15.三角函数的符号判断（按象限判断正负）（中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 15.三角函数的符号判断（按象限判断正负）（中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】象限角的三角函数符号规律 ￮ 定义表述：平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，根据终边所在象限，结合三角函数的终边定义、、（），可确定三角函数值的正负。 ￮ 数学符号/表达式： 象限 坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 2. 【概念2】轴线角的三角函数值特征 ￮ 定义表述：终边落在轴或轴上的角称为轴线角，其三角函数值具有固定特征，无正负交替情况。 ￮ 数学符号/表达式： 轴线角 无意义 无意义 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 三角函数符号的判断依据 三角函数值的正负由角的终边所在象限决定，与角的大小数值无关 仅凭角的度数绝对值判断符号（如误认为和的三角函数符号一致）；混淆象限的坐标符号 对比分式的正负性，由的符号共同决定，与三角函数符号判断逻辑相同 正切函数的符号与定义域 正切函数的符号由同号或异号决定，定义域为 忽略正切函数的定义域限制，判断终边在轴上的角的正切符号；误认为正切函数在第二象限为正 对比分式函数，定义域为，与正切函数定义域限制逻辑相同 三、题型分类与例题精析 题型1：已知角的象限，判断三角函数的符号 题型特征：明确给出角所在的象限，直接根据象限符号规律判断、、的正负，或判断多个三角函数组合式的符号。 解题步骤：1. 牢记象限对应的三角函数符号口诀；2. 逐一判断每个三角函数的正负；3. 根据代数运算法则判断组合式的符号。 例题1 已知角是第二象限角，判断、、以及的符号。 举一反三1-1 已知角是第三象限角，判断的符号。 举一反三1-2 已知角是第四象限角，判断的符号。 举一反三1-3 已知角是第一象限角，判断和的符号。 题型2：已知三角函数的符号，确定角所在的象限 题型特征：给出一个或多个三角函数的正负性，反向推导角可能所在的象限，需结合符号规律进行交叉判断。 解题步骤：1. 根据每个三角函数的符号，列出角可能所在的象限；2. 取各象限的交集，确定角最终所在的象限；3. 排除轴线角的情况。 例题2 已知且，确定角所在的象限。 举一反三2-1 已知且，确定角所在的象限。 举一反三2-2 已知且，确定角所在的象限。 举一反三2-3 已知，确定角所在的象限。 题型3：已知终边上点的坐标，判断三角函数的符号 题型特征：给出角终边上一点的坐标，先根据坐标符号确定角所在的象限，再判断三角函数的正负。 解题步骤：1. 根据点的符号确定角所在的象限；2. 代入三角函数定义式，结合象限符号判断正负；3. 计算具体值时注意。 例题3 已知角的终边经过点，判断、、的符号，并计算其值。 举一反三3-1 已知角的终边经过点，判断和的符号，并计算的值。 举一反三3-2 已知角的终边经过点，判断的符号，并计算的值。 举一反三3-3 已知角的终边经过点（），判断的符号，并计算的值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知角是第三象限角，则下列三角函数值为正的是（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知且，则角可能所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 填空题 已知角的终边经过点，则，。 4. 解答题 (1) 已知角是第二象限角，判断的符号，并说明理由。 (2) 已知角的终边经过点，判断和的符号，并计算。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则角所在的象限为（ ） A．第二或第三象限 B．第一或第四象限 C．第三或第四象限 D．第一或第二象限 2. 多选题 已知角的终边经过点（），且，则下列说法正确的有（ ） A．同号 B．角在第一或第三象限 C． D． 3. 填空题 已知角是第四象限角，且，则______。 4. 解答题 (1) 已知且，确定角所在的象限。 (2) 已知角的终边在直线上，且在第四象限，判断的符号，并计算其值。 （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 若是三角形的内角，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知角满足，，则角的终边可能在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 填空题 已知角的终边经过点（），则______。 4. 解答题 (1) 已知，确定角所在的象限。 (2) 证明：若角是第二象限角，则。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 15.三角函数的符号判断（按象限判断正负）（中等）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】象限角的三角函数符号规律 ￮ 定义表述：平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，根据终边所在象限，结合三角函数的终边定义、、（），可确定三角函数值的正负。 ￮ 数学符号/表达式： 象限 坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 2. 【概念2】轴线角的三角函数值特征 ￮ 定义表述：终边落在轴或轴上的角称为轴线角，其三角函数值具有固定特征，无正负交替情况。 ￮ 数学符号/表达式： 轴线角 无意义 无意义 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 三角函数符号的判断依据 三角函数值的正负由角的终边所在象限决定，与角的大小数值无关 仅凭角的度数绝对值判断符号（如误认为和的三角函数符号一致）；混淆象限的坐标符号 对比分式的正负性，由的符号共同决定，与三角函数符号判断逻辑相同 正切函数的符号与定义域 正切函数的符号由同号或异号决定，定义域为 忽略正切函数的定义域限制，判断终边在轴上的角的正切符号；误认为正切函数在第二象限为正 对比分式函数，定义域为，与正切函数定义域限制逻辑相同 三、题型分类与例题精析 题型1：已知角的象限，判断三角函数的符号 题型特征：明确给出角所在的象限，直接根据象限符号规律判断、、的正负，或判断多个三角函数组合式的符号。 解题步骤：1. 牢记象限对应的三角函数符号口诀；2. 逐一判断每个三角函数的正负；3. 根据代数运算法则判断组合式的符号。 例题1 已知角是第二象限角，判断、、以及的符号。 解析： 根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”口诀： 第二象限角的，，； 两个数相乘，异号得负，故。 答案：为正，为负，为负，为负。 举一反三1-1 已知角是第三象限角，判断的符号。 解析： 第三象限角的，； 分式的正负为，故。 答案：符号为负。 举一反三1-2 已知角是第四象限角，判断的符号。 解析： 第四象限角的，，则； 两个正数相加仍为正，故。 答案：符号为正。 举一反三1-3 已知角是第一象限角，判断和的符号。 解析： 第一象限角的，； 两正数相加得正，故；两正数相除得正，故。 答案：两个式子的符号均为正。 题型2：已知三角函数的符号，确定角所在的象限 题型特征：给出一个或多个三角函数的正负性，反向推导角可能所在的象限，需结合符号规律进行交叉判断。 解题步骤：1. 根据每个三角函数的符号，列出角可能所在的象限；2. 取各象限的交集，确定角最终所在的象限；3. 排除轴线角的情况。 例题2 已知且，确定角所在的象限。 解析： 由，可知角的终边在第三象限或第四象限，或轴负半轴； 由，可知角的终边在第一象限或第四象限，或轴正半轴； 取两者的交集，可得角所在的象限为第四象限。 答案：角是第四象限角。 举一反三2-1 已知且，确定角所在的象限。 解析： 由，可知角的终边在第一象限或第三象限； 由，可知角的终边在第二象限或第三象限，或轴负半轴； 取交集可得角所在的象限为第三象限。 答案：角是第三象限角。 举一反三2-2 已知且，确定角所在的象限。 解析： 由，可知角的终边在第一象限或第二象限，或轴正半轴； 由，可知角的终边在第二象限或第四象限； 取交集可得角所在的象限为第二象限。 答案：角是第二象限角。 举一反三2-3 已知，确定角所在的象限。 解析： 由可知，与同号； 同号的情况为：第一象限（）、第三象限（）； 故角所在的象限为第一象限或第三象限。 答案：角是第一象限或第三象限角。 题型3：已知终边上点的坐标，判断三角函数的符号 题型特征：给出角终边上一点的坐标，先根据坐标符号确定角所在的象限，再判断三角函数的正负。 解题步骤：1. 根据点的符号确定角所在的象限；2. 代入三角函数定义式，结合象限符号判断正负；3. 计算具体值时注意。 例题3 已知角的终边经过点，判断、、的符号，并计算其值。 解析： 点的，，故角是第二象限角； 第二象限角的，，； 计算； ，，。 答案：正，负，负；，，。 举一反三3-1 已知角的终边经过点，判断和的符号，并计算的值。 解析： 点的，，角是第四象限角； 第四象限角的，； 。 答案：负，正；。 举一反三3-2 已知角的终边经过点，判断的符号，并计算的值。 解析： 点的，，角是第三象限角； 第三象限角的； 计算； 。 答案：正；。 举一反三3-3 已知角的终边经过点（），判断的符号，并计算的值。 解析： 由可知，，，角是第三象限角； 第三象限角的； （，可约去）。 答案：负；。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知角是第三象限角，则下列三角函数值为正的是（ ） A． B． C． D． 解析：第三象限角的，，，故选C。 答案：C 2. 多选题 已知且，则角可能所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：对应一、四象限，对应二、四象限，交集为第四象限，故选D。 答案：D 3. 填空题 已知角的终边经过点，则，。 解析：点在轴负半轴，，无意义。 答案：；无意义 4. 解答题 (1) 已知角是第二象限角，判断的符号，并说明理由。 解析：第二象限角，，但，可大于1，需结合定义：，，，且，故整体为负。 答案：符号为负，理由如上。 (2) 已知角的终边经过点，判断和的符号，并计算。 解析：点在第四象限，，；。 答案：负，正； （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则角所在的象限为（ ） A．第二或第三象限 B．第一或第四象限 C．第三或第四象限 D．第一或第二象限 解析：，，故，对应二、三象限，故选A。 答案：A 2. 多选题 已知角的终边经过点（），且，则下列说法正确的有（ ） A．同号 B．角在第一或第三象限 C． D． 解析：，故同号，角在一、三象限，A、B、C正确；第三象限中，D错误，故选ABC。 答案：ABC 3. 填空题 已知角是第四象限角，且，则______。 解析：第四象限角，由得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知且，确定角所在的象限。 解析：对应二、三象限；二象限，成立；三象限，符号不确定，故角是第二象限角。 答案：第二象限 (2) 已知角的终边在直线上，且在第四象限，判断的符号，并计算其值。 解析：第四象限取点，，，，和为，符号为零。 答案：符号为零，值为 （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 若是三角形的内角，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：三角形内角范围，，由和解得，，，故选B。 答案：B 2. 多选题 已知角满足，，则角的终边可能在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：对应二、四象限；对应二、三象限，交集为第二象限，故选B。 答案：B 3. 填空题 已知角的终边经过点（），则______。 解析：，，，角在第二象限；，。 答案： 4. 解答题 (1) 已知，确定角所在的象限。 解析：式子说明与异号，对应二、四象限，故角是第二或第四象限角。 答案：第二或第四象限 (2) 证明：若角是第二象限角，则。 解析：第二象限，；左边，等式成立。 答案：证明如上 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $