精品解析：江苏省常州市正衡中学2025-2026学年上学期七年级数学12月月考试卷

七年级数学周末作业 一、选择题（共8小题） 1. 在以下生活场景中，用到“两点之间，线段最短”的数学事实的是（　　） A. 为了缩短路程，将弯曲的小路改直 B. 用两颗钉子将木条固定在墙上 C. 沿着与起跳线垂直的方向测量跳远成绩 D. 为了把墙砌直，在两端用木条拉一条参照线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查对“两点之间，线段最短”这一几何公理的理解．根据线段的性质：两点之间线段最短，进行解答即可． 【详解】解：∵“两点之间，线段最短”指连接两点的所有线中，线段长度最短． A、将弯曲小路改直，使路径成为线段，缩短路程，符合公理． B、用两颗钉子固定木条，是利用两点确定一条直线，不涉及线段最短． C、垂直测量跳远成绩，是利用垂线段最短，但不是两点之间的线段． D、拉参照线砌墙，是利用两点确定一条直线，不涉及线段最短． ∴正确答案是A． 故选：A． 2. 若，则的余角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键：如果两个角的和等于，则这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角． 根据余角的定义即可直接得出答案． 【详解】解：， 的余角， 故选：． 3. 如图点在线段上，且，则线段与线段的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差计算，由得到，那么． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是（ ） A. AB=2AC B. AC+CD+DB=AB C. CD=AD-AB D. AD=（CD+AB） 【答案】D 【解析】 【详解】A、由点C是线段AB的中点，则AB=2AC，正确，不符合题意； B、AC+CD+DB=AB，正确，不符合题意； C、由点C是线段AB的中点，则AC=AB，CD=AD-AC=AD-AB，正确，不符合题意； D、AD=AC+CD=AB+CD，不正确，符合题意． 故选：D． 5. 如图所示，钟表上显示的时间是10时10分，此时，时针和分针的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了钟面角，先求出钟面上的数字2和数字10之间的夹角（小于平角），再减去时针走10分钟的度数即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 6. 如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的定义，由得到，再根据平分，即可求出的度数，掌握平角和角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：． 7. 若，则用度、分、秒表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，掌握，是关键． 8. 如图，直线与相交于点O，射线在内部，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，对顶角线段，先由垂直的定义得到，再由对顶角线段得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（共8小题） 9. 如图，C，D为线段上两点，，，若D是线段的中点，则线段的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出的长，再由线段中点的定义可得，进而可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵D是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如右图，C是线段AB上任意一点，M，N分别是AC，BC的中点，如果 AB＝12cm，那么 MN的长为 cm． 【答案】6 【解析】 【分析】由于M，N分别是AC，BC的中点，所以，， 再根据得到，即可求出MN的长. 【详解】解：∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵AB＝12cm， ∴MN＝6cm. 【点睛】本题考查了线段中点的含义，熟练掌握线段中点平分线段是解题的关键. 11. 如图，直线相交于点，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平角的定义，角的和差，利用平角的定义可得，再根据平角的定义即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 一个角的补角比它的余角的2倍多，则这个角的度数是______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角的知识，一元一次方程的应用，设这个角为x，则补角为，余角为，根据题意列出关x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设这个角为x，则补角为，余角为， 由题意得，， 解得：． 即这个角的度数是． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，，点D是线段边上的动点，则线段的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由垂线段最短可知，当时，最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，最小，如下图： ∵， ∴，则 故答案为： 【点睛】此题考查了点到直线的距离，面积法求三角形的高，解题的关键是确定当时，最小． 14. 如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，其理由是________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，理解“从直线外一点，到直线上任意一点所引的线段中，垂直线段最短”是正确解答的关键．根据“垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 15. 如图，是上一点，且直线与的夹角，则直线绕点按逆时针方向至少旋转___________度，才能使． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线．熟练掌握平行线的性质与判定，是解决本题的关键． 根据，运用两直线平行，同位角相等，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数． 【详解】解：， ． ． 故答案为：． 16. 如图，是的平分线，射线在内，是的平分线，已知，那么的度数为_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了和角平分线有关的计算． 根据角平分线的定义得出，进而推出，即可解答． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题（共9小题） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数混合运算，熟记有理数混合运算法则及相关运算律是解决问题的关键． （1）先化简符号，再由交换律与结合律变形，最后由有理数加减运算法则计算即可得到答案； （2）先计算乘方运算，再计算绝对值，然后计算除法运算，最后由有理数加法运算计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减运算，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． （1）直接合并同类项即可得到结果； （2）利用乘法分配律去括号，再合并同类项即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解． 【小问1详解】 解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； 【小问2详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确去括号、合并同类项是解题的关键． 将原式去括号，合并同类项，然后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式 ． 21. 一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，求每件服装的标价是多少元？ 【答案】每件服装的标价是200元 【解析】 【分析】设每件服装的标价是x元，根据该服装的进价不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】设每件服装的标价是x元，根据题意得， 0.5x+20=0.8x －40 解得 x=200 答：每件服装的标价是200元. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 22. 如图所示是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：含有字母的面向外），请根据要求回答问题： （1）如果面A在长方体的上面，那么下面是______； （2）从右面看是面C，从上面看是面E，那么前面是______； （3）如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征，即“相间、端是对面”进行判断即可； （2）根据各个面之间的相邻、相对关系进行判断即可； （3）根据长方体表面积的计算方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：由长方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，“”与“”是对面，如果面在长方体的上面，那么下面是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：从右面看是面，从上面看是面，那么前面是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意得，长方体的长为、宽为，D面的宽为， 所以这个长方体的表面积是， 答：这个长方体的表面积为． 23. 如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分和． （1）求的度数； （2）如果，求的度数． 【答案】（1）90° （2）155° 【解析】 【分析】（1）由OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC得，即可得∠DOE； （2）由∠COD＝65°可得∠AOC＝130°，故可知∠BOC＝50°，由角平分线的定义可知∠COE，即可求∠AOE． 【小问1详解】 解：∵点A，O，B在同一条直线上， ∴∠AOB＝180°， ∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 ∵∠COD＝65°，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠AOC＝2∠COD＝2×65°＝130° ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣130°＝50°， ∴， ∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝130°+25°＝155°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和角的和差，关键是掌握角平分线的定义，结合图形求解． 24. （1）在如图所示的方格纸中（单位长度为1），经过线段外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段的垂线和平行线． （2）判断的位置关系是______． （3）连接和，则三角形的面积是______． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查了平行线、垂线，关键是熟练掌握过直线外一点作直线的平行线、垂线的方法，还要熟练掌握三角形的面积公式． （1）过点C作的矩形的对角线所在的直线，可得的垂线和平行线； （2）根据平行线公理的推论得出与的位置关系是：垂直； （3）设小方格的边长为1，利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：（1）如图，垂线和平行线即为所求． 的位置关系是， 理由：∵， ∴． 故答案为：． （2）如图，连接和， 设小方格的边长为1，则三角形的面积是． 故答案为：10． 25. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． （1）如图①所示，已知，，是的内半角，则 ． （2）如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ （3）已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能，秒或30秒或90秒 【解析】 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，根据旋转的性质求解，几何问题(一元一次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先根据内半角的定义求出，从而可根据，利用求解； （2）先根据旋转的性质得出，从而可得，，再根据内半角的定义得出关于的方程求解即可； （3）分射线在内、射线在外部（有以下两种情况）三种情况讨论，分别求得旋转的时间． 【小问1详解】 解：∵，是的内半角， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 解：由旋转可知，， ∴， ， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：， 当旋转的角度α为时，是的内半角； 【小问3详解】 解：能，理由如下， 由旋转可知，；根据题意可分以下三种情况： ①当射线在内，如图④， 此时，，， 则是的内半角， ∴，即， 解得：（秒）； ②当射线在外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，，， 则是的内半角， ∴，即， 解得：（秒）； 如图6，此时，，， 则是的内半角， ∴，即， 解得：（秒）； 综上，在旋转一周的过程中，射线、、、构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学周末作业 一、选择题（共8小题） 1. 在以下生活场景中，用到“两点之间，线段最短”的数学事实的是（　　） A. 为了缩短路程，将弯曲的小路改直 B. 用两颗钉子将木条固定在墙上 C. 沿着与起跳线垂直的方向测量跳远成绩 D. 为了把墙砌直，在两端用木条拉一条参照线 2. 若，则的余角为（ ） A. B. C. D. 3. 如图点在线段上，且，则线段与线段的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB上任意一点，则下列表示线段关系的式子不正确的是（ ） A. AB=2AC B. AC+CD+DB=AB C. CD=AD-AB D. AD=（CD+AB） 5. 如图所示，钟表上显示的时间是10时10分，此时，时针和分针的夹角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则用度、分、秒表示为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与相交于点O，射线在内部，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题） 9. 如图，C，D为线段上两点，，，若D是线段的中点，则线段的长度为________． 10. 如右图，C是线段AB上任意一点，M，N分别是AC，BC的中点，如果 AB＝12cm，那么 MN的长为 cm． 11. 如图，直线相交于点，，，则______． 12. 一个角的补角比它的余角的2倍多，则这个角的度数是______． 13. 如图，在中，，，，，点D是线段边上的动点，则线段的最小值为___________． 14. 如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，其理由是________． 15. 如图，是上一点，且直线与的夹角，则直线绕点按逆时针方向至少旋转___________度，才能使． 16. 如图，是的平分线，射线在内，是的平分线，已知，那么的度数为_____． 三、解答题（共9小题） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 化简： （1）； （2）． 19. 解方程： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元，求每件服装的标价是多少元？ 22. 如图所示是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：含有字母的面向外），请根据要求回答问题： （1）如果面A在长方体的上面，那么下面是______； （2）从右面看是面C，从上面看是面E，那么前面是______； （3）如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 23. 如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分和． （1）求的度数； （2）如果，求的度数． 24. （1）在如图所示的方格纸中（单位长度为1），经过线段外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段的垂线和平行线． （2）判断的位置关系是______． （3）连接和，则三角形的面积是______． 25. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． （1）如图①所示，已知，，是的内半角，则 ． （2）如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ （3）已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $