2025-2026学年湘教版数学八年级上册期末模拟试卷

2025-2026年八年级数学上册(湘教版2024)期末模拟试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项． 【详解】∵因式分解需满足右边为整式的积， A：右边含分式 ，不是整式，不符合因式分解概念，不是因式分解； B：右边是差的形式，不是积，不符合因式分解概念，不是因式分解； C：该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，不符合因式分解的概念，不是因式分解； D：右边是整式的积，符合因式分解概念，是因式分解； ∴故选：D． 2．“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．据此求解即可． 【详解】解：． 故选B． 3．下列四个命题，其中真命题的个数是（   ） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线的性质、垂线的性质以及点到直线的距离的概念． 逐一判断每个命题的真假． 【详解】解：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等的前提是两直线平行，否则不一定成立，故①是假命题； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②是假命题； ③平行于同一条直线的两条直线平行，这是平行公理的推论，故③是真命题； ④点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段本身，故④是假命题； ∴真命题只有③，共1个． 故选：A． 4．已知，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，根据题意可求出和的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， 故选：D． 5．如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质求出，再利用即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解决本题的关键． 设规定时间为x天，根据题意，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为．快马速度是慢马速度的倍，据此列方程即可． 【详解】解：设规定时间为x天， ∵慢马所需时间为天， ∴慢马速度为； ∵快马所需时间为天， ∴快马速度为； ∵快马速度是慢马速度的倍， ∴， 故选A． 7．如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线性质是关键．根据作图得到垂直平分，进而得到，得到，再根据三角形的内角和，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ， ， ， ， ； 故选：A． 8．如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解这个方程得：， 故选：C． 9．如图，，点、、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A． B．2025 C． D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由题意得：，推出，，即的边长为；同理可得：，，即的边长为；，，即的边长为；即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴，即的边长为； 同理可得：， ∴，即的边长为； ， ∴，即的边长为； …. ∴的边长为， 故选：C 10．如图，在中，，，平分，平分，且交于点，延长至点，使，连接；延长交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等，由“”可证，即可判定①；由全等三角形的性质得，进而可得，即得，即可证，得到，假设，则，连接，可证，得到，即得，可得四边形是正方形，得，与矛盾，即可判定②；利用全等三角形的性质可判定③和⑤；由为的垂直平分线，得，再根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，即得，即可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设，则，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，与矛盾， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ， 即，故⑤正确； ，， 为的垂直平分线， ， ∴， ， ， 又平分，平分， ， ， ∴， ∴， ∴， 即，故④正确； 综上，①③④⑤正确， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．计算的结果是 【答案】6 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算括号里面的，再计算乘法即可． 【详解】解： ， 故答案为：6． 12．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 ．(写出一个即可) 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 首先根据已知条件，再结合全等三角形的判定方法来添加合适的条件，使得两个三角形全等即可． 【详解】解：∵点B，E，C，F在同一条直线上，，，即已知一组等边和一组等角， ∴若添加，即可满足， 故答案为：(答案不唯一)． 13．要使代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题主要考查了二次根式及分母有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数非负；根据分式有意义的条件，分母不为零；综合两者求交集． 【详解】要使代数式有意义，需同时满足以下条件： 对于分子，有，即； 对于分母，有，即； 因此，实数的取值范围是且． 故答案为：且． 14．若，，则的值为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键． 通过因式分解，将原式化为，然后代入已知条件计算． 【详解】 ； ，， 所以原式 ． 故答案为：9． 15．如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 16．如果关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组无解，那么符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，解分式方程，解决此题的关键是理解不等式组无解的意义，以及分式方程有正整数解．首先求解分式方程，得到参数的可能取值；再根据不等式组无解的条件筛选的值；最后计算符合条件的整数的和． 【详解】解：分式方程， 方程两边同乘以，得， 整理得， 解得， 为正整数， 是的正因数（，，，，，）， ，即， ，解得， 的取值为，，，，， 取值为，，，，； 解不等式得，， 不等式组无解， ， 取值为，，，，（排除）， 符合条件的所有整数的和是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(6分)分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握好“一提二套三分组四检查”的口诀是关键． （1）用提取公因式法进行因式分解； （2）先提公因式，再用公式法进行因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 18．(6分)先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则以及分式有意义的条件． 先化简分式，通过通分和乘法运算得到最简形式，再根据取值范围选择合适的整数代入求值，注意分母不为零的条件． 【详解】解： ∵ ， ∴整数 的值为 ， 又∵ 且（分母不为零）， ∴ ， ∴原式． 19．(8分)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）直接运用二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 20.(8分)如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 21.(10分)2025年湘超联赛火爆三湘大地，赛事带动关联消费突破200亿元，印有联赛专属Logo和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用6000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用15000元购入第二批，所购数量是第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵10元． (1)该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ (2)如果两批T恤按相同标价销售，最后50件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除450元快递及包装费用），利润率不低于，那么每件T恤的标价至少是多少元？ 【答案】(1)第一批进价40元，第二批进价50元 (2)元 【分析】本题考查分式方程的实际应用及不等式的实际应用，解应用题时需要理清楚数量关系，找到合适的量设未知数，根据题意列出方程或不等式，注意分式方程求解需要检验． （1）设购进第一批T恤衫每件的进价是元，根据两次购买数量关系列分式方程求解即可； （2）设每件T恤衫的标价是y元，通过利润率不低于列不等式，求解范围即可． 【详解】（1）设购进第一批T恤衫每件的进价是元，则第二批T恤衫每件的进价是元； 由题意得， 解得， 经检验为分式方程的解且符合题意， ， 答：购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批T恤衫每件的进价是50元； （2）设每件T恤衫的标价是y元， 第一次购进件，第二次购进件， 利润为：， 利润率不低于， 则 解得， 答：每件T恤衫的标价至少是元． 22．(10分)如图，在中，，，是边上一点（点不与，重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由余角性质可得，进而根据判定定理“”即可求证； （）由直角三角形两锐角互余得，又由全等三角形的性质得，即得到，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 23．(12分)如图，在中，，． (1)如图，点是边上一点，作，． ①求证：； ②连接，若，，求边的长； (2)如图3，是内部一点，，连接，若，，求点到的距离． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）①证明，得出； ②由全等三角形的性质得出，，证出，设，则，由勾股定理得出，解方程可得出答案； （2）过点作，交的延长线于点，求出，由勾股定理得出，，由面积法可得出答案． 【详解】（1）①证明：， ， ． 又，， ， ； ②解：， ，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ； （2）解：过点作，交的延长线于点， 由（1）知， ，， ，， ， ， ， ， ， ． ． ， 设点到的距离为， . ， ． 即点O到的距离为 24．(12分)如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)2 (2)①；②1 (3)或 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式化简求值，分式方程无解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求，再得出“和整值”； （2）①先求得，再根据与互为“和整分式”，且“和整值”，求得所代表的代数式； ②先求得，再根据题意求出的值； （3）先由（2）求出代入，得到分式方程，再分与两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴与互为“和整分式”， ∴“和整值”； （2）①∵，， ∴， ∵与互为“和整分式”，且 “和整值”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴，且， ∴，且， ∵分式的值为正整数， ∴，且，正整数， ∴可以取1，2， 当时，， 当时，， 又为正整数， ∴不符合， 故； （3）由（2）得， ∴ ∵，，， ∴， 情况1：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，方程无解， 此时； 情况2：当时，方程有增根， 则增根为， 将代入， 得， 解得：； 综上所述，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年八年级数学上册（教版2024）期末模拟试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为() B.x2-4x+3=(x-22-1 C.（x+1)=x2+2x+1 D.a2-6a+9=(a-32 2.“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开."若苔花的花粉直径约为0.00000838米.则数据 0.00000838用科学记数法表示为() A.8.38×10-7 B.8.38×106 C.-8.38×10 D.-8.38×107 3.下列四个命题，其中真命题的个数是() ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等：②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直：③平行于同一 条直线的两条直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离： A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.已知a=3,a’=2,则a2-y=() A.3 B.1 4 c D.9 8 5.如图是一架婴儿车的示意图，其中AB∥CD,∠1=110°，∠2=70°，则∠3的度数是() A.30° B.40° C.50 D.60° 6.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的 城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，己知快马的速度是 慢马的倍，求规定时间.设规定时间为x天，则所列出的分式方程正确的是() A. 8005800 x-22x+ B.800-5800 x+22x 1/5 c.800-5800 一X D.800-5.800 =X x-12x+2 x+12x-2 7.如图，在ABC中，∠4=40°，∠B=35°，分别以点B,C为圆心，以大于BC长为半径画弧，交于 点M，N,连接MN交AB于点D,连接CD,则∠ACD的度数为() A.70° B.60 C.65° D.750 8.如图，在长方形ABCD中，AB=8，,AD=16,将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，则AE的长 度为() G A.4 B.5 C.6 D.7 9.如图，∠MON=30°，点A、4、A、A在射线ON上，点B、B、B在射线OM上，△4BA、 △A,B,4,、△4，B,A均为等边三角形，依此类推，若OA=1,则△A025B202sA26的边长为() M B. B B 7八 A N A.22025 B.2025 C.22024 D.2024 10.如图，在ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,且AD,BE交于点 O,延长AC至点P,使CP=CD,连接BP,OP;延长AD交BP于点F,则下列结论：①BP=AD;② BF=CP;③BP=2PF;④PO⊥BE;⑤AC+CD=AB·其中正确的是() 2/5 C E A.①③⑤ B.①③4⑤ C.①②③④ D.①②③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.计算√2×V⑧+√2)的结果是 12.如图，点B,E,C,F在同一条直线上，BC=EF,LACB=∠F,只需添加一个条件即可证明 △ABC≌△DEF,这个条件可以是 ·(写出一个即可) A D G 13.要使代数式-2有意义，则实数x的取值范围是 x-4 14.若a+b=3,ab=1,则ab+2a2b2+ab3的值为 15.如图，在等边ABC中，AB=4,点D是BC边上一动点，连接AD,将AD绕点A逆时针旋转60°得 到AE,点F是AC边的中点，连接CE、EF,则EF的最小值是 16.如果关于x的分式方程2++2=4 3-x 术正装致解，且关于少的不等式短，引>无解，事么行 y≥a 合条件的所有整数a的和是 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分)分解因式： (1）2mn2+mn; (2）2a3-12a2+18a. 18.(6分)先化简 x-1 x2+2x+1 然后再从-2<x<2的范围内取一个合适的整数作为x的值代入 求值， 3/5 19.(8分计算： (1)42+8-V18: (2)3+V5)3-√5)+(5-1)2. 2O.(8分)如图，锐角ABC中，点E是AB边上一点，BE=CE,AD⊥BC于点D,AD与EC交于点G. E G B D (1)求证△AEG为等腰三角形； (2)若GD=5,G为CE中点，求AG的长. 21.(10分)2025年湘超联赛火爆三湘大地，赛事带动关联消费突破200亿元，印有联赛专属L080和热门球 员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品.某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用6000元购进 批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用15000元购入第二批，所购数量是 第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵10元. (1)该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ (2)如果两批T恤按相同标价销售，最后50件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除450 元快递及包装费用)，利润率不低于20%，那么每件T恤的标价至少是多少元？ 22.(10分)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是AB边上一点（点D不与A,B重合），连接 CD,过点C作CE⊥CD,且CE=CD,连接DE交AC于点F,连接AE. D (1)求证：△ACE≌△BCD; (2)求证：AE⊥AB. 23.(12分)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC. 图1 图2 图3 (1)如图，点D是边BC上一点，作BE⊥AD,CF⊥AD. 4/5 ①求证：AF=BE; ②连接CE,若AE=2BE,CE=5,求边CF的长； (2)如图3,0是ABC内部一点，∠A0B=90°，连接CO,若LA0C=LB0C,A0=1,求点0到BC的距 离. 24.(12分)如果两个分式M与N的和为常数k,且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和 整值”，如分式M二本N,M+N=生，则M与N互为和整分式，路值 x+1 x+1 四已知分式A,B3断A与8足否互为和整分式，若不是，晴说明理南：若是，请求出 Γ2-x “和整值”k; 《之)已▣是，2=之 )=x一4'C与D互为和整分式”，且“和整值”=3，若x为正整数，分式D的 值为正整数t. ①求G所代表的代数式： ②求x的值； 3)在(2)的条件下，已知分式P=3x-5, 3,9=”一3，且P+9=1,若该关于x的方程无解，求实数m 3-x 值. 5/5