2025年冬季奥林匹克“丁一杯”数学活动全国总测试八年级试题

2025冬季“丁一杯”全国总测试八年级参考答案 一、填空题（每小题8分，共64分） 1.3:41562.21783.9或74.-或-15.426.37.127.5°或150°或105°8.4 4 二、计算题（共2题。每题10分，共20分） 9. 解： ,x-y=5 .(x-y)2=25 即x2+y2-2y=25 x2+y2=13 .2.y=-12 .y=-6 原式=x(2-2+y 3 妙 (-625 =300 10. 原式=7108×32w0+30X50 319s×7200+720x5200 719983200×1+52000) =319ws×7200×1+520) 719832000 3198X7200 32 、9 49 三、解答题（共5题。第11-13题各12分，第14-15题各15分，共计66分) 11. (1)解：设小明每次取白球x个，则小明每次取红球(x+1)个，小丽每次取白球x个，小丽每次取红球(x+3) 个。设小丽取球y次。则小明取球(y+3)次。 白球数量关系n=x(y+3), ∵n=y+9 .x(y+3)=y+9 9y+3x=y+9 3x=9 解得x=3 故答案为：3 (2)解：设小明每次取白球x个，则小明每次取红球(x+)个，小丽每次取白球x个，小丽每次取红球(x+3) 个，设小丽取球y次，则小明取球(y+3)次。 ,x=3 .小明每次取红球3+1=4个，小丽每次取红球3+3=6个 那么由红球的数量关系 .=4y+3)+6,m=6y .4y+3)+6=6y 4y+12+6=6y 2y=18 解得y=9 .m=6×9=54,n=3×9+9=36 12. :BA,平分∠ABC,CA平分∠ACD, =∠ABC,AcD=∠AcD, ∠CBA=2 又∠ACD=∠A+∠ABC, 由∠A+∠A,BC=∠ACD, 得∠A=∠A,CD-∠A,BC 24+∠AB2 同可求，44宁AA4么 以此类指，可得、AA 当n=2020时，∠A2020= ∠A又A0 13. 解：设x2+y2+二=ax2+y+2=b,x+y2+2=c,其中a,b,c为整数， b-c=(2+y+z2)-(x+y2+z)=x2-x+y-y2, a-b=(x2+y2+)-(x2+y+z2)=y2-y+z-z2, a-c=(x2+y2+z)-(x+y2+z2)=x2-x+z-z2, b-c-(y-y2)=a-c-(2-z2), 即 b-a=(y-y2)-(2-22) 因为a、b为整数，所以b-a是整数， 那么(y-y2)-(z-z2)是整数。 因为、为有理数，设y=”,2=巴m,n,P,9为整数，n,q>0,且m与n、p与q互质， 则y-y2=m2_m-m2 nnn 2-z2=卫p=g-p2 gg g 将两式通分，0-y)-G-)=n-mgpg-pm2 n'g' 因该式是整数，故n'q整除分子，结合m与n互质，p与q互质，可得n整除g且q整除n2, 因此n=q。 即-少和：-的分母均为，可表示冬、k,内数，其差为整数意味有整除-小 由x2-x=b-c-(y-y2),因为b-c是整数，y-y2是整数， 所以x2-x是整数。 x2-x=x(x-1), 设x=、s为整数，s≠0，则(x-D=仁-D=0） 2 由于x-是整数，所以心是整数，这意味着5=1 所以x是整数，那么2x也是整数。 综上，2x为整数得证。 14 解： 设2025x3=2026y3=2027=3=k,则可得k≠0， 0z>0 205=专206-a027- 242an6+2m:-是+月 :V2025x2+2026y2+2027=2=V2025+/2026+2027 :k≠0，z>0 .x>0,y>0,=>0 1,1,11.1,1 方步+ 2++-+1 xyxy 1L+1-1 x yE 15. 解：设矩形ABCD的边AD=BC=a米，AB=CD=b米，乙追上甲的时间是在出发后的t分， 由题意可得：71=651+2a+d,解得：1一2)，草乙第次逅上甲所销的路程为（ 9×740米， 2a+ 乙危上年的时间是在出发后的2)分，乙第一次近上甲流的路程 2a+b×7④米， 9 假设这时乙跑过的圈数为P, p=74(2a+D_372a+b=4+38a+b 9-7a+44 ,则4<P<9 则9[2(a+b)]9(a+b) '9(a+b)9(a+b) 当38a+b<9a+b),即a<8时，38a+b<l 29 9(a+b) 因而乙至少跑第5圈时才能第一次追上甲。 当7a+44b<9(a+b),即a> 3b时，7a+4地<1. 3 2 9(a+b) 因此乙至多在跑第9圈时一定能追上甲。绝密★启用前 2025年冬季奥林匹克“丁一杯数学活动全国总测试 (2026年1月) 选手须知： 1.本卷共三部分，第一部分：填空题，共计64分；第二部分：计算题，共计20分；第三部分： 解答题，共计66分： 2.答题前请将自己的姓名、年级、教室编号、活动证号写在规定的位置； 3.测试时不能使用计算工具： 4.测试完毕时试卷和草稿纸将被收回。 题号 三 总分 核查人 铷 得分 7o 鼢 八年级试题 (本试卷满分150分，考试时间90分钟) 得分 长 评卷人 一、填空题（每题8分，共计64分） 1.如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字不为0，且满足ab+bc=cd,那么称这个四位数为 K “金童数”。例如：四位数2358,23+35=58，.2358是“金童数”；又如：四位数1645,16+64≠45， 1645不是“金童数”，若一个“金童数”为m369,则m的值为 一。若一个“金童数”A的前三 个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bca的差，再减去6a,结果能被5整除，则满足条 件的A的最大值为 2.若一个四位数与4的乘积是这个四位数的反序数（如1234的反序数是4321），则这个四位数是 杯 、o 3.甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核 解 桃总数是365个，则丙组有」 名同学。 4.设在平面直角坐标系中，对于点P(x,),若点2为(x一y,ax+y),则称点是点P的“a阶 智慧点”(a为常数，且a0),例如：点P(1,3)的“2阶智慧点”为点Q(1一2×3,2×1+3)，即点 Q(一5,5)。若点C+2,1一3m的“一5阶智慧点”到x轴的距离为1，则m的值 5.把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三 毁 角形，叫作多边形的三角剖分。七边形的三角剖分方法有 种。 6.若[x]表示不超过x的最大整数，有序正整数组(x,x2,x,x)满足x<2<x<x4,且 八年级第1页 会产了-，病2紧作组有 组。 7.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC等于a,点D是等边△ABC外一点， ∠OCD=60°，OC=CD,连接OD、AD。则当a的度数为 时△AOD是等腰三角形。 8.如图，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C,DE=BC,AE=AC,过A作AF⊥DE,垂足为F,DE交 CB的延长线于点G,连接AG。若四边形ADGB的面积为24，AF=6,则FG的长是 (第7题图) E(第8题图) 得分 二、计算题（每题10分，共计20分） 评卷人 9计第：已短y=5,+=13,求代数武+5的位。 1 32000+152000 10.计算：（写）18 72000+352000 八年级 第2页 得分 三、解答题（第11-13题各12分，第1415题各15分，共计66分） 评卷人 11.箱子里有个红球，个白球，小明、小丽分别按下列方式取球：小明的取法是每次取相同数量的球， 其中红球数比白球数多1个，连续取了几次后（不放回），箱子里只剩下6个红球：小丽取法是每次取相同数 量的球，其中红球数比白球数多3个，小丽每次取的球中的白球数与小明每次取的球中的白球数相同，连续取 了几次后（不放回），箱子里只剩下9个白球。己知小明取球的次数比小丽多3次。 (1)求小明每次取的白球数。 (②)求、n的值。 12.如图，在△ABC中，∠A°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1,∠A1BC和∠ACD的 平分线交于点A2,得∠A2,…,∠A2019BC和∠A2019CD的平分线交于点A2020,求∠A2020 A B （第12题图) 13.已知x,y,z为有理数，且x2+y2+z,x2+y+z2,x+y2+z2为整数，求证：2x为整数。 八年级 第3页 14设20253=2026y=20272,且.2>0，且202s2+20262+20272-2025/2026+202,求++} x y Z 的值。 國 如 15.甲、乙两人分别从矩形跑道ABCD的A、B两点同时出发，并沿矩形按逆时针方向前进（即沿 鄜 A→B→C→D→A→B→C..的方向前进)，若甲的速度是65米/分，乙的速度是74米/分，则乙至 少在跑第几圈时才有可能第一次追上甲？乙至多在跑第几圈时一定能追上甲？ 舒 长 区 郑 郝 韶 八年级 第4页