精品解析：江苏省无锡市江南中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

2024-2025学年江苏省无锡市江南中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 在平面内，已知的直径为，点P与圆心O的距离为，则（ ） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点P到圆心O的距离为， ∴， ∴点P与的位置关系是：P在上． 故选：A． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 直径所在直线是圆的对称轴 B. 同弧所对的圆周角相等 C. 直径是弦 D. 平面上三个点确定一个圆 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆的对称轴、圆周角定理的推论、确定圆的条件等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 直径所在直线是圆的对称轴，故选项说法正确，不合题意； B. 同弧所对的圆周角相等，故选项说法正确，不合题意； C. 直径是弦，故选项说法正确，不合题意； D. 平面上不在同一直线上的三个点确定一个圆，故选项说法错误，符合题意． 故选：D 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程只有一个实数根 D. 方程没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟记当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键；计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 如图，张老汉想用长为75米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈，并在边上留一个5米宽的门（门用其他材料）．设的长为x米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，用含x的式子表示出的长，矩形的面积等于长乘宽，由此可得答案． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 故， 故选B． 6. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 16 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理，得到，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径，且， ∴， ∵ ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 7. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理的推论等知识．根据圆内接四边形的性质得到，则的度数是，根据得到的度数是，利用圆周角定理的推论即可得到的度数． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴的度数是， ∵， ∴的度数是， ∴， 故选：B 8. 已知的半径为1，则长为的弦所对的圆周角的度数为( ) A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理；根据题意画出图形，由垂直于，利用垂径定理得到为的中点，求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出，确定出三角形为等腰直角三角形，同理三角形为等腰直角三角形，确定出度数，利用圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求出与的度数． 【详解】解：如图所示， ， 为的中点，即， 在中，，， 根据勾股定理得：，即， 为等腰直角三角形， ， 同理， ， 与都是的圆周角， ， ∵四边形是圆内接四边形， ， 弦所对的圆周角为或， 故选：C． 9. 对于一元二次方程，下列说法：①若是方程的一个根，则；②若且，则，；③若方程存在两个根，，则方程的两个根为，；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中一定正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的解是指使得方程两边相等的未知数的值，理解并灵活的运用一元二次方程的解的概念是解题的关键；根据一元二次方程的解的定义逐项分析即可． 【详解】解：①当时，， 故本选项符合题意； ②且， 时，，当时，， 方程的两个根为， ，， 故本选项符合题意； ③方程存在两个根，， 或4， 方程的两个根为，， 故本选项符合题意； ④ 是方程的一个根， ，即， 或， 故本选项不符合题意； 综上所述，一定正确的是①②③， 故选：C． 10. 如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，且．若点A的坐标为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点Q作，交于点M，以点M为圆心，为半径作圆，连接交于点，证明，得出，求出，证明，得出，说明点Q在上，当M、Q、C在同一直线上，即Q与重合时，最小，根据勾股定理求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，过点Q作，交于点M，以点M为圆心，为半径作圆，连接交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在上， ∴当M、Q、C在同一直线上，即Q与重合时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴最小值为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，找出使最小时，点Q的位置． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．） 11. 若方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，列出条件求解． 【详解】解：由一元二次方程的定义，需满足： 解得， 所以． 又，即， 因此． 故答案为：． 12. 已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是方程的两个根，那么，，由此可得，，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 故答案为：9． 13. 下表是某公司1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，则可列出方程为______． 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用， 3月份的收入月份的收入月收入的增长率，由此可解． 【详解】解：由题意知，1月份收入10万元， 则2月份收入万元，3月份收入万元， 则可列方程为：， 故答案为：． 14. 如图，E是的外心，P，Q分别是，的中点，连接，，交于F，D两点．若，，，则的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查三角形的外心，垂直平分线的性质，三线合一，先根据已知条件证明垂直平分，垂直平分，进而得出，，等量代换即可求解． 【详解】解：如图，连接，， E是的外心， ， P，Q分别是，的中点， ，， 垂直平分，垂直平分， ，， 的周长， 故答案为：12． 15. 如图，四边形是的内接四边形，若 则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ， ． 故答案为：． 16. 已知，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、根的判别式，令，原方程变形为，求出m的值，再判断得到的方程是否有实数根，即可求解． 【详解】解：令，原方程变形为， 即， 解得，， 当时，，即， ，该方程无解，不合题意； 当时，，即， ，该方程有解，符合题意； 故， 故答案为：1． 17. 一圆的半径是10cm，圆内的两条平行弦长分别为12cm和16cm，则这两条平行弦之间的距离为________． 【答案】14cm或2cm 【解析】 【详解】有两种情况：①如图，当AB和CD在O的两旁时，过O作MN⊥AB于M，交CD于N，连接OB，OD， ∵AB∥CD， ∴MN⊥CD， 由垂径定理得：BM=AB=8cm，DN=CD=6cm， ∵OB=OD=10cm， 由勾股定理得：OM==6cm， 同理ON=8cm， ∴MN=8cm+6cm=14cm， ②当AB和CD在O的同旁时， MN=8cm−6cm=2cm， 故答案为14cm或2cm. 18. 如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在x轴和函数的图像上，且．作，（点C在直线的上方），则线段的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，如图，以为斜边向上作等腰直角，连接．求出，根据，可得结论． 【详解】解：如图，以为斜边向上作等腰直角，连接． ∵点B在直线上， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴点O在以D为圆心，为半径的上， ∴， ∵， ∴， 过点C作于点E，如图： 则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴当三点共线时，取得最大值， 最大值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 解方程： （1） （2） （3）（用公式法） （4）（用配方法） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，灵活选用一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程移项后运用直接开平方法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可； （3）方程运用公式法求解即可； （4）方程运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴； 【小问2详解】 解： ， ， ∴； 【小问3详解】 解： ∵ ∴ ∴； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ∴． 20. 关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求m的值及此时方程根． 【答案】（1）且 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． （1）由方程有两个实数根得，可得关于m的不等式，解之可得m的范围，结合一元二次方程的定义可得答案； （2）由（1）知，得出方程，再用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：∵， 依题意，得， 解得且； 【小问2详解】 解：∵m为正整数， ∴， ∴原方程为． 解得． 21. 已知，是方程的两个根． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是方程的两个根，那么，． （1）变形为，即可求解； （2）变形为，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，，． ； 【小问2详解】 解：． 22. 如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： （1）在图中标出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，点D的坐标为 ； （2）求的半径． 【答案】（1） 如图，D为所求；， （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，根据垂径定理的推论找出圆心是解题的关键； （1）根据垂径定理的推论可知，的垂直平分线的交点即为圆心D，进而求出坐标； （2）利用勾股定理求出即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 在中，， 的半径为． 23. 如图，已知，交于点B，． （1）求的度数； （2）求弧的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答． （1）连接，由，则，于是，而，得，由，根据，即可得到的度数． （2）由（1）得，由平角的定义得的度数，从而可求出弧的度数． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 而，得， ∴， 而， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得，， 又， ∴ ∴弧的度数为． 24. 如图，已知内接于，于点D，且线段、的长恰好是方程的两个实数根． （1）求线段的长； （2）若线段的长为10，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程、勾股定理、圆周角定理的推论、相似三角形的判定和性质等知识 （1）先求出，则，解方程得，即可得到，根据勾股定理即可求出； （2）连接并延长交于点E，则是的直径，连接，证明，则，得到，解得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵于点D， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵线段、的长恰好是方程的两个实数根． ∴， ∴； 【小问2详解】 连接并延长交于点E，则是的直径，连接， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的半径为． 25. 某公司销售一种商品，成本为4元/件，公司规定售价不能低于5元/件，物价局核定该商品的售价不能高于15元/件，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如下表： 销售单价x（元） 6 7 8 9 日销售量y（件） 90 85 80 75 （1）求出y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围； （2）该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润为375元？ （3）该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大值为多少？ 【答案】（1） （2）该商品的销售单价定为9元，公司日销售此商品获得的利润为375元 （3）该商品的销售单价定为14元，公司日销售此商品获得的利润最大，最大利润是500元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的最值问题，正确的列出函数解析式是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，将代入解方程组即可得到结论； （2）设公司日销售此商品获得的利润为w元，根据题意得， ，当时，解方程即可得到结论； （3）根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 将代入得， , 解得，， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设公司日销售此商品获得的利润为w元， 根据题意得， ， 当时， 解得（舍去）， 答：该商品的销售单价定为9元，公司日销售此商品获得的利润为375元； 【小问3详解】 解：∵， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为500， 答：该商品的销售单价定为14元，公司日销售此商品获得的利润最大，最大利润是500元． 26. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动同时，动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B匀速运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．当点P不与点A、C重合时，连结．作线段的垂直平分线交折线于点E，交于点F，交于点G，连结．设点P的运动时间为t（秒）． （1）是否存在t的值使四边形的面积为4，若存在求出此值；若不存在请说明理由； （2）当是等腰三角形时，求t的值； （3）当时，求t的值． 【答案】（1）解：不存在t的值使四边形的面积为4，理由如下： 根据题意得， ∵， ∴ ∴， 又， ∴ 整理得， ∴ ∴此方程无实数根，即不存在t的值使四边形的面积为4； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先判断是直角三角形，根据题意得根据，得，根据根的判别式得，可知结论不存在； （2）由等腰三角形的性质得出，则可得出答案； （3）由勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵垂直平分，是等腰三角形， ∴， 在中，， ∴． ∴, ∴． 【小问3详解】 解：由题意得，点为的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省无锡市江南中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面内，已知的直径为，点P与圆心O的距离为，则（ ） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 无法确定 3. 下列说法错误的是（ ） A. 直径所在直线是圆的对称轴 B. 同弧所对的圆周角相等 C. 直径是弦 D. 平面上三个点确定一个圆 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程只有一个实数根 D. 方程没有实数根 5. 如图，张老汉想用长为75米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈，并在边上留一个5米宽的门（门用其他材料）．设的长为x米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 16 C. 8 D. 12 7. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的半径为1，则长为的弦所对的圆周角的度数为( ) A. B. C. 或 D. 无法确定 9. 对于一元二次方程，下列说法：①若是方程的一个根，则；②若且，则，；③若方程存在两个根，，则方程的两个根为，；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中一定正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 10. 如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，且．若点A的坐标为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．） 11. 若方程是一元二次方程，则______． 12. 已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值为______． 13. 下表是某公司1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，则可列出方程为______． 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 14. 如图，E是的外心，P，Q分别是，的中点，连接，，交于F，D两点．若，，，则的周长为______． 15. 如图，四边形是的内接四边形，若 则的度数为_______． 16. 已知，则______． 17. 一圆的半径是10cm，圆内的两条平行弦长分别为12cm和16cm，则这两条平行弦之间的距离为________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在x轴和函数的图像上，且．作，（点C在直线的上方），则线段的最大值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 解方程： （1） （2） （3）（用公式法） （4）（用配方法） 20. 关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求m的值及此时方程根． 21. 已知，是方程的两个根． （1）求的值； （2）求的值． 22. 如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： （1）在图中标出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，点D的坐标为 ； （2）求的半径． 23. 如图，已知，交于点B，． （1）求的度数； （2）求弧的度数． 24. 如图，已知内接于，于点D，且线段、的长恰好是方程的两个实数根． （1）求线段的长； （2）若线段的长为10，求的半径． 25. 某公司销售一种商品，成本为4元/件，公司规定售价不能低于5元/件，物价局核定该商品的售价不能高于15元/件，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如下表： 销售单价x（元） 6 7 8 9 日销售量y（件） 90 85 80 75 （1）求出y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围； （2）该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润为375元？ （3）该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大值为多少？ 26. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动同时，动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B匀速运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．当点P不与点A、C重合时，连结．作线段的垂直平分线交折线于点E，交于点F，交于点G，连结．设点P的运动时间为t（秒）． （1）是否存在t的值使四边形的面积为4，若存在求出此值；若不存在请说明理由； （2）当是等腰三角形时，求t的值； （3）当时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $