精品解析：山东省日照市北京路中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷

初三数学过程性诊断评价 考试时间120分钟 满分120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图是4000多年前龙山文化中的蛋壳黑陶高柄杯．它的器壁非常薄，口沿最薄处在0.2－0.5毫米之间．“黑如漆、明如镜、薄如纸、声如磬”这12个字点透了它的精髓所在．以下关于该蛋壳黑陶高柄杯的说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据三视图概念（主视图：是指从物体的正面观察，物体的影像投影在背后的投影面上得到的视图；俯视图：由物体上方向下做正投影得到的视图；左视图：左视图是指视点在物体的左侧，投影在物体的右侧的视图；）进行观察判断，即可解题． 【详解】解：该蛋壳黑陶高柄杯的主视图和左视图为如题干所示的平面图形， 该蛋壳黑陶高柄杯的俯视图同心的圆， 故该蛋壳黑陶高柄杯的主视图与左视图相同， 故选：B． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例性质求分式值，熟记比例性质是解决问题的关键． 根据已知比例关系，设参数表示和，代入分式计算即可得到答案． 【详解】解：∵， 则设，，其中， ∴， 故选：A． 3. 如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，以及二次函数图象，解题的关键是根据反比例函数的性质确定的正负．首先根据反比例函数所在象限确定，再根据确定抛物线的开口方向和与轴交点位置，即可选出答案． 【详解】解：选项A：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项B：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与轴交点应在原点下方，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项C：反比例函数的图象经过第一、三象限，则，此时函数的开口向上，与所示图象不符，本选项不符合题意； 选项D：反比例函数的图象经过第二、四象限，则，此时函数的开口向下，与轴交点应在原点上方，与所示图象相符，本选项符合题意； 故选D． 4. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 它的图象在第二、四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，对于反比例函数，可得，图象在第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大，逐项分析判断． 【详解】解：当时， ，即点 在反比例函数图象上，A正确； ，故反比例函数图象在第二、四象限，B正确； 当时， 随的增大而增大，C正确； 当时， ，即 ，D不正确； 故选：D． 5. 如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得， A、当时，不能推断，故本选项符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，，则，故本选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等边对等角、余弦的定义等知识点，发现是解题的关键． 由勾股定理可得、，易得，由等边对等角可得，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：依题意，如图所示： 设小正方形网格的边长为1， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某 数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点,测得潮汐塔底端的俯角为(点，，，在同一平面内)，则潮汐塔的高度为( )(结果精确到，参考数据：,,) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，延长交于点，根据等腰直角三角形的性质可知，根据的长度即可求出，利用的正切求出的长度，利用即可求出潮汐塔的高度． 【详解】解：延长交于点， 则有， 无人机在距水平地面， ， ， 是等腰直角三角形， ， 无人机从点沿水平方向飞行到达点， ， ， 在中，，， ， ， ． 故选：C． 8. 如图，矩形纸片中，，，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质．由矩形的性质可得，，，通过证明，可得 ，即可求解． 【详解】解：设与交于点H， ∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F，若正方形的面积为32，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定．过点作于点，根据正方形的性质推出，，，再根据平行线分线段成比例得出，进而得到，即可根据四边形的面积得解． 【详解】解：过点作于点， 正方形的面积为32，对角线，相交于点， ，， 是的中点， ， 是正方形的对角线， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 10. 为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，的阻值为 B. 当托盘上货物的质量为时， C. 在一定范围内，随的增大而减小 D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 根据所给函数图象即可判断选项A、C，再求出当时，观察图象即可判断选项B，当时，的阻值为，此时有最大值，进行计算即可判断选项D． 【详解】解：根据图2得，当时，的阻值为，故选项A说法正确； 当托盘上货物的质量为时，令，， 观察图象可知当时，在和之间， 故选项B说法错误，符合题意； 在一定范围内，随的增大而减小，故选项C说法正确； 当时，的阻值为，最小，此时有最大值，即， 解得：， 即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确； 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为位似中心，按位似比把缩小，则点A对应点的坐标为_______________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，结合题意即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，，以原点O为位似中心，按位似比把缩小， ∴位似系数为或， 当位似系数为时，点的对应点的坐标为，即； 当位似系数为时，点的对应点的坐标为，， 综上，点A对应点的坐标分别为或， 故答案为：或． 12. 如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角的正切值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，正多边形的性质，求角的正切值，根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得该正多边形每一个外角的度数为，然后求出中心角是，最后根据正切的定义即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴该正多边形的一个外角的度数为， ∴该正多边形的边数为， ∴该正多边形的中心角是， ∵， ∴这个正多边形的中心角的正切值是． 故答案为：． 13. 如图，在中，，以点为圆心，为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的画法，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．由作图可知，平分，由，，可得，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 整理得，， 解得（舍去）， ， 故答案为：． 14. 如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点，点在延长线上，与相交于点．若，，则菱形的面积为__________． 【答案】96 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案． 【详解】解：作交于点H，则， ∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：96． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．则线段的最大值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了点与圆上一点的距离最值问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质；能利用相似三角形的判定及性质找出取得最值的条件是解题的关键． 点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，在轴上取，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，当取得最大值时，取得最大值，连接并延长交圆于，此时取得最大值，，即可求解． 【详解】解：如图，点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， 在轴上取， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当取得最大值时，取得最大值， 如图，连接并延长交圆于， 此时取得最大值，， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上，边上有一点在反比例函数的图象上，连接并延长交轴于点，连接．若的面积是8，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，由矩形的性质可得，，则可证明，进而可证明，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象分布在第二象限， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共72分． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）3 （2）6 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，算术平方根，零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）首先化简绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数，负整数指数幂，然后计算加减； （2）首先计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值和特殊角的三角函数，然后计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 在中，平分，按以下步骤进行尺规作图： ①以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，以长为半径画弧交于点； ③以点为圆心，以长为半径画弧交前弧于点； ④作射线交于点D． 请根据上述尺规作图过程， （1）证明：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） 证明：由作法得， 平分， ， ，， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，三角形的外角性质，等边对等角，相似三角形的判定及性质等；掌握三角形外角性质，，等边对等角，相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）结合作法及角平分线，并由三角形的外角性质得，即可得证； （2）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ． 19. 设函数，函数（，，b是常数，，）． （1）若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)， ①求函数，的表达式： ②当时，比较与的大小（直接写出结果）． （2）若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 【答案】（1）①，；② （2）1 【解析】 【分析】（1）①把点B(3，1)代入，可得；可得到m=3，再把点，点B(3，1)代入，即可求解；②根据题意，画出函数图象，观察图象，即可求解； （2）根据点在函数的图象上，可得，再根据点的平移方式可得点D的坐标为，然后根据点D恰好落在函数的图象上，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：①把点B(3，1)代入，得， ∴． ∵函数的图象过点， ∴， ∴点B(3，1)代入，得： ，解得， ∴． ②根据题意，画出函数图象，如图∶ 观察图象得∶当时，函数的图象位于函数的下方， ∴． 【小问2详解】 解∶∵点在函数的图象上， ∴， ∵点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D， ∴点D的坐标为， ∵点D恰好落在函数的图象上， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质是解题的关键． 20. 臂架泵车（如图）是一种用于建筑工程中混凝土输送和浇筑的特种工程车辆，集混凝土泵送、臂架伸展和移动功能于一体，广泛应用于高层建筑、桥梁、隧道等施工场景．图2是其输送原理平面图，进料口到建筑楼的水平距离为米，到地面的垂直距离为米，，，，为输送臂，可绕，，，旋转，已知输送臂垂直地面且米，米，米，，． （1）的长约为________；（直接写出答案） （2）求出料口到地面的距离． （参考数据：，，，） 【答案】（1）； （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 过点作，利用锐角三角函数可得，根据等腰三角形的性质可得米； 过点作，垂足为，利用勾股定理可以求出米，根据进料口到建筑楼的水平距离为米，可得米，根据可证，根据全等三角形的性质可得进料口到地面的距离为（米）． 【小问1详解】 解：如下图所示，过点作， ，， ，， ， (米)， 故答案为：米； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作，垂足为， 在中， 米， 米， 米， ， 在和中， ， ， 到地面的距离为（米）， 到地面的距离为米． 21. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴EF与相切； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为4，则， 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22. 【概念认知】： 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(，)和B(，)，用以下方式定义两点间距离：d(A，B)＝＋． 【数学理解】： （1）①已知点A(﹣2，1)，则d(O，A)＝ ；②函数(0≤x≤2)的图像如图①所示，B是图像上一点，d(O，B)＝3，则点B的坐标是 ． （2）函数(x＞0)的图像如图②所示，求证：该函数的图像上不存在点C，使d(O，C)＝3． （3）函数(x≥0)的图像如图③所示，D是图像上一点，求d(O，D)的最小值及对应的点D的坐标． 【问题解决】： （4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由） 【答案】（1）【数学理解】：① 3， ② (1，2) ； （2）假设函数的图像上存在点，使. 根据题意，得. 因为，所以. 所以. 方程两边乘，得. 整理，得. 因为， 所以方程无实数根. 所以函数的图像上不存在点，使. （3）有最小值3，此时点的坐标是（2，1）； 【问题解决】： （4）理由：设过点的直线与轴相交于点.在景观湖边界所在曲线上任取一点，过点作直线与轴相交于点.因为，所以.同理.因为，所以.因此，上述方案修建的道路最短. 【解析】 【分析】（1）①根据定义可求出d（O，A）＝|0＋2|＋|0−1|＝2＋1＝3；②由两点间距离：d（A，B）＝|x1−x2|＋|y1−y2|及点B是函数y＝−2x＋4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B的坐标； （2）由条件知x＞0，根据题意得，整理得x2−3x＋4＝0，由△＜0可证得该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3． （3）根据条件可得|x|＋|x2−5x＋7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值； （4）以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝−x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，可由d（O，P）≥d（O，E）证明结论即可． 【详解】解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0＋2|＋|0−1|＝2＋1＝3； ②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0−x|＋|0−y|＝3， ∵0≤x≤2， ∴x＋y＝3， ∴， 解得： x＝1，y＝2， ∴B（1，2）， （2）略 （3）设. 根据题意，得. 因为，又， 所以. 所以当时，有最小值3，此时点的坐标是. （4）如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.将函数的图像沿轴正方向平移.直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止.设交点为，过点作，垂足为.修建方案是：先沿方向修建到处，再沿方向修建到处. 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及的知识点有新定义，解方程（组），二次函数的性质，一次函数与反比例函数等，涉及知识点较多，较为复杂，熟练掌握相关知识是解题关键． 23. 已知四边形中，E、F分别是边上的点，与交于点G． 【问题发现】（1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则 ； 【拓展研究】（2）如图2，当四边形是矩形时，且于，则 ； 【解决问题】（3）老师上课时提出这样的问题：如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：； 小圳同学冥思苦想不得其解，提问到：在做题过程中，我先将转化成：，发现与显然不相似，所以没办法直接得出，怎么办呢？ 老师提示说：你是不是可以考虑引入一个桥梁或者考虑下添加辅助线来帮助解题呢？ 同学们，请你帮助小圳同学解决此题，写出完整证明过程； （4）如图4，若于G，请直接写出的值． 【答案】（1）1； （2）； （3）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， 如图，在的延长线上取点，使，         则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （4） 【解析】 【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到，利用全等三角形对应边相等即可得解； （2）由四边形为矩形，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到，利用相似三角形对应边成比例即可得解； （3）在的延长线上取点，使，利用平行线的性质，以及同角的补角相等得到，利用相似三角形对应边成比例即可得证． （4）过点C作于点M，作于点N，连接，设，利用三角形全等，相似和勾股定理，解得即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）∵四边形是矩形，，， ∴，,， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）略 （4）过点C作于点M，作于点N，设， ， 四边形为矩形， ∴，， ∴， 为公共边， ， ， ， ， ，即， ， 在中，， 即， 解得（舍），或， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用各图形的性质和定理进行推理是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学过程性诊断评价 考试时间120分钟 满分120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图是4000多年前龙山文化中的蛋壳黑陶高柄杯．它的器壁非常薄，口沿最薄处在0.2－0.5毫米之间．“黑如漆、明如镜、薄如纸、声如磬”这12个字点透了它的精髓所在．以下关于该蛋壳黑陶高柄杯的说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 它的图象在第二、四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时， 5. 如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ）． A. B. C. D. 7. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某 数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点,测得潮汐塔底端的俯角为(点，，，在同一平面内)，则潮汐塔的高度为( )(结果精确到，参考数据：,,) A. B. C. D. 8. 如图，矩形纸片中，，，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，对角线相交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F，若正方形的面积为32，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，的阻值为 B. 当托盘上货物的质量为时， C. 在一定范围内，随的增大而减小 D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为位似中心，按位似比把缩小，则点A对应点的坐标为_______________ 12. 如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角的正切值是______． 13. 如图，在中，，以点为圆心，为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则长为___________． 14. 如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交于点，点在延长线上，与相交于点．若，，则菱形的面积为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．则线段的最大值为_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上，边上有一点在反比例函数的图象上，连接并延长交轴于点，连接．若的面积是8，则的值为_______． 三、解答题：本题共7小题，共72分． 17. 计算： （1） （2） 18. 在中，平分，按以下步骤进行尺规作图： ①以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，以长为半径画弧交于点； ③以点为圆心，以长为半径画弧交前弧于点； ④作射线交于点D． 请根据上述尺规作图过程， （1）证明：； （2）已知，，求的值． 19. 设函数，函数（，，b是常数，，）． （1）若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)， ①求函数，的表达式： ②当时，比较与的大小（直接写出结果）． （2）若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 20. 臂架泵车（如图）是一种用于建筑工程中混凝土输送和浇筑的特种工程车辆，集混凝土泵送、臂架伸展和移动功能于一体，广泛应用于高层建筑、桥梁、隧道等施工场景．图2是其输送原理平面图，进料口到建筑楼的水平距离为米，到地面的垂直距离为米，，，，为输送臂，可绕，，，旋转，已知输送臂垂直地面且米，米，米，，． （1）的长约为________；（直接写出答案） （2）求出料口到地面的距离． （参考数据：，，，） 21. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求的长． 22. 【概念认知】： 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A(，)和B(，)，用以下方式定义两点间距离：d(A，B)＝＋． 【数学理解】： （1）①已知点A(﹣2，1)，则d(O，A)＝ ；②函数(0≤x≤2)的图像如图①所示，B是图像上一点，d(O，B)＝3，则点B的坐标是 ． （2）函数(x＞0)的图像如图②所示，求证：该函数的图像上不存在点C，使d(O，C)＝3． （3）函数(x≥0)的图像如图③所示，D是图像上一点，求d(O，D)的最小值及对应的点D的坐标． 【问题解决】： （4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由） 23. 已知四边形中，E、F分别是边上的点，与交于点G． 【问题发现】（1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则 ； 【拓展研究】（2）如图2，当四边形是矩形时，且于，则 ； 【解决问题】（3）老师上课时提出这样的问题：如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：； 小圳同学冥思苦想不得其解，提问到：在做题过程中，我先将转化成：，发现与显然不相似，所以没办法直接得出，怎么办呢？ 老师提示说：你是不是可以考虑引入一个桥梁或者考虑下添加辅助线来帮助解题呢？ 同学们，请你帮助小圳同学解决此题，写出完整证明过程； （4）如图4，若于G，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $