河北省邢台市质检联盟2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试题

邢台市2025一2026学年高二（上)第三次月考 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 中 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占55%，选择性必修第二册 第四章占45%。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的、 1.数列1，一3,5，一√7,3，…的一个通项公式是 Aan=(-1)"·√2n+1 B.am=(-1)nt1·√2n+1 C.an=(-1)°·√2n-1 D.an=(-1)t1·√2n-1 1 国 2,抛物线)y=x的焦点坐标是 A(0,8) B.(0,4) C.(8,0) D.(4,0) 3.在等差数列(an)中，a3十ag=a5十6，则a6十ag= 闲 A.6 B.8 C.10 D.12 4.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F,G分别是线段BD,A1B1,CD1的中点，则异面 直线AG与EF所成角的余弦值是 A2①5 15 线 A F C.25 15 郭 吗 5.在数列(an}中，a1=2,anam+1=an一1，则a26 A.2 B司 C.2 D.-2 【高二数学第1页（共4页）】 ·26-170B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 6.在正四棱锥P-ABCD中，PA=2√6，AB=4,E,F分别是棱AB,PC的中点，则点D到直线 EF的距离是 A号 B.3v70 c D. 7 7 7设等差数列1@，亿，)的前n项和分别为S,工，且÷=2红+出， +13则8十a= A名 B号 C. D吕 8.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非 1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，A(一1,0)，B(1,0),C(2, 一1)，且|PA|=√|PB|,则当2PB|+√2|PC取得最小值时，点P的坐标是 A(信-) B.(5,-2) c(-) D.(-5,2) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线l平分圆C:x2+y2-2x十4y=0的周长，且直线l在x轴上的截距是在y轴上截 距的2倍，则直线1的方程可能是 A2x十y=0 B.x+2y=0 C.x+2y+3=0 D.x-2y-5=0 10.设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,amtn=anam,且Sk+5一S.=49-2,则 A k=4 B.k=12 C.t=5 D.t=13 1已知双曲线C:号-草=16>0)的左，右焦点分别为1，F,P是双曲线C右支上的点，G y 是△PFB,的内心，i记△CF,F,△GPF1,△GPP,的面积分别为S1,S2,S,且S= 号Aa0,12,则 A.b=4 B.1GF1I2-|GF2l2=30 C,|PA|-IPF,I的最大值是7 D.当心-丽+P丽时，PR,=18 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12若椭圆C:号十并=1的离心率是子则=△ 13.在数列{an}中，a1=1500,an=1.1am-1-100(n≥2)，则an=」 14.已知直线l:a.x-by-2c=0与圆C:x2+y2十6x十6y十8=0交于A,B两点，若a,b,c是 等差数列中的连续三项，则|AB|的取值范围是▲ 【高二数学第2页（共4页）】 ·26-170B· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说阴、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在数列{am}中，a1=1,ah=a-1一2-1+2(n≥2) (1)证明{a,十2")是等差数列，并求(an)的通项公式： (2)求{an}的前n项和S. 16.(15分) 已知圆C经过A(1,1),B(4,0)两点，且圆心C在直线l:2x-y-4=0上 (1)求圆C的标准方程； (2)过点P(一1，一1)作圆C的两条切线，切点为M,N,求|MN|的值. 17.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2,AA=4,∠BAC=120°，∠C,CA=60°， AC,⊥BC,D是棱A1B1的中点. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面ABC, (2)求平面AC,D与平面BCC1B1夹角的余弦值， 【高二数学第3页（共4页）】 .26-170B· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(17分) 已知嘴圆C:学+片-1a>b>0的长轴长为4：且点P(反，号》在箱圆C上 (1)求椭圆C的标准方程. (2)直线l:y=kx十1(k<0,t>0)与椭圆C交于A,B两点，线段AB的中点为D,射线OD (O为坐标原点)交椭圆C于点E. （若直线1过点1,0叭，且10E1=国求的值 1 (1)若0i.O成=0，求1OAT+108的值. 19.(17分) 定义：若an=bn十cn,且{bn}和{cn}是公比不相同的等比数列，则称{an}为“混双等比数 列那已知数列e,}满足a1=3,a1=3a,十：5，其中常数k≠0且k≠号 (1)证明：{a+1一5an}是等比数列. (2)设{an}的前n项和为Sn,若{Sn}是“混双等比数列”，求k的值 (3)若“混双等比数列”（中n}满足pn=191十k2q2,1<q1<q2,(中n}的前n项和为Tn,(Tn》 也是“混双等比数列”，证明：当1<i<(i,j∈N)时，p:巾>0. 【高二数学第4页（共4页）】 ·26-170B· CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP邢台市2025一2026学年高二（上)第三次月考 数学参考答案 1.D由题意可得an=(一1)”+1·√2n一1是数列1，一√3,5，一√7,3，…的一个通项公式 2.B由y-162,得x2=16y,则其焦点坐标是(0,4). 1 3.D由等差数列的性质可知a3十ag=a5十a7,则a7=6,故a6十ag=2a=12. 4.C以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、 y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=2,则 A(2,0,0),E(1,1,0),F(2,1,2),G(0,1,2),所以AG=(-2,A 1,2),EF=(1,0,2).设异面直线AG与EF所成的角为0，则 os0=1cos(AG,E1=AG.求 1-2+41 |AG|EF1√/4+1+4X√/1+0+4 25 15· an 24g1 .A因为a,1=a,-1,所以a41-0,1因为a1=2,所以a,-a1-号 -1a4=“31-2,所以a,}是以3为周期的周期数列，则as=ag=2 a3 6.B如图，连接AC,BD,DE,记AC∩BD=O,连接OP.由正四棱锥 的性质可知OB,OC,OP两两垂直，则以O为坐标原点，OB,OC, OP所在直线分别为x轴、y轴、x轴，建立空间直角坐标系.因为PA =26,AB=4,所以D(-2√2,0,0)，E(2,-2,0),F(0,√2,2)， 所以E=(一3√2，√2,0)，EF=(-√2,22,2)，则点D到直线EF 的距离是 命--男- 7.C 因为2品听以-会-7》专 17+13 3 8.A因为|PA|=√21PB|,所以2|PB|+√2|PCI=√2(|PA|+|PC|)≥√2AC,当且仅当 点P在线段AC上时，等号成立.设P(x,y).因为PA|=√2|PB|,所以|PA|2=2PB|, 所以(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2],即x2+y2-6.x+1=0.因为A(-1,0),C(2,-1),所 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 ·26-170B· x=I 以直线AC的方程为y=一号(x+D.由 5, x=5, 得 或 因为 2+y2-6.x+1=0, y=-2. 5 P在线段AC上，所以x<2,则P的坐标为（号，）。 9.AC由题意可得直线l过圆C的圆心C(1,一2).当直线l过原点时，直线1在两坐标轴上的 截距都是0，符合题意，此时直线I的方程为y=一2x,即2x十y=0.当直线1不经过原点时， +2=1, a=-3, 设直线1的方程为后+方-1，则 b解得 b=- ,放直线1的方程为二十立 3 a=2b, 2 =1,即x+2y+3=0. 10.BD令m=1,得au+1=a1am=2am,则{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故Sn= 2X1-2）=2+1-2.因为5646-5=4-2，所以2-2+1=4°-2=28-2，则k= 1-2 12,t=13. 1.ACD设△PF,E,内切圆的半径为，.则S2一S22PF一PF27 号E,Fr 受-解特： =5,故b=√c2一a2=4,A正确.作GH⊥F1F2,垂足为H(图略)，则GH=r.由双曲线的 定义及切线长定理可得|PFI-|PF2|=|HF,I-|HF2I=2a=6.又|HF,I+|HF2|= 2c=10,解得|HF1|=a+c=8,|HF2|=c-a=2,则|GF1I2-|GF2|2=|HF,I2+r2- (|HF2I2+r2)=60,B错误.因为|PF1I=|PF2|十2a=|PF2|+6,所以|PA|-|PF1I= PA|-PF2|-6.因为PA|-PF2≤|AF2|=13,所以|PA|-|PF,I=|PA|-PF2 -6≤7，C正魏延长PG交F,R于点M图路.因为P店-品PF+号P,所以P成= 9k 元-胎P丽+验P尿.由角平分线定理可得P- PF MF ，所以PF,= 203 10 号1PF,所以1PF,-PF=号PF,=6,解得1PF,=18,D正确 9 27由题意可得a=m十9.=m则=9.因为椭圆C的离心毫为，所以N十专 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 ·26-170B. 9 ,解得m=7. 13.500×1.1”-1+1000由an=1.1aw-1-100,得am-1000=1.1(a-1-1000),因为a1 1000=500≠0，所以{a,一1000}是以500为首项，1.1为公比的等比数列，所以a,一1000 =500×1.1"-1,所以am=500×1.1”-1+1000. 14.[4w2,210]因为a,b,c是等差数列中的连续三项，所以2b=a+c,所以c=2b一a,则直 线1的方程为a.x-by-4b+2a=0,即a(x+2)-b(y+4)=0,故直线1过定点M(-2, 一4).由题意可知圆C的圆心为C(一3，一3)，半径r=√10，则|AB|≥2√r2-MC它= 210-2=4√2.当直线l经过圆心C时，|AB|取得最大值210，则|AB|的取值范围是 [4√2,210]. 15.解：(1)因为an=a-1-2”-1+2,所以an十2”-(am-1十2”-1)=2. …2分 因为a1=1,所以a1十2=3，… …3分 {am十2”}是以3为首项，2为公差的等差数列，… …4分 则4m十2”=3十2(n一1)=2n十1，… …6分 故a,=2n十1-2”.… …7分 (2)由(1)可知a,=2n+1-2”,则Sn=a1十a2+a3+…十an …8分 =(3-2)+(5-22)+(7-23)+…+(2n+1-2")… …9分 =(3+5+7+…十2n+1)-(2+22+23+…十2”)… …10分 _(3+2n+1)n2×(1-2”) 2 …12分 1-2 =n2十2n十2-2训+1.…13分 16.解：(1)设圆心C的坐标为(a,b),则2a一b一4=0.… …1分 因为A,B是圆C上的两点，所以|CA|=|CB|,所以√(a-1)十(b-1)= √(a-4)2+b2, 即30-b-7=0.…3分 (2a-b-4=0,a=3, 由 得 即C(3,2),…5分 3a-b-7=0,b=2, 则圆C的半径r=√(3一4)2十22=√5，…6分 故圆C的标准方程为(x一3)2十(y一2)2=5.…8分 (2)因为P(-1,-1),C(3,2),所以|PC1=√/(3+1)2+(2+1)2=5，…9分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 ·26-170B· 所以川PM=PC2-r2=25,…10分 则四边形PMCN的面积S=|PM·r=25×√5=10.…12分 因为过点P(一1，一1)作圆C的两条切线，切点为M,N,所以MN⊥PC,…13分 所以四边形PMCV的面积S=号PCIIMNI=号MN=10,解得MN=4.…15分 17.(1)证明因为AA1=4,所以CC1=4.…1分 因为AC=2,∠C1CA=60°，所以AC1=√AC2+CC-2AC·CC1cos∠C1CA=23,… …2分 则AC2十AC=CC,所以AC1⊥AC.…4分 因为AC1⊥BC,ACC平面ABC,BCC平面ABC,且AC∩BC=C,所以AC1⊥平面ABC ……6分 因为AC1C平面ACC1A1,所以平面ACC1A1⊥平面ABC.…7分 (2)解：以A为坐标原点，AC,AC1所在直线分别为x轴、之轴建立如图所示的空间直角坐 标系 由题中数据可知A(0,0,0),A1(一2,0,2√3)，B(一1，√5,0)， C(2,0,0),C1(0,0,23), 则CC=(-2,0,25),BC=(3,-5,0),AC=(0,0,25), 而-+a弦=(-3号2). …9分 设平面AC,D的法向量为n=(x1,y1,21), n·AC1=231=0, 则 A- 令x1=5,得n=(3,5,0).…11分 214gy1十23≈1=0、 设平面BCC1B1的法向量为m=(x2,y2,之2)， m.CC=-2x2+23x2=0 则 令x2=5,得m=(3,3,1).…13分 m·BC=3x2-√5y2=0, 设平面AC,D与平面BCCB,的夹角为0，则cos0=osn,m)=nm-√/28X√ n·m 3+15 卡9.91，即平面ACD与平面BCCB,夹角的余弦值为9？9 ……15分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 ·26-170B. 2a=4, 18.解：(1)由题意可得3 1 解得a=2,b=1,…3分 a2十46=1， 则椭圆C的标准方程为+y-1。 …4分 y=k(x-1), (2)(i)由 得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,…5分 4+y2-1, 则△=(-8k2)2-4(4k2+1)(4k2-4)=482+16>0. 8k2 设A(1y),B(x2y),则x十x?4k+ …6分 所以xD= 1十x2=4k2 4k2 2 十1yn=xD-=一4十，即点D的坐标为（十 k 4k2+1 ,则直线OD的方程为y= 4k. …7分 y=- 4k， 得x= Ak 由 …8分 √4k2+1 16k2+1 4k2+1 …9分 因为OE1=85,所以6k士1-解得k=一1(=1舍去入.…10分 (iⅱ)当直线OA的斜率存在且不为0时，设直线OA的方程为y=k1x,A(x1,y1),B(x2, y2). [y=kix, +1则行 004400+40。 11分 因为OA.O=0,所以OA⊥O,则直线OB的方程为y= 1 x, , Aki 同理可得千则好十 12分 1 14k2+1,k3+45k2+55 故10AT+1OB一+十号+k+4+44好+4不 …14分 当直线OA,OB中一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0， 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 ·26-170B· 此时0o+0品++1= 1 4 16分 1 15 综上1OA+1OB-4 17分 19.(1)证明：由题意得an+1-5an=3an十k·5”-5an=-2an十k·5”,…1分 则a+2-5am+1=-2am+1+5k·5”=-2(3an十k·5")+5k·5"=-6an十3k·5”, 所以an+2-5aw+1=3(am+1-5an）.…3分 又a2-5a1=(3X3十5k)-5X3=5k-6≠0，…4分 所以{a+1一5an}是以5k一6为首项，3为公比的等比数列.…5分 (2)解：由(1)可得am+1-5an=(5k-6)·3-.… 6分 又a1=3,+k·5,所以-2a,+k·5”=(5k-6)…3,即a.=(1-)·3+ .50,oo7分 2 则s,-1).3+会，56-8+：+6。 8 ……9分 4 4 8 因为S,是混双守北数列5所以。2-心，解得- 8 ，…10分 (3)证明：Tm=k191‘1-q ,1一92=k191+k292- k9L·qi一1-q2 k292·q8. …11分 因为工，是混双等比板列所以+-0， 19≠0.…12分 设A-则工.-Aii）-g[（号得)”-.…1n分 因为q2>q1>1,所以当A>0时，{Tn}是递增数列，pw+1=Tn+1-Tn>0;…15分 当A<0时，{Tn}是递减数列，pn+1=Tw+1一Tn<0.…16分 故当1<i<方时，pp;>0.…17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】 ·26-170B·