专题02 整式的乘除（10重点+23题型+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材沪教版五四制

专题02 整式的乘除 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：同底数幂的乘法 ◆1、乘方的概念：一般地将n个a相乘的运算叫做乘方．简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时） ◆2、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． ◆3、法则推广：同底数幂的乘法的性质也适用于三个及以上的的同底数幂相乘，即am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）． ◆4、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点二 ：幂的乘方 ◆1、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am n（m，n是正整数）． ◆2、法则推广：幂的乘方的性质可推广为: [（am）]p＝am n p（m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点三 ：积的乘方 ◆1、积的乘方法则：积的乘方等于乘方的积．即（ab）n＝an bn（n是正整数） ◆2、法则推广：积的乘方的性质也适用于三个及以上的因式的积的乘方，即（ab c）n＝an bn c n （m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①在进行积的乘方运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项，特别地，当底数中含有“﹣”号时，应将其视为“﹣1”，作为一个因式参与运算. ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点四 ：整式的乘法 ◆1、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘. 【注意】①系数：积的系数等于系数的积； ②相同字母：相同字母的幂相乘； ③单独字母：连同它的指数作为积的一个因式． ◆2、单项式与整式相乘法则：单项式与整式相乘，用单项式乘整式的每一项，再把所得的积相加. ①用式子表示：p(a + b + c)=pa + p b + p c． ②法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】（1）依据是乘法分配律；（2）积的项数与整式的项数相同. ◆3、整式与整式相乘法则：整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加. ①用式子表示：(a+b)(m+n)=am+an+b m+bn． ②法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】整式与整式相乘的结果仍为整式，若有同类项一定要及时合并同类项，在合并同类项之前，积的项数应该是两个整式的项数之积． 知识点五 ：平方差公式 ◆1、平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 用字母表示为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． ◆2、应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点六 ：完全平方公式 ◆1、完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 用字母表示为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． ◆2、完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． ◆3、应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点七 ：同底数幂的除法 ◆1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 字母表示为：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）． ◆2、同底数幂的除法性质的推广：三个及以上的的同底数幂相除，即am÷an÷ a p＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m＞n+p）． ◆3、同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）． ◆4、同底数幂的乘除法的比较 同底数幂的运算 公式 底数 指数 相乘 aᵐ·aⁿ=am+n(m,n 都是正整数) 不变 相加 相除 am÷an＝am﹣n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n) 不变 相减 【注意】 ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点八 ：零指数幂 性质：任何不等于0 的数的0次幂都等于1. 即：a0 = 1 (a≠0). 【注意】1、只有当底数不为零时，它的零次幂才等于1. 2、底数a可是单项式，也可以是多项式，但不能为0. 知识点九 ：单项式除以单项式 ◆1、单项式除以单项式法则：两个单项式相除, 把系数和同底数的幂分别相除. ◆2、单项式除以单项式分为三个步骤： （1）把系数相除，所得结果做为商的系数； （2）把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式； （3）把只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式． 知识点十 ：整式除以单项式 ◆1、整式与单项式相除法则：整式除以单项式，先用整式的每一项除以单项式，再把所得的 商相加． ◆2、关键：应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式． ◆2、用式子表示：(am+an)÷m=am÷m+b m÷n=a+b． 【注意】 1、计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. 2、计算时不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同． 【题型1 同底数幂的乘法及其逆运算】 高妙技法 1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． 2、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数） 【典例1】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，将等式左边化简为，右边化简为，据此即可得到． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ， 故选 ：D． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）计算（结果用幂的形式表示）： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是将底数互为相反数的形式转换成底数相同的形式； 将 转换为 ，利用同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）已知，则 ： 【答案】 196 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法及幂的乘方是解题的关键；根据指数运算法则，将分解为，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：由已知，，则， 所以． 故答案为196． 【题型2 幂的乘方及其逆运算】 高妙技法 1、运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是整式． 2、幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 3、当指数是积的形式时，考虑逆用同底数幂的乘法的性质. 【典例1】（2025七年级上·上海·专题练习）计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，先计算括号内的平方运算，再处理负号，最后计算立方运算，即可求解. 【详解】解： ． 故答案为 ． 【变式1】已知（a2）m＝a6，那么m＝　 　． 【答案】3． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答． 【详解】解：∵（a2）m＝a6， ∴a2m＝a6， ∴2m＝6， ∴m＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，，，那么，，从小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，乘方，幂的乘方逆用， 通过观察指数55、44、33的最大公因数为11，将每个数表示为11次幂的形式，从而比较底数大小即可． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， 即． 故选项：A． 【题型3 积的乘方及其逆运算】 高妙技法 1、运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方． 2、逆用积的乘方公式时，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用公式进行简便运算． 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）计算：= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，先根据积的乘方和幂的乘方依次去括号，再计算即可. 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·江西九江·期中）的个位数字是(    ) A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【分析】利用幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法运算法则将化为以为底的幂，再根据的正整数次幂个位数字的特征规律解答即可． 【详解】解：， 的个位数字是， 的个位数字是， 的个位数字是， 的个位数字是， … 1220÷4=305， ∴的个位数字是．即的个位数字是 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，通过指数运算性质，先计算并前两项为，再与第三项结合，利用指数法则化简． 【详解】解： 故答案为 ． 【题型4 同底数幂的除法及其逆运算】 高妙技法 1、同底数幂相除，底数不变，指数相减． 2、计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算． 3、同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）． 【典例1】已知（均为正整数），则的值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】C 【分析】本题主要考查了逆用幂的乘方法则、同底数幂的除法法则等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将27和9分别表示为3的幂，利用同底数幂的运算法则简化表达式，再代入已知条件求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， 故选C． 【变式1】下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方，合并同类项等知识，根据以上运算法则进行计算即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、与不能合并，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·上海金山·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法，掌握相应的运算法则是关键．利用指数运算规则，将表示为，再代入已知值计算． 【详解】解：由已知条件 , ， 根据幂的乘方运算法则，， 再根据同底数幂的除法法则，. 故答案为：． 【题型5 零指数幂】 高妙技法 任何不等于0 的数的0次幂都等于1.即：a0 = 1 (a≠0). 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有意义的条件，熟练掌握有意义时，是解题的关键，据此作答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】下列计算正确的有（　　） ①3﹣1＝﹣3；②；③；④（π﹣3.14）0＝1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵①3﹣1，②（﹣2）﹣3；③；④（π﹣3.14）0＝1， ∴正确的有③④，共2个； 故选：B． 【点睛】此题考查了负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握a﹣n或a﹣n＝（）n（a≠0，n为正整数）和a0＝1（a≠0）是解题的关键． 【变式2】若a＝0.42，b＝﹣4﹣2，，，则（　　） A．b＜a＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．c＜d＜a＜b D．c＜a＜d＜b 【答案】B 【分析】分别进行化简，然后再进行比较，即可得到答案． 【详解】解：∵a＝0.42＝0.16，，，， ∴b＜a＜d＜c，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，乘方的运算，以及有理数的比较大小，解题的关键是熟练掌握运算法则正确的进行化简． 【题型6 与幂有关的混合运算】 高妙技法 与幂的有关的混合运算中，一般先算积的乘方或幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，即合并同类项． 【典例1】（24-25七年级下·河北保定·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）先算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算或化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂． （1）先根据积的乘方和同底数幂的乘法和除法法则计算，再合并同类项即可； （2）先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的运算法则，是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂乘法和同底数幂除法运算法则进行进行计算即可； （2）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可； （3）根据同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型7 整式乘法的计算】 高妙技法 整式的乘法计算先观察室哪种类型的计算，然后正确运用法则进行计算即可解答，注意不要漏项和符号的处理． 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，根据相关运算法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是做题的关键．先计算乘方，再计算乘法，最后再合并同类项即可． 【详解】解：原式 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，平方差公式和完全平方公式，幂的混合运算，熟练掌握公式并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式运算法则去括号，再合并同类项即可得解； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得解； （3）利用同底数幂的乘法，幂的乘方运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型8 整式乘法与求字母的值】 高妙技法 先根据整式乘法的运算法则计算，然后观察等式左右两边，得到关于含代求字母的方程，解方程求解即可解决问题. 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）如果，那么、的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法的展开和系数比较，是基础题． 通过展开右侧的因式形式，比较多项式系数，即可得出和的值． 【详解】解：， ∵， ∴ ， 比较系数得：，． 故选：B． 【变式1】（23-24七年级上·上海嘉定·月考）若、为整数，且，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，注意不要漏解．根据，、为整数，可得、有组值，分别计算即可得出的值，从而作出判断． 【详解】解：， ， 即， 、为整数，， ，或，或，或，或，或，， 或或或或或， 即的值为，，，不可能为， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知二次三项式的一个因式是，则常数 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式．由于已知一个因式，可设另一个因式为一次式，通过因式分解与整式乘法的互逆关系，比较系数求解，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，设另一个因式为， 则， 展开右边：， 则， ∴，， 解得， 则， ∴， 故， 故答案为：． 【题型9 整式乘法与化简求值】 高妙技法 整式乘法的化简求值的题型，注意一般应先化简，再求值． 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，幂的乘方、积的乘方逆运算，代数式求值． 将原式展开后，再根据幂的乘方、积的乘方逆运算变形，然后将进行代入计算． 【详解】解： 由已知，得， ， 代入上式： 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． 先去括号，再合并同类项计算，将代入化简后的整式计算即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）先化简再求值：，其中 【答案】，0 【分析】本题考查整式的化简求值．先根据单项式乘多项式去括号，合并同类项，再将值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型10 整式乘法与遮挡问题】 高妙技法 整式乘法与遮挡问题主要是利用整式的运算求多项式中的未知项． 【典例1】数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（7y﹣5x﹣1）＝﹣21xy2+15x2y■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内应填写（　　） A．3xy B．﹣3xy C．﹣1 D．1 【答案】A 【分析】根据单项式乘多项式运算法则进行运算判断即可． 【详解】解：﹣3xy（7y﹣5x﹣1）＝﹣21xy2+15x2y+3xy， 故■内应填写3xy． 故选：A． 【点睛】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式运算法则是关键． 【变式1】今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（　　） A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy 【答案】A 【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy． 故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键． 【变式1】在“单项式乘多项式”的课堂上，有这样一道题的计算过程：（x﹣3y）•（﹣6x）＝x•（﹣6x）□（﹣3y）•（﹣6x），你认为“□”内应填的符号为（　　） A．+ B．﹣ C．• D．÷ 【答案】A 【分析】运用单项式城单项式的计算方法进行求解． 【详解】解：∵（x﹣3y）•（﹣6x）＝x•（﹣6x）+（﹣3y）•（﹣6x）， ∴“□”内应填的符号是“+”， 故选：A． 【点睛】此题考查了多项式乘单项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识． 【题型11 整式乘法与看错问题】 高妙技法 先根据整式乘整式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解. 【典例1】（2024七年级上·上海·专题练习）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键． 先根据题意得出，，再整体代入求解． 【详解】解：由题意得： ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式1】[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中a，b的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点，根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出与的值是解题的关键． （1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程，再求出与的值； （2）把a与b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， 所以①；② 由②得，代入①得， 所以， 所以， 所以． （2）解：由（1）得． 【变式2】小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． (1)你知道式子中a，b的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道题的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的运算法则以及解二元一次方程组，读懂题意，根据题意列出二元一次方程组求出的值是解本题的关键． （1）根据题意可得 ； ，从而得出，解二元一次方程组即可； （2）将的值代入，然后根据多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ； ， ∴， 解得：，； （2）解：∵，， ∴正确的算式为． 【题型12 整式乘法与几何图形表示问题】 高妙技法 验证等式是否成立时，若是一个图形，则可以考虑用不同的方法表示图形的面积；若是两个图形，则分别表示图形的面积，再整理验证. 【典例1】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这样方法可将抽象的数学知识变得直观起来．如等式：就可以用（图1）中各长方形的面积来帮助理解，请完成下列问题： (1)写出（图2）中所表示的数学等式：____． (2)从（图3）可得____． (3)请通过画图，说明等式． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积； （1）根据大长方形面积=各部分面积的和，解答即可； （2）根据大长方形的面积=各部分面积的和，解答即可； （3）根据题意画出边长为的正方形，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：如图所示， 根据图形可得： 【变式1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是多项式乘多项式的几何意义，掌握正方形面积公式和长方形面积公式是解决此题的关键． （1）直接根据正方形的面积公式求得正方形的面积，然后再根据大正方形的面积各个小正方形的面积之和各个长方形的面积之和，即可得出结论； （2）将（1）中等式变形，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：图2的 面 积 可 表 示 为 或 ， 图2中所表示的数学等式为； （2） ，， ，， ， ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）现有A、B、C三种不同型号的卡片若干张（如下图所示），其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，且． (1)用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡片不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，求此时这个大正方形的边长： (2)从这三种型号的卡片中选取一些卡片，也可以不重叠无缝隙地拼成不同形状的长方形（长不等于宽）．现有1张A型卡片，16张C型卡片，那么，要能拼成一个长与宽不相等的长方形，需要多少张B型长方形卡片？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)张或张 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据根据已知条件做出图形求解即可； （2）根据题目要求作图求解即可； 【详解】（1）根据用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡片可以不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，可得图形如下： 由图可知，正方形的边长为； （2）需要型长方形卡片：张或张；理由如下： 16张C型卡片可排列成的长方形，或的长方形，或的正方形 所以拼出如下三种情况： 情况一：如图所示： 需型卡片张； 情况二：如图所示： 需型卡片张； 情况三：如图所示： 此时为边长为的正方形，不符合题意； 符合条件的型卡片的张数为张或张． 【题型13 利用平方差公式计算 】 高妙技法 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 【典例1】（24-25七年级下·广东茂名·期中）在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式判断即可． 【详解】解；A、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； B、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； C、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意； D、，可以用平方差公式计算，本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】若（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝xm﹣yn，则m＝　 　，n＝　 　． 【答案】4，8． 【分析】根据平方差公式，即可解答． 【详解】解：（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4） ＝（x2﹣y4）（x2+y4） ＝（x4﹣y8）， 则m＝4，n＝8， 故答案为：4，8． 【变式2】计算： （1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab） （2）（﹣y2+x）（x+y2） （3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3） （4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2） 【答案】（1）9x2﹣25a2b2；（2）x2﹣y4；（3）5x+9；（4）1+b2﹣a2﹣a2b2． 【分析】（1）利用平方差公式即可求解； （2）利用平方差公式即可求解； （3）首先利用单项式的乘法以及平方差公式计算，然后去括号合并同类项即可求解； （4）首先利用平方差公式计算前两个多项式的乘法，然后利用多项式的乘法计算． 【详解】解：（1）原式＝（﹣3x）2﹣（5ab）2 ＝9x2﹣25a2b2； （2）原式＝x2﹣（y2）2 ＝x2﹣y4； （3）原式＝x2+5x﹣（x2﹣9） ＝x2+5x﹣x2+9＝5x+9； （4）原式＝[（﹣1）2﹣a2]（1+b2） ＝（1﹣a2）（1+b2） ＝1+b2﹣a2﹣a2b2． 【题型14 利用完全平方公式计算】 高妙技法 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中两项为两数的平方和； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同； 4. 公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式. 【典例1】10．（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式并能运用求解． 根据公式，逐一验证各选项即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列式子中，计算正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘以多项式运算、完全平方公式等知识，关键是能准确运用对应法则进行正确的计算．根据多项式乘以多项式的运算法则以及完全平方公式分别进行计算，即可获得答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴所有式子中，计算正确的只有算式④， 故选：A． 【变式2】计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了乘法公式，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型15运用乘法公式进行简便计算】 高妙技法 1、通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算. 2、运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 【典例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）直接写出结果： ， ． 【答案】 249991 248004 【分析】本题考查了平方差公式，以及完全平方公式，第一个算式变形后，利用平方差公式化简即可得到结果；第二个算式变形后，利用完全平方公式展开即可得到结果． 【详解】解：； ． 故答案为：259991；248004 【变式1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）运用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，将原式变形为平方差公式的形式计算即可． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】25 【分析】本题考查有理数的运算，平方差公式的应用，活用平方差公式进行运算是解题的关键．根据题意，将原式转化为，然后利用平方差公式计算出答案即可． 【详解】解： 【题型16 乘法公式表示的几何意义】 高妙技法 乘方公式的几何意义主要是利用“等积法”来表示出图形的面积，从而得出完全平方公式. 【典例1】（25-26七年级上·上海崇明·期中）如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的图解，关键是通过几何图形之间的数量关系推出平方差公式． 根据题中的两个图形分别表示出阴影部分的面积，再根据阴影部分的面积相等即可得到相应的等式，据此即可作答． 【详解】解：根据第一个图可知：阴影部分的面积为：； 根据第二个图可知：阴影部分的面积为：； ∴， 故选C． 【变式1】（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可得解． 【详解】解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形， ∴第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：, ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选：C． 【变式2】图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（　　） A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2 【答案】C 【分析】阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣四个小长方形的面积，四个小长方形的面积＝图1中的长2m、宽2n的长方形的面积，图2中的大正方形的面积＝（m+n）2，化简后求得阴影的面积． 【解答】解：方法一： 图2中四个长方形的面积的和＝图1的长方形的面积＝2m×2n＝4mn， 图2的大正方形的面积＝（m+n）2， 图2中阴影部分的面积＝图2的大正方形的面积﹣图2中四个长方形的面积的和 ＝（m+n）2﹣4mn ＝m2+2mn+n2﹣4mn ＝m2﹣2mn+n2 ＝（m﹣n）2． 方法二： 图中阴影部分是正方形，且四个边长都是（m﹣n）， ∴阴影部分的面积＝（m﹣n）2． 故选：C． 【题型17 利用乘法公式变形求值】 高妙技法 利用完全平方公式的变形求值，主要是根据已知条件与待求式的特点，灵活选用恰当的变形公式进行化简计算，同时能逆用公式进行配方运算，从而挖掘隐含条件求解. 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式混合运算，结合完全平方公式计算是解题的关键． 通过引入中间变量，将原方程转化为关于的方程，简化后直接求解． 【详解】 ，且， 。 设，则，， 代入得：， 展开：左边， 右边， ， 移项得：， 即， ，， ， ． 故选． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 【变式2】（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算－化简求值，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用多项式乘多项式的法则，完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：，， ； （2）解∶ ，， ， 【题型18 乘法公式的实际应用】 高妙技法 利用整式的乘法公式解决实际问题主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可，另外要注意结合图形来分析. 【典例1】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示． (1)结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？ (2)若分米，分米，求该物料的面积． 【答案】(1) (2)28平方分米 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，解题的关键是： （1）图①中阴影部分的面积可以表示为大正方形的面积与小正方形面积的差；图②中平行四边形的底为，高为，面积等于；由此可解． （2）把a、b 的值代入计算即可， 【详解】（1）解：∵图1中阴影部分的面积为；图②的面积可以表示为， ∴； （2）解：当，时， ， 即该物料的面积为28平方分米． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 【答案】(1)；；； (2)；；，证明见解析； (3) 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，弄清楚图中阴影部分面积的求法是解题的关键． （1）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （2）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （3）可将看作，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； 故答案为：；；； （2）解：方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边 左边 ； 故答案为：；；； （3）解： ． 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，整式的加减的应用，熟练掌握完全平方公式，正确找出题目中的等量关系是解题关键． （1）设两个正方形纸片的边长分别为，根据图形的特点列出方程组，从而求出大正方形的面积与小正方形的边长，进而得到面积和，再代入计算即可． （2）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，进而求出，，即可求出的值． （3）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，进而求得，即可求出面积和． 【详解】（1）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：， 解得：， ∴两个正方形纸片的面积之和为， 即， 当时，两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：，． （2）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，． （3）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：． 【题型19 整式的除法】 高妙技法 掌握整式除法的运算法则是解题的关键，注意在计算过程中，有乘方的先算乘方，再算乘除． 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）已知，其中是正整数，那么 ． 【答案】或 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握指数的运算法则是解题的关键，将等式左边利用指数运算法则进行化简，得到，与右边比较指数，根据指数相等关系，确定和的值，再计算． 【详解】解：， ①∴， 解得： ∴． ②∴， 解得：， ∴． 故答案为：或． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式除单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用单项式除单项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多形式的每一项分别与单项式相除即可．先根据多项式与单项式的除法法则把等式左边化简求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选C． 【题型20 整式的混合运算】 高妙技法 在进行每一种运算时，要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，计算过程中或结果中若有同类项，要注意合并同类项. 【典例1】（23-24七年级·上海·假期作业）计算的结果是（        ）． A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，整式混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键． 【变式1】（25-26七年级上·上海金山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据多项式除以单项式法则、积的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先算乘方和除法，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【题型21 整式乘法与不含某项问题】 高妙技法 在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序. 注意当多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为 0. 【典例1】（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含有x的一次项，那么t的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式的乘法运算，准确计算多项式的乘积是解题的关键． 通过展开两个整式的乘积，合并同类项后，令一次项的系数为零，解方程即可求出 的值． 【详解】∵ ， 又∵ 乘积中不含有的一次项， ∴ 一次项系数 ， 解得， ∴ 的值为， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·上海金山·期中）若整式展开化简后要含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式法则，以及已知多项式乘积不含某项求字母的值等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 将整式展开并合并同类项，根据条件“不含二次项”和“含一次项”建立方程求解即可． 【详解】解： ， ∵不含项， ∴， 解得， 又∵含有x的一次项， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 【答案】，， 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则，根据多项式乘以多项式法则先计算，再根据相乘的积不含x的二次项和三次项，则x的二次项和三次项的系数为0，求出的值即可． 【详解】解： ， 关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项， ， ，． 【题型22 整式乘法与规律性问题 】 高妙技法 整式乘法中的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题. 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）观察下列各式： …… 根据你发现的规律完成下列各题： (1)填空：； (2)填空： =； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式和整式的乘法运算，发现规律是解答本题的关键． （1）根据题目给出式子得出规律求解即可； （2）根据题目给出式子得出规律求解即可； （3）根据题意进行因式分解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：； （2）根据题意得：， 故答案为：； （3） ． 【变式1】（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【答案】(1)验证过程见解析部分 (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，读懂题意，找出规律是解答本题的关键． （1）按多项式乘多项式展开，即可得到结果； （2）对照示例写出； （3）参照示例，看作是当时，所得到的等式，即可得到结果． 【详解】（1）解： ， 成立． （2）解：； （3）解：∵， ． 【变式2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个______次______项式，各项系数和是______； (2)写出的展开式：______；观察的展开式，各项系数和是______； (3)猜想多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）； (4)利用材料中的规律计算：． 【答案】(1)五，六，32 (2)，64 (3)，见解析 (4)1 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式、多项式乘多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据表中的规律可以直接写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （2）根据规律可以写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （3）根据表中各项系数之和，可以发现这些系数之和的变化特点，从而可以得到多项式取正整数）的展开式的各项系数之和； （4）把，代入即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 故多项式的展开式是一个五次六项式， 各项系数和为：， 故答案为：五，六，32； （2）解：由题意可得：， 各项系数和为：， 故答案为：，64； （3）解：的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和 ， 取正整数）的展开式的各项系数之和是； （4）解：把，代入得： ， ∴， ∴． 【题型23 整式乘法与新定义问题】 高妙技法 先根据新定义运算，列出算式，利用整式乘法运算的法则进行计算即可解决问题. 【典例1】我们规定一种运算：，例如，，按照这种运算规定， (1)用简便方法计算：； (2)当x等于多少时，． 【答案】(1)1 (2)5 【分析】本题考查新定义运算，平方差公式，整式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）利用新定义将原式变形为，再利用平方差公式进行简便运算； （2）根据新定义将原式变形为，通过整理可得一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 所以当时，． 【变式1】如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_____；若，则_____； (2)已知，，，若，则的值是_____； (3)若，． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得到，，，再由同底数幂除法计算法则得到，据此可得答案； （3）①根据新定义得到，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则推出，据此再进一步计算即可．②由，可得，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：4；； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ∴ ． ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ． 【变式1】（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②的值为 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，再表示出，算出，即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 1、 选择题 1．（25-26七年级上·上海·期中）下列计算正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方运算法则分别计算即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、和 不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·上海浦东新·月考）已知，，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法的逆用，逆用幂的乘方、同底数幂的乘法公式，将变形为，整体代入求解即可，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：，，， ， 故选：C． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）若，则的值为（     ） A． B． C．5 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键． 【详解】解： 故选：． 4．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）将整式加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式的结构进行解答即可求解． 【详解】解：或， 加上的单项式可以是：或， 选项D错误， 故选：D． 5．（25-26七年级上·上海·期中）若，，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，有理数的大小比较，利用完全平方公式将变形后进行判断即可．将原式进行正确地变形是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选：C． 6．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过完全平方公式验证每个单项式与相加后是否能组成完全平方式即可． 【详解】解：∵ 完全平方公式：，， A项：相加得，是完全平方式，不符合题意； B项：相加得，是完全平方式，不符合题意； C项：相加得，是完全平方式，不符合题意； D项：相加得，不是完全平方式，符合题意． 故选：D． 2、 填空题 7．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方运算法则．根据积的乘方和幂的乘方运算法则解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握指数运算性质是解题的关键． 将带分数转换为假分数，利用指数运算性质合并底数，结合负数的奇次幂性质计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海·期中）已知关于的整式与的乘积为，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式、解一元一次方程，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式． 根据多项式乘多项式求出、的值后即可得解． 【详解】解：依题得：， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海普陀·月考）若．求的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，由已知条件得出，再根据多项式乘多项式法则计算得出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式、合并同类项是解题关键． 根据多项式乘以多项式法则、合并同类项法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案，掌握多项式除以单项式的法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 3、 解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，整式的加减运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）由单项式乘以多项式法则计算即可； （2）由单项式乘以多项式法则计算即可； （3）先进行单项式乘以多项式，再进行整式的加减计算； （4）先进行单项式乘以多项式，再进行整式的加减计算，最后再计算单项式乘以多项式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 12．（25-26七年级上·上海·期中），，求，的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 根据，得到，，进而计算即可． 【详解】∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，． 13．（24-25七年级上·上海·期末）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据多项式乘多项式、去括号法则和合并同类项的方法，可以将题目中的式子化简，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． 14．（24-25七年级下·广东深圳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式的应用以及多项式除以单项式等知识．解题的关键是正确运用公式和运算法则对式子进行化简． 运用相关公式展开多项式乘积项，计算多项式除以单项式；去括号并合并同类项化简式子；代入 x 的值计算结果． 【详解】 ， 当时，． 15．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，为改善业主的居住环境，某小区物业准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【答案】(1) (2)这两条小路的总面积为38 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则． （1）根据小路的面积等于两个长方形面积和减去中间重叠部分的正方形的面积，即可计算． （2）把a、b的值代入化简后的代数式中求值即可． 【详解】（1）解： ； 答：这两条小路的总面积为． （2）解：将，代入，得 ． 答：这两条小路的总面积为38． 16．（25-26七年级上·上海·月考）已知展开后，不含和的项，求． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简和项无关，解决此题的关键是正确的计算；先把整式运用多项式乘多项式的法则化简，再合并同类项，根据项无关的概念得到m的值，进而得到答案即可； 【详解】解：， ， ， ， ∵式子不含和的项， ∴，， ∴，， ∴． 17．（25-26七年级上·上海宝山·期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你验证该等式的正确性． (2)利用上述等式，解决下面的问题： ①若，求整式的值． ②一个立方体的每个面上都写有一个正整数，并且相对的两个面上所写数字之和都相等，若18的对面写的是a，14的对面写的是b，25的对面写的是c，求整式的值． 【答案】(1)见详解 (2)①12；②93 【分析】此题考查整式的乘法公式—完全平方公式，已知字母的值求代数式的值，等式的变形计算，正确掌握等式各项之间的关系是解题的关键． （1）利用完全平方公式将等式右边展开，合并同类项即可得到结论； （2）①根据题意可得，，，将其值代入变形后的式子计算即可； ②根据题意可得，，，根据，将其值代入变形后的式子计算即可； 【详解】（1）解：等式右边 ， ∴左边=右边， ∴式子正确； （2）解：①∵， ∴， ， ， ∴ ． ②根据题意可得， ，，， ． 18．（25-26七年级上·上海·期中）阅读理解：我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）将两个正方形，如图，摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1） （2）45 （3）80 （4） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活运用． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，先求出，再求出的值，求出阴影部分的面积代入计算即可． 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，所以， 所以这个图形可以验证公式：， 故答案为：； （2）， ， 故答案为：； （3） ； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得， ，， ， ， ， ， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘除 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：同底数幂的乘法 ◆1、乘方的概念：一般地将n个a相乘的运算叫做乘方．简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时） ◆2、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． ◆3、法则推广：同底数幂的乘法的性质也适用于三个及以上的的同底数幂相乘，即am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）． ◆4、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等； ②a可以是单项式，也可以是多项式； ③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． 知识点二 ：幂的乘方 ◆1、幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am n（m，n是正整数）． ◆2、法则推广：幂的乘方的性质可推广为: [（am）]p＝am n p（m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】①幂的乘方的底数指的是幂的底数； ②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 知识点三 ：积的乘方 ◆1、积的乘方法则：积的乘方等于乘方的积．即（ab）n＝an bn（n是正整数） ◆2、法则推广：积的乘方的性质也适用于三个及以上的因式的积的乘方，即（ab c）n＝an bn c n （m，n，p都是正整数）． ◆3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】①在进行积的乘方运算时，要把底数中的每个因式分别乘方，不要漏掉任何一项，特别地，当底数中含有“﹣”号时，应将其视为“﹣1”，作为一个因式参与运算. ②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点四 ：整式的乘法 ◆1、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘. 【注意】①系数：积的系数等于系数的积； ②相同字母：相同字母的幂相乘； ③单独字母：连同它的指数作为积的一个因式． ◆2、单项式与整式相乘法则：单项式与整式相乘，用单项式乘整式的每一项，再把所得的积相加. ①用式子表示：p(a + b + c)=pa + p b + p c． ②法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】（1）依据是乘法分配律；（2）积的项数与整式的项数相同. ◆3、整式与整式相乘法则：整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加. ①用式子表示：(a+b)(m+n)=am+an+b m+bn． ②法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】整式与整式相乘的结果仍为整式，若有同类项一定要及时合并同类项，在合并同类项之前，积的项数应该是两个整式的项数之积． 知识点五 ：平方差公式 ◆1、平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 用字母表示为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． ◆2、应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点六 ：完全平方公式 ◆1、完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 用字母表示为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． ◆2、完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． ◆3、应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点七 ：同底数幂的除法 ◆1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 字母表示为：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）． ◆2、同底数幂的除法性质的推广：三个及以上的的同底数幂相除，即am÷an÷ a p＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m＞n+p）． ◆3、同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）． ◆4、同底数幂的乘除法的比较 同底数幂的运算 公式 底数 指数 相乘 aᵐ·aⁿ=am+n(m,n 都是正整数) 不变 相加 相除 am÷an＝am﹣n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n) 不变 相减 【注意】 ①底数a≠0，因为0不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 知识点八 ：零指数幂 性质：任何不等于0 的数的0次幂都等于1. 即：a0 = 1 (a≠0). 【注意】1、只有当底数不为零时，它的零次幂才等于1. 2、底数a可是单项式，也可以是多项式，但不能为0. 知识点九 ：单项式除以单项式 ◆1、单项式除以单项式法则：两个单项式相除, 把系数和同底数的幂分别相除. ◆2、单项式除以单项式分为三个步骤： （1）把系数相除，所得结果做为商的系数； （2）把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式； （3）把只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式． 知识点十 ：整式除以单项式 ◆1、整式与单项式相除法则：整式除以单项式，先用整式的每一项除以单项式，再把所得的 商相加． ◆2、关键：应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式． ◆2、用式子表示：(am+an)÷m=am÷m+b m÷n=a+b． 【注意】 1、计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. 2、计算时不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同． 【题型1 同底数幂的乘法及其逆运算】 高妙技法 1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 即am•an＝am+n（m，n是正整数）． 2、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数） 【典例1】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）若a、b均为正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）计算（结果用幂的形式表示）： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）已知，则 ： 【题型2 幂的乘方及其逆运算】 高妙技法 1、运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是整式． 2、幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 3、当指数是积的形式时，考虑逆用同底数幂的乘法的性质. 【典例1】（2025七年级上·上海·专题练习）计算：= ． 【变式1】已知（a2）m＝a6，那么m＝　 　． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，，，那么，，从小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 【题型3 积的乘方及其逆运算】 高妙技法 1、运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方． 2、逆用积的乘方公式时，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用公式进行简便运算． 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）计算：= ． 【变式1】（24-25七年级下·江西九江·期中）的个位数字是(    ) A．2 B．4 C．8 D．6 【变式2】（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算： ． 【题型4 同底数幂的除法及其逆运算】 高妙技法 1、同底数幂相除，底数不变，指数相减． 2、计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算． 3、同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）． 【典例1】已知（均为正整数），则的值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【变式1】下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海金山·期中）若，则的值是 ． 【题型5 零指数幂】 高妙技法 任何不等于0 的数的0次幂都等于1.即：a0 = 1 (a≠0). 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【变式1】下列计算正确的有（　　） ①3﹣1＝﹣3；②；③；④（π﹣3.14）0＝1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】若a＝0.42，b＝﹣4﹣2，，，则（　　） A．b＜a＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．c＜d＜a＜b D．c＜a＜d＜b 【题型6 与幂有关的混合运算】 高妙技法 与幂的有关的混合运算中，一般先算积的乘方或幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，即合并同类项． 【典例1】（24-25七年级下·河北保定·期中）计算 (1)； (2)． 【变式1】计算或化简： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型7 整式乘法的计算】 高妙技法 整式的乘法计算先观察室哪种类型的计算，然后正确运用法则进行计算即可解答，注意不要漏项和符号的处理． 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算： (1) (2) (3) 【题型8 整式乘法与求字母的值】 高妙技法 先根据整式乘法的运算法则计算，然后观察等式左右两边，得到关于含代求字母的方程，解方程求解即可解决问题. 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）如果，那么、的值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·上海嘉定·月考）若、为整数，且，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知二次三项式的一个因式是，则常数 ． 【题型9 整式乘法与化简求值】 高妙技法 整式乘法的化简求值的题型，注意一般应先化简，再求值． 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）先化简再求值：，其中 【题型10 整式乘法与遮挡问题】 高妙技法 整式乘法与遮挡问题主要是利用整式的运算求多项式中的未知项． 【典例1】数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（7y﹣5x﹣1）＝﹣21xy2+15x2y■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内应填写（　　） A．3xy B．﹣3xy C．﹣1 D．1 【变式1】今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（　　） A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy 【变式1】在“单项式乘多项式”的课堂上，有这样一道题的计算过程：（x﹣3y）•（﹣6x）＝x•（﹣6x）□（﹣3y）•（﹣6x），你认为“□”内应填的符号为（　　） A．+ B．﹣ C．• D．÷ 【题型11 整式乘法与看错问题】 高妙技法 先根据整式乘整式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解. 【典例1】（2024七年级上·上海·专题练习）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 ． 【变式1】[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中a，b的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【变式2】小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． (1)你知道式子中a，b的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道题的正确结果． 【题型12 整式乘法与几何图形表示问题】 高妙技法 验证等式是否成立时，若是一个图形，则可以考虑用不同的方法表示图形的面积；若是两个图形，则分别表示图形的面积，再整理验证. 【典例1】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这样方法可将抽象的数学知识变得直观起来．如等式：就可以用（图1）中各长方形的面积来帮助理解，请完成下列问题： (1)写出（图2）中所表示的数学等式：____． (2)从（图3）可得____． (3)请通过画图，说明等式． 【变式1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）现有A、B、C三种不同型号的卡片若干张（如下图所示），其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，且． (1)用1张A型卡片，4张B型卡片，4张C型卡片不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，求此时这个大正方形的边长： (2)从这三种型号的卡片中选取一些卡片，也可以不重叠无缝隙地拼成不同形状的长方形（长不等于宽）．现有1张A型卡片，16张C型卡片，那么，要能拼成一个长与宽不相等的长方形，需要多少张B型长方形卡片？请说明你的理由． 【题型13 利用平方差公式计算 】 高妙技法 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 【典例1】（24-25七年级下·广东茂名·期中）在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝xm﹣yn，则m＝　 　，n＝　 　． 【变式2】计算： （1）（5ab﹣3x）（﹣3x﹣5ab） （2）（﹣y2+x）（x+y2） （3）x（x+5）﹣（x﹣3）（x+3） （4）（﹣1+a）（﹣1﹣a）（1+b2） 【题型14 利用完全平方公式计算】 高妙技法 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中两项为两数的平方和； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同； 4. 公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式. 【典例1】10．（25-26七年级上·上海崇明·期中）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列式子中，计算正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】计算的结果是 ． 【题型15运用乘法公式进行简便计算】 高妙技法 1、通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算. 2、运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 【典例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）直接写出结果： ， ． 【变式1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）运用乘法公式计算：． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【题型16 乘法公式表示的几何意义】 高妙技法 乘方公式的几何意义主要是利用“等积法”来表示出图形的面积，从而得出完全平方公式. 【典例1】（25-26七年级上·上海崇明·期中）如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（       ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（　　） A．mn B．m2﹣n2 C．（m﹣n）2 D．（m+n）2 【题型17 利用乘法公式变形求值】 高妙技法 利用完全平方公式的变形求值，主要是根据已知条件与待求式的特点，灵活选用恰当的变形公式进行化简计算，同时能逆用公式进行配方运算，从而挖掘隐含条件求解. 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）已知，则的值是（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 【变式2】（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，求： (1)； (2)． 【题型18 乘法公式的实际应用】 高妙技法 利用整式的乘法公式解决实际问题主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可，另外要注意结合图形来分析. 【典例1】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）如图1所示，有一块边长为的正方形物料，其中心是边长为的正方形空白．为避免浪费，在图1沿虚线将该物料切割成四个完全相同的图形，并将切割后的物料拼成一个平行四边形重新利用，如图2所示． (1)结合图1、图2的面积关系，你认为可以验证哪一个乘法公式？ (2)若分米，分米，求该物料的面积． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）请完成以下题目： (1)如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积．方法①________；方法②_______由此可以验证的乘法公式是_____． (2)类似地，在棱长为a的正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积．方法①_______；方法②_______．由此可以得某个多项式因式分解的等式是______，并用所学过的知识说明这个等式成立． (3)结合并使用（2）得到的等式分解因式：． 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． 【题型19 整式的除法】 高妙技法 掌握整式除法的运算法则是解题的关键，注意在计算过程中，有乘方的先算乘方，再算乘除． 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）已知，其中是正整数，那么 ． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知，其中n是正整数，那么的值是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【题型20 整式的混合运算】 高妙技法 在进行每一种运算时，要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，计算过程中或结果中若有同类项，要注意合并同类项. 【典例1】（23-24七年级·上海·假期作业）计算的结果是（        ）． A． B． C．1 D． 【变式1】（25-26七年级上·上海金山·期中）计算： ． 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【题型21 整式乘法与不含某项问题】 高妙技法 在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序. 注意当多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为 0. 【典例1】（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含有x的一次项，那么t的值是（   ） A．3 B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海金山·期中）若整式展开化简后要含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是 ． 【变式2】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 【题型22 整式乘法与规律性问题 】 高妙技法 整式乘法中的规律探索问题主要是根据题中的等式探究出规律，然后再由规律解决问题. 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）观察下列各式： …… 根据你发现的规律完成下列各题： (1)填空：； (2)填空： =； (3)因式分解：． 【变式1】（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【变式2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． 【题型23 整式乘法与新定义问题】 高妙技法 先根据新定义运算，列出算式，利用整式乘法运算的法则进行计算即可解决问题. 【典例1】我们规定一种运算：，例如，，按照这种运算规定， (1)用简便方法计算：； (2)当x等于多少时，． 【变式1】如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)_____；若，则_____； (2)已知，，，若，则的值是_____； (3)若，． ①求的值； ②求的值． 【变式1】（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 1、 选择题 1．（25-26七年级上·上海·期中）下列计算正确的（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海浦东新·月考）已知，，那么（  ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）若，则的值为（     ） A． B． C．5 D．1 4．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）将整式加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海·期中）若，，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 6．（25-26七年级上·上海普陀·期中）下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 7．（25-26七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 8．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 9．（24-25七年级上·上海·期中）已知关于的整式与的乘积为，那么 ． 10．（24-25七年级上·上海普陀·月考）若．求的值是 ． 11．（24-25七年级上·上海崇明·期中）计算：__________． 12．（25-26七年级上·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为 ． 3、 解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（25-26七年级上·上海·期中），，求，的值． 13．（24-25七年级上·上海·期末）化简求值：，其中，． 14．（24-25七年级下·广东深圳·期末）先化简，再求值：，其中． 15．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，为改善业主的居住环境，某小区物业准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为b米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 16．（25-26七年级上·上海·月考）已知展开后，不含和的项，求． 17．（25-26七年级上·上海宝山·期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你验证该等式的正确性． (2)利用上述等式，解决下面的问题： ①若，求整式的值． ②一个立方体的每个面上都写有一个正整数，并且相对的两个面上所写数字之和都相等，若18的对面写的是a，14的对面写的是b，25的对面写的是c，求整式的值． 18．（25-26七年级上·上海·期中）阅读理解：我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式________， 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则________； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）将两个正方形，如图，摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积和． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $