16.三角函数值在各象限的符号规律总结（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 16.三角函数值在各象限的符号规律总结（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】任意角的三角函数终边定义 ￮ 定义表述：在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，在角的终边上任取一点（原点除外），点到原点的距离，则，，。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：恒为正数，三角函数值的正负由和的符号决定；三角函数值与终边上点的位置无关。 ￮ 跨章节关联：适用于平面直角坐标系的坐标符号判断、分式的正负性判定、任意角的象限划分。 2. 【概念2】三角函数值的象限符号规律 ￮ 定义表述：根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号，结合三角函数的终边定义，可总结出、、在四个象限的正负规律，可用口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”概括。 ￮ 数学符号/表达式： 象限 坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 三角函数符号的决定因素 三角函数值的正负仅由角的终边所在象限决定，与角的大小无关 1. 凭角的度数绝对值判断符号（如误判和的余弦符号相同）；2. 忽略正切函数的定义域限制（误判终边在轴上的角的正切符号） 分式的正负由的符号共同决定，与三角函数的符号判断逻辑一致 轴线角的三角函数值特征 终边在坐标轴上的角（轴线角），其三角函数值为或无意义，无正负交替情况 1. 将轴线角归为某一象限角判断符号；2. 认为终边在轴上的角有正切值 常数函数无正负性，与轴线角中部分三角函数值为的特征类似 三、题型分类与例题精析 题型1：利用口诀直接判断象限角的三角函数符号 题型特征：已知角所在的象限，直接利用“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的口诀判断单个或多个三角函数的正负。 解题步骤：1. 确定角所在的象限；2. 对照口诀或象限符号表，判断目标三角函数的符号；3. 若涉及多个三角函数的运算，结合代数运算法则判断最终符号。 例题1 已知角是第二象限角，判断、、的符号。 解析： 根据口诀“二正弦”，即第二象限角只有正弦值为正，其余为负； 因此，，。 答案：为正，为负，为负。 举一反三1-1 已知角是第四象限角，判断和的符号。 解析： 根据口诀“四余弦”，即第四象限角只有余弦值为正，正切值为负； 因此，。 答案：为正，为负。 举一反三1-2 已知角是第三象限角，判断的符号。 解析： 第三象限角的，； 两个负数相乘，结果为正，因此。 答案：为正。 举一反三1-3 已知角是第一象限角，判断的符号。 解析： 第一象限角的，； 正数除以正数，结果为正，因此。 答案：为正。 题型2：根据三角函数的符号，确定角所在的象限 题型特征：已知一个或多个三角函数的正负性，反向推导角可能所在的象限，需要结合象限符号规律进行交叉判断。 解题步骤：1. 根据每个三角函数的符号，列出角可能所在的象限；2. 取各象限的交集，确定角最终所在的象限；3. 排除轴线角的情况。 例题2 已知且，确定角所在的象限。 解析： 由，可知角的终边在第一象限或第二象限，或轴正半轴； 由，可知角的终边在第二象限或第三象限，或轴负半轴； 两者的交集为第二象限，因此角是第二象限角。 答案：角是第二象限角。 举一反三2-1 已知且，确定角所在的象限。 解析： 由，可知角的终边在第一象限或第三象限； 由，可知角的终边在第三象限或第四象限，或轴负半轴； 两者的交集为第三象限，因此角是第三象限角。 答案：角是第三象限角。 举一反三2-2 已知，确定角可能所在的象限。 解析： 余弦值为负的象限是第二象限和第三象限，因此角可能是第二象限角或第三象限角。 答案：角是第二象限角或第三象限角。 举一反三2-3 已知，确定角所在的象限。 解析： 说明与异号； 当且时，角是第二象限角； 当且时，角是第三象限角； 因此角是第二象限角或第三象限角。 答案：角是第二象限角或第三象限角。 题型3：已知终边上点的坐标，判断三角函数的符号 题型特征：给出角终边上一点的坐标，先根据的符号确定角所在的象限，再判断三角函数的正负。 解题步骤：1. 根据点的符号，确定角所在的象限；2. 对照象限符号规律，判断目标三角函数的符号；3. 若需要计算具体值，代入定义式求解。 例题3 已知角的终边经过点，判断、的符号。 解析： 点的横坐标，纵坐标，因此角是第二象限角； 第二象限角的，。 答案：为正，为负。 举一反三3-1 已知角的终边经过点，判断和的符号。 解析： 点的横坐标，纵坐标，因此角是第四象限角； 第四象限角的，。 答案：为正，为负。 举一反三3-2 已知角的终边经过点，判断和的符号。 解析： 点的横坐标，纵坐标，因此角是第三象限角； 第三象限角的，。 答案：为负，为正。 举一反三3-3 已知角的终边经过点（），判断的符号。 解析： 因为，所以点的横坐标，纵坐标，角是第四象限角； 第四象限角的。 答案：为正。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知角是第三象限角，则下列三角函数值为正的是（ ） A． B． C． D． 解析：根据象限符号规律，第三象限角的正切值为正，正弦、余弦值为负，故选C。 答案：C 2. 多选题 已知，则角可能所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：正弦值为负的象限是第三象限和第四象限，故选CD。 答案：CD 3. 填空题 已知角是第二象限角，则的符号为______。 解析：第二象限角，，异号相乘得负，故符号为负。 答案：负 4. 解答题 (1) 已知角是第四象限角，判断的符号，并说明理由。 解析：第四象限角，，则，正数加正数结果为正，故。 答案：符号为正，理由如上。 (2) 已知角的终边经过点，判断和的符号。 解析：点的，，角是第一象限角，因此，。 答案：和的符号均为正。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则角所在的象限为（ ） A．第二象限 B．第三象限 C．第二或第三象限 D．第二或第四象限 解析：（），因此，角在第三或第四象限，故选C。 答案：C 2. 多选题 已知角的终边经过点（），且，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．角是第二象限角 D． 解析：说明，说明异号，故，角是第二象限角，，故选ACD。 答案：ACD 3. 填空题 已知角满足，则角是第______象限角。 解析：，正切值为正的象限是第一、三象限，故答案为一或三。 答案：一或三 4. 解答题 (1) 已知且，确定角所在的象限，并判断的符号。 解析：对应一、二象限，对应一、四象限，交集为第一象限；第一象限角的。 答案：角是第一象限角，的符号为正。 (2) 已知角的终边在直线上，且在第三象限，判断的符号。 解析：第三象限取点，，，两个负数相加结果为负，故符号为负。 答案：符号为负。 （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 若角是三角形的内角，且，则角是（ ） A．锐角 B．钝角 C．平角 D．直角 解析：三角形内角范围是，说明，为钝角，故选B。 答案：B 2. 多选题 已知角满足且，则角可能所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：对应三、四象限；第三象限，符号不确定，第四象限，恒成立，故选D。 答案：D 3. 填空题 已知角的终边经过点（），则的符号为______。 解析：时，，，角是第二象限角，，符号为正。 答案：正 4. 解答题 (1) 已知，确定角所在的象限。 解析：式子说明与互为相反数，即与异号，对应二、四象限，故角是第二或第四象限角。 答案：角是第二象限角或第四象限角。 (2) 证明：若角是第三象限角，则。 解析：第三象限角，，；左边，原式得证。 答案：证明如上。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 16.三角函数值在各象限的符号规律总结（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】任意角的三角函数终边定义 ￮ 定义表述：在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，在角的终边上任取一点（原点除外），点到原点的距离，则，，。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：恒为正数，三角函数值的正负由和的符号决定；三角函数值与终边上点的位置无关。 ￮ 跨章节关联：适用于平面直角坐标系的坐标符号判断、分式的正负性判定、任意角的象限划分。 2. 【概念2】三角函数值的象限符号规律 ￮ 定义表述：根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号，结合三角函数的终边定义，可总结出、、在四个象限的正负规律，可用口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”概括。 ￮ 数学符号/表达式： 象限 坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 三角函数符号的决定因素 三角函数值的正负仅由角的终边所在象限决定，与角的大小无关 1. 凭角的度数绝对值判断符号（如误判和的余弦符号相同）；2. 忽略正切函数的定义域限制（误判终边在轴上的角的正切符号） 分式的正负由的符号共同决定，与三角函数的符号判断逻辑一致 轴线角的三角函数值特征 终边在坐标轴上的角（轴线角），其三角函数值为或无意义，无正负交替情况 1. 将轴线角归为某一象限角判断符号；2. 认为终边在轴上的角有正切值 常数函数无正负性，与轴线角中部分三角函数值为的特征类似 三、题型分类与例题精析 题型1：利用口诀直接判断象限角的三角函数符号 题型特征：已知角所在的象限，直接利用“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的口诀判断单个或多个三角函数的正负。 解题步骤：1. 确定角所在的象限；2. 对照口诀或象限符号表，判断目标三角函数的符号；3. 若涉及多个三角函数的运算，结合代数运算法则判断最终符号。 例题1 已知角是第二象限角，判断、、的符号。 举一反三1-1 已知角是第四象限角，判断和的符号。 举一反三1-2 已知角是第三象限角，判断的符号。 举一反三1-3 已知角是第一象限角，判断的符号。 题型2：根据三角函数的符号，确定角所在的象限 题型特征：已知一个或多个三角函数的正负性，反向推导角可能所在的象限，需要结合象限符号规律进行交叉判断。 解题步骤：1. 根据每个三角函数的符号，列出角可能所在的象限；2. 取各象限的交集，确定角最终所在的象限；3. 排除轴线角的情况。 例题2 已知且，确定角所在的象限。 举一反三2-1 已知且，确定角所在的象限。 举一反三2-2 已知，确定角可能所在的象限。 举一反三2-3 已知，确定角所在的象限。 题型3：已知终边上点的坐标，判断三角函数的符号 题型特征：给出角终边上一点的坐标，先根据的符号确定角所在的象限，再判断三角函数的正负。 解题步骤：1. 根据点的符号，确定角所在的象限；2. 对照象限符号规律，判断目标三角函数的符号；3. 若需要计算具体值，代入定义式求解。 例题3 已知角的终边经过点，判断、的符号。 举一反三3-1 已知角的终边经过点，判断和的符号。 举一反三3-2 已知角的终边经过点，判断和的符号。 举一反三3-3 已知角的终边经过点（），判断的符号。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知角是第三象限角，则下列三角函数值为正的是（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知，则角可能所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 填空题 已知角是第二象限角，则的符号为______。 4. 解答题 (1) 已知角是第四象限角，判断的符号，并说明理由。 (2) 已知角的终边经过点，判断和的符号。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则角所在的象限为（ ） A．第二象限 B．第三象限 C．第二或第三象限 D．第二或第四象限 2. 多选题 已知角的终边经过点（），且，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．角是第二象限角 D． 3. 填空题 已知角满足，则角是第______象限角。 4. 解答题 (1) 已知且，确定角所在的象限，并判断的符号。 (2) 已知角的终边在直线上，且在第三象限，判断的符号。 （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 若角是三角形的内角，且，则角是（ ） A．锐角 B．钝角 C．平角 D．直角 2. 多选题 已知角满足且，则角可能所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 填空题 已知角的终边经过点（），则的符号为______。 4. 解答题 (1) 已知，确定角所在的象限。 (2) 证明：若角是第三象限角，则。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $