16.2　整式的乘法 教学设计2025-2026学年 人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦整式乘法与除法，涵盖单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式及整式除法，通过回顾幂的运算、分配律等旧知，结合绿地面积、声音强度等实际情境导入，搭建前后知识脉络的学习支架。 资料特色在于从具体到抽象探究法则，如用长方形面积推导多项式乘法培养抽象能力和推理意识，设问题串引导小组合作，配知识网络框架图，当堂训练强化运算，助力学生深化算理理解，为教师提供结构化教学流程与多样化例题。

16.2　整式的乘法 第1课时　单项式与单项式相乘 课题 第1课时　单项式与单项式相乘 授课人 学 习 目 标 1.理解整式运算的算理,会进行简单的整式乘法运算. 2.经历探索单项式乘单项式的运算过程,体会乘法交换律、结合律的作用和转化的思想,发展有条理的思考及表达能力. 3.能应用单项式乘法的运算法则解决一些简单的实际问题. 4.培养严谨的推理能力,以及自主合作的精神,体会逻辑推理的思维价值. 学习 重点 单项式与单项式相乘的法则的推导与应用. 学习 难点 单项式乘法与幂的乘法、乘方运算的综合运用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　前面,我们已经学习了幂的运算性质,从本节开始,我们学习整式的乘法.我们回忆一下,整式包括什么?(包括单项式和多项式)因此整式的乘法可分为单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘.这节课我们就来学习最简单的一种:单项式与单项式相乘. 　　学生回忆并回答,以此达到温故知新的目的. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 思考并解答: 1.幂的运算性质有哪几条? 2.整式包括什么?(包括单项式和多项式) 3.光的速度约是3×105 km/s,太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102 s,你知道地球与太阳的距离约是多少吗? 　　从学生的已有的知识出发,利用多媒体,激发学生强烈的好奇心和求知欲,从而使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 单项式与单项式相乘 思考: (1)怎样计算(3×105)×(5×102)?计算过程中用到哪些运算律及幂的运算性质? 分析:①(3×105)×(5×102)表示哪两个因数相乘? ②利用乘法交换律、结合律及同底数幂的运算性质,你能得到什么结论? (2)如果将上式中的数字改为字母,比如ac5·bc2,怎样计算这个式子? (3)根据以上计算,想一想如何计算单项式乘单项式? (4)你能用自己的语言总结出单项式与单项式相乘的运算法则吗? 学生分小组讨论、交流并回答问题.教师巡视,必要时给学生点拨、提示. 单项式与单项式相乘的法则: 一般地,单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. 教师引导学生关注:单项式与单项式相乘的运算法则的导出依据的是乘法交换律与结合律以及同底数幂的运算性质;运算过程中,含有运算类型较多时,要搞清运算顺序,先乘方,后乘除,最后加减.在此基础上灵活运用各种运算法则来进行运算. 　　1.由特殊到一般,让学生学会归纳,同时培养学生的合作意识. 2.经历思考、交流,归纳出单项式与单项式相乘的法则. 3.让学生弄清楚单项式与单项式相乘的法则的算理基础,构建起新旧知识之间的联系. 【应用举例】 例1　计算: (1)3xy2·2y3;(2)(-5a2b)(-3a);(3)(2x)3(-5xy2);(4)(-3x2y)2(-xy3)2. 思路点拨:可先利用乘法交换律、结合律变形成数与数相乘,同底数幂相乘的形式,单独一个字母照抄. [答案:(1)6xy5　(2)15a3b　(3)-40x4y2　(4)9x6y8] 变式　已知-2x3m+1y2n与7xn-6y-3-m的积与x4y是同类项,求m2+n的值. 解:-2x3m+1y2n·7xn-6y-3-m =-14x3m+1+n-6y2n-3-m =-14x3m+n-5y2n-3-m. ∵-2x3m+1y2n与7xn-6y-3-m的积与x4y是同类项, ∴解得∴m2+n=7. 方法总结:单项式与单项式相乘,就是把它们的系数、同底数幂分别相乘,结合同类项的定义,列出二元一次方程组求出参数的值,然后代入求值即可. 例2　卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)是7.9×103 m/s,则卫星绕地球运行3×102 s飞过的路程是多少? [答案:2.37×106 m] 教师活动:引导学生参与到例1,例2的解题之中. 学生活动:参与到教师的讲例之中,巩固新知. 总结概括:用单项式乘法法则进行计算,要注意以下几点: (1)积的系数等于各系数的积,是有理数的乘法运算,应先确定符号,再计算绝对值; 　　1.通过例题讲解,使学生掌握解题过程及书写格式. 2.充分调动学生的参与意识,训练学生运用已有知识解决新问题的能力. 活动 二: 探究 与 应用 (2)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,注意不要把这个因式丢掉; (3)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用; (4)单项式乘单项式的结果仍然是单项式. 例3　计算:3x3y·(-2y)2-(-4xy)2·(-xy)-xy3·(-4x)2. 解:原式=3x3y·4y2-16x2y2·(-xy)-xy3·16x2 =12x3y3+16x3y3-16x3y3 =12x3y3. 【拓展提升】 例4　a·a可以看作是边长为a的正方形的面积,a·a·b又可以怎样理解呢? [答案:略] 变式一　想一想,你会说明a·b,3a·2a以及3a·5ab的几何意义吗? [答案:略] 教师活动:问题牵引,引导学生思考,提问个别学生. 学生活动:分成小组,合作学习. 变式二　某市生态环境局欲将一个长为2×106 dm,宽为4×104 dm,高为8×102 dm的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化.请你想一想,有没有一个正方体贮水池刚好将这些废水装满?若有,求出正方体贮水池的棱长;若没有,请说明理由. [答案:有　正方体贮水池的棱长为4×104 dm] 教师活动:引导学生发现变式题目与例题之间的联系,找到解决问题的方案. 学生活动:以独立解决实际问题为主,学困生可以寻求小组内部的帮助.通过视频投影展示的方式,由学生汇报解题思路,师生共同订正. 　　学生自主探索,巩固知识和获得技能,从而提高综合运用知识的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.3a·(-2a)2等于 (C) A.-12a3　　　B.-6a2　　　C.12a3　　　D.6a2 2.下列计算正确的是 (B) A.3a2·2a3=6a6 B.3x2·2x3=6x5 C.3x2·2x2=6x2 D.3y2·2y5=6y10 3.计算(-)·(-3ab)2的结果为 (D) A.4a2b2 B.-4a2b2 C.12a3b3 D.-12a3b3 4.若2a3y2·(-4a2y3)=ma5yn,则m+n的值为　-3　.  5.计算:(1)(-x2y)3+(x2y)2·(-x2y); (2)(-2x2y)3+8(x2)2·(-x2)·(-y)3. [答案:(1)-x6y3　(2)0] 　　当堂训练,使学生熟悉单项式与单项式相乘的运算法则. 【课堂总结】 1.单项式与单项式相乘,应注意什么问题? 2.通过本节课的学习,你有什么新的体会和收获? 　　注意课堂小结,激发学生参与的主动性,为每一个学生的发展与表现创造机会. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 从实际问题中抽象出数学知识,得到单项式乘法的常见模型;再通过数学知识内部联系推导单项式与单项式相乘的法则,符合学生认知规律和知识的生成规律.并且现实问题与数学问题这两条线索贯穿在教学过程中,丰富了知识内涵. ②[讲授效果反思] 要注意培养学生进行类比,发现共性问题的能力.本节内容重点应放在对运算法则的理解和应用上.教师在最后小结时可提问:在应用单项式与单项式相乘的法则时应注意什么? ③[师生互动反思] 教师要及时了解学生的学习效果,让学生经历用知识解决问题的过程,同时激发学生学习的积极性,建立学好数学的信心. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　通过反思,查漏补缺,掌握基本的教学思想. 第2课时　单项式与多项式相乘 课题 第2课时　单项式与多项式相乘 授课人 学 习 目 标 1.让学生通过适当尝试,获得一些直接的经验,体验单项式与多项式相乘的法则,会进行简单的整式乘法运算. 2.经历探索单项式与多项式相乘的运算过程,体会分配律的作用和转化思想,发展有条理的思考及语言表达能力. 3.应用单项式与多项式相乘的法则解决一些简单的实际问题. 4.培养良好的探究意识与合作交流的能力,体会整式运算的应用价值. 学习 重点 单项式与多项式相乘的法则. 学习 难点 单项式与单项式相乘的法则及单项式与多项式相乘的法则的综合运用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 回顾交流,课堂演练 1.口述单项式与单项式相乘的法则. 2.口述分配律. 3.计算3a2·2a3的结果是什么? 4.计算(-9a2b3)·8ab2的结果是什么? 教师活动:组织练习,关注中下水平的学生. 学生活动:先独立完成上述“演练题”,再相互交流,部分学生上台演示. 　　此问题的提出,目的是通过回忆旧知识,为学习本节知识提供必要的知识准备. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 单项式与多项式相乘 下面来看本章引言中提出的问题. 1.如图16-2-4,为了求扩大后的绿地面积,可以先求扩大后的绿地的边长,再求面积. 如果把它看成一个大长方形,那么它的面积可表示为　p(a+b+c)　.  2.如图16-2-4,也可以先分别求原来绿地和新增绿地的面积,再求它们的和. 图16-2-4 如果把它看成三个小长方形,那么它们的面积可分别表示为　pa　,　pb　,　pc　.  猜想:1.根据上述两个问题,你能得到什么结论? 结论:p(a+b+c)=pa+pb+pc. 2.你能根据分配律得到这个等式吗? 3.你能用语言描述单项式与多项式相乘的法则吗? 一般地,单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 　　从学生已有的知识出发,利用多媒体,激发学生强烈的好奇心和求知欲,使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程. 【应用举例】 例1　计算:(1)(-4x2)(3x+1);(2)(ab2-2ab)·ab; (3)(x-3y)(xy2)2;(4)x(y-z)-y(z-x)+z(x-y). [答案:(1)-12x3-4x2　(2)a2b3-a2b2　 (3)x3y4-3x2y5　(4)2xy-2yz] 例2　计算: (1)3x2·(-3xy)2-x2(x2y2-2x); (2)2a·(a2+3a-2)-3(a3+2a2-a+1); (3)xn·(xn+1-xn+xn-1-1); (4)t3-2t[t2-2(t-3)]. [答案:(1)26x4y2+2x3　(2)-a3-a-3　 (3)x2n+1-x2n+x2n-1-xn　(4)-t3+4t2-12t] 活动 二: 探究 与 应用 例3　先化简,再求值:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4),其中a=-2. 解:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4) =6a3-12a2+9a-6a3-8a2 =-20a2+9a. 当a=-2时,原式=-20×(-2)2+9×(-2)=-98. 解题过程中引导学生关注:单项式与多项式相乘的依据是分配律,运算过程中积的符号容易出错,特别是多项式每一项前面的符号就是这一项的符号,运算中要注意多项式的每一项及单项式的符号;单项式与多项式相乘的结果是一个多项式,它的项数和原多项式的项数相同. 　　例题可体现知识的延伸,使学生养成提出新数学问题的习惯. 【拓展提升】 例4　要使(x2+ax+5)(-6x3)的展开式中不含x的四次项,则a应等于 (D) A.1　　　　　B.-1　　　　　C.　　　　　D.0 例5　解方程:8x(5-x)=19-2x(4x-3). [答案:x=] 教师活动:教师引导学生进行探索,必要时进行适当的启发和提示. 例6　求证:对于任意自然数n,n(n+7)-n(n-5)+6都能被6整除. 证明:n(n+7)-n(n-5)+6=n2+7n-n2+5n+6=12n+6=6(2n+1). ∵n为任意自然数,∴2n+1为整数. ∴对于任意自然数n,n(n+7)-n(n-5)+6都能被6整除. 以上三道例题同时呈现,由学生根据自己的情况选做其中的1~3道,选做题尽量独立完成,其他题目可以通过小组讨论完成. 　　知识的综合与拓展,提高学生的应考能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.计算6x(3-2x)的结果是 (A) A.-12x2+18x　　　　　B.-12x2+3 C.16x D.6x 2.计算5x(x2-2x+4)+x2(x+1)的结果是 (C) A.6x3-10x2+20x B.5x3-11x2+20x C.6x3-9x2+20x D.5x3-10x2+20x 3.计算:(-2x3y)(3xy2-4xy+1)=　-6x4y3+8x4y2-2x3y　.  4.若2x(x-2)=ax2+bx,则ba=　16　.  5.化简: (1)(-2a2)(3ab2-5ab3); (2)x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5); (3)x2(x-1)+2x(x2-2x+3). [答案:(1)-6a3b2+10a3b3　(2)-3x2+16x　(3)3x3-5x2+6x] 　　当堂训练,及时反馈学习效果. 【课堂总结】 1.单项式与多项式相乘的法则:一般地,单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 2.单项式与多项式相乘,应注意两点:(1)不漏乘;(2)符号不要出错. 　　注重课堂小结,激发学生参与的主动性,为每一个学生的发展与表现创造机会. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 引入时教师要注意讲解转化思想的重要作用,提出转化思想是我们数学学习中的一种非常重要的数学思想,在将来的学习中,它会成为我们的得力助手. ②[讲授效果反思] 运算时,教师要提醒学生注意积的符号,多项式中的每一项前面的“+”“-”号是性质符号,单项式乘多项式各项的结果,要用“+”号连接,最后写成省略括号和加号的形式. ③[师生互动反思] 在师生互动中要关注学生容易出错的地方,如单项式与多项式相乘,其项数与因式中多项式的项数相同,可以以此来检验在运算中是否漏乘某项. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 第3课时　多项式与多项式相乘 课题 第3课时　多项式与多项式相乘 授课人 学 习 目 标 1.让学生理解多项式与多项式相乘的法则,能够按多项式乘法的运算步骤进行简单的乘法运算. 2.经历探索多项式与多项式相乘的法则的推理过程,体会其运算的算理. 3.应用多项式与多项式相乘的法则解决实际问题. 4.通过推理,培养学生的计算能力,发展有条理的思考能力,逐步形成主动探索的习惯. 学习 重点 多项式与多项式相乘的法则的理解及应用. 学习 难点 多项式乘法法则的综合运用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 思考并回答: 1.如何进行单项式与多项式乘法的运算? 2.进行单项式与多项式乘法运算时,要注意什么? 3.计算:(1)6mn(2m+3n+1);(2)(-16x)(x2-3y). 教师要提醒学生注意: 1.在做练习时,尽量不要直接套用公式,要说明每一步的运算理由,进一步体会乘方的意义与幂的意义; 2.去括号后积的符号. 　　本环节的设计,主要帮助学生巩固旧知,让学生在实践中复习运算法则. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图16-2-8,为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长a m、宽p m的长方形绿地,加长了b m,加宽了q m.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积? 图16-2-8 教师活动:要求学生根据图中的数据,求一下这个长方形的面积. 学生活动:与同伴交流,计算出它的面积. 　　从学生已有的知识出发,让学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 多项式与多项式相乘 继续思考【课堂引入】中的问题: 1.如果把整个图形看作一个大的长方形,它的长、宽分别是多少?面积怎样表示? 2.如果把它看作四个小的长方形,那么面积又该怎样表示呢? 学生活动:分成小组,合作探究,求出面积. 3.根据上面的分析,你能得到什么结论? 4.依据上面求得的图形面积,探索(a+b)(p+q)应该等于什么. 分析:可以先把其中的一个多项式[如(p+q)]看成一个整体,运用单项式与多项式相乘的法则,得(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q),再利用单项式与多项式相乘的法则,得a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq. 师生共识:一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 字母呈现: 　　1.通过动手操作,培养学生的实践应用能力. 2.恰当地渗透数形结合思想,将抽象的代数运算直观化,使学生易于理解、容易接受. 【应用举例】 例1　计算: (1)(a+3)(a-2); 　　　(2)(3x+1)(x+2); (3)(x-8y)(x-y); 　　 (4)(a+b)(a2-ab+b2). [答案:(1)a2+a-6　 (2)3x2+7x+2 (3)x2-9xy+8y2　 (4)a3+b3] 例2　先化简,再求值:(4x+3y)(4x-3y)+(2x+y)(3x-5y),其中x=1,y=-2. [答案:原式=22x2-7xy-14y2　当x=1,y=-2时,原式=-20] 　　1.通过例题,可使学生学会解题格式与思考过程. 2.让学生参与到教学活动之中,领会多项式乘法的运算方法以及需注意的问题. 3.注意结果中如果有同类项,要合并同类项,将结果化为最简. 【拓展提升】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3　若(x+t)(x-6)的积中不含有x的一次项,则t的值为(B) A.0 B.6 C.-6 D.-6或0 变式　若(x+1)(x+a)=x2+bx-4,则 (D) A.a=4,b=3 B.a=-4,b=3 C.a=4,b=-3 D.a=-4,b=-3 学生在独立思考的基础上,以小组合作形式思考变式题,教师巡视参与讨论,选派两组代表展示解法,师生共同订正. 　　1.知识的综合与拓展,提高学生的应考能力. 2.通过变式题,训练学生的发散思维,体会对应思想和方程思想的具体应用. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.计算(a-2)(a+3)的结果是 (B) A.a2-6 B.a2+a-6 C.a2+6 D.a2-a+6 2.计算(2x2-4)(2x-1-x)的结果是 (D) A.-x2+2 B.x3+4 C.x3-4x+4 D.x3-2x2-2x+4 3.如图16-2-9,长方形ABCD的面积为　x2+5x+6　(用含x的式子表示).  图16-2-9 　　设计这些练习题使学生明确:(1)多项式的每一项包括其前面的符号;(2)多项式与多项式相乘的结果仍是多项式,在合并同类项之前,积的项数等于两个多项式项数的积. (续表) 活动 三: 课堂 总结 反思 4.如果(x+a)(5x+1)的乘积中,x的一次项系数为3,那么a= 　.  5.(1)(x-2)(x-3)=　　　　;  (2)(x+4)(x-1)=　　　　;  (3)(y-2)(y+4)=　　　　;  (4)(y-9)(y-3)=　　　　;  (5)小聪由上面的计算结果发现一个公式,请你用字母帮他表示出来. [答案:(1)x2-5x+6　(2)x2+3x-4　(3)y2+2y-8　 (4)y2-12y+27　(5)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab] 6.计算:(1)(x-3y)(x+7y);(2)(2x+5y)(3x-2y). [答案:(1)x2+4xy-21y2　(2)6x2+11xy-10y2] 【课堂总结】 1.多项式与多项式相乘,应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果,利用分配律来理解(a+b)与(p+q)相乘的结果,导出多项式与多项式相乘的法则. 2.多项式与多项式相乘,第一步要先进行整理,在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项时,要“依次”进行,不重复,不遗漏,且各个多项式中的项不能自乘.多项式是几个单项式的和,每一项都包括前面的符号,在计算时要正确确定积中各项的符号. 　　注重课堂小结,激发学生参与的主动性,为每一个学生的发展与表现创造机会. 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 由实际问题导入新课,形象地展示了两个简单的二项式相乘的情况,渗透了数形结合思想.在后面的学习中,把直观感受与数学原理相结合,深化了对多项式与多项式相乘的法则的认同度. ②[讲授效果反思] 教学中要强调多项式与多项式相乘的法则,提醒学生注意多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.多项式是几个单项式的和,每一项都包括前面的符号,在计算时要正确确定积中各项的符号. ③[师生互动反思] 在教学过程中,教师要注意渗透数学思想方法,师生要共同体会整体思想与转化思想的作用,比如引导学生发现多项式与多项式相乘的法则时,第一步是“转化”为单项式与多项式相乘,第二步则是“转化”为单项式乘法. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 第4课时　整式的除法 课题 第4课时　整式的除法 授课人 学 习 目 标 1.经历探索同底数幂除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,理解0次幂. 2.使学生掌握单项式除以单项式和多项式除以单项式的方法. 3.在进一步体会幂的意义的过程中,发展学生的推理能力和有条理的表达能力. 4.探索多项式除以单项式的方法,培养学生的创新精神. 5.运用单项式除以单项式、多项式除以单项式的方法进行计算,积累研究数学问题的经验. 6.从探索运算法则的过程中获得成功的体验,培养学生的创新精神和能力. 学习 重点 单项式除以单项式、多项式除以单项式方法的总结以及运用方法进行计算. 学习 难点 多项式除以单项式方法的探求以及运用方法进行计算. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 复习提问: 1.叙述并写出幂的运算性质及怎样用公式表示. 2.叙述单项式与单项式相乘的法则. 3.叙述单项式与多项式相乘的法则. 4.叙述多项式与多项式相乘的法则. 5.练习: 计算:(1)(-a)3(-a)2;(2)(ab)5·a3;(3)(x-3y)(x-y). 　　学生回忆并回答,以达到温故知新的目的. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 人们以分贝为单位来表示声音的强弱.通常说话的声音是50分贝,它表示声音的强度是105;摩托车发出的声音是110分贝,它表示声音的强度是1011,摩托车发出的声音强度是说话声音强度的多少倍? 根据题意,请同学们列出算式,可得1011÷105,它是两个同底数幂相除,那么如何进行计算呢? 　　激发学生强烈的好奇心和求知欲,使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 同底数幂的除法 1.算一算: (1)25×23=(　　);　　　　　　(2)(　　)×23=28; x6·x4=(　　); x6·(　　)=x10; 2m×2n=(　　). (　　)×2n=2m+n. 2.想一想: (1)28÷23=(　　);(2)x10÷x6=(　　);(3)2m+n÷2n=(　　). 3.猜一猜:am÷an=?(a≠0,m,n都是正整数,m>n). 学生活动:学生独立思考,利用除法的意义填空,根据自己所填结果,探索、归纳同底数幂的除法运算性质. 教师活动:教师引导学生自主探索,发现规律,归纳同底数幂的除法运算性质. am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,m>n). 即同底数幂相除,底数不变,指数相减. 【探究2】 0次幂 想一想:am÷am=?(a≠0) 填空:(1)55÷55=　　　　;(2)107÷107=　　　　;  (3)a6÷a6=　　　　(a≠0).  师生活动:学生独立完成填空,根据所填结果,教师引导学生根据同底数幂的除法运算性质得出结论: a0=1(a≠0). 即任何不等于0的数的0次幂都等于1. 在这个过程中要让学生理解a不能等于0的原因. 【探究3】 单项式除以单项式 1.试一试: (1)3a2·(　　)=6a3b2c;(2)(　　)·7x2y3=-x3y7. 2.利用乘法和除法互为逆运算的关系回答下面的问题: (1)(6a3b2c)÷(3a2)=(　　);(2)(-x3y7)÷(7x2y3)=(　　). 3.观察结果中的系数,字母及字母的次数有何规律? 学生分小组讨论、交流,概括两个单项式相除的法则: 一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. 【探究4】 多项式除以单项式 有了单项式除以单项式的经验,你会做多项式除以单项式的运算吗? 问题1:一幅长方形油画的长为a+b,宽为m,求它的面积. 答:面积为(a+b)m=am+bm. 问题2:若已知一幅长方形油画的面积为am+bm,宽为m,求它的长. 答:(am+bm)÷m. 问题3:如何计算(am+bm)÷m? 分析:计算(am+bm)÷m就是相当于求(　　　　)·m=am+bm,因此不难想到括号里应填a+b. 问题4:由此我们能得到什么结论? 答:(am+bm)÷m=a+b. 问题5:计算am÷m+bm÷m=? 答:a+b. 问题6:我们又能得到什么结论? 答:(am+bm)÷m=am÷m+bm÷m=a+b. 问题7:能用文字语言描述你的发现吗? 归纳多项式除以单项式的法则: 一般地,多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 　　1.教师引导学生归纳出同底数幂的除法、单项式相除以及多项式除以单项式的方法. 2.教学中注意学生自己归纳概括,使之印象深刻. 3.以问题串的形式逐步递进,让学生体会数学知识之间的必然联系,领悟知识的发生、发展及形成过程. (续表) 活动 二: 探究 与 应用 把多项式除以单项式的问题转化为单项式除以单项式的问题. 师生活动:教师提出问题,学生以教师提问为线索,逐步探索出多项式除以单项式的法则. 【应用举例】 例1　计算: (1)x8÷x2;(2)(ab)5÷(ab)2. [答案:(1)x6　(2)a3b3] 例2　计算: (1)(28x4y2)÷(7x3y);(2)(-5a5b3c)÷(15a4b); (3)(12a3-6a2+3a)÷3a. [答案:(1)4xy　(2)-ab2c　(3)4a2-2a+1] 师生活动:教师提示,学生解答. 变式　计算: (1)(2a2)4÷(a3)2; (2)12(a-b)5÷3(a-b)2·(a-b); (3)(3y-x)3÷(x-3y)2. [答案:(1)16a2　(2)4(a-b)4　(3)3y-x] 例3　先化简,再求值:(x+y)(x-y)-(4x3y-8xy3)÷2xy,其中x=1,y=-3. [答案:原式=-x2+3y2　当x=1,y=-3时,原式=26] 　　例题教学使学生对整式除法的运算更加熟练. 【拓展提升】 例4　(1)已知xa=32,xb=4,求xa-b的值; (2)已知xm=5,xn=3,求x2m-3n的值; (3)若32×92a+1÷27a+1=81,求a的值. [答案:(1)8　(2)　(3)3] 归纳总结: 同底数幂的除法法则的逆向形式:am-n=am÷an(a≠0,m,n都是正整数,m>n). 底数a可以是单项式,也可以是多项式. 归纳总结: 1.要熟练地进行多项式除以单项式的运算,必须掌握它的基础运算,幂的运算性质是整式乘除法的基础,只有抓住问题的关键,才能准确地进行多项式除以单项式的运算. 2.符号仍是运算中的重要问题,用多项式的每一项除以单项式时,要注意每一项的符号和单项式的符号. 3.可以利用乘除是互逆运算验证计算是否正确,每一步运算都尽量说出依据. 　　1.知识的综合与拓展,提高学生的应考能力. 2.对于三个或三个以上的同底数幂相除,仍然适用运算性质:am÷an÷ap=am-n-p(a≠0,m,n,p都是正整数,并且m>n+p). 3.利用单项式除法法则计算时,要弄清两个单项式的系数各是什么,哪些是同底数幂,哪些是只在被除式里出现的字母,此外,还要特别注意系数的符号. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.下列运算正确的是 (C) A.a2·a3=a6　　　　　　　　 B.(-a2)3=-a5 C.a10÷a9=a(a≠0) D.(-bc)4÷(-bc)2=-b2c2 2.计算6m6÷(-2m2)3的结果为 (D) A.-m　　　　B.-1　　　　 C.　　　　D.- 3.下列计算正确的是 (C) A.x6÷x2=x3 B.(-x)6÷(-x)4=-x2 C.(36a3b4)÷(9a2b)=4ab3 D.(2x3-3x2-x)÷(-x)=-2x2+3x 活动 三: 课堂 总结 反思 4.计算:(3a2b-ab2)÷(-ab)=　-6a+b　.  5.计算: (1)(x-y)7÷(y-x)6+(-x-y)3÷(x+y)2; (2)(2x2y)3·(-7xy2)÷(14x4y3); (3)(-0.25a2b-a3b2-a4b3)÷(-0.5a2b). [答案:(1)-2y　(2)-4x3y2　(3)+ab+a2b2] 6.先化简,再求值:(a2b-2ab2-b3)÷b-(a+b)(a-b),其中a=,b=-1. [答案:原式=-2ab　当a=,b=-1时,原式=1] 　　当堂训练,及时反馈学习效果. 【课堂总结】 1.同底数幂的除法法则,0次幂的意义. 2.单项式除以单项式,有什么方法? 3.多项式除以单项式,有什么规律? 4.单项式除以单项式的运算,要注意: (1)系数相除与同底数幂相除的区别:后者运算时是将指数相减,而前者是有理数的除法. (2)对于单项式除以单项式,仅仅考虑整除的情况. 5.多项式除以单项式的运算应注意的问题:一是所得的商要写成省略括号和加号的形式,二是除式与被除式不能交换,还要注意运算顺序. 　　课堂总结,发展潜能. 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 从实际问题导入,让学生感受数学与生活的密切联系,并由此建立数学模型.对新知识的研究过程,逐层递进,环环相扣,体现了知识的产生、延伸与拓展,配以适量适度的习题训练,强化对知识的理解与吸收. ②[讲授效果反思] 通过对新知识的探索与应用练习,锻炼了学生思维的连贯性和发散性.在解题过程中,比较幂的各种运算性质,体会它们之间的联系与区别,同时对于指数、“-”号、分数等容易出错的地方倍加小心,有效锻炼和提高了学生的运算能力. ③[师生互动反思] 在已经学习了幂的乘法运算性质以及整式乘法运算法则的基础上,教师大胆放手,引导学生探索同底数幂的除法、单项式相除、多项式除以单项式等运算性质,鼓励学生自主探究,遇到困难进行合作攻关,共同提升.教师组织学生展示交流,并在关键处进行点拨. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $