湖南省常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2025—2026学年

高三上学期12月月考数学试卷

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ）

A． B． C． D．

4．若为实数，则是的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不也不必要条件

5．设函数是上的减函数，则有（    ）

A． B． C． D．

6．定义在上的函数满足，且函数为奇函数．当时，，则=（    ）

A．－2 B．0 C． D．

7．已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（    ）

A． B． C． D．

8．已知为等比数列前项和，若，则（    ）

A．5 B．3 C． D．

 

二、多选题

9．已知正实数，满足，则下列结论正确的是（    ）

A．的最大值为3 B．的最小值为3

C．的最大值为6 D．的最小值为6

10．设是等差数列，下列结论中正确的是（   ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．

11．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

 

三、填空题

12．已知集合，集合，若，则实数        ．

13．如图，为方便市民游览市区中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知AB，AC为夹角为的公路长度均超过5千米，在两条公路AB，AC上设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米.若，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为      千米.

14．已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围为      ．

 

四、解答题

15．已知区间的长度均等于．

(1)若集合，求的区间长度；

(2)已知函数，求的值域的区间长度；

(3)若，区间，求的区间长度的最小值．

16．如图，在三棱锥中，是外接圆的直径，垂直于圆所在的平面，D、E分别是棱PB、PC的中点.

(1)求证：平面；

(2)若，，求点到平面的距离.

17．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，.

(1)求角A；

(2)若，的面积为，求的周长.

18．已知数列中，，且满足，．

(1)证明：数列是等差数列，并求的通项公式；

(2)求数列的前项和．

19．定义：若函数与在公共定义域内存在（互不相等，），使得，则称与为“阶相似函数”，称为与的“阶相似点”.

(1)已知，函数，，判断函数与是否为“三阶相似函数”，并说明理由.

(2)已知函数，，与为“二阶相似函数”， ，称为与的“二阶相似点”.

（i）求实数的取值范围；

（ii）证明：.