精品解析：上海市高中四大名校2025年自主招生考试数学综合测试题

上海市高中四大名校 2025年自主招生考试数学综合测试题 （考试时间：60分钟；试卷满分：100分） 一、填空题（1-4题每题6分，5-8题每题7分） 1. 已知正数，，，满足，则______． 2. 的方程有实数根，那么的取值范围是______． 3. 实数和满足，则______． 4. 一组数据1，2，■，4，■，6，7，其中有两个数据被涂黑，平均值为4，那么这组数据方差的最小值为______． 5. 如图，正方形的边长为3，其内部有一个等腰直角三角形，其中，斜边长为，可以在正方形中任意滑动，始终保持垂直于，那么这个三角形的重心能扫到的面积为______． 6. 如图，平面直角坐标系中有一菱形，满足．一反比例函数经过点且交线段于点，那么______． 7. 如图，平行四边形的面积为1，，，是平行四边形的两条高，点，，的位置如图所示，满足，且，那么边的长为______． 8. 对于正整数，我们定义：形如的数叫作三角形数，且把与叫作连续的三角形数，已知三个正整数，，满足，，是三个连续的三角形数，那么的最小值是______． 二、解答题（9-10题每题15分，11题18分） 9. 如图，四边形内接于圆，为圆的直径，与的延长线交于点．已知， （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 10. 已知函数，． （1）若，与的图像恰有一个交点，求关于的函数解析式： （2）若，，，与存在两个交点，且这两个交点的横坐标分别为，，问：代数式的值是否和实数有关？说明理由． 11. 一直角三角形的边长为，，．其中为斜边，我们把它叫做初始三角形．现在进行如下的变换：构造两个新的直角三角形，其边长分别为，，与，，．现在，对于边长为3，4，5的直角三角形反复进行上述的变换． （1）第二次变换后，能够获得4个不同的直角三角形．问：这4个直角三角形中有几个直角三角形最小角的正切值小于？ （2）第七次变换后，能够获得254个不同的直角三角形（含之前所有的三角形），已知这254个直角三角形没有一个与初始三角形相似，那么这些三角形中是否有相似的三角形？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市高中四大名校 2025年自主招生考试数学综合测试题 （考试时间：60分钟；试卷满分：100分） 一、填空题（1-4题每题6分，5-8题每题7分） 1. 已知正数，，，满足，则______． 【答案】2025 【解析】 【分析】设出比例系数，利用变量代换求解即可. 【详解】因为，所以，. 所以. 故答案为： 2. 的方程有实数根，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的特点进行等价变化，然后分情况讨论即可. 【详解】由题意知. 又，所以，即. 当时，无解； 当时，，所以. 故答案为： 3. 实数和满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】按照正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值求解. 【详解】①当时，转化为， 解得，此方程组无解； ②当时，转化为， 解得，即，检验：， 满足，. 综上可知，. 4. 一组数据1，2，■，4，■，6，7，其中有两个数据被涂黑，平均值为4，那么这组数据方差的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先设两个被涂黑的数分别为根据平均数为计算出的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差，根据完全平方取值即可求最值. 【详解】先设两个被涂黑的数分别为 根据平均数为，可知，可得， 再根据方差公式， 又因为，可知， 代入可得，所以当且时最小，最小值为. 故答案为： 5. 如图，正方形的边长为3，其内部有一个等腰直角三角形，其中，斜边长为，可以在正方形中任意滑动，始终保持垂直于，那么这个三角形的重心能扫到的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】确定三角形重心的位置与滑动范围，找出的运动轨迹，求出矩形的长和宽,计算即可. 【详解】 如图，的重心运动轨迹即矩形， 过点作于点， ，， ， ，， ， ， 矩形的面积. 故答案为： 6. 如图，平面直角坐标系中有一菱形，满足．一反比例函数经过点且交线段于点，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】设菱形的边长为，由几何关系分别求出曲线和直线方程，再由几何关系求出长度比值即可. 【详解】设菱形的边长为， 因为，所以， 又点在反比例函数图象上，代入可得， 所以反比例函数， 因为， 所以直线的方程为， 联立曲线方程可得，解得，负值舍去， . 故答案为：. 7. 如图，平行四边形的面积为1，，，是平行四边形的两条高，点，，的位置如图所示，满足，且，那么边的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据及其角度关系推出，得到比例关系，设，结合全等及基本的线段长度关系推导出，并进一步求出QE的值，再在直角三角形JEQ中，根据勾股定理解出JQ的值，最后据此解出BC的值． 【详解】， ， ， ， ， ， ， ， 因为平行四边形ABCD的面积为1，，是平行四边形的两条高， ， ， 设,则， ， ， ， 解得，所以， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 8. 对于正整数，我们定义：形如的数叫作三角形数，且把与叫作连续的三角形数，已知三个正整数，，满足，，是三个连续的三角形数，那么的最小值是______． 【答案】237 【解析】 【分析】设，再解出a、b、c关于k的表达式，根据a、b、c为正整数，分析k的取值规律，并根据a、b、c关于k的增减关系来判断何时取最小值． 【详解】因为，则， 因此可设， 所以， 即， ， ， ， 当，则，因为a为正整数， 所以m为偶数，即令，此时， ，，且此时a、b、c随t的增大而增大， 当，即时，a、b、c最小，分别为， 验证：，满足题意， 此时； 当，则，因为a为正整数， 所以n为偶数，即令，此时， ，，且此时a、b、c随s的增大而增大， 当，即时，a、b、c最小，分别为， 验证：，满足题意， 此时； 综上所述，当时，最小，最小值为237． 故答案为：237． 二、解答题（9-10题每题15分，11题18分） 9. 如图，四边形内接于圆，为圆的直径，与的延长线交于点．已知， （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明： 连接，因为，所以; 又因为，所以; 所以; 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）连接,先证明，可得到. （2）利用三角形相似求出，,，作, 利用三角函数得到，，. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为四边形内接于圆， ; 所以，； 所以; 又因为, 所以, 所以， 因为 所以 ，所以 所以，所以; 因为，所以 ， 所以，即，所以, 作, 所以 , 利用 ,所以 所以,所以 同理可得, 即四边形的面积为. 10. 已知函数，． （1）若，与的图像恰有一个交点，求关于的函数解析式： （2）若，，，与存在两个交点，且这两个交点的横坐标分别为，，问：代数式的值是否和实数有关？说明理由． 【答案】（1） （2）无关，理由如下： 当，，时，，由，得； 因为与存在两个交点，且这两个交点的横坐标分别为，，所以， 所以； 由，解得或； 所以， 所以代数式的值为和实数无关. 【解析】 【分析】（1）联立一次函数与二次函数的方程，利用判别式等于0建立与的关系式，化简后即可求得关于的函数解析式； （2）联立一次函数与二次函数的方程，根据与存在两个交点，再由判别式大于0的条件保证交点的存在性，最后由根与系数的关系可得，代入化简即可. 【小问1详解】 当时，，由，得； 因为与的图像恰有一个交点，所以，所以，故关于的函数解析式为. 【小问2详解】 无关，理由略. 11. 一直角三角形的边长为，，．其中为斜边，我们把它叫做初始三角形．现在进行如下的变换：构造两个新的直角三角形，其边长分别为，，与，，．现在，对于边长为3，4，5的直角三角形反复进行上述的变换． （1）第二次变换后，能够获得4个不同的直角三角形．问：这4个直角三角形中有几个直角三角形最小角的正切值小于？ （2）第七次变换后，能够获得254个不同的直角三角形（含之前所有的三角形），已知这254个直角三角形没有一个与初始三角形相似，那么这些三角形中是否有相似的三角形？说明理由． 【答案】（1）没有直角三角形的最小角的正切值小于. （2）没有，理由如下： 如图所示： 由上图可得：， 所以且为正整数，且互质， 若存在直角三角形相似，因为为锐角，所以，所以， 所以，由题意知，所以不存在直角三角形相似. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别列出第二次得到的直角三角形的三边的长，求得最小角的正切值，即可求解； （2）根据题意，画出图表，得到的值，结合且为正整数，且互质，得到，即，与题设矛盾，即可求解. 【小问1详解】 解：第一次：分别为，分别为； 第二次：分别为，分别为； 分别为，分别为， 其中最小角的正切值分别为， 综上所述，没有直角三角形的最小角的正切值小于. 【小问2详解】 不存在直角三角形相,理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $