专题01 二次函数综合压轴题（期末复习压轴题专项训练）数学苏科版九年级上学期

专题01 二次函数综合压轴题 目录 典例详解 类型一、二次函数的图象与性质综合（选择、填空压轴） 类型二、二次函数与几何图形综合问题（解答题压轴） 类型三、二次函数与相似三角形综合问题（解答题压轴） 类型四、二次函数与恒过定点问题（解答题压轴） 类型五、二次函数与圆综合问题（解答题压轴） 压轴专练 类型一、二次函数的图象与性质综合（选择、填空压轴题） 二次函数的图象与性质综合题必用的核心知识、解题方法、技巧、重要二级结论： 一、核心知识点 1.二次函数的三种表达式 一般式：（） 顶点式：（），顶点坐标，对称轴 交点式：（），是抛物线与轴交点的横坐标 2.开口方向：开口向上，开口向下；越大，开口越小 3.对称轴公式：（一般式） 4.顶点坐标公式：（一般式） 5.与坐标轴的交点： 轴交点： 轴交点：解方程的根 6.函数的增减性：对称轴两侧单调性相反 7.判别式：，判定与轴交点个数（两个交点，一个交点，无交点） 二、解题方法与技巧 1.表达式求解技巧 已知三点坐标→用一般式列三元一次方程组求解 已知顶点坐标+一点→用顶点式求解（代入顶点，再代入另一点求） 已知与轴两个交点→用交点式求解（代入，再代入另一点求） 2.参数分析技巧 由开口方向判断的符号；由对称轴位置（）结合的符号判断的符号；由轴交点纵坐标判断的符号； 利用“特殊点代入”分析参数关系，如时，；时，； 三、常用公式及二级结论 1.对称轴上的点横坐标恒为，到抛物线与轴两交点的距离相等； 2.若抛物线与轴两交点为、，则（韦达定理推导） 3.当和时的函数值： ，（对应抛物线上点）； ，（对应抛物线上点）。 例1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有 ． 变式1-1．已知抛物线（是常数，）经过点，且．下列个结论中正确的是 （填写序号）． ①方程有两个不相等的实数根； ②若对任意的实数m，都有，则； ③若抛物线经过点，在抛物线上有且仅有两个点到轴的距离等于n（），则； ④点，在抛物线上，且都在y轴右侧，若，则． 变式1-2．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在点与点之间（不包括这两点），对称轴为直线．有下列结论：①；②；③，④若点，在抛物线上，则．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1-3．如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点，有以下结论：；；时，随的增大而减小；对于任意实数，总有，其中结论正确的是 ． 类型二、二次函数与几何图形面积长度等综合问题（解答题压轴） 二次函数几何图形综合题常用的核心知识、解题方法、技巧、重要二级结论： 一、线段问题核心知识点 1.平面直角坐标系中两点间距离公式： 2.点到直线的距离公式：点到直线的距离 3.线段的最值：垂线段最短、两点之间线段最短 4.三角形面积公式： 基本公式： 割补法：不规则图形面积→分割为若干规则图形（三角形、矩形）面积之和/差; 铅垂高法：（核心技巧） 5.特殊四边形面积：平行四边形（底×高）、矩形（长×宽）、菱形（对角线乘积的一半） 6.铅垂高法步骤（适用于三角形顶点在抛物线上的情况） a. 设动点在抛物线上，另外两点、在直线上 b. 水平宽：（两点横坐标之差的绝对值） c. 铅垂高：（是过作铅垂线与直线的交点的纵坐标差） d. 面积表达式：，转化为二次函数求最值 7.割补法技巧：当图形不规则时，用坐标轴或平行于坐标轴的直线分割图形，分别计算面积再求和； 二、解题方法与技巧 1.动点线段长度表示：设动点坐标（如抛物线上动点），用坐标表示线段端点，代入距离公式 2.最短路径问题 将军饮马模型：作对称点，利用“两点之间线段最短”转化为求线段长度 抛物线上一点到直线的最短距离：作直线的平行线与抛物线相切，切点即为所求点； 3.关键技巧：利用坐标计算线段长度时，优先用勾股定理；角度相等可转化为斜率相等（直线平行或垂直） 三、常用二级结论 当三角形的一边固定时，面积最大的动点在与该边平行且与抛物线相切的直线的切点处； 例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，在该垂线上点P下方取一点D，使，在该垂线上点C的纵坐标为，以CD为边作矩形CDEF，若点E的横坐标为． (1)求此抛物线所对应的函数表达式； (2)当时，求矩形CDEF的周长； (3)当矩形CDEF被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值； (4)当抛物线在矩形CDEF内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 变式2-1．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求拋物线解析式： (2)点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 变式2-2．抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)如图1，点是抛物线第一象限的一点，连接，且与交于点． ①求的面积； ②设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (2)如图2，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到新的抛物线，在新抛物线对称轴上找一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点且为对角线的四边形是矩形，请求出点的坐标． 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． (1)若时， ①如图（1），直接写出抛物线的解析式； ②如图（2），若抛物线上有一点P，且P在对称轴的右侧，射线与轴交于点Q使得，求点P的坐标； (2)如图（3），当时，点P是第三象限抛物线上的一动点，分别连接，并延长交直线于M，N两点．若M、N两点的横坐标分别为m，n，试探究m，n之间的数量关系． 类型三、二次函数与相似三角形存在性问题（解答题） 二次函数与相似三角形存在性问题常用的核心知识、解题方法、技巧、重要二级结论： 一、二次函数与相似三角形存在性问题核心知识点 1.相似三角形的判定定理：AA（两角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例）； 2.相似三角形的性质：对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方； 二、解题方法与技巧 存在性判定步骤 a. 设动点坐标 b. 列出已知三角形的边长或角度关系； c. 分类讨论：根据相似三角形的对应顶点不同，分情况列比例式 · 例如：，与相似，这两种情况是不同的，第一种情况不需要讨论，而第二种情况需要先找到一对对应相等的角，然后按照对应边的不同情况分两种情况分类讨论求解。 d. 解方程并检验（舍去不符合题意的解） 例3．如图，已知抛物线交轴于两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点． (1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式； (2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值； (3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-1．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于两点（点在点的左侧），连接，，求的面积； (3)在（2）的条件下，为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点作交轴于点，过点作于，试问：是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 变式3-2．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，存在一点P，使的值最小．求点P的坐标； (3)若点M在抛物线上，轴于N点，且与相似，直接写出点M的坐标． 变式3-3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、二次函数与恒过定点问题 二次函数与恒过定点问题常用的核心知识、解题方法、技巧、重要二级结论： 一、核心知识点 1. 基础前提：点在函数图象上的条件 若点 在二次函数的图象上，则将坐标代入解析式必然成立。 2. 核心原理：方程恒成立的条件 对于含参数的等式 （ 为参数， 是关于 的代数式）： · 若该等式对所有参数 的允许值都成立，则必须满足： 二、解题方法与技巧 解题方法：参数分离法（通法） 适用于所有含参数的二次函数过定点问题，步骤清晰，不易漏解。 1. 整理解析式：将二次函数解析式整理为 “参数×关于的代数式 + 关于的代数式 = ” 的形式，即： （ 为参数， 不含参数） 2. 列恒成立方程：根据“方程对所有参数 成立”的条件，令参数的系数为0，同时常数项等于，即： 3. 求解定点坐标：解方程组，得到 的值，代入求出 ，即为定点坐标。 4. 验证（必做步骤）：将定点坐标代入原函数解析式，确认对任意参数都成立。 三、通用解题步骤 1. 审题：确定函数中的参数和自变量，明确参数的取值范围； 2. 选方法：优先用参数分离法（全面），或用特殊值法（快速）； 3. 求定点：按所选方法计算定点坐标； 4. 验证：代入原解析式，确认对所有参数成立； 5. 作答：写出所有定点坐标（注意多解情况）。 例4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点C的直线与x轴交于点D，点P为y轴右侧的抛物线上一点，过P作轴交直线于点E．若点是点E关于直线的对称点，且点落在y轴上，求点P的横坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移2个单位得到抛物线，不过原点的直线与抛物线交于点M，交y轴的正半轴于点F，直线，直线和抛物线有且只有一个公共点N，若，请你证明直线恒过定点，并求出这个定点的坐标． 变式4-1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，点坐标，过点作直线轴于点． (1)求的值； (2)直线交抛物线于点，点位于直线上方的抛物线上，求面积的最大值； (3)如图2，过点的直线与抛物线交于点，（点在点左边），点为直线上一点，直线交抛物线于点，若点为线段的中点，试问直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 变式4-2．抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)如图1，若． ①求抛物线的解析式； ②点P为抛物线上一点，若点B、点C到直线距离相等，求P点横坐标； (2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，的顶点为原点．直线（s，t为常数，）交抛物线于点P、点Q．已知点，交抛物线于点M，交抛物线于点N，连接．求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 变式4-3．抛物线交轴于，两点，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图（1），点为的中点，点为轴上一动点，以和为边作平行四边形，当点恰好在抛物线上时，求点坐标； (3)如图（2），点为直线上一点，过点的直线，与抛物线均只有一个公共点，求证：直线过定点． 类型五、二次函数与圆形综合问题 二次函数与圆形综合问题常用的核心知识、解题方法、技巧、重要二级结论： 一、核心知识点 二次函数核心知识： 1.三种表达式及关键参数 表达式 公式 适用场景 核心参数 一般式 已知抛物线上任意三点 对称轴； 顶点坐标 顶点式 已知顶点坐标 顶点；对称轴 交点式 （ 已知抛物线与轴交点、 交点横坐标；对称轴 2.动点坐标表示技巧 抛物线上任意动点可设为参数形式：（为横坐标参数），这是坐标法解题的核心。 圆的核心知识（几何条件转化依据） 1.圆的核心几何性质 · 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论：弦的垂直平分线必过圆心（常用于求圆心坐标）。 · 圆周角定理：同弧所对圆周角相等；直径所对圆周角为（直角条件转化的关键）。 · 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径；切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等（切线问题的核心依据）。 2.直线与圆的位置关系判断 设圆心到直线的距离为，半径为， · 相切；相交；相离。 二、解题方法与技巧 1. 切线问题专项技巧 · 圆外一点引圆的两条切线：分斜率存在和不存在两种情况。斜率不存在时，切线为垂直于轴的直线，直接代入距离公式验证。 2. 最值问题专项技巧 · 抛物线上点到圆心的距离最值：设，圆心，则，转化为关于的二次函数求最值（平方后计算更简便）。 三、 常用二级结论（简化计算，提升解题速度） 1. 直径圆周角结论：若为圆的直径，点在抛物线上且，则必在以为直径的圆上（即是两圆的交点）。 2. 弦长公式：若直线与抛物线交于、，则弦长（常用于求切线截抛物线的弦长）。 例5．二次函数的图象与轴分别交于点、，与轴交于点，点是这个函数图象上的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图，当点在直线下方时，过点作，垂足为，求的最大值； (3)如图，当点在轴上方时，连接，直线是二次函数图象的对称轴，过点作直线，垂足为，以点为圆心作圆，与相切，切点为．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，求的半径． 变式5-1．如图，抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为y轴，且经过和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的总经过定点． (1)求a，b，c的值； (2)求证：在点P运动的过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径； (3)设与x轴相交于两点，当是以为底边的等腰三角形时，求圆心P的纵坐标． 变式5-2．抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)如图1，若． ①求抛物线的解析式； ②点P为抛物线上一点，若点B、点C到直线距离相等，求P点横坐标； (2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，的顶点为原点．直线（s，t为常数，）交抛物线于点P、点Q．已知点，交抛物线于点M，交抛物线于点N，连接．求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 变式5-3．抛物线交轴于，两点，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图（1），点为的中点，点为轴上一动点，以和为边作平行四边形，当点恰好在抛物线上时，求点坐标； (3)如图（2），点为直线上一点，过点的直线，与抛物线均只有一个公共点，求证：直线过定点． 一、选择题 1．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ） A． B． C． D． 第1题 第2题 2．如图，抛物线过点、，已知，点在点与点之间（包含端点），顶点的坐标为．则下列结论正确的是（    ） A． B．若，当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，则t的取值范围为 C．关于的方程有实数根 D． 二、填空题 3．如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：①；②方程没有实数根；③对于任意实数，都有；④；⑤．其中正确的有 （填序号） 第3题 第4题 4．如图所示的是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，它与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，．其中正确的个数为 ． 三、解答题 5．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线，经过两点，与轴的另一个交点为． (1)求点和点的坐标，以及抛物线的表达式； (2)若点为抛物线上第一象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的表达式，当取最大值时，求出点的坐标； (3)若点为抛物线上轴右侧的一点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，是否存在点使得，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，说明理由． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，其中， (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，点，当点面积最大时，点为轴上一动点，求最小值． 7．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当四边形面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，新抛物线与直线另一个交点为，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，抛物线经过两点与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)若点为直线上方抛物线上任意一点，过作于点，当最大时，为轴上一动点，求的最大值． (3)若点在抛物线上，连接，当时，请直接写出点的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图（1），已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，且． (1)请直接写出：抛物线的解析式为________； (2)点在第四象限内的抛物线上，连接交轴于点，在点右侧的轴上取点，且，过点作轴交于点，连接，若四边形的面积为，求点的坐标； (3)如图（2），过点的直线交抛物线于另一点，为第二象限内的一个定点，过点任作直线交抛物线于、两个不同点（点在第四象限内），若在直线的变化过程中，射线始终平分，求定点的坐标． 11．在平面直角坐标系中，点M和点N都在抛物线上，且点N关于点M的对称点恰好落在y轴上，设点M的横坐标为m． (1)当时，求点N的纵坐标； (2)若点N的纵坐标为2，求m的值； (3)当N在抛物线对称轴左侧，点N不在y轴上时，过点N作轴于点H． ①抛物线在内部（包括边界）的最高点与最低点纵坐标的差为，求m的值； ②直线交x轴于A，点B是点A关于y轴的对称点，若的周长是周长的3倍，直接写出m的值． 12．新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． (1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、． ①当四边形为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC．以斜边AB所在的直线为x轴，以斜边AB上的高所在直线为y轴建立直角坐标系，若，且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程－mx＋2（m－3）＝0的两个根． （1）求C点的坐标． （2）以斜边AB为直径作圆，与y轴交于另一点E，求过A、B、E三点的抛物线的解析式． （3）在抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABC全等？若存在，求出符合条件的P点坐标，若不存在，说明理由． 14．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，），点B（1，0），点C（3，0），以点P为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）． （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式和点P坐标； （2）求证：四边形ABCP是菱形，并求出菱形ABCP面积； （3）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的？如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由； （4）如果点D是抛物线上一动点（不与A，B，C重合），当∠BDC≧30°时，请直接写出所有满足条件的D点的横坐标的范围． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若此函数图象上有一点到y轴的距离不大于2，求t的最大值与最小值之差； (3)若M为线段的中点，N为抛物线的顶点，直线交抛物线于D，E两点，直线交x轴于点P，直线交x轴于点Q．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数综合压轴题 目录 典例详解 类型一、二次函数的图象与性质综合（选择、填空压轴） 类型二、二次函数与几何图形综合问题（解答题压轴） 类型三、二次函数与相似三角形综合问题（解答题压轴） 类型四、二次函数与恒过定点问题（解答题压轴） 类型五、二次函数与圆综合问题（解答题压轴） 压轴专练 类型一、二次函数的图象与性质综合（选择、填空压轴题） 二次函数的图象与性质综合题必用的核心知识、解题方法、技巧、重要二级结论： 一、核心知识点 1.二次函数的三种表达式 一般式：（） 顶点式：（），顶点坐标，对称轴 交点式：（），是抛物线与轴交点的横坐标 2.开口方向：开口向上，开口向下；越大，开口越小 3.对称轴公式：（一般式） 4.顶点坐标公式：（一般式） 5.与坐标轴的交点： 轴交点： 轴交点：解方程的根 6.函数的增减性：对称轴两侧单调性相反 7.判别式：，判定与轴交点个数（两个交点，一个交点，无交点） 二、解题方法与技巧 1.表达式求解技巧 已知三点坐标→用一般式列三元一次方程组求解 已知顶点坐标+一点→用顶点式求解（代入顶点，再代入另一点求） 已知与轴两个交点→用交点式求解（代入，再代入另一点求） 2.参数分析技巧 由开口方向判断的符号；由对称轴位置（）结合的符号判断的符号；由轴交点纵坐标判断的符号； 利用“特殊点代入”分析参数关系，如时，；时，； 三、常用公式及二级结论 1.对称轴上的点横坐标恒为，到抛物线与轴两交点的距离相等； 2.若抛物线与轴两交点为、，则（韦达定理推导） 3.当和时的函数值： ，（对应抛物线上点）； ，（对应抛物线上点）。 例1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了二次函数与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征及抛物线与轴的交点，根据所给函数图像，得出，，的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可．熟知二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给图像可知， ，，， 所以． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则． 故②正确． 因为点坐标为， 由得，， 所以点的坐标为， 则， 所以． 因为抛物线的对称轴为直线，且点坐标为， 所以点的坐标为． 由得， ， 所以． 故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，二次函数有最大值， 即对于抛物线上的任意一点（横坐标为，总有，即． 故④错误． 故答案为：①②③． 变式1-1．已知抛物线（是常数，）经过点，且．下列个结论中正确的是 （填写序号）． ①方程有两个不相等的实数根； ②若对任意的实数m，都有，则； ③若抛物线经过点，在抛物线上有且仅有两个点到轴的距离等于n（），则； ④点，在抛物线上，且都在y轴右侧，若，则． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； 根据对称轴公式可求出，进而可判断①正确；由题意可得，可得对称轴为，再由可得，再根据c的范围即可判断②正确；根据对称性可得对称轴为，再由抛物线经过点和可求得顶点的纵坐标为，由抛物线上有且仅有2个点到到x轴的距离等于n，可得n大于顶点的纵坐标，进而可判断③正确，由可得对称轴为，再根据增减性求解即可判断④错误． 【详解】解：抛物线（是常数，）经过点， ， ， ， ，， ， ，即方程有两个不相等的实数根，故①正确； 由，可得， 即对任意的实数m，都有， 时，， 故可得此时对称轴为直线， ， ， ，即， ， ，解得，故②正确； 由题意可得抛物线开口向下，经过和，可得抛物线的对称轴为直线， 抛物线上有且仅有两个点到轴的距离等于n（）， 大于顶点纵坐标， ， ， ， ， ，即， ，故③错误； ， 对称轴为直线， ， 对称轴在轴左侧， 点，在抛物线上，且都在y轴右侧，， 当时，，此时， 当时，，此时， 故④错误， 故正确的为：①②， 故答案为：①②． 变式1-2．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在点与点之间（不包括这两点），对称轴为直线．有下列结论：①；②；③，④若点，在抛物线上，则．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键． 根据抛物线开口方向，对称轴位置可得、和，进而可判断①；将和代入，即可判断②；由与y轴的交点B在点与点之间可得，再根据可判断③；根据离对称轴越远，函数值越小得出相应的距离，进而可判断④． 【详解】解：①∵抛物线过，对称轴， ∴另一交点为，， 将代入函数得， ， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ②将和代入， 得， ， ∵， ∴，故②正确； ③∵与y轴的交点B在点与点之间， ∴， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， 对于，∵， ∴， ∴到的距离为， ∴； 对于，∵， ∴， ∴到的距离为， ∴， 又∵， ∴与的大小关系不固定，故④错误． 综上所述，①②③正确，共3个． 故选D． 变式1-3．如图，已知二次函数（，，为常数，且）的图象顶点为，经过点，有以下结论：；；时，随的增大而减小；对于任意实数，总有，其中结论正确的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线开口向下，可知，根据对称轴是，可知，根据抛物线与轴的交点在轴的正半轴，可知，可知；因为当时，，可知；根据抛物线的对称轴是，可知当时，随的增大而减小；因为当时，有最大值，可知对于任意实数，总有． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的顶点为， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 故错误； 抛物线经过点， ， 故正确； 抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴是， 当时，随的增大而减小， 故正确； 抛物线的顶点为， 当时，函数有最大值， 当时，函数值为， ， ， 故正确； 综上所述，结论正确的是． 故答案为：②③④． 类型二、二次函数与几何图形面积长度等综合问题（解答题压轴） 二次函数几何图形综合题常用的核心知识、解题方法、技巧、重要二级结论： 一、线段问题核心知识点 1.平面直角坐标系中两点间距离公式： 2.点到直线的距离公式：点到直线的距离 3.线段的最值：垂线段最短、两点之间线段最短 4.三角形面积公式： 基本公式： 割补法：不规则图形面积→分割为若干规则图形（三角形、矩形）面积之和/差; 铅垂高法：（核心技巧） 5.特殊四边形面积：平行四边形（底×高）、矩形（长×宽）、菱形（对角线乘积的一半） 6.铅垂高法步骤（适用于三角形顶点在抛物线上的情况） a. 设动点在抛物线上，另外两点、在直线上 b. 水平宽：（两点横坐标之差的绝对值） c. 铅垂高：（是过作铅垂线与直线的交点的纵坐标差） d. 面积表达式：，转化为二次函数求最值 7.割补法技巧：当图形不规则时，用坐标轴或平行于坐标轴的直线分割图形，分别计算面积再求和； 二、解题方法与技巧 1.动点线段长度表示：设动点坐标（如抛物线上动点），用坐标表示线段端点，代入距离公式 2.最短路径问题 将军饮马模型：作对称点，利用“两点之间线段最短”转化为求线段长度 抛物线上一点到直线的最短距离：作直线的平行线与抛物线相切，切点即为所求点； 3.关键技巧：利用坐标计算线段长度时，优先用勾股定理；角度相等可转化为斜率相等（直线平行或垂直） 三、常用二级结论 当三角形的一边固定时，面积最大的动点在与该边平行且与抛物线相切的直线的切点处； 例2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，在该垂线上点P下方取一点D，使，在该垂线上点C的纵坐标为，以CD为边作矩形CDEF，若点E的横坐标为．    (1)求此抛物线所对应的函数表达式； (2)当时，求矩形CDEF的周长； (3)当矩形CDEF被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值； (4)当抛物线在矩形CDEF内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)，． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）当时，求得，，，再求得，，即可计算出结果； （3）根据矩形被x轴分成面积相等的两部分，可得点D和点C关于x轴对称，再根据当时，，当时，，再进行分类计算即可； （4）求特殊情况m的值，利用图象法判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得． ∴； （2）解：当时，点横坐标为， ∴ ∵， ∴，， ∴，，， ∴，， 矩形CDEF的周长为； （3）当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，点D和点C关于x轴对称， 由已知，， ， 当时，， ∴， 解得，，（舍去） 当时，， ∴， 解得，，（舍去）， 故m的值为或； （4）解：∵由已知，， 如图，当点F在抛物线上时，    ， 解得：，， 由已知，，当点E在抛物线上时， 当时，解得，（舍去），    当时，解得，（舍去），    综上所述，，． 变式2-1．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求拋物线解析式： (2)点为直线下方拋物线上一点，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标和面积的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求的最小值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)，最大面积为4； (3)最小值为 【分析】（1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出点P的坐标及面积的最大值； （3）将点向右平移个单位长度至点，连接，则，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大为：， ∴，最大面积为4； （3）解：∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点B向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上，最小值为． 变式2-2．抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)如图1，点是抛物线第一象限的一点，连接，且与交于点． ①求的面积； ②设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (2)如图2，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到新的抛物线，在新抛物线对称轴上找一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点且为对角线的四边形是矩形，请求出点的坐标． 【答案】(1)①；②， (2)， 【分析】（1）①先求出与轴交点为，，再根据求出面积即可． ②设点，由，即，可得，即，得，再求出点的坐标即可． （2）先求出平移后的新的抛物线为，抛物线的对称轴为与轴交于S，作对称轴于，作轴于点，可证明 ，得，，得，设，， 得，作于点，，，在中，根据，得，再求出的值即可． 【详解】（1）解：①由题可知：与轴相交于点，， ， 解之得：，， 即，， 当时，， ， ． ②设抛物线上的点的坐标为， ， ， ， 即， ， ， ， ，， ∴， （2）解：化为顶点式 向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得新的抛物线 即， ∴抛物线的对称轴为与轴交于S， 如图，作对称轴于，作轴于点， ， ∵四边形是矩形． ，， ， ，同理：， ，， ， ，， ， 设，， ，则，， ，作于点，，， 在中，，即， ∴， ∴， 又∵， 解之得或， ∴，． 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． (1)若时， ①如图（1），直接写出抛物线的解析式； ②如图（2），若抛物线上有一点P，且P在对称轴的右侧，射线与轴交于点Q使得，求点P的坐标； (2)如图（3），当时，点P是第三象限抛物线上的一动点，分别连接，并延长交直线于M，N两点．若M、N两点的横坐标分别为m，n，试探究m，n之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①求出，，得，根据，得，解得，得；②在上取点D，使，连接，则，根据，求得，得，设，则，，根据，得，得，求出直线的解析式，联立得，解得，即得； （2）设直线为l，过点A、B作的垂线于点G，于点E，过点P作于点F，交于点H，当时，，设，根据，得，，得，，得，，可得，即得． 【详解】（1）解：①中，令，则， ∴， 令，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去），或， ∴； ②在上取点D，使，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴； （2）设直线为l，过点A、B分别作于点G，于点E，过点P作于点F，交于点H， 则， 当时，， 设， 则， 令， 则， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 类型三、二次函数与相似三角形存在性问题（解答题） 二次函数与相似三角形存在性问题常用的核心知识、解题方法、技巧、重要二级结论： 一、二次函数与相似三角形存在性问题核心知识点 1.相似三角形的判定定理：AA（两角对应相等）、SAS（两边对应成比例且夹角相等）、SSS（三边对应成比例）； 2.相似三角形的性质：对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方； 二、解题方法与技巧 存在性判定步骤 a. 设动点坐标 b. 列出已知三角形的边长或角度关系； c. 分类讨论：根据相似三角形的对应顶点不同，分情况列比例式 · 例如：，与相似，这两种情况是不同的，第一种情况不需要讨论，而第二种情况需要先找到一对对应相等的角，然后按照对应边的不同情况分两种情况分类讨论求解。 d. 解方程并检验（舍去不符合题意的解） 例3．如图，已知抛物线交轴于两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点． (1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式； (2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值； (3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的值是或； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（）先求出点坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可； （）分为当直线过点时，与图象有三个交点，当直线与图象位于线段上方部分对应的函数图象只有一个交点时，两种情况求解即可； （）根据相似三角形的性质分和讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ， ∴，， ∴，， 设图象位于线段上方部分对应的函数关系式为：， 把代入得：， ∴， ∴， ∴图象位于线段上方部分对应的函数关系式为：； （2）解：由图象得直线与图象有三个交点时，存在两种情况： 当直线过点时，与图象有三个交点， ∴， ∴； 当直线与图象位于线段上方部分对应的函数图象只有一个交点时，如图， 则， ， ， ∴， 综上，的值是或； （3）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图，时，， ∴， ∴轴， ∴点与点关于直线对称， ∴点横坐标为， ∵轴， ∴； 如图，时，， 同理轴， 当时，， ， ∴，（舍去）， ∵轴， ∴； 如图，当时，， ∴， ∴， 过点作， ∴，四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴，（舍去）， ∴， 综上，点的坐标为或或． 变式3-1．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于两点（点在点的左侧），连接，，求的面积； (3)在（2）的条件下，为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点作交轴于点，过点作于，试问：是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，、或，理由见详解 【分析】本题主要考查了抛物线与直线的综合，二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数表达式，函数和几何图形，二次函数和相似三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定． （1）利用待定系数法即可求得函数表达式； （2）利用函数解析式得，，由可假设，，根据求得，再求得，最后利用三角形面积公式即可求解； （3）假设，利用勾股定理求得，，，利用两个角相等的三角形相似，相似三角形的对应边成比例，分类进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式； （2）解：当函数值为0时， 即， 解得， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴， 由可假设， ， 解得或（舍去）， ， 将代入得： ， 解得， ∴， 当直线函数值为0时，即， 解得， , ； （3）解：存在，理由如下 假设，， 由勾股定理得， ∴ 即 整理得 解得或（舍去） ∴，，， 抛物线对称轴为直线， 设，因为在抛物线上，所以， 过作轴于，则，，， ①当时，以点为顶点的三角形与相似， 此时， 当点在轴下方时，，解得或（舍去） ∴； 当点在轴上方时，，解得或（舍去） ∴； ②当时，以点为顶点的三角形与相似， 此时， 当点在轴下方时，，解得或（舍去） ∴； 当点在轴上方时，，解得（舍去）或（舍去） 综上，、或． 变式3-2．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，存在一点P，使的值最小．求点P的坐标； (3)若点M在抛物线上，轴于N点，且与相似，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)或或 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数与几何图形的综合，掌握相似三角形的性质是关键． （1）运用待定系数求解即可； （2）根据题意得到抛物线的对称轴直线为，则点关于对称轴的对称点，运用待定系数法求值直线的解析式，将代入计算即可求解； （3）根据相似三角形的性质数形结合，分类讨论． 【详解】（1）解：抛物线经过点和， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为：； （2）解：存在，理由如下， 已知抛物线解析式为：， ∴对称轴直线为， ∴点关于对称轴的点的坐标为，如图所示，连接交对称轴与点， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设，且点在直线上， ∴， ∴； （3）解：已知抛物线解析式为：， 当时，， ∴， ∵， ∴， 点M在抛物线上，轴于N点，设点，则， 第一种情况，当点在轴上方时，即， ①点在位置时，，如图所示， ∴， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，点于点重合，不符合题意， ∴，则， ∴； ②当点在位置时，， ∴， ∴，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，（舍去），， ∴， ∴； 第二种情况，当点在轴下方时，即或， ①点在位置时，即，，如图所示， ∴， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，（均不符合题意，舍去）； ②点在位置时，即，，如图所示， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴； 综上所述，或或． 变式3-3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）把，代入抛物线解析式，利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，，则，，列出方程，再求解即可； （3）设，且，则，，再求出；再分为当时及当时，这两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得，（舍去），，（舍去）， ∴或； （3）解：存在符合条件的点，理由如下： ∵轴， ∴设，且， 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵和相似，且， ∴或， 当时，则，且， ∴，即：， 解得（舍去）或， ∴； 当时，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 综上，当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 类型四、二次函数与恒过定点问题 二次函数与恒过定点问题常用的核心知识、解题方法、技巧、重要二级结论： 一、核心知识点 1. 基础前提：点在函数图象上的条件 若点 在二次函数的图象上，则将坐标代入解析式必然成立。 2. 核心原理：方程恒成立的条件 对于含参数的等式 （ 为参数， 是关于 的代数式）： · 若该等式对所有参数 的允许值都成立，则必须满足： 二、解题方法与技巧 解题方法：参数分离法（通法） 适用于所有含参数的二次函数过定点问题，步骤清晰，不易漏解。 1. 整理解析式：将二次函数解析式整理为 “参数×关于的代数式 + 关于的代数式 = ” 的形式，即： （ 为参数， 不含参数） 2. 列恒成立方程：根据“方程对所有参数 成立”的条件，令参数的系数为0，同时常数项等于，即： 3. 求解定点坐标：解方程组，得到 的值，代入求出 ，即为定点坐标。 4. 验证（必做步骤）：将定点坐标代入原函数解析式，确认对任意参数都成立。 三、通用解题步骤 1. 审题：确定函数中的参数和自变量，明确参数的取值范围； 2. 选方法：优先用参数分离法（全面），或用特殊值法（快速）； 3. 求定点：按所选方法计算定点坐标； 4. 验证：代入原解析式，确认对所有参数成立； 5. 作答：写出所有定点坐标（注意多解情况）。 例4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点C的直线与x轴交于点D，点P为y轴右侧的抛物线上一点，过P作轴交直线于点E．若点是点E关于直线的对称点，且点落在y轴上，求点P的横坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移2个单位得到抛物线，不过原点的直线与抛物线交于点M，交y轴的正半轴于点F，直线，直线和抛物线有且只有一个公共点N，若，请你证明直线恒过定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】(1) (2)2或12 (3)见解析， 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于A，B两点，，与y轴交于点．求出对称轴，得点B（或A）的坐标，代入即可求得a的值即可得解； （2）连接，作于点G，设点，则．可得，由，建立方程，即可解答； （3）可得平移的抛物线：，设点，则．求出直线解析式∴，直线的解析式，可得直线的解析式，可得，求出，由，得；得；得，即得直线恒过定点． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴． ∴， 代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）连接，作于点G，设点， 则． ∴， ∵点是点E关于直线的对称点，轴，交直线于点E． ∴， ∴， ∴， ∴当，即或时，， 解得（舍），， 当，即时，， 解得（舍），， ∴点P的横坐标为2或12． （3）解：∵抛物线：， ∴抛物线向左平移2个单位得到抛物线：， 设点，，直线解析式为, 把，代入， 得， 解得， ∴：， 设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴， 联立， ∴， 化简，得， ∵直线和抛物线有且只有一个公共点N， ∴， 解得， ∴：， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴：， 当时，， ∴， ∵； ∴， ∴； ∴； ∴； ∴：， ∴当时，， ∴直线恒过定点． 变式4-1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，点坐标，过点作直线轴于点． (1)求的值； (2)直线交抛物线于点，点位于直线上方的抛物线上，求面积的最大值； (3)如图2，过点的直线与抛物线交于点，（点在点左边），点为直线上一点，直线交抛物线于点，若点为线段的中点，试问直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)经过定点；见解析 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积问题、一次函数和二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）利用待定系数法求出答案即可； （2）∴直线的解析式为，由（1）得到抛物线为，联立求出，过点作轴交于点，设，则，得到，则面积，根据二次函数的性质即可求出答案； （3）设，，设的解析式为，得到，则得到直线的解析式为，则，当时， ，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与轴负半轴交于点，点坐标， ∴， 解得 即 （2）∵点，过点作直线轴于点． ∴， 设直线的解析式为，把点坐标，代入得到 ， 解得 ∴直线的解析式为， 由（1）得到抛物线为， 联立得到， 解得或， 则， 过点作轴交于点， 设，则， ∴， ∴面积， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，面积取得最大值为； （3）经过定点，理由如下： 设， ∵点为线段的中点， ∴， 设的解析式为，则 ， 则， ∴ 设的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵ ∴， 当时， ， ∴直线过定点 变式4-2．抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)如图1，若． ①求抛物线的解析式； ②点P为抛物线上一点，若点B、点C到直线距离相等，求P点横坐标； (2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，的顶点为原点．直线（s，t为常数，）交抛物线于点P、点Q．已知点，交抛物线于点M，交抛物线于点N，连接．求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】(1)①；②P点横坐标为6或； (2)证明见解析，定点的坐标． 【分析】（1）①用待定系数法求解即可； ②用待定系数法求出直线的解析式为，根据点B、点C到直线距离相等，则或经过线段的中点，分别用待定系数法求出直线的解析式，然后联立求点P坐标． （2）根据抛物线的平移求得抛物线的解析式为，联立，，则，所以，，设直线的解析式为，则，所以，所以；设直线的解析式为，则，所以，所以；所以，则，所以；设直线的解析式为，则，所以，，所以，则，当时，，所以直线过定点． 【详解】（1）解：①∵抛物线与x轴交于、两点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ②设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点B、点C到直线距离相等， ∴或经过线段的中点， I．当时， 设直线的解析式为， 把代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，，解得：，， ∴． ∴P点横坐标为6； II．当经过线段的中点时， ∵，， ∴的中点坐标为：， 设直线的解析式为，则 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴P点横坐标为． 综上可得，P点横坐标为6或； （2）证明：∵将抛物线：平移得到抛物线，的顶点为原点． ∴抛物线的解析式为， 联立，，则， ∵点P、Q是直线与抛物线的交点， ∴，， ∵ ∴设直线的解析式为， 联立，，则， ∵M、P是直线与抛物线的交点， ∴， ∴， 设直线的解析式为 联立，，则， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， 联立，得， ∴，， ∴ ∴， 当时， ， ∴直线过定点． 变式4-3．抛物线交轴于，两点，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图（1），点为的中点，点为轴上一动点，以和为边作平行四边形，当点恰好在抛物线上时，求点坐标； (3)如图（2），点为直线上一点，过点的直线，与抛物线均只有一个公共点，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）设抛物线的表达式为，再将代入求出的值即可； （2）根据中点坐标确定，设，，根据平行四边形的性质得，确定，再代入，求解即可； （3）设，设直线的解析式为，联立得，根据直线与抛物线均只有一个公共点，推出，设，是该方程的两根，得，，设，，得到，，求出，，进一步求出，，再确定直线的解析式为，即，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点，顶点为， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）∵，，点为的中点， ∴点的坐标为，即， 设，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ∴， ∵点恰好在抛物线上， ∴， 解得：，， ∴点坐标为或； （3）证明：设，设直线的解析式为， 联立， 消去得：， ∵直线与抛物线均只有一个公共点， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 设，是该方程的两根， ∴， ， 对于直线，设解析式为，， ∴， 对于直线，设解析式为，， ∴， ∴， ， ∵点、在抛物线上， ∴，， 设直线的解析式为，过点、， ∴， ①②，得： ， ①②，得： ， ∴直线的解析式为， 整理得：， ∵点为直线上一点， 即对于任意实数，等式成立， ∴， 解得：， ∴直线过定点． 类型五、二次函数与圆形综合问题 二次函数与圆形综合问题常用的核心知识、解题方法、技巧、重要二级结论： 一、核心知识点 二次函数核心知识： 1.三种表达式及关键参数 表达式 公式 适用场景 核心参数 一般式 已知抛物线上任意三点 对称轴； 顶点坐标 顶点式 已知顶点坐标 顶点；对称轴 交点式 （ 已知抛物线与轴交点、 交点横坐标；对称轴 2.动点坐标表示技巧 抛物线上任意动点可设为参数形式：（为横坐标参数），这是坐标法解题的核心。 圆的核心知识（几何条件转化依据） 1.圆的核心几何性质 · 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论：弦的垂直平分线必过圆心（常用于求圆心坐标）。 · 圆周角定理：同弧所对圆周角相等；直径所对圆周角为（直角条件转化的关键）。 · 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径；切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等（切线问题的核心依据）。 2.直线与圆的位置关系判断 设圆心到直线的距离为，半径为， · 相切；相交；相离。 二、解题方法与技巧 1. 切线问题专项技巧 · 圆外一点引圆的两条切线：分斜率存在和不存在两种情况。斜率不存在时，切线为垂直于轴的直线，直接代入距离公式验证。 2. 最值问题专项技巧 · 抛物线上点到圆心的距离最值：设，圆心，则，转化为关于的二次函数求最值（平方后计算更简便）。 三、 常用二级结论（简化计算，提升解题速度） 1. 直径圆周角结论：若为圆的直径，点在抛物线上且，则必在以为直径的圆上（即是两圆的交点）。 2. 弦长公式：若直线与抛物线交于、，则弦长（常用于求切线截抛物线的弦长）。 例5．二次函数的图象与轴分别交于点、，与轴交于点，点是这个函数图象上的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图，当点在直线下方时，过点作，垂足为，求的最大值； (3)如图，当点在轴上方时，连接，直线是二次函数图象的对称轴，过点作直线，垂足为，以点为圆心作圆，与相切，切点为．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，求的半径． 【答案】(1)； (2)的最大值为； (3)的半径是． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，切线的性质，二次函数的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）连接、，过点作轴，交于点，由题意可得点，求出直线对应函数表达式为，设点坐标为，则，则，所以，当时，的最大值为，然后通过，即可求出的最大值； （）设点坐标为，则，设的半径为，则有，又以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，故有，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴； （2）解：连接、，过点作轴，交于点， 由题意，可得点，设直线对应函数表达式为，则， ∴， ∴， 设点坐标为，则， ∴， 则， 当时，的最大值为， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； （3）解：设点坐标为，则， 设的半径为， ∵与相切，切点为，二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∵以的长为边长的正方形的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是． 变式5-1．如图，抛物线交轴于点，交轴于点．将抛物线沿轴翻折得抛物线． (1)求的解析式； (2)在的对称轴上找出点，使点到点的对称点及两点的距离差最大，并说出理由； (3)平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰与轴相切，求此圆的半径． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先求出翻折变换后点、所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）如图2所示，连接并延长，与对称轴交于点，则点即为所求．利用轴对称的性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论．为求点的坐标，首先需要求出直线的解析式； （3）如图3所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏．解题要点是利用圆的半径表示点（或点的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径． 【详解】（1）解：（1）如图1所示， 设经翻折后，点、的对应点分别为、， 依题意，由翻折变换的性质可知，，点坐标不变， 因此，抛物线经过，，三点， 设抛物线的解析式为，则有： ， 解得，，， 故抛物线的解析式为：． （2）解：抛物线的对称轴为：， 如图2所示， 连接并延长，与对称轴交于点，则点即为所求． 此时，． 设为对称轴上不同于点的任意一点，则有： （三角形两边之差小于第三边）， 故， ∴当连接并延长，与对称轴交于点时，最大，此时． 设直线的解析式为，则有： ，解得， 故直线的解析式为：． 令，得， 故． （3）解：依题意画出图形，如图3所示，有两种情况． ①当圆位于轴上方时，设圆心为，半径为， 由抛物线及圆的对称性可知，点位于对称轴上， 当以为直径的圆恰与轴相切时，， ∴． 点在抛物线上， ，化简得： 解得，（负数舍去）， 此圆的半径为； ②当圆位于轴下方时，同理可求得圆的半径为． 综上所述，此圆的半径为或． 变式5-2．已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)经过A、B两点作，交抛物线于点D（点D在对称轴右侧），若，求点P的坐标； (3)点Q是抛物线对称轴上，纵坐标为的点，点E是对称轴上抛物线上方的动点，以点Q为圆心，为半径作圆交抛物线于点G（点G在对称轴的右侧），判断直线与抛物线公共点个数，并说明理由 【答案】(1) (2)或 (3)与抛物线只有一个交点，理由见解析 【分析】（1）分别令，，求出三个点的坐标即可； （2）易得点在抛物线的对称轴上，，推出为等腰直角三角形，设出点坐标，分两种情况，过点作对称轴，证明，求出点坐标，代入函数解析式进行求解即可； （3）过点作于点，连接，设，进而得到，在中，利用勾股定理求出和的关系式，进而求出的解析式，令，利用根与系数的关系进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴； （2）∵， ∴对称轴为直线：， ∵经过点， ∴点在的中垂线上，即点在抛物线的对称轴上，设对称轴与轴交于点，则：， ∵交抛物线于点D（点D在对称轴右侧）， ∴， ∴当时，为等腰直角三角形， 设点， 当点在轴下方时：过点作，则：，    ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴； 当点在轴上方时：    同理可得：， ∴， 解得：（舍去）； ∴； 综上：或． （3）与抛物线只有一个交点，理由如下： 如图，由题意，得：，过点作于点，连接，设，    则：， ∴，，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，则：， 解得：， ∴， 令， 整理，得：， ∴， ∴直线与抛物线只有一个交点． 变式5-3．如图，抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为y轴，且经过和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的总经过定点．    (1)求a，b，c的值； (2)求证：在点P运动的过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径； (3)设与x轴相交于两点，当是以为底边的等腰三角形时，求圆心P的纵坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)P的纵坐标为：或 【分析】（1）抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为y轴，且经过和两点，可得抛物线的一般式为：，则，进而即可求解； （2）设，的半径即可证明； （3）设，，作于H， ，故，由，则当时， ，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为y轴，且经过和两点， ∴抛物线的一般式为：， ∴， 解得：， ∵图象开口向上， ∴， ∴抛物线解析式为：， 故，； （2）设，的半径， 化简得：， ∴点P在运动过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径； （3）设， ∵， 作于H， 则， 又∵， 则， 故， ∴， 又∵， ∴ 当时， ， 解得：，则； 综上所述，P的纵坐标为：或．    一、选择题 1．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象性质，二次函数图象与各项系数符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对称轴为直线，得， 结合函数图象，得当时，，且，得，当时，取得最小值，即，得二次函数与直线的一个交点为，即，，则，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得抛物线开口向上， ， 二次函数图象的对称轴为直线，即， ，故符合题意； 观察函数图象，当时，， ， 而， ， ， ，故符合题意； 时，取得最小值， （为任意实数）， ， 即，故符合题意； 点在抛物线上时，方程的两根为， 二次函数与直线的一个交点为， 二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， 即，， ，故符合题意； 故选：D． 2．如图，抛物线过点、，已知，点在点与点之间（包含端点），顶点的坐标为．则下列结论正确的是（    ） A． B．若，当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，则t的取值范围为 C．关于的方程有实数根 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，则，，由二次函数的顶点的坐标为得出，将代入二次函数的解析式可得，即可判断A错误；求出，结合点在点与点之间（包含端点），得出，即可判断D正确；由二次函数的顶点的坐标为，二次函数的图象开口向上，得出抛物线与直线没有交点，即可判断C错误；由题意可得，当时，函数取得最小值为，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，由此即可判断B错误；熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵二次函数的顶点的坐标为， ∴， ∴， ∵抛物线过点， ∴， ∴，即，故A错误； 在中，当时，，即， ∵点在点与点之间（包含端点）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； ∵二次函数的顶点的坐标为，二次函数的图象开口向上， ∴抛物线与直线没有交点，则关于的方程没有实数根，故C错误； 由题意可得，当时，函数取得最小值为，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， ∵若，当时函数取得最大值，当时函数取得最小值， ∴，且， 解得：，故B错误； 故选：D． 二、填空题 3．如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：①；②方程没有实数根；③对于任意实数，都有；④；⑤．其中正确的有 （填序号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，逐项分析各个结论即可． 【详解】解：①开口向上， ， 根据图像，可知对称轴为， 则， 得 函数图像与轴交于负半轴， ， ； 故①错误； ②二次函数与直线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， 即方程有两个不相等的实数根； 故②错误； ③二次函数的对称轴为， 时，函数取得最大值， 对于任意实数，都有， 即对于任意实数，都有； 故③正确； ④由图可知，当时，， ， ， 当时，函数取得最小值， ； 故④正确； ⑤二次函数与轴交于点、， 设二次函数表达式为， ， ， ， 解得， ， ， ， 解得． 故⑤正确． 故答案为：． 4．如图所示的是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，它与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，．其中正确的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 由抛物线的开口方向判断与的关系，然后根据对称轴判定与的关系以及；当时，；然后由图象确定当取何值时，． 【详解】解：顶点在轴的上方， ，即，故①正确； 对称轴， ，故②正确； ， ． 当时，， ，故③错误； 当时，最大， 当时，， （为实数），故④正确； 当时，存在，故⑤错误． 其中正确的有①②④，正确的个数为， 故答案为：． 三、解答题 5．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线，经过两点，与轴的另一个交点为． (1)求点和点的坐标，以及抛物线的表达式； (2)若点为抛物线上第一象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的表达式，当取最大值时，求出点的坐标； (3)若点为抛物线上轴右侧的一点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，是否存在点使得，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意得：，，从而得到，即可求解； （3）分两种情况讨论：若点P在x轴上方时，若点P在x轴下方时，即可求解． 【详解】（1）解∶直线，当时，． 当时，． ，． 将，代入得 解得 抛物线的表达式． （2）解∶根据题意得∶，， ． ， 开口向下，有最大值． 当时，l取最大值． 当时，． 此时； （3）解：存在． 当时，． 解得，． ． 分两种情况讨论： 若点P在x轴上方时，如图1，此时， 根据题意得∶ ，， ． ． ． 解得， 若点P在x轴下方，如图2，此时． ． ． ． 解得，(舍去) 的值为或或． 此时点的横坐标为或或． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，其中， (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，点，当点面积最大时，点为轴上一动点，求最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，和，即可点坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）连接，设点，则利用二次函数的性质求得最大值，此时点，面积最大为12，连接，取点，则，，，过点O作交延长线于点F，有，即有，若点Q和点重合时，取最小值，则即可求得最小值． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵， ∴，即点， ∵， ∴，即点， 则，解得， 则； （2）解：连接，如图， 设点，则 ∵， ∴时，点，面积最大为12， 连接，取点，则，，，过点O作交延长线于点F，如图， 则， ∴， 即， 若点Q和点重合时，三点共线，最小值， 即, ∵， ∴， 则， 故最小值为． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形并找到最短距离是本题的关键． 7．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当四边形面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，新抛物线与直线另一个交点为，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，线段和的最小值问题，角度问题，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可得到答案； （2）根据面积可得，转化为三角形面积的最大值，过作轴交于，再根据求最值，得到，再设，连接，易得，再由求解即可； （3）由题意得，新抛物线由原抛物线先向左移4个单位，再向上平移2个单位得到，解得新抛物线方程为，再在上取点，且，作关于直线对称点，先证，进而得到要使，即，再根情况求解即可． 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以抛物线解析式为； （2）由（1）知， ， 又点关于对称，且， ，则，， 又， 所以四边形面积最大时，即三角形面积取最大值， 过作轴交于， 在抛物线，，， 直线的方程为，设， 则，， ， 当时，三角形面积取最大值，即四边形面积最大，此时， 设与轴交于点，在轴上取点，且在的左侧，使得，连接， 则,， 轴， ，， ， ， 所以此时，的最小值为； （3）由题意知，原抛物线点平移到新抛物线点， 所以新抛物线由原抛物线先向左移4个单位，再向上平移2个单位得到， 平移后为， 即新抛物线方程为， 如图，在上取点，且，作关于直线对称点， ∴， ， ，则， 又， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ，即， 故在延长线与新抛物线的交点上， 又，，， 所以直线的方程为，联立新抛物线， 整理得，解得或， 所以此时的坐标为； 关于直线对称， ，，又， ,点在延长线与新抛物线的交点上， 设，则①， ②， ①②得：，即③， 把③代入①得：， 解得或（舍去），则， 又，则， 所以直线的方程为，联立新抛物线， 整理得，解得或， 所以此时的坐标为； 综上，存在点，使，的坐标为或． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，抛物线经过两点与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)若点为直线上方抛物线上任意一点，过作于点，当最大时，为轴上一动点，求的最大值． (3)若点在抛物线上，连接，当时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最大值为； (3)或； 【分析】（1）利用一次函数表达式求出A、B点坐标，在利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点M作轴，交直线于N，假设出M、N的坐标表示出的长，求最大值即可，延长交轴于点，此时的值最大，据此求解即可； （3）利用等量代换可找出有两个P点，①在x轴上取点，延长交抛物线于点P，推出，利用等量代换可得，求出直线与抛物线交点即可知P点坐标；②作轴，使，连接交抛物线与点，推出，进一步得，求出直线与抛物线交点即可知点坐标． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴， 令，则， ∴， ∵抛物线经过A，B两点， ∴，解得， ∴； （2）解：过点M作轴，交直线于N， 令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵轴，， ∴是等腰直角三角形， 当取得最大值时，的值最大， 设点，， ， ∵， ∴当时，有最大值，即有最大值， 此时点的坐标为． 延长交轴于点，此时的值最大，为， ∵，， ∴， ∴|MQ−CQ|的最大值为4√5； （3）解：或，理由如下： ①在x轴上取点，延长交抛物线于点P， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点B、D代入可得， 解得， ∴，将其与抛物线方程联立可得：， 解之得：，，当时，， ∴， ②作轴，使，连接交抛物线与点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵且,， ∴， ∵， 同理，直线的解析式为， 将其与抛物线方程联立可得：， 解之得：，，当时，， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查一次函数，二次函数，动点问题，全等三角形的判定及性质，要求掌握待定系数法求解析式，利用，进行等量转换是解（3）的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则有，即可获得答案； （3）根据待定系数法求出直线解析式，则可求点M的坐标，设，分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入， 可得，解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，    ∴点E 坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， 将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则， ，， 是平行四边形， ， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值， ， ， 即最小值为； （3）解：设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 对于，当时，， 设， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、轴对称的性质，等腰三角形的定义，两点间距离公式，公式法解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 10．如图（1），已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，且． (1)请直接写出：抛物线的解析式为________； (2)点在第四象限内的抛物线上，连接交轴于点，在点右侧的轴上取点，且，过点作轴交于点，连接，若四边形的面积为，求点的坐标； (3)如图（2），过点的直线交抛物线于另一点，为第二象限内的一个定点，过点任作直线交抛物线于、两个不同点（点在第四象限内），若在直线的变化过程中，射线始终平分，求定点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)定点的坐标为 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、抛物线与直线交点问题、二次函数面积问题，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系等，利用参数表示直线解析式是解题的关键． （1）先求出点坐标，再求出点坐标，代入求出值即可； （2）设，求出直线解析式，得到点坐标，求出解析式得到点坐标，进而利用四边形面积建立关于的方程求解即可； （3）联立抛物线与直线解析式得，设直线的解析式为进而可得，过点作轴，轴，过点作，过点作，证明，进而可得、关系式，进而得解． 【详解】（1）解：令，得， ，即， ， ， 将坐标代入得， 抛物线的解析式为； 故答案为：． （2）过点作轴于点． ， 当时，， 解得： ， 设， 设直线的解析式为 解得： 直线：， ， ，轴， ， ， 同理可得直线：， ， 四边形的面积为， 即 解得： 或 （3）联立 解得：或（舍去） 设直线的解析式为 ，且为两根， ， 过点作轴，轴，过点作，过点作， ， 直线：， ， 平分，即：， ， ， ，即：， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 直线必过定点， 即：定点的坐标为． 11．在平面直角坐标系中，点M和点N都在抛物线上，且点N关于点M的对称点恰好落在y轴上，设点M的横坐标为m． (1)当时，求点N的纵坐标； (2)若点N的纵坐标为2，求m的值； (3)当N在抛物线对称轴左侧，点N不在y轴上时，过点N作轴于点H． ①抛物线在内部（包括边界）的最高点与最低点纵坐标的差为，求m的值； ②直线交x轴于A，点B是点A关于y轴的对称点，若的周长是周长的3倍，直接写出m的值． 【答案】(1)点的纵坐标为； (2)或； (3)的值为或；的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，点对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键. （）由点关于点的对称点，则，又在轴上，故，所以，再根据题意求解即可； （）由（）可得，然后解方程即可求出的值； （）当时，，解得；当时， ，解得； 过点作交于点，可证明，再由的周长是 周长的倍，得到，求出直线的解析式为，可求，从而得到方程，解得或或（舍去）； 【详解】（1）解：∵点的横坐标为， ∴， 设， ∵点关于点的对称点 ∴， ∵在轴上， ∴， ∴， ∴， 当时，点的纵坐标为； （2）解：∵点的纵坐标为， ∴， 解得：或； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵在抛物线对称轴左侧，点不在轴上， ∴且， 当时，， 解得或（舍去） 当时，， 解得， 综上所述：的值为或； ∵轴， ∴， ∴， 过点作交于点， ∴， ∴， ∵点关于轴对称， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是周长的倍， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ ∴， 解得：或或（舍去）， 综上可知：的值为或． 12．新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． (1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、． ①当四边形为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标． 【答案】(1) (2)①；②，， 【分析】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质、正方形的性质、不等式等知识点，解题的关键是根批题意画出图形，利用数形结合的思想解题，考查计算能力，属于难题． （1）求出函数的顶点，由“同轴对称抛物线”的定义，求出它的顶点为，即可求解析式； （2）①由题意可求点，，，的坐标，再由正方形的性质可得或，求出即可； ②根据有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值，求得切点的坐标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标． 【详解】（1）解：， “同轴对称抛物线”的顶点坐标为， ； （2）解：①由题可知，， ， 抛物线的对称轴为， ，， ， 或， 或， （舍去）或； ②由题意得，的“同轴对称抛物线”的表达式为：， 设抛物线向上平移了个单位符合题设条件，则， 联立和得：， 解得：或， 即， 联立和得：， 则，， 则， ， ， 直线和轴的夹角为， 则，， 而， 则， 即， 解得：， 则①； 设直线交轴于点（即点，在轴上方取点， 过点作直线使和抛物线只有一个交点，取，过点作， 则此时，在抛物线上有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值， 设直线的表达式为：②， 联立①②并整理得：， 则， 解得：， 则直线的表达式为：， 则点， 当时，即， 解得：， 则点； 则， 则点， 则直线的表达式为：， 联立和得：， 解得：， 则点和的坐标分别为：,． 综上，，，的坐标分别为：,,． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC．以斜边AB所在的直线为x轴，以斜边AB上的高所在直线为y轴建立直角坐标系，若，且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程－mx＋2（m－3）＝0的两个根． （1）求C点的坐标． （2）以斜边AB为直径作圆，与y轴交于另一点E，求过A、B、E三点的抛物线的解析式． （3）在抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABC全等？若存在，求出符合条件的P点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）C（0，2）；（2）；（3）存在，P（3，-2）． 【分析】（1）由线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程－mx＋2（m－3）＝0的两个根，根据根与系数的关系可得关于OA，OB的两个式子，再运用，得到一个关于m的方程，从而得到m的值，进而求出OA、OB的长度，根据OC2=OA·OB求得OC的长度，即可确定C点的坐标； （2）根据OA、OB的长，再根据对称性求得E点坐标，然后用待定系数法解答即可； （3）先说明Rt△ACB≌Rt△AEB，发现E点就是满足条件的点，然后根据C、E是关于抛物线的对称轴的对称点即可解答． 【详解】解：（1）∵线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程－mx＋2（m－3）＝0的两根 ∴OA+OB=m，,OA·OB=2（m-3） 又∵， ∴（OA+OB）2-2OA·OB=17，（3） ∴m2-4（m-3）=17，即m2-4m-5=0，解得m=-1或m=5， 又∵OA+OB=m>0， ∴m=5， ∴x2-5x+4=0，解得x=1或x=4 ∵BC>AC，OB>OA， ∴OA=1，OB=4， 在Rt△ABC中，∠AC8=90°，CO⊥AB， ∴△AOC∽△COB ∴OC2=OA·OB=1×4=4， ∴OC=2， ∴C（0，2）； (2) ∵OA=1,OB=4,C、E两点关于x轴对称。 ∴A（-1，0），B（4.0），E（0.-2）. 设经过A、B、E三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 则：，解得 ∴抛物线解析式为：； （3）存在， ∵点E是抛物线与圆的交点， ∴Rt△ACB≌Rt△AEB， ∴B（0，-2）符合条件， ∵圆心的坐标（，0）在抛物线的对称轴上 ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称， ∴点E关于抛物线对称轴的对称点E＇也符合题意， ∴E＇（3，-2）， ∴抛物线上存在这样的P点，坐标为（3，-2）和（0，-2）． 【点睛】本题是二次函数的综合应用、圆的性质以及全等三角形等知识，灵活应用相关知识和运用利用数形结合思想是解答本题的关键． 14．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，），点B（1，0），点C（3，0），以点P为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）． （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式和点P坐标； （2）求证：四边形ABCP是菱形，并求出菱形ABCP面积； （3）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的？如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由； （4）如果点D是抛物线上一动点（不与A，B，C重合），当∠BDC≧30°时，请直接写出所有满足条件的D点的横坐标的范围．    【答案】（1）yx2x，点P坐标为：P（2，）；（2）证明见解析；2；；（3）点M的坐标为（0，），（3，0），（4，），（7，8）；（4）0＜x＜1或1＜x＜3或3＜x≤4． 【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入，求出a、b、c的值，即可得出解析式及点P坐标； （2）根据点A、P坐标，可得AP∥BC，AP＝BC＝2，得出四边形为平行四边形，然后根据圆的半径AP＝PC，可证明四边形ABCP是菱形，并求出菱形ABCP面积； （3）因为△ABP和△CBP的面积是菱形ABCP面积的，故过点A、C作BP的平行线，与抛物线的交点即是满足条件的点M； （4）根据题意，可得出三角形PBC为等边三角形，然后根据圆周角定理可得出∠BAC＝∠BEC＝30°，然后根据点D是抛物线上一动点（不与A，B，C重合），∠BDC≧30°，求出点D的横坐标取值范围． 【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， 则， 解得：． 二次函数的解析式为：yx2x，点P坐标为：P（2，）； （2）∵点A（0，），点P（2，）， ∴AP∥BC， ∵AP＝BC＝2， ∴四边形ABCP是平行四边形， ∵AP＝AB， ∴四边形ABCP是菱形， 菱形ABCP面积为：22； （3）∵点B（1，0），点P（2，）， ∴BP的解析式为：yx； 则过点A平行于BP的直线解析式为：yx， 过点C平行于BP的直线解析式为：y3， 从而可得①：xx2x， 解得：x1＝0，x2＝7， 从而可得满足题意的点M的坐标为（0，）、（7，8）； ②x﹣3x2x， 解得：x1＝3，x2＝4， 从而可得满足题意的点M的坐标为：（3，0）、（4，）； 综上可得点M的坐标为（0，），（3，0），（4，），（7，8）； （4）连接PB、PC、AC、BE， ∵PB＝PC， ∴△PBC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠BEC∠BPC＝30°， ∵点D是抛物线上一动点（不与A，B，C重合）， ∴要使∠BDC≧30°， 则点D横坐标需要满足：0＜x＜1或1＜x＜3或3＜x≤4．       【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形、菱形、等边三角形的判定与性质以及圆周角定理，知识点较多，难点在第三问，关键是利用平行线的性质得出点M的寻找办法，难度较大． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若此函数图象上有一点到y轴的距离不大于2，求t的最大值与最小值之差； (3)若M为线段的中点，N为抛物线的顶点，直线交抛物线于D，E两点，直线交x轴于点P，直线交x轴于点Q．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)是定值， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的最值，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据题意求出，将三个点代入函数表达式求解即可； （2）根据在函数图象上，得到，根据到y轴的距离不大于2，得到，根据二次函数的性质，求出最大值和最小值，作差即可； （3）设，，求出，根据题意求出，，即可求出答案． 【详解】（1）解： ， 将代入， ，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）由（1）可知：， ∵函数图象上有一点到y轴的距离不大于2， ∴，， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，的值最小为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，的值最大为， ∴的最大值与最小值的差为； （3）解：的值为定值， 为抛物线上两点， 设，， 为直线与抛物线的交点， 联立得：， 得：， ， 为抛物线的顶点， ， ， 设的解析式为， 把代入，得为 ， 解得， ∴， 直线交轴于点， 令，得，解得， ， ， 同法可得的解析式：， 令，得，解得， ， 为线段的中点， ， ， ， ， 故的值为定值，为． 102 / 107 学科网（北京）股份有限公司 $