表示的数即可； （3）根据的值代入所求代数式化简后，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）材料一中，， ∴，（负值舍去） 故答案为：； （2）根据点在数轴上的位置及范例计算方法可得：点表示的数是，表示的数是 ， 故答案为：，； （3）由（1）可知， ∴，， ， 在数轴上表示为点，如图所示： 题型四、求二次根式中的参数 19．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 20．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 21．二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的性质、二次根式的定义等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 利用二次根式的性质可得，则是一个平方数，然后确定a的最小正整数即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数a的最小值是2． 故答案为：2． 题型五、利用二次根式的性质化简 22．（25-26八年级上·上海·月考）若，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．2a 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的非负性，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，整理得，再化简，然后进行分类讨论，化简绝对值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 则 当时，则； 当时，则； 故选：C 23．（25-26八年级上·上海·月考）若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确求解是解题的关键． 根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：C． 24．（25-26八年级上·上海·月考）若，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，先由，利用完全平方公式得，再开方得，然后根据得，即可得出答案． 【详解】解：∵，且满足， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴ 故答案为：． 25．（25-26八年级上·上海·月考）已知，，的位置如图所示，求的值． 【答案】 【分析】根据数轴可知，，求出，，，再根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、二次根式的性质的应用，主要考查化简能力，解题的关键是根据数轴确定出各式子的取值范围． 26．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键： （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，，， ∴， ∴ ； （3）∵，，为的三边长， ∴， ∴ ． 题型六、同类二次根式 27．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 28．（25-26八年级上·上海·月考）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解二元一次方程组，代数式求值，根据同类二次根式的定义得到关于的方程组，解方程求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 化简得，， 解得， ∴， 故答案为：． 29．（25-26八年级上·上海·月考）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式与最简二次根式的定义，掌握定义是解题的关键． 根据两个二次根式是同类二次根式，被开方数就应该相等，由此可得出关于a的方程，进而可求出a的值，再判断是否是最简二次根式即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 当时，，，它们是最简二次根式． 因此,最简二次根式 与 是同类二次根式． 故答案为：． 30．（25-26八年级上·上海闵行·月考）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 31．（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、同类二次根式的定义、平方根，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答的关键． 先根据二次根式和分式有意义的条件求得，进而得；再根据同类二次根式的被开方数相同求得，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的平方根为． 题型七、分母有理化 32．（23-24八年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】解题思路是先对分母含二次根式的分式进行分母有理化，将其转化为整式与根式的和，再结合另一项的化简结果，合并同类二次根式得到最终结果．本题考查二次根式的分母有理化与加减运算，涉及的知识点是二次根式的化简、平方差公式的应用．解题中用到的方法是分母有理化法，利用平方差公式消除分母中的根号；以及合并同类二次根式法，简化计算．解题关键是正确进行分母有理化，注意符号的变化．易错点是分母有理化时符号处理错误，或化简时计算失误． 【详解】解： ． 故答案为： ． 33．（25-26八年级上·上海闵行·月考）分母有理化： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分母有理化，利用分母有理化进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 故答案为： 34．已知 ，，，比较的大小关系． 【答案】 【分析】此题考查二次根式比较大小，分母有理化，先将a、b、c分别进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，，， ， ， 又， ， ． 35．（25-26八年级上·上海虹口·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，利用二次根式混合运算的法则将所求式子化简，最后代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 当，时，原式． 36．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了分母有理化、通过对完全平方公式变形求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用分母有理化将化简，得到，，再利用完全平方公式变形求值即可； （2）先求出的值，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴，， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∴， ∵， ∴． 37．（25-26八年级上·上海·月考）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查的是分母有理化，能够利用完全平方公式对所求代数式进行变形是解题的关键． 先对原式进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 38．（25-26八年级上·上海静安·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值是解题的关键． 把原式化简，分母有理化得，通分化简后，把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 题型八、二次根式的应用 39．如图，从一个大正方形中裁去面积为和48 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的实际应用，求出大正方形的边长，分割法求出余下部分的面积即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积为和， ∴两个小正方形的边长为和， ∴大正方形的边长为， ∴余下部分的面积为， 故选：D． 40．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片， 小正方形边长为：，大正方形边长为， ， 图中空白部分的面积为：， 故选：B． 41．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积．熟练掌握正方形，长方形的面积公式，二次根式的性质，二次根式的混合运算顺序和法则，是解决本题的关键． 根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：设两个正方形的边长分别是x、y（）， 则． ∴． ∴阴影部分的面积是． 故答案为：6． 42．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害． (1)研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：）和高度（单位：）满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号） (2)物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：）和初始位置的高度（单位：）近似表示．公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)可能造成伤害，理由如下 【分析】本题考查二次根式的实际应用，通过具体情境考查二次根式，读懂题意，理解题中现实情境相关的公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．． （1）先根据已知条件求出h的值，再代入公式即可得时间； （2）根据公式，代入计算公式求出这个苹果产生的动能，即可判断． 【详解】（1）解∶ 物体从的高处自由下落， ． 故答案为∶； （2）解∶ 可能造成伤害，理由如下∶ ，，， （焦）焦 答：可能会对楼下的行人造成伤害． 题型九、规律探究与新定义 43．对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 44．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，无理数的估算，求一个数的平方根，根据新定义可得，再估算出的取值范围，从而确定a、b的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵a和b为两个连续正整数， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 45．（25-26八年级上·上海虹口·月考）观察下列各式：①，②，③，④，…，利用你观察到的规律解决下列问题： (1) ， ； (2)计算的值． 【答案】(1)， (2)2024 【分析】本题主要考查了代数式规律、实数的运算等知识点，发现式子的变化规律是解题的关键． （1）根据已有式子类比、归纳即可解答； （2）先利用（1）的规律化简原式，然后再计算即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， …， ，． 故答案为：，． （2）解： ． 46．（25-26八年级上·上海嘉定·月考）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： （1）__________； （2）__________； （3）__________； 根据你的阅读回答下列问题： （4）请根据上面式子的规律填空： ____________________（为正整数）； （5）请直接写出下列式子的结果 ____________． 【答案】（1），（2），（3）；（4），；（5）或． 【分析】本题考查了数字类规律的探索，此类规律探究问题一定要结合式子特点和数的规律进行探究，类比，一般要根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算目的. （1）（2）（3）（4）计算题目中结果，并根据计算过程和结果，总结得到一般规律，作出猜想，并对猜想进行计算，即可进行证明；（5）根据规律进行变形，往往会消去部分中间项，实现简化运算. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） 证明： ∵为正整数， ∴ ∴. （5） 故答案为（1），（2），（3）；（4），；（5）或． 47．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是_____， (2)若，求的“行知区间”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为． 48．观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)按上面规律填空：______＝______； (2)利用以上规律计算：； (3)求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 题型十、由一元二次方程的定义求参数 49．如果方程是关于x的一元二次方程，则k的值是（    ）． A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义得出且，再求出k的值即可． 【详解】解：由题意可得且， 解得． 故选：A． 50．方程是关于的一元二次方程，则的值为（  ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽略的知识点． 根据一元二次方程的定义得到：，且，然后求解即可． 【详解】方程是关于的一元二次方程， ，且． 解得． 故选：B． 51．（25-26八年级上·上海黄浦·月考）关于的方程是一元二次方程．则需满足条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为，且二次项系数不为零． 【详解】解：由于方程是关于的一元二次方程，因此未知数的最高指数必须等于，即， 解得，所以或． 同时，二次项系数， 即．因此． 故答案为：． 52．（25-26八年级上·上海·月考）如果方程是一元二次方程，那么m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，再求解即可． 【详解】方程是一元二次方程， 所以且， 解得． 故答案为：2． 题型十一、一元二次方程的解法 53．下列一元二次方程的根是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，将求根公式一一代入方程验证即可得出答案． 【详解】A、中，，不符合题意； B、中，，不符合题意； C、中，，不符合题意； D、中，，符合题意． 故选：D． 54．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案． 【详解】解：， ， 解得， 三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长， 即第三边的长， 第三边的长是一元二次方程的一个根， 第三边为8， 则三角形的周长为， 故答案为：18． 55．一元二次方程配方，得，则是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了配方法，掌握配方步骤正确计算是本题的解题关键．将原方程进行配方，然后求解即可． 【详解】解： ， ，，即， ． 故答案为：9． 56．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，先把方程化为，然后通过因式分解法解方程并检验即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解：， ， 或， ∵， ∴， 故答案为：． 57．（25-26八年级上·上海·月考）若且，则 ． 【答案】25或1 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，二次根式的性质，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．根据且，得出，分或两种情况进行求解，即可得出答案． 【详解】解：∵且， ∴， 当时，方程可变形为：， 设，则， ∴， 解得：，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； 当时，方程可变形为：， 设，则， ∴， 解得：，， ∵， ∴不符合题意舍去， ∴； 综上分析可知：的值为25或1． 故答案为：25或1． 58．解方程： 【答案】，，， 【分析】本题考查了解高次方程，换元法解一元二次方程，解题的关键是正确利用换元的思想． 令，原方程可化为，利用因式分解法解得，，再分别解以及即可． 【详解】解：令， 原方程可化为， ， 解得，， 当时，， ， ， ， ； 当时，， ， ， ， ， ∴原方程的根为，，，． 题型十二、根据判别式判断一元二次方程根的情况 59．（25-26八年级上·上海·期中）关于 的方程 ，下列说法中正确的有（     ）个 ①若 ，则该方程没有实数根； ②若 ，则该方程的两个根互为相反数； ③若 ，则该方程一定有两个实数根； ④若该方程的一个根是 ，则另一个根是 ． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式，方程的解．利用一元二次方程的判别式，方程的解，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①若 ，则该方程没有实数根，正确； ②若 ，此时，若，该方程没有实数根，故原说法错误； ③若 ，，则该方程一定有两个实数根，正确； ④若该方程的一个根是 ，此时，即， 当时，不一定为0，则无法确定是否为方程的根，故原说法错误； 综上，正确说法有①和③，共2个． 故选：B 60．对于一元二次方程为常数，且，下列条件：；②；；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式． 通过判别式判断方程有实数根的条件，分析每个条件是否足以保证判别式非负． 【详解】解：一元二次方程有实数根的条件是判别式． ①：， ∴，又， ∴，故方程有实数根． ②：， 反例：，则，但，无实数根，故②不能判定． ③：，即， ∴Δ===， ∵， ∴，， ∴，故方程有实数根． ∴正确条件的序号是①和③． 故选：B． 61．（25-26八年级上·上海·期中）已知是正实数，关于的一元二次方程：． (1)判断：方程根的情况． (2)若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 【答案】(1) 方程有两个不相等的实数根。 (2) 【分析】此题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解， （1）计算一元二次方程的根的判别式求出方程的根的情况； （2）将方程的根代入，得到，计算，由此进行判断即可． 【详解】（1）解：， , ∵是正实数， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解:将代入方程， 得， ∴， ∵， ∴． 62．（24-25八年级上·上海闵行·月考）已知关于的一元二次方程 ． (1)说明原方程一定有两个实数根； (2)若方程的两个实数根一个小于2，另一个大于5，求实数的取值范围． 【答案】(1)理由见详解 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程的根的分布，根的判别式及一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确题意，利用方程的知识解答． （1）要证明原方程恒有两个实数根，只要计算出该方程的根的判别式不小于零即可，代入数据计算的值，即可证明结论成立； （2）先求出题目中方程的两个根，然后根据方程的两个实数根一个小于2，另一个大于5，可以得到关于m的不等式组，然后解答即可求得m的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴原方程一定有两个实数根； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∵方程的两个实数根一个小于2，另一个大于5， ∴或， 解得：或． 63．（25-26八年级上·上海·期中）如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况． 【答案】当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 首先根据已知方程无实根可得m的取值范围，再计算新方程的判别式，结合m的取值范围确定新方程根的判别式的情况，进而得出新方程根的情况即可． 【详解】解：当时，方程化为， 解得，不符合题意， 当时，方程没有实数根， ∴， 解得； 当时，方程化为， 解得，方程有一个根； 当且时，， 此时方程有两个不相等的实数解． ∴当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根． 64．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程（是实数） (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先得出长为7的边只能为腰，即有一根为7，把代入方程求出，进而求出方程的解，再结合构成三角形的条件求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，方程有两个不相等的实数根， ∴长为7的边只能为腰， ∴有一根为7， 把代入， ， 解得：， 当时，方程为， 解得， 此时等腰三角形三边分别为1，7，7，， ∴此时能构成三角形，， ∴这个等腰三角形的周长为15； 当时，方程为， 解得， 此时三边分别为41，7，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不存在此三角形； 综上可知，这个等腰三角形的周长为15． 题型十三、根据一元二次方程根的情况求参数 65．（25-26八年级上·上海静安·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况的关系是解题的关键． 由方程中有得；再根据题意可得判别式列不等式求得k的范围，再结合即可解答． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：， 又 ∵ 方程中有意义， ∴， ∴k的取值范围是． 故选： C． 66．（25-26八年级上·上海·期中）关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的判别式．方程有两个实数根，需满足二次项系数不为零且判别式大于等于零． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴且， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 67．（25-26八年级上·上海·月考）若二次三项式在实数范围内可以因式分解，则常数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由题意可得，解不等式求出的取值范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵二次三项式在实数范围内可以因式分解， ∴， 即， 解得， 又∵， ∴常数的取值范围是且． 68．（25-26八年级上·上海嘉定·月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式等知识点，掌握一元二次方程的二次项系数不能为零是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件“二次项系数不为零且判别式大于零”，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数，即； ．解得：． 综上，的取值范围为且． 故答案为：且． 69．（25-26八年级上·上海·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的根的情况，一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式为正数，且二次项系数不为零，二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，据此解答即可 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得 则且， 故答案为：且． 题型十四、根与系数的关系 70．若，是一元二次方程的两根，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系及分式的化简求值，关键是将所求表达式转化为用两根之和与积表示的形式，利用一元二次方程的根与系数关系，求出两根之和与两根之积，再通过代数变形求解表达式 【详解】解：是方程的两根， ，， ， ， 故选：C 71．（25-26八年级上·上海·期中）已知和是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】16 【分析】根据题意，利用根与系数关系，变形计算解答即可． 本题考查了根与系数关系，求代数式的值，掌握解答的方法是解题的关键． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：16． 72．已知是方程的两个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意得到，，，进而化简求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 73．（25-26八年级上·上海虹口·期中）若关于方程的两根为，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，再结合完全平方公式计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵关于方程的两根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 74．（25-26八年级上·上海·月考）如果关于的一元二次方程有实数根， (1)求的取值范围； (2)若分别是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且； (2)不存在，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系以及根与系数的关系，掌握根的情况与判别式的关系和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，建立关于的不等式，求得的取值范围； （2）利用根与系数的关系，根据将代入，即可求出的值，再看是否满足（1）中的取值范围，从而确定的值是否存在． 【详解】（1）解:由题意得，且， 解得， 的取值范围为且； （2）不存在． 由根与系数的关系得，，， 解得， 由（1）得，， 满足条件的值不存在． 75．已知关于的一元二次方程有两个异号的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、韦达定理的应用，熟练掌握根的判别式与根的个数的关系以及韦达定理的内容是解答本题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式确定方程有实数根的条件，结合韦达定理中两根之积的符号确定的取值范围； （2）根据根的符号特征对进行变形，再结合韦达定理和完全平方公式建立关于的方程，进而求解． 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个异号的实数根， 且， 解得：． （2）， ， 则， 又，， ， 整理得， 解得：，， 又， ． 76．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出的取值范围； （2）由根与系数的关系求得，，进而得到，结合的取值范围解方程即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得：，， 又∵， ∴． 77．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，准确计算是解题的关键． （1）根据题意证明即可 （2）根据，代入计算即可； 【详解】（1）， ， ， 无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2），，， ，， ， ， ． 题型十五、一元二次方程的应用 78．（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传染模型，每轮传染中平均每人传染人，经过两轮传染后总患病人数为初始人数的倍，列方程即可． 【详解】解：有1人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第1轮传染中有x个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 第2轮：这人每人再传染x人，新增个患者， ∴两轮后总患病数为． ∵两轮后有121人患病， ∴列方程得：， 整理得：， 故答案为：． 79．（25-26八年级上·上海·月考）小杰将元压岁钱按一年定期存入银行，到期后取出元用来购买学习用品，剩下的元和应得的利息又全部按一年定期存入银行．若存款的年利率为，这样到期后账户里有元，由题意可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．可以设存款利率为，第一年提取元后存款为，第二年后可得存款为，此题得解． 【详解】解：设存款利率为，则第一年提取200元后存款为， 根据题意，可列方程为：， 故答案为：． 80．（25-26八年级上·上海长宁·月考）某建筑工程队，计划在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长100米），用170米长的建筑材料围成一个长方形仓库， (1)如果长方形仓库（如图1）占地面积为1500平方米，求与墙垂直的边的长； (2)为了便于分类存放和搬运货物，现决定改变计划，用原有建筑材料建造并分割出三个小仓库，并在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为2米的门（如图2），长方形面积扩大到2000平方米，若能，求与墙垂直的边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)与墙垂直的边的长为 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为，根据“长方形仓库占地面积为1500平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为，根据“长方形面积扩大到2000平方米”列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴与墙垂直的边的长为； （2）解：不能，理由如下： 设与墙垂直的边的长为，则与墙平行的边的长为， 由题意可得， 整理可得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴不能使长方形面积扩大到2000平方米． 81．（25-26八年级上·上海·期中）中秋节是我国的传统节日，中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上每盒豆沙月饼的进价比蛋黄肉松月饼的进价便宜10元，某商家用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同． (1)求蛋黄肉松月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)在销售中，该商家发现蛋黄肉松月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒，每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．若蛋黄肉松月饼每盒的售价不得低于进价，且要保证每天至少售出70盒蛋黄肉松月饼．中秋节当天该商家销售蛋黄肉松月饼共获得1600元的利润，求当天蛋黄肉松月饼的售价． 【答案】(1)每盒蛋黄肉松月饼的进价为40元，每盒豆沙月饼的进价为30元 (2)当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒60元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用及一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设每盒蛋黄肉松月饼的进价为x元，则每盒豆沙月饼的进价为元，根据用8000元购进的蛋黄肉松月饼和用6000元购进的豆沙月饼的盒数相同列方程解决即可； （2）设当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒y元，根据销量乘以每盒的利润等于1600元列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：设每盒蛋黄肉松月饼的进价为x元，则每盒豆沙月饼的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 元， 答：每盒蛋黄肉松月饼的进价为40元，每盒豆沙月饼的进价为30元； （2）解：设当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒y元，由题意得： ， 解得：， 当时，销量为盒盒，符合题意； 当时，销量为盒盒，不符合题意，舍去； 答：当天蛋黄肉松月饼的售价为每盒60元． 82．（25-26八年级上·上海·期中）赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即； 第三步：得新方程；因为x表示边长，所以，即．一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为2，那么此方程的正根为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查解一元二次方程，理解新定义是解题关键． 先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，由此即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为2， ∴， ∴， ∵中间围成的正方形面积为2， ∴边长为， ∴， ∵，x表示边长， ∴． ∴． 故答案为：． 83．（25-26八年级上·上海长宁·月考）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明用几何法解一元二次方程的过程： 分析：由于，因此．如图（1）所示分别以x和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（2）所示再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形，将分割后的图形重新拼接成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36． 通过以上图形变化上将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为10，故，得． 注：用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根． 请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根．具体过程如下： ①仿照图（1）（2）（3）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度 ②根据①中所画图形求出方程的正数根．（填空） 通过以上图形变化上将一个面积为32的长方形和四个面积为________的小正方形切拼成了一个面积为________，且边长是________的正方形． 显然该正方形的边长为________，故________，得________． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求方程的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体________块；需要准备图（5）中的几何体________块； 需要准备图（6）中的几何体________块；需要准备图（7）中的几何体________块． 请直接写出方程的一个正数根； ________． 【答案】(1)①见解析；②，，，，， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解此题的关键． （1）①根据题意画出图形即可；②根据所画图形并结合题意解答即可； （2）由可得需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，画出拼成的立体图形，从而可得需要准备图（7）中的几何体块，因此，由此求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意作图如下： ， ②根据①中所画图形求出方程的正数根．（填空） 通过以上图形变化上将一个面积为32的长方形和四个面积为的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为，故，得； （2）解：， 故需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，拼成的立体图形如图所示： ， 故需要准备图（7）中的几何体块， 因此， 故方程的一个正数根为． 一、单选题 1．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（   ） A．2022 B．2024 C．4048 D．4046 【答案】C 【分析】本题考查了已知一元二次方程的解求代数式的值． 将代入方程，得到的值，进而计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（） A．2023 B．2022 C．2021 D．2024 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义可得的值，然后整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即． ∴． 故选A． 3．若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记，则的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，实数的运算，无理数的估算等知识，理解题中新定义是关键；由新定义知，当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个， 则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5， ， ， 故选：B． 4．如图，将边长为2的正方形各边四等分，把一长度为的绳子一端固定在点A处，并沿逆时针方向缠绕正方形，则另一端点E将落在下列哪条线段上（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，由题意得到是解题的关键． 由题意可得，进而得到，再结合即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∵， ∴另一端点E将落在线段上． 故选：D． 5．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，先根据一元二次方程的根的定义可得，则，再代入计算即可得，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．设关于x的一元二次方程的两根为，记，则的值为（   ） A．0 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念．根据一元二次方程根的定义可知，。将的表达式代入，将式子重新组合为含有和的形式，即可求得其值为0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ． 故选：A． 7．若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 通过换元法，将第二个方程转化为第一个方程的形式，然后利用已知根求解． 【详解】解：方程可变形为：， 又， 方程化为． 设，则方程化为， 方程有一个根为， 方程有一个根为， 即， ． 故选A． 二、填空题 8．设，是方程的两个根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值 【详解】解：， 是方程 的根， ， ，， ， ． 故答案为： ． 9．若，是两个连续整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． 通过估算的范围，确定连续整数和的值． 【详解】， ，即， ， 和是两个连续整数，且， ，， ． 故答案是：． 10．新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程的解，解三元一次方程组，理解题中定义是解答的关键． 根据“同类方程”的定义和第一个方程，第二个方程应能表示为的形式，通过比较系数，可求解和，进而计算． 【详解】解：根据题意，将第二个方程与展开式比较：，令其等于， 可得方程组：，解得， 故． 故答案为：7． 11．若t是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值， 根据一元二次方程根的定义，将 代入方程得到关系式，然后化简，即可求出答案． 【详解】解：因为 是方程 的一个根， 所以 ，即 ， 又因为 ， 所以 ． 故答案为：8． 三、解答题 12．先化简，再求值：，其中m 为方程的解 ． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 根据分式的加减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后根据 的值为方程 的解，可以求得的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， ∵m为方程的解， ， ， 原式． 13．已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；填写序号 ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边AC、BC的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及勾股定理，理解所给“差根方程”的定义及勾股定理是解题的关键． （1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可； （3）根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可； 【详解】（1）解：由得， ，， 则， 所以①符合题意； 由得， ，， 则， 所以②不符合题意． 故答案为：①； （2）解：由得， ， 因为此方程是“差根方程”， 所以， 解得； （3）解：由题知，不妨令， 因为，的长为， 则 因为、的长是一个“差根方程”的两个实数根， 所以， 则， 所以， 所以， 所以， 同理可得，， 所以，， 则这个差根方程为 14．我们用表示不大于a的最大整数，的值称为数a的小数部分，如， 3.43 的小数部分为． (1) ； (2)设的小数部分为a，求 的值； (3)已知 其中x是整数， 且， 求的值． 【答案】(1)2 (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． （1）可得，则，再根据定义求解即可； （2）先根据无理数的估算方法得到，那么的小数部分，再估算出，然后根据定义得到 ，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算方法得到，然后根据不等式的性质得到；由， 是整数，且 ，得到 ，，再代入求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的小数部分； ∵ ， ∴ ， ∴ ； ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， 是整数，且 ， ∴ ，； ∴ ． 15．（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【答案】（1）； （2）右；1 （3）； 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1），． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②从到小数点向右移动1位，故被开方数的小数点向右移动2位．即． 16．某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度， ∴长方体的体积为， ∵改为建造等体积的无盖正方体池塘， ∴正方体的体积也为， ∴正方体的边长为， ∴待建的三面墙的总长度是． 17．某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 【答案】(1)停车位的宽为 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及矩形面积公式和利润的计算．分析边长的组成关系，根据价格调整后的使用率变化建立等量关系是解题关键． （1）用表示停车位的长和宽，再表示出停车场长和宽，根据矩形的面积公式列方程求解即可． （2）根据题意表示出停车场每日高峰时段和平峰时段的收费之和，减去成本即为利润，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设停车位的宽为，则停车位的长为，通车道宽为，停车场的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：停车位的宽为． （2）解：价格上涨后，停车场收费， 高峰时段收费为元， 平峰时段收费为元， ， 解得，， 当，，停车场使用率不可能为负值，故舍去， ． 答：的值为2． 试卷第1页，共3页 1 / 72 学科网（北京）股份有限公司 $