精品解析：福建省厦门市同安实验中学2025-2026学年高二上学期数学周测8

厦门市同安实验中学2025-2026（上）高二数学周测8 班级 姓名 座号 一、选择题（每题6分） 1. 经过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线，交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 26 2. 双曲线的焦点在 上，渐近线方程是 （ ） A. x轴， B. x轴， C. y轴， D. y轴， 3. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 6. 已知是双曲线的两个焦点，点M在双曲线上，如果，求的面积． 7. 变化时，方程表示的曲线的形状可以是（ ） A. 两条平行直线 B. 圆 C. 焦点在轴上的椭圆 D. 焦点在轴上的双曲线 8. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，下列结论正确的是（ ） A. 点到直线的距离为 B. 直线到直线的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 直线到平面的距离为 三、填空题 9. 对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线的标准方程是____． 10. 如果椭圆的一个焦点坐标为，过此焦点且垂直于轴的弦的长等于，则这个椭圆的标准方程为_______. 四、解答题 11. 已知点，直线与的斜率之积为．记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若是直线被曲线所截得的线段的中点，求直线的方程． 12. 已知椭圆，，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2025-2026（上）高二数学周测8 班级 姓名 座号 一、选择题（每题6分） 1. 经过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线，交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】椭圆方程，左、右焦点分别为，，利用椭圆的定义求解． 【详解】椭圆方程，设椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆长轴长， ，，得的周长为． 故选：C 2. 双曲线的焦点在 上，渐近线方程是 （ ） A. x轴， B. x轴， C. y轴， D. y轴， 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和性质进行判断求解即可. 【详解】由得：，故双曲线焦点在y轴上，， 对于焦点在y轴上的双曲线，渐近线方程为，故渐近线为 . 故选：C. 3. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，，根据空间向量共线的坐标表示可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为是直线的方向向量，是平面的法向量，且， 则，则，所以，，解得，， 因此，. 故选：D. 4. 直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 联立直线与曲线方程消元，利用根的判别式求出参数的取值范围. 【详解】解：联立直线与椭圆方程得消去得 二次项系数 因为直线：与椭圆：有公共点， 解得或即 故选： 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题. 5. 一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】设动圆圆心，与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，列出几何关系式，化简，再根据圆锥曲线的定义，可得到动圆圆心轨迹. 【详解】设动圆圆心，半径为，圆x2+y2＝1的圆心为，半径为， 圆x2+y2﹣8x+12＝0，得，则圆心，半径为， 根据圆与圆相切，则，，两式相减得， 根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支. 故选：C 【点睛】本题考查了两圆的位置关系，圆锥曲线的定义，属于基础题. 6. 已知是双曲线的两个焦点，点M在双曲线上，如果，求的面积． 【答案】16 【解析】 【分析】根据双曲线方程，可求得a，b，c的值，不妨设，根据双曲线定理，可得，根据题干条件，可得，联立可得的值，代入面积公式，即可得答案. 【详解】由题意得，所以，不妨设， 根据双曲线定义可得①， 又， 所以② ①②联立解得， 所以的面积 7. 变化时，方程表示的曲线的形状可以是（ ） A. 两条平行直线 B. 圆 C. 焦点在轴上的椭圆 D. 焦点在轴上的双曲线 【答案】AB 【解析】 【分析】根据符号, 对角分五类进行讨论, 由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状即可. 【详解】当 时, , 方程 ,得 表示与 轴平行的两条直线;故A正确； 当 时, , 方程 表示圆心在原点的单位圆;故B正确； 当 时, , 方程 表示中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆;故C错误； 当 时, , 方程 表示焦点在 轴上的双曲线; 当 时, , 方程 表示焦点在 轴上的等轴双曲线. 故D错误； 故选：AB. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，下列结论正确的是（ ） A. 点到直线的距离为 B. 直线到直线的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 直线到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A选项，求解，夹角的正弦值，再进行求解即可；对于B选项，，所以两直线的距离可转化为点到直线的距离进行计算；对于C选项，求解平面的法向量，在通过点到平面的距离公式进行计算即可；对于D选项，由可知平面，所以线面距离可按照点到平面的距离来算. 【详解】因为六面体为正方体，所以，，， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 因为正方体棱长为，所以，，，，，，，， 因为为线段的中点，为线段的中点，所以， 所以对于A选项，，， 设，夹角为，点到直线的距离为，所以， ，所以，故A正确； 对于B选项，，， ，， 所以直线到直线的距离转化为点到直线的距离， 所以直线的一个单位向量， 所以到直线的距离为，故B正确； 对于C选项，设平面的法向量为，，， 所以，即，令，所以，， 所以，所以点到平面的距离为，故C错误； 对于D选项，因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离转化为到平面的距离，， 所以到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 9. 对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线的标准方程是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点坐标及题意，设方程为，根据焦点坐标，可求得，即可得答案. 【详解】因为一个焦点是，所以，且焦点在x轴， 所以设等轴双曲线方程为， 所以，解得， 所以双曲线标准方程为 故答案为： 10. 如果椭圆的一个焦点坐标为，过此焦点且垂直于轴的弦的长等于，则这个椭圆的标准方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意得到，再解方程组即可. 【详解】设椭圆的标准方程为， 由题知：， 所求椭圆的标准方程为. 故答案为：. 四、解答题 11. 已知点，直线与的斜率之积为．记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； （2）若是直线被曲线所截得的线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1）曲线的方程是且，曲线是不含长轴端点的椭圆. （2）. 【解析】 【分析】（1）设所求轨迹上任意点，根据斜率公式和，即可求解. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理可得，求解即可. 【小问1详解】 设，则直线的斜率， 直线的斜率. 由题意得，． 化简，得且. 所以曲线的方程是且，曲线是不含长轴端点的椭圆. 【小问2详解】 由题意及椭圆的对称性可知，直线的斜率存在且不为0. 设直线的方程为，与曲线的方程联立，得 消去，整理得. 设，则. 由题意得，， 解得， 所以直线的方程为，化为一般式，得. 12. 已知椭圆，，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解； （2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 由题意得：，即则， 所以的标准方程为：. 【小问2详解】 由题意设， 联立，消去得：， 则， 则， 可得， 设直线与轴的交点为，且，则， 故，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $