专题03 圆的综合压轴题（期末复习压轴题专项训练）数学苏科版九年级上学期

专题03 圆的综合压轴题 目录 典例详解 类型一、圆与三角形的综合压轴题 类型二、圆与四边形的综合压轴题 类型三、圆与函数综合压轴题 类型四、圆与新定义问题压轴题 压轴专练 类型一、圆与三角形的综合压轴题 一、 核心知识点梳理 （一） 三角形基础知识点 1.三角形的基本性质： （1）三角形内角和为180°，外角等于不相邻两内角和； （2）三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）特殊三角形性质（等腰、等边、直角三角形）： 等腰三角形：三线合一（顶角平分线、底边上的高、中线重合）； 直角三角形：①勾股定理： ，②斜边上的中线等于斜边的一半； ③30°角所对直角边等于斜边的一半。 (4)三角形全等与相似: 全等判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）； 相似判定方法：AA（核心）、SAS、SSS； 相似性质：对应边成比例、对应角相等；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 （二） 圆的核心知识点 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧； 2.弧、弦、圆心角的关系：同圆或等圆中，等弧 ⇔ 等弦 ⇔ 等圆心角。 3.圆周角与圆心角 圆心角定理：圆心角的度数等于所对弧的度数； 圆周角定理：圆周角的度数等于所对弧度数的一半； 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 4.切线的性质与判定： 判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 二、解题方法与技巧 （一） 证明类题型（全等 / 相似、切线判定、角度相等） 1.切线判定的核心方法 步骤 1： 找 “切点”—— 若直线与圆有明确公共点，连接圆心与该点（得半径）； 步骤2：证“垂直”——通过三角形全等/ 似、直角三角形性质、圆周角定理等，证明这条半径与直线垂直； 无明确公共点时：作圆心到直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。 技巧：遇切线必连 “切点与圆心”，构造直角三角形。 2.角度 / 线段相等的证明思路 （1）角度相等： 利用圆周角定理（同弧对等角）、圆内接四边形性质； 利用三角形全等 / 相似的对应角相等； 利用等腰三角形的底角相等。 （2）线段相等： 利用全等三角形对应边相等；利用切线长定理；利用垂径定理的推论（平分弧的直径平分弦）。 3.相似三角形的构造技巧 核心模型： （1）子母型相似：直角三角形斜边上的高，分原三角形为两个与原三角形相似的直角三角形； （2）圆周角模型：同弧所对的圆周角相等，加上公共角 / 对顶角，构造 AA 相似； （3）切线与弦的夹角模型：弦切角等于所夹弧所对的圆周角，构造相似三角形。 （二） 计算类题型（线段长度、面积、角度） 1.线段长度计算 勾股定理法：构造直角三角形（连半径、作垂线、利用直径所对圆周角为直角），设未知数列方程求解； 相似三角形法：找出相似三角形，根据对应边成比例列等式计算； 三角函数法：在直角三角形中，利用正弦、余弦、正切的定义计算边长。 技巧：遇线段长度未知时，优先设未知数，结合几何性质列方程（几何代数化）。 2.面积计算 （1）三角形面积：常规公式 S=；（2）不规则图形面积：割补法；（3）扇形面积==。 3.角度计算 优先利用圆周角与圆心角的关系，结合三角形内角和、外角性质； 圆内接四边形对角互补，是计算角度的重要突破口。 （三） 动态探究类题型（动点、动线、动圆） 这类题型是压轴题的难点，核心是 “动中寻静”，找到变化过程中的不变量。 1.解题步骤 步骤 1：分析动点的运动轨迹（直线、圆弧）、运动范围、临界位置； 步骤 2：取特殊位置（动点在起点、终点、中点、切点等），计算特殊值，猜想结论； 步骤 3：证明一般情况 —— 利用全等 / 相似、圆的性质，证明猜想的结论在整个运动过程中成立； 步骤 4：求最值 —— 结合 “两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系” 等求解。 2.核心技巧 动点轨迹为圆的情况：若动点到定点的距离始终不变，则轨迹是圆； 线段最值问题：常转化为 “圆心到直线的距离”“两点之间的距离” 求解。 例1．如图，已知是的直径，弦于点E，点M是线段延长线上的一点，连结交于点F，连结交于点G，连结，，． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在（2）的条件下，设，． ①求y关于x的函数表达式； ②若E为的中点，求的值． 变式1-1．如图，在中，，，，动点D由点C向点B以每秒3速度在边上运动，动点E由点C向点A以每秒4速度在边上运动，若点D、点E从点C同时出发，运动t秒（t>0），连接DE (1)求证：； (2)如图2，设经过点D、C、E三点的圆为，连接并延长交于点H． ①猜想直线与直线的位置关系，并证明你的结论； ②在点D、点E运动过程中，若与边交于点 M、N（点M在点N下方，如图3），连接并延长交边于点H，连接，当与相似时，直接写出t值． 变式1-2．如图所示，点在以为圆心、线段为直径的半圆上，连接，取线段中点，在线段上取一点（点不与点重合），使，过点作直线，与交于点F． (1)如图（1），当点、点重合时，求证：四边形是正方形； (2)如图（2），连接，点是线段与线段的公共点． ①设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②如图（3），连接、，点是线段与线段的公共点，点是线段与线段的公共点，当时，求的值． 变式1-3．如图1．在中，，点是内一个动点，且． (1)直接写出图1中与相等的角 ； (2)如图2，当时，连接并延长交的外接圆于点，交于点，连接． ①求证； ②求的最小值； (3)如图3，当，且时，连接并延长交的外接圆于点，交于点，连接求证：． 类型二、圆与四边形的综合压轴题 一、核心知识 1.圆的相关知识：（详见类型一） 2.特殊四边形知识： 四边形 核心性质 核心判定 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 两组对边平行 / 相等、 一组对边平行且相等、 对角线互相平分 矩形 四个角为直角 对角线相等且互相平分； 三个角为直角 对角线相等的平行四边形 菱形 四边相等 对角线互相垂直平分 四边相等、对角线互相垂直的平行四边形 正方形 兼具矩形 + 菱形性质； 有一组邻边相等的矩形、有一个角为直角的菱形 二、解题方法与技巧 （一）证明类题型（切线判定、四边形判定、线段 / 角度相等） 切线判定（高频考点） 场景 1：四边形的边是切线 1. 步骤：①找公共点（若有，连圆心与公共点得半径）；②证半径与四边形的边垂直。 2. 技巧：利用特殊四边形的直角性质（矩形的角、正方形的角、菱形对角线垂直）。 场景 2：四边形的对角线是切线 1. 步骤：①作圆心到对角线的垂线（无明确公共点）；②证垂线段长度 = 半径。 2. 技巧：利用菱形对角线互相垂直平分，结合勾股定理求垂线段长度。 特殊四边形判定（结合圆的性质） 1. 核心思路：先证基础四边形（平行四边形），再补全特殊条件（直角、邻边相等、对角线垂直 / 相等）。 2. 常用条件： 3. 证矩形：①圆内接四边形 + 对角互补（已满足）+ 有一个角为直角；②平行四边形 + 对角线是圆的直径（对角线相等）。 4. 证菱形：①平行四边形 + 对角线垂直（结合圆的垂径定理）；②四边形外切于圆（对边和相等）+ 邻边相等。 5. 证正方形：①矩形 + 圆外切（对边和相等→邻边相等）；②菱形 + 圆内接（对角互补→角为直角）。 线段 / 角度相等证明 1. 角度相等：①圆周角定理（同弧对等角）；②圆内接四边形对角互补 + 四边形内角和；③特殊四边形的对角 / 邻角关系（矩形对角相等、菱形对角线平分内角）。 2. 线段相等：①全等三角形（利用半径相等、四边形对边相等构造）；②切线长定理（圆外一点引两条切线）；③垂径定理（圆的直径垂直平分弦，结合四边形对角线平分性质）。 （二）计算类题型（线段长度、面积、周长） 1. 线段长度计算（核心突破点） 方法1：勾股定理法； 方法 2：相似三角形法方法； 3：三角函数法 2.面积计算（常规 + 不规则图形） （三）动态探究类题型（动点、动线、动圆） 1. 解题核心：动中寻静（找不变量） 2. 常见场景与技巧 场景 1：动点在四边形边上运动（与圆相切 / 相交） 步骤：①确定动点运动范围；②找临界位置（切线位置，此时圆心到动点所在边的距离 = 半径）；③结合四边形性质列方程求解。 场景 2：动圆与四边形的边相切 技巧：①圆心到各边的距离 = 半径（外切四边形对边和相等）；②利用矩形对边平行，圆心轨迹为平行于边的直线。 场景 3：动线旋转（与圆、四边形形成新图形） 技巧：①旋转前后线段长度、角度不变；②找旋转后的对应点，结合圆周角定理或切线性质证明结论。 例2．如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，连结，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)当点P是的中点时，． ①求的长； ②若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 变式2-1．如图1所示，已知矩形中，，，点E是边上一动点，连接，以为直径作，交于点F，过点F作于点H，直线交于点G． (1)如图2所示，当点E为的中点时，求证：为的切线； (2)当，求的长； (3)在点E的运动过程中，当时，能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，说明理由． 变式2-2．【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 变式2-3．已知为的直径，以为边作矩形，点和点是上两点，连结，和．   (1)如图①，设，用含有的代数式表示 ； (2)如图②，连接，已知，用含有的代数式表示和 的面积之比； (3)如图③，过点作，垂足为点，连结，若 ，求的长． 类型三、圆与函数综合压轴题 一、核心知识 1.圆的相关知识：（详见类型一） 2.一次函数、二次函数的性质 一次函数 解析式：（），当时为正比例函数 性质：时函数单调递增，时单调递减；直线与坐标轴的交点为和 二次函数 三种解析式 一般式：（） 顶点式：（顶点） 交点式：（与轴交点、） 核心性质：开口方向由决定；对称轴；顶点坐标 与坐标轴的交点：与轴交点；与轴交点由判断（两个交点，一个交点，无交点） 二、解题方法与技巧 1. 数形结合思想 关键动作：画出准确的函数图象与圆的图形，标注已知点、圆心、半径、切线等关键元素。 应用场景：通过图形直观判断圆与函数图象的位置关系，确定交点个数；利用图形性质转化代数问题（如切线问题转化为垂直关系）。 2. 分类讨论思想 3. 方程思想 4. 转化思想 · 常见转化方向 · 线段长度问题→转化为坐标差的平方和（勾股定理）或距离公式； · 角度问题→转化为斜率关系（垂直则斜率乘积为）或圆的圆周角/圆心角性质； · 最值问题→转化为圆心到函数图象的距离加减半径（如圆上点到直线的最值）。 例3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值． 变式3-1．二次函数的图象与轴分别交于点、，与轴交于点，点是这个函数图象上的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图，当点在直线下方时，过点作，垂足为，求的最大值； (3)如图，当点在轴上方时，连接，直线是二次函数图象的对称轴，过点作直线，垂足为，以点为圆心作圆，与相切，切点为．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，求的半径． 变式3-2．已知直线过点，且与抛物线交于A，B两点，与x负半轴交于点M，其中点A在第二象限，点O为坐标原点． (1)当A是中点时，求直线l的解析式； (2)若点M的横坐标为m，，中点C的纵坐标为y，求y与m的函数关系式； (3)以为直径的圆C交直线于D，是否为定值？若是定值，请求出此值，若不是定值，请说明理由． 变式3-3．如图，在平面直角坐标系中，一个半圆和二次函数图像的一部分围成的封闭图形，称为“甜筒圆”，已知分别为“甜筒圆”与坐标轴的交点，其中半圆直径，圆心，二次函数的最小值为． (1)求“甜筒圆”中的二次函数的表达式； (2)如图，画直线，点是第四象限内“甜筒圆”上的一点，过点作轴的平行线与直线相交于点，求的最大值； (3)如图，连接，点为“甜筒圆”上任意一点，过作，垂足为点，是否存在点使得和相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 类型四、圆与新定义问题压轴题 一、核心知识 1.圆的相关知识：（详见类型一） 2.三角形和特殊四边形相关知识（详见类型二） 二、解题方法与技巧 1. 精读定义，圈画关键条件 逐字分析新定义的内涵：明确定义中的“主体”（如“圆的关联点”“等距圆”“圆的伴随线”）、“限制条件”（如距离范围、角度要求、位置约束）、“判定标准”（如满足什么条件才算符合定义）。 2. 转化定义，翻译为数学语言 将新定义的文字描述转化为“图形特征”或“代数表达式”，建立与圆的核心知识点的联系： 若涉及“点与圆的关系”：转化为“点到圆心的距离d与半径r的大小关系”（d＜r内接、d=r在圆上、d＞r外离）； 若涉及“直线与圆的关系”：转化为“圆心到直线的距离d与半径r的大小关系”（d=r相切、d＜r相交、d＞r相离）； 若涉及“新图形与圆的位置”：先画出新图形的示意图，标注与圆相关的关键元素（如圆心、半径、切点、交点）。 3. 结合圆的性质，搭建解题桥梁 调用圆的核心知识点（垂径定理、圆周角定理、切线性质、圆的方程等），将转化后的条件与所求问题关联： 求符合定义的点的坐标：结合圆的方程列不等式/方程求解； 求符合定义的直线解析式：利用切线性质、点到直线距离公式建立方程； 求最值问题：转化为圆上点到定点/定直线的距离最值（圆心到定点/定直线距离±半径）。 4. 检验验证，避免漏解错解 根据新定义的限制条件，检验求解结果是否符合要求（如是否在指定范围内、是否满足整数约束等）； 若新定义中存在“分类场景”（如“点在圆的左侧/右侧”“直线与圆的不同交点位置”），需全面讨论，避免漏解。 重点提醒： “陌生→熟悉”转化思想：无论新定义多么复杂，最终都要转化为圆的位置关系、距离、角度等熟悉的知识点； 数形结合思想：画图是关键，通过图形直观理解新定义与圆的关联，避免纯代数推导的盲目性； 严谨性思想：新定义问题的限制条件往往较多，需逐一审核，确保每一步求解都符合全部条件。 例4．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． (1)如图1，是中的遥望角，若，请直接用含的代数式表示_______． (2)如图2，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连接并延长交的延长线于点．求证：是中的遥望角． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若点在线段上． ①求的度数；②若，求的面积． 变式4-1．定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”． (1)如图1，等边为的内接三角形，过点O做交于点D，交于点E，判断________（填“是”或“不是”） 的“梦之三角形”，请说明理由； (2)如图2，已知是的“梦之三角形”，其内心I关于的对称点F在上，若，求的半径； (3)如图3，已知的半径为，弦，点A在上，若为的“梦之三角形”，求的长度． 变式4-2．【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 变式4-3．【阅读】若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点如图，在中，如果三角形内部有一点满足，则的值最小理由如下：将绕点A逆时针旋转至，连结． ． ，，． 是等边三角形． ，． ． ，． 点，，，四点在同一条直线上此时，的值最小． 【应用】（1）如图一所示，点是内一点，且点是的费马点，已知，，，求的长． （2）如图二所示，分别以锐角的边，向三角形外部作等边，等边，连结，交于点，求证：点为的费马点． 【拓展】（3）如图三，圆内接矩形内有一点，于点，已知，且的最小值是，求的半径． 一、选择题 1．如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 2．如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，．用表示点的运动路程，表示的面积下列图像适合表示与的对应关系的是（   ） A．B．C． D． 3．如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．如图．内接于，连，点D在上，连，交于，，过D作于F，交于G，若，，，则的长是 ． 三、解答题 5．如图，内接于，连接并延长交于点，与相切于点，． (1)求证：； (2)如图，作的弦，连接，，在上取点，连接，，求证：是正三角形； (3)如图，在（2）的条件下作交于，在上取点，连接交于点，连接，若，，，求的长． 6．在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 7．如图，是的直径且，点C是的中点，过点C作交延长线于点E． (1)证明：是切线； (2)如图1，连接交于点，点F在直径上，若，求的长． (3)如图2，的角平分线交于点F，延长交于点G，连接，点H是外一点，交于点P，连接，已知，延长交的垂线于点M，垂足为G，连接，求的长． 8．如图，点是半圆上的一个动点，连接并以的中点为圆心，为半径作，交线段于点，连接，记与直径除点外的另一个交点为点，连接． (1)求证：点是中点； (2)若，求的值； (3)过点作半圆的切线，交直线于点．若，连接、，求的值． 9．如图1，在正方形中，点在上（不与点，重合），点在边上，，连接，交于点． (1)如图，连接与交于点，连接交于点． 求证：； 当时，求的值； (2)如图，若是的中点，以点为圆心，为半径作，是上的一个动点，连接交于点，求的最大值． 10．在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点Q和，给出如下定义：若存在点Q在内（包含圆周），则称为的关联三角形． (1)如图1，若点 ①已知点，，则在，中为⊙O的关联三角形的是 ； ②P是x轴上的动点，且为的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 ； (2)如图2，若点，直线上存在点P使得．为的关联三角形，直接写出b的取值范围． 11．已知E为x轴正半轴上一点，交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，P点为劣弧上一个动点（点P不与B，C重合），且，． (1)如图1，连接，取的中点G，连接，，则与具有怎样的关系？并求的最大值； (2)如图2，连接，，，其中与y轴交于点F，平分交于点Q； ①求点Q的运动路径长； ②记，，求y关于x的函数关系式； (3)如图3，连接，，，求证：定值． 12．探究与应用 【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴．    ① 在中，∵，∴ ．    ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ． ∴． …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 ． 【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积． 【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长． 【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆的综合压轴题 目录 典例详解 类型一、圆与三角形的综合压轴题 类型二、圆与四边形的综合压轴题 类型三、圆与函数综合压轴题 类型四、圆与新定义问题压轴题 压轴专练 类型一、圆与三角形的综合压轴题 一、 核心知识点梳理 （一） 三角形基础知识点 1.三角形的基本性质： （1）三角形内角和为180°，外角等于不相邻两内角和； （2）三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）特殊三角形性质（等腰、等边、直角三角形）： 等腰三角形：三线合一（顶角平分线、底边上的高、中线重合）； 直角三角形：①勾股定理： ，②斜边上的中线等于斜边的一半； ③30°角所对直角边等于斜边的一半。 (4)三角形全等与相似: 全等判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）； 相似判定方法：AA（核心）、SAS、SSS； 相似性质：对应边成比例、对应角相等；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 （二） 圆的核心知识点 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧； 2.弧、弦、圆心角的关系：同圆或等圆中，等弧 ⇔ 等弦 ⇔ 等圆心角。 3.圆周角与圆心角 圆心角定理：圆心角的度数等于所对弧的度数； 圆周角定理：圆周角的度数等于所对弧度数的一半； 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 4.切线的性质与判定： 判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 二、解题方法与技巧 （一） 证明类题型（全等 / 相似、切线判定、角度相等） 1.切线判定的核心方法 步骤 1： 找 “切点”—— 若直线与圆有明确公共点，连接圆心与该点（得半径）； 步骤2：证“垂直”——通过三角形全等/ 似、直角三角形性质、圆周角定理等，证明这条半径与直线垂直； 无明确公共点时：作圆心到直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。 技巧：遇切线必连 “切点与圆心”，构造直角三角形。 2.角度 / 线段相等的证明思路 （1）角度相等： 利用圆周角定理（同弧对等角）、圆内接四边形性质； 利用三角形全等 / 相似的对应角相等； 利用等腰三角形的底角相等。 （2）线段相等： 利用全等三角形对应边相等；利用切线长定理；利用垂径定理的推论（平分弧的直径平分弦）。 3.相似三角形的构造技巧 核心模型： （1）子母型相似：直角三角形斜边上的高，分原三角形为两个与原三角形相似的直角三角形； （2）圆周角模型：同弧所对的圆周角相等，加上公共角 / 对顶角，构造 AA 相似； （3）切线与弦的夹角模型：弦切角等于所夹弧所对的圆周角，构造相似三角形。 （二） 计算类题型（线段长度、面积、角度） 1.线段长度计算 勾股定理法：构造直角三角形（连半径、作垂线、利用直径所对圆周角为直角），设未知数列方程求解； 相似三角形法：找出相似三角形，根据对应边成比例列等式计算； 三角函数法：在直角三角形中，利用正弦、余弦、正切的定义计算边长。 技巧：遇线段长度未知时，优先设未知数，结合几何性质列方程（几何代数化）。 2.面积计算 （1）三角形面积：常规公式 S=；（2）不规则图形面积：割补法；（3）扇形面积==。 3.角度计算 优先利用圆周角与圆心角的关系，结合三角形内角和、外角性质； 圆内接四边形对角互补，是计算角度的重要突破口。 （三） 动态探究类题型（动点、动线、动圆） 这类题型是压轴题的难点，核心是 “动中寻静”，找到变化过程中的不变量。 1.解题步骤 步骤 1：分析动点的运动轨迹（直线、圆弧）、运动范围、临界位置； 步骤 2：取特殊位置（动点在起点、终点、中点、切点等），计算特殊值，猜想结论； 步骤 3：证明一般情况 —— 利用全等 / 相似、圆的性质，证明猜想的结论在整个运动过程中成立； 步骤 4：求最值 —— 结合 “两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系” 等求解。 2.核心技巧 动点轨迹为圆的情况：若动点到定点的距离始终不变，则轨迹是圆； 线段最值问题：常转化为 “圆心到直线的距离”“两点之间的距离” 求解。 例1．如图，已知是的直径，弦于点E，点M是线段延长线上的一点，连结交于点F，连结交于点G，连结，，． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在（2）的条件下，设，． ①求y关于x的函数表达式； ②若E为的中点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)①；② 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及垂径定理，圆周角定理和相似三角形的性质和判定以及解直角三角形相关的内容，需要学生对这些知识点都熟悉的情况下进行综合分析思考解题． （1）利用垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可； （2）设，则，利用直角三角形相似的判定定理和性质定理求得，，，利用直角三角形的边角关系定理和（1）的结论解答即可； （3）①过点G作于点H，由（1）的结论得到，利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，则，利用已知条件得到m与x的关系，进而得到，的长度，利用已知条件化简即可得出结论； ②过点A作于点M，过点C作于点N，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质用a的代数式表示出，，利用三角形的面积公式化简运算即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是⊙O的直径，弦于点E， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴设，则． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴． ∴， 由（1）知：， ∴； （3）解：①过点G作于点H，如图， 则． 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴． ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ②过点A作于点K，过点C作于点N，如图， ∵E为的中点，， ∴垂直平分，， ∴， ， ∵是的直径，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1-1．如图，在中，，，，动点D由点C向点B以每秒3速度在边上运动，动点E由点C向点A以每秒4速度在边上运动，若点D、点E从点C同时出发，运动t秒（t>0），连接DE (1)求证：； (2)如图2，设经过点D、C、E三点的圆为，连接并延长交于点H． ①猜想直线与直线的位置关系，并证明你的结论； ②在点D、点E运动过程中，若与边交于点 M、N（点M在点N下方，如图3），连接并延长交边于点H，连接，当与相似时，直接写出t值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】相似三角形——动点问题、圆周角定理、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，会根据两个三角形之间的关系求出各个线段之间的关系是解题的关键．（1）直接证明，结合可得；（2）①由，可得，由可得，再证明即可；②先求出，，再分情况讨论，当时， ，当时，，分别代入列方程求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，，， ∵，，， ∴，， ∴， 又 ∵， ∴； （2）① 证明：∵经过点，，三点， ∴， ∴， 由（1）， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 解：由和，得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由半径相等可得， 当时，， 则， 解得：； 当时，， 则， 解得：； 综上所述，当与相似时，或． 变式1-2．如图所示，点在以为圆心、线段为直径的半圆上，连接，取线段中点，在线段上取一点（点不与点重合），使，过点作直线，与交于点F． (1)如图（1），当点、点重合时，求证：四边形是正方形； (2)如图（2），连接，点是线段与线段的公共点． ①设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②如图（3），连接、，点是线段与线段的公共点，点是线段与线段的公共点，当时，求的值． 【答案】(1)证明详见解析 (2)① ② 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、根据正方形的性质证明、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，因为点和点重合，因此，又因为点为线段中点，可得．由直径所对圆周角为直角，得到，结合，，可判定四边形是正方形； （2）①连接，由可证明是直角三角形，．结合，，容易证出点F是中点，因此是的中位线，即，且．结合平行，易得，则．设圆半径为r，用r和的三角函数依次表示出，，和，最后利用同角的三角函数关系式，消去r，求得关于的函数解析式，并求出定义域； ②在①的基础上，结合，可以求出x的值．点是两条中线的交点，则点是的重心，由重心的性质可知，．过点C作的平行线，交的延长线于点H，利用平行证得相似三角形，可以得到的值，将替换为后，求得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点和点重合， ∴， ∵点为线段中点， ∴， ∵直径所对圆周角为直角， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：①如图，连接，设圆O的半径为r， 由（1）可得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点F是中点， ∵点O为中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴，， 在直角中，， ∴，即， ∴， 由同角三角函数关系得，， 将得，，即， 将得，，即， ∵， ∴， 化简得，，将它看作一个关于y的一元二次方程，则，，，判别式，即， ∵， ∴， 由一元二次方程的公式法求得，，， ∵点是线段与线段的公共点， ∴点E在点O左侧或与点O重合，即， ∴，即， ∵为锐角， ∴， 由三角函数的增减性和特殊三角函数值可得，，则 当时，，和题意不符，故舍去， ∴； ②由①可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由同角三角函数关系式可得，，即， 设，则， ∴， 整理得，， 由一元二次方程的公式法可得，，（负值舍去）， ∴，， ∴， 如图，过点C作的平行线，交的延长线于点H， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是中点，点O为中点， ∴和是的中线， ∵点是线段与线段的公共点， ∴点是的重心， 由重心的性质可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式1-3．如图1．在中，，点是内一个动点，且． (1)直接写出图1中与相等的角 ； (2)如图2，当时，连接并延长交的外接圆于点，交于点，连接． ①求证； ②求的最小值； (3)如图3，当，且时，连接并延长交的外接圆于点，交于点，连接求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)见解析 【知识点】已知圆内接四边形求角度、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理 【分析】（1）根据三角形内角和定理并结合已知可得出，根据角的和差关系知，等量代换即可得到； （2）①根据同弧所对的圆周角相等，结合（1）能得到，即可证明； ②连接、，由，得到，当经过圆心时，的值最小，过点作交于点，则是的中点，根据含的直角三角形的性质和勾股定理可求出，，，即可求解； （3）证明：连接、，，同（2）可求，根据线段垂直平分线的判定可得点O、A、P在的垂直平分线上，则点A、P、O在同一直线上，根据直角三角形的性质可得，，根据勾股定理求出，，则，即可证明． 【详解】（1）解： ， 又， ， 故答案为：； （2）①证明：∵， ， 由（1）知， ， ； ②连接、，， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 当经过圆心时的值最小，过点作交于点， 则是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ∴的最小值为； （3）证明：连接、，， ，， ， 又， ， ， ， 点O在的垂直平分线上，， ，， ， ， 点A在的垂直平分线上， ， 点P在的垂直平分线上， 点A、P、O在同一直线上， 垂直平分，即， 又， ，， ， ， ，， ， ， ， 类型二、圆与四边形的综合压轴题 一、核心知识 1.圆的相关知识：（详见类型一） 2.特殊四边形知识： 四边形 核心性质 核心判定 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 两组对边平行 / 相等、 一组对边平行且相等、 对角线互相平分 矩形 四个角为直角 对角线相等且互相平分； 三个角为直角 对角线相等的平行四边形 菱形 四边相等 对角线互相垂直平分 四边相等、对角线互相垂直的平行四边形 正方形 兼具矩形 + 菱形性质； 有一组邻边相等的矩形、有一个角为直角的菱形 二、解题方法与技巧 （一）证明类题型（切线判定、四边形判定、线段 / 角度相等） 切线判定（高频考点） 场景 1：四边形的边是切线 1. 步骤：①找公共点（若有，连圆心与公共点得半径）；②证半径与四边形的边垂直。 2. 技巧：利用特殊四边形的直角性质（矩形的角、正方形的角、菱形对角线垂直）。 场景 2：四边形的对角线是切线 1. 步骤：①作圆心到对角线的垂线（无明确公共点）；②证垂线段长度 = 半径。 2. 技巧：利用菱形对角线互相垂直平分，结合勾股定理求垂线段长度。 特殊四边形判定（结合圆的性质） 1. 核心思路：先证基础四边形（平行四边形），再补全特殊条件（直角、邻边相等、对角线垂直 / 相等）。 2. 常用条件： 3. 证矩形：①圆内接四边形 + 对角互补（已满足）+ 有一个角为直角；②平行四边形 + 对角线是圆的直径（对角线相等）。 4. 证菱形：①平行四边形 + 对角线垂直（结合圆的垂径定理）；②四边形外切于圆（对边和相等）+ 邻边相等。 5. 证正方形：①矩形 + 圆外切（对边和相等→邻边相等）；②菱形 + 圆内接（对角互补→角为直角）。 线段 / 角度相等证明 1. 角度相等：①圆周角定理（同弧对等角）；②圆内接四边形对角互补 + 四边形内角和；③特殊四边形的对角 / 邻角关系（矩形对角相等、菱形对角线平分内角）。 2. 线段相等：①全等三角形（利用半径相等、四边形对边相等构造）；②切线长定理（圆外一点引两条切线）；③垂径定理（圆的直径垂直平分弦，结合四边形对角线平分性质）。 （二）计算类题型（线段长度、面积、周长） 1. 线段长度计算（核心突破点） 方法1：勾股定理法； 方法 2：相似三角形法方法； 3：三角函数法 2.面积计算（常规 + 不规则图形） （三）动态探究类题型（动点、动线、动圆） 1. 解题核心：动中寻静（找不变量） 2. 常见场景与技巧 场景 1：动点在四边形边上运动（与圆相切 / 相交） 步骤：①确定动点运动范围；②找临界位置（切线位置，此时圆心到动点所在边的距离 = 半径）；③结合四边形性质列方程求解。 场景 2：动圆与四边形的边相切 技巧：①圆心到各边的距离 = 半径（外切四边形对边和相等）；②利用矩形对边平行，圆心轨迹为平行于边的直线。 场景 3：动线旋转（与圆、四边形形成新图形） 技巧：①旋转前后线段长度、角度不变；②找旋转后的对应点，结合圆周角定理或切线性质证明结论。 例2．如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，连结，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)当点P是的中点时，． ①求的长； ②若点Q是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)①；②或12 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）如图1，在正方形中，，根据圆内接四边形的性质得到，求得．得到，于是得到结论； （2）如图2，延长交于点H．根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，于是得到结论； （3）①由（2）知．求得．根据是BC的中点，于是得到， ②推出，当时，如图3，，根据圆周角定理得到是圆的直径，根据勾股定理得到．当时，如图4，连接．由第一种情况可知是圆的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，点在的外接圆上， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：结论：， 理由：如图2，延长交于点H， ，， ，即， ， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ，， ∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ∴是等腰直角三角形， ； （3）解：①由（2）知． ， ， ∴， 是的中点， ． ②由①可知，， ∴， ∴，， 存在或， 当时，如图3，， ， ， 是圆的直径， 连接，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ∴， 当时，如图4，连结； 是圆的直径， ， ， ， ， 综上所述，的长是或12． 变式2-1．如图1所示，已知矩形中，，，点E是边上一动点，连接，以为直径作，交于点F，过点F作于点H，直线交于点G． (1)如图2所示，当点E为的中点时，求证：为的切线； (2)当，求的长； (3)在点E的运动过程中，当时，能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时的长；如果不能，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或． (3)能， 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）连接，证明为的中位线，得出．证出，即可得出为的切线； （2）作于点M，连接，先证明∽，得出，求出或； ①当时，证明，得出比例式，求出，根据勾股定理求出，即可得出； ②当时，同①得出，得出，求出，得出，由勾股定理求出，即可得出； （3）连接，由圆周角定理得出，设，则，，，由已知条件得出点G在点F上方，连接，设交于点K，得出和都是等腰直角三角形，得出，，，，，证明∽，得出，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：如图2，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵E为的中点， ∴F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：如图3，作于点M，连接， ∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或． ①当时，，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当时，，， ∴同理可得，，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：的长为：或． （3）解：连接，如图所示，则， 设，则，，， 若是等腰直角三角形，则， 又∵， ∴点G在点F上方， 连接，设交于点K， ∴， ∵是直径， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，， 在等腰直角中，根据勾股定理得：，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，或（不合题意，舍去）， ∴． 变式2-2．【问题情境】如图，矩形中，作，分别交边于点E，交边于点F，作的外接． 【特殊体会】当时，如图1，判断与之间的数量关系是_______； 【初步探究】当经过点D时，如图2，试探究、、之间的数量关系，并加以证明； 【深入探究】当与相切时，如图3，解决下列问题： ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求（直接写出结果）． 【答案】【特殊体会】 【初步探究】，见解析 【深入探究】①与相切；② 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题)、用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线 【分析】特殊体会：由已知、根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得结论； 初步探究：由已知、根据“圆周角所对的弦是直径”得：是的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”得，根据“同角的余角相等”得，根据“直角三角形两锐角互余”可得，根据“等角对等边”得，再根据“”证明，得到：，等量代换得出结论； 深入探究：① 连接，根据“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得 ，由已知、根据“切线垂直于过切点的半径”得，则四边形是矩形，可得，即，根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线”得出结论； ② 延长交于点，连接，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得：四边形都是矩形，从而得到：，由勾股定理得，从而，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：特殊体会：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 初步探究：．如题图2． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 深入探究：①与相切． 如图，连接、． ∵， ∴． ∵与相切， ∴． ∴， 又 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 又 ∵是半径， ∴与相切． ②． 如图，延长交于点， ∵，， ∴ 四边形、都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 变式2-3．已知为的直径，以为边作矩形，点和点是上两点，连结，和．   (1)如图①，设，用含有的代数式表示 ； (2)如图②，连接，已知，用含有的代数式表示和 的面积之比； (3)如图③，过点作，垂足为点，连结，若 ，求的长． 【答案】(1) (2)和的面积之比为 (3)3 【知识点】解直角三角形的相关计算、全等的性质和SSS综合（SSS）、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理 【分析】（1）连接，，证明得出对应角相等，利用直径定理得出，然后利用等量代换即可求解； （2）连接，利用锐角三角函数得出，证明，利用相似三角形的性质进行求解即可； （3）延长交于点，连结，得出为的垂直平分线，得到，证明，利用相似三角形的性质得出线段之间的关系，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， ，， ∴， ∴， ． 四边形为矩形， ， ． 为的直径， ． ， ． ， ． ． ， ． （2）解：如图所示，连接， ， ，即． ∵与为等腰三角形，且底角， ， ， ∵， ∴， 和的面积之比为； （3）解：如图，延长交于点，连接， 为的直径，， ， ． 为的垂直平分线， ． ．   ，即 ， ， ． ，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，   ． ， ∵， ∴，即， ． 类型三、圆与函数综合压轴题 一、核心知识 1.圆的相关知识：（详见类型一） 2.一次函数、二次函数的性质 一次函数 解析式：（），当时为正比例函数 性质：时函数单调递增，时单调递减；直线与坐标轴的交点为和 二次函数 三种解析式 一般式：（） 顶点式：（顶点） 交点式：（与轴交点、） 核心性质：开口方向由决定；对称轴；顶点坐标 与坐标轴的交点：与轴交点；与轴交点由判断（两个交点，一个交点，无交点） 二、解题方法与技巧 1. 数形结合思想 关键动作：画出准确的函数图象与圆的图形，标注已知点、圆心、半径、切线等关键元素。 应用场景：通过图形直观判断圆与函数图象的位置关系，确定交点个数；利用图形性质转化代数问题（如切线问题转化为垂直关系）。 2. 分类讨论思想 3. 方程思想 4. 转化思想 · 常见转化方向 · 线段长度问题→转化为坐标差的平方和（勾股定理）或距离公式； · 角度问题→转化为斜率关系（垂直则斜率乘积为）或圆的圆周角/圆心角性质； · 最值问题→转化为圆心到函数图象的距离加减半径（如圆上点到直线的最值）。 例3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标； (3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、圆的基本概念辨析、特殊三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解； （2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可； （3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，， ∴ ，． ∴将代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在点，理由如下： 直线的解析式为，将代入得 解得： ∴直线的解析式为： ∵抛物线对称轴与轴交于点， ∴当时，， ∴， ①当时，设直线交对称轴于点， ∵，，二次函数对称轴为， ∴，，轴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∵ ∴， ∴， ∴点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点的坐标为； ②∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， 当时，根据点关于抛物线对称轴对称， 则直线经过点坐标为， 设直线的解析式为，将点坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； （3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点， 如图，在上取点，使，连接， ， ∴， ， ， 又， ， ，即， ， 当点三点共线时，的值最小，即为线段的长， ， ， 的最小值为． 变式3-1．二次函数的图象与轴分别交于点、，与轴交于点，点是这个函数图象上的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图，当点在直线下方时，过点作，垂足为，求的最大值； (3)如图，当点在轴上方时，连接，直线是二次函数图象的对称轴，过点作直线，垂足为，以点为圆心作圆，与相切，切点为．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，求的半径． 【答案】(1)； (2)的最大值为； (3)的半径是． 【知识点】切线的性质定理、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，切线的性质，二次函数的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）连接、，过点作轴，交于点，由题意可得点，求出直线对应函数表达式为，设点坐标为，则，则，所以，当时，的最大值为，然后通过，即可求出的最大值； （）设点坐标为，则，设的半径为，则有，又以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，故有，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴； （2）解：连接、，过点作轴，交于点， 由题意，可得点，设直线对应函数表达式为，则， ∴， ∴， 设点坐标为，则， ∴， 则， 当时，的最大值为， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； （3）解：设点坐标为，则， 设的半径为， ∵与相切，切点为，二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∵以的长为边长的正方形的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是． 变式3-2．已知直线过点，且与抛物线交于A，B两点，与x负半轴交于点M，其中点A在第二象限，点O为坐标原点． (1)当A是中点时，求直线l的解析式； (2)若点M的横坐标为m，，中点C的纵坐标为y，求y与m的函数关系式； (3)以为直径的圆C交直线于D，是否为定值？若是定值，请求出此值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，且为2，见解析 【知识点】切线的性质定理、求一次函数解析式、其他问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据，设直线的解析式为，则，根据点A是中点，得到，结合点A在抛物线上，且点A在第二象限解答即可； （2）根据，设直线的解析式为，结合，得到，于是，得到直线的解析式为，设，，根据题意，得是方程的两个根，利用中点坐标公式解答即可； （3）设，，根据题意，得是方程的两个根，则，，，，设，过点O作圆的切线，切点为Q，连接，延长到点N，利用中点坐标公式，根与系数关系定理，勾股定理，切线性质定理，三角形相似的判定和性质，解答即可． 【详解】（1）解：∵，设直线的解析式为， 则， ∵点A是的中点， ∴， ∵点A在抛物线上，且点A在第二象限， ∴， 解得，（舍去）， 故直线的解析式为． （2）解：∵，设直线的解析式为， ∵，得到， 解得， 故直线的解析式为， 设，， 根据题意，得是方程的两个根， ∴， ∴， ∵中点C的纵坐标为y， ∴． （3）解：∵，设直线的解析式为， ∵，得到， 解得， 故直线的解析式为， 设，， 根据题意，得是方程的两个根， ∴，， ∴，， 设， ∵为直径的圆C交直线于D，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴圆C的半径为， 过点O作圆的切线，切点为Q，连接，延长到点N， 则，，， ， ∴， ∵是圆的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故是定值，且为2． 变式3-3．如图，在平面直角坐标系中，一个半圆和二次函数图像的一部分围成的封闭图形，称为“甜筒圆”，已知分别为“甜筒圆”与坐标轴的交点，其中半圆直径，圆心，二次函数的最小值为． (1)求“甜筒圆”中的二次函数的表达式； (2)如图，画直线，点是第四象限内“甜筒圆”上的一点，过点作轴的平行线与直线相交于点，求的最大值； (3)如图，连接，点为“甜筒圆”上任意一点，过作，垂足为点，是否存在点使得和相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)“甜筒圆”中的二次函数的表达式为：； (2)最大值为； (3)存在．或或或． 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据已知的圆心坐标和半圆直径可确定二次函数的顶点坐标，再利用图像过的点，设出顶点式来求解二次函数表达式． （2）先求出直线的表达式，设出点的坐标，进而得到点的坐标，通过两点纵坐标之差表示出，再根据二次函数性质求最大值； （3）根据相似三角形的性质分情况讨论，结合 “甜筒圆” 的图形特征求出点的坐标． 【详解】（1）解：已知半圆直径，圆心， ， 则点坐标为即， 点坐标为即， 二次函数的最小值为， 二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的表达式为，把代入可得， ， 解得，， 二次函数的表达式为， 即“甜筒圆”中的二次函数的表达式为：； （2）解：先求点坐标，令， 则， ， 已知，设直线的表达式为， 把，代入， 可得 解得 直线的表达式为， 设点的坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 把代入， 可得 解得，即， 则， ， 当时，有最大值为； （3）解：存在，由点、、的坐标得，，当和相似时，则或， 当点在“甜筒圆”上时，连接，如图所示： 当时，设，则，， 当时，设，则，， 在中，则， 即或， 解得，或 (舍去)， ， 则点， 根据图形的对称性，另外一个点关于对称， 则点， 当点在抛物线上时，如图所示， 则或， 设点，则， 则或， 解得，(舍去)或或， 即点或， 综上所述，或或或． 类型四、圆与新定义问题压轴题 一、核心知识 1.圆的相关知识：（详见类型一） 2.三角形和特殊四边形相关知识（详见类型二） 二、解题方法与技巧 1. 精读定义，圈画关键条件 逐字分析新定义的内涵：明确定义中的“主体”（如“圆的关联点”“等距圆”“圆的伴随线”）、“限制条件”（如距离范围、角度要求、位置约束）、“判定标准”（如满足什么条件才算符合定义）。 2. 转化定义，翻译为数学语言 将新定义的文字描述转化为“图形特征”或“代数表达式”，建立与圆的核心知识点的联系： 若涉及“点与圆的关系”：转化为“点到圆心的距离d与半径r的大小关系”（d＜r内接、d=r在圆上、d＞r外离）； 若涉及“直线与圆的关系”：转化为“圆心到直线的距离d与半径r的大小关系”（d=r相切、d＜r相交、d＞r相离）； 若涉及“新图形与圆的位置”：先画出新图形的示意图，标注与圆相关的关键元素（如圆心、半径、切点、交点）。 3. 结合圆的性质，搭建解题桥梁 调用圆的核心知识点（垂径定理、圆周角定理、切线性质、圆的方程等），将转化后的条件与所求问题关联： 求符合定义的点的坐标：结合圆的方程列不等式/方程求解； 求符合定义的直线解析式：利用切线性质、点到直线距离公式建立方程； 求最值问题：转化为圆上点到定点/定直线的距离最值（圆心到定点/定直线距离±半径）。 4. 检验验证，避免漏解错解 根据新定义的限制条件，检验求解结果是否符合要求（如是否在指定范围内、是否满足整数约束等）； 若新定义中存在“分类场景”（如“点在圆的左侧/右侧”“直线与圆的不同交点位置”），需全面讨论，避免漏解。 重点提醒： “陌生→熟悉”转化思想：无论新定义多么复杂，最终都要转化为圆的位置关系、距离、角度等熟悉的知识点； 数形结合思想：画图是关键，通过图形直观理解新定义与圆的关联，避免纯代数推导的盲目性； 严谨性思想：新定义问题的限制条件往往较多，需逐一审核，确保每一步求解都符合全部条件。 例4．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． (1)如图1，是中的遥望角，若，请直接用含的代数式表示_______． (2)如图2，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连接并延长交的延长线于点．求证：是中的遥望角． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若点在线段上． ①求的度数；②若，求的面积． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①；② 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论； （2）如图2，延长到点，根据圆内接四边形的性质得出，结合，得，根据平分，得出，根据圆周角定理得出，等量代换得，即是的平分线，根据，得出，根据圆内接四边形的性质得出，结合，得，等量代换得，可得是的外角平分线，即可证明是中的遥望角． （3）①如图3，连接，根据是中的遥望角，同（1）可得，根据圆周角定理得出，等量代换得，根据三角形外角的性质得，即可得出，根据圆周角定理得出，等量代换得，根据（2）可得，结合，得出，故，等边对等角得出，根据圆周角定理得出，即可得． ②如图4，过点作于点，根据圆周角定理得出，由（2）得平分，则，根据圆周角定理得出，在中，，，求出，在中，，求出，从而得，，由（3）①得，则，根据等腰三角形的性质得出，则，根据，由等腰直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵是中的遥望角， ∴平分平分， ∴， ∵， ． （2）证明：如图2，延长到点， ∵四边形内接于， ， 又 ∵， ， ∵平分， ， ∵， ， ， ∴是的平分线， ， ， ∵， ， ∴， ∴是的外角平分线， ∴是中的遥望角． （3）解：①如图3，连接， ∵是中的遥望角， 同（1）可得， ， ， ， ， ， ， 根据（2）可得， 又 ∵， ， ， ， ∵是的直径， ， ， ． ②如图3，过点作于点， ∵是的直径， ， 由（2）得平分， ， ∵是的直径， ， 在中，，， ， ∵在中，， ， ， ， 由（3）①得， ， ， ， ， ， ， ． 变式4-1．定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”． (1)如图1，等边为的内接三角形，过点O做交于点D，交于点E，判断________（填“是”或“不是”） 的“梦之三角形”，请说明理由； (2)如图2，已知是的“梦之三角形”，其内心I关于的对称点F在上，若，求的半径； (3)如图3，已知的半径为，弦，点A在上，若为的“梦之三角形”，求的长度． 【答案】(1)是，见解析 (2) (3)或或 【知识点】圆周角定理、三角形内心有关应用、已知圆内接四边形求角度、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质和圆周角定理求出，根据含角的直角三角形的性质得出，结合得出，然后根据“梦之三角形”的定义即可得证； （2）解：如图，连接，根据内心的性质得出，，根据轴对称得出，，则，，根据圆内接四边形的性质得出，则可求出 ，则，连接，过点作于点，由垂径定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，然后结合已知求解即可； （3）先判断，然后分和两种情况讨论，根据圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理等，并结合（2）中求解即可． 【详解】（1）解：是． 理由：如图，连接，， 为的内接等边三角形， ，点为的内心即外心， ， ，且， ， ， ， ， ， 等边的内心关于的对称点在上， 是的“梦之三角形”． （2）解：如图，连接， 设， 是的内心， 平分，平分， ， 点和点关于对称， ， ， ， 即， ， ， ； 连接，过点作于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 即的半径为． （3）解：由（2）知若为的“梦之三角形”，则必有一个角为， 若，如图，连接，， 可知， ， 因此，． 分两种情况进行讨论： ①当时，当在优弧上时，如图，连接，， ， ， 过作于点， ， ， ， 在中，， ； 当在劣弧上时，过作，此时，， ； ②当时， 此时为对边， 如图，当在优弧上时，连接，， 可知， ， ； 当在劣弧上时，同理可求， 综上，可能的值为或或． 变式4-2．【背景资料】 最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆． 【动手操作】 如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【迁移运用】 正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形． （1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径； （2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径； （3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围． 【答案】【动手操作】图见解析；【迁移运用】（1）；（2）；（3）变化， 【知识点】求四边形外接圆的直径、解直角三角形的相关计算、判断三角形外接圆的圆心位置、根据旋转的性质求解 【分析】动手操作：作的中垂线，再以中垂线与的交点为圆心，交点与点之间的距离为半径画圆即可； （1）延长交于点，求得为钝角，根据题意得到为的最小覆盖圆的直径，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）连接，根据题意，易得为锐角三角形，的外接圆为其最小覆盖圆，根据正方形的性质，得到，进而得到即为的外接圆的直径，进行求解即可； （3）连接，交于点，交于点，连接，根据三角形的中位线定理，证明四边形为平行四边形，证明，推出四边形为正方形，进而得到四边形的最小覆盖圆的直径为的长，根据正方形的性质得到，根据，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：动手操作：∵中，， ∴是钝角三角形， ∴的最小覆盖圆为以为直径的圆，作图如下： 迁移运用： （1）∵正方形的边长为7，正方形， ∴， ∴， ∴为钝角三角形， ∴为最小覆盖圆的直径， 延长交于点，则：， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； （2）连接，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，即：， ∴， ∵过点，， ∴，为的直径， 又∵， ∴为锐角三角形， ∴即为的最小覆盖圆， ∵， ∴，即：， ∴， ∴，即的最小覆盖圆的直径为； （3）变化； 连接，交于点，交于点，连接， ∵分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，四边形的最小覆盖圆的直径为， ∴随着的变化而变化， ∵，即， ∴， ∴，即． 变式4-3．【阅读】若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点如图，在中，如果三角形内部有一点满足，则的值最小理由如下：将绕点A逆时针旋转至，连结． ． ，，． 是等边三角形． ，． ． ，． 点，，，四点在同一条直线上此时，的值最小． 【应用】（1）如图一所示，点是内一点，且点是的费马点，已知，，，求的长． （2）如图二所示，分别以锐角的边，向三角形外部作等边，等边，连结，交于点，求证：点为的费马点． 【拓展】（3）如图三，圆内接矩形内有一点，于点，已知，且的最小值是，求的半径． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、圆与四边形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据费马点的定义证明∽，得到对应边成比例解题即可； （2）连接，过点A作，于点，，根据等边三角形得到≌，即可得到，，，然后根据角平分线的判定得到，然后根据费马点的定义解题即可； （3）先根据费马点的定义得到当、、、四点共线时，此时，的值最小，且，延长交于点，则，连接，即可得到这时点是外接圆的圆心，然后根据最小值和矩形的性质求出半径即可． 本题属于圆的综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，圆的性质，掌握费马点的定义和应用是解题的关键． 【详解】（1）解：点是的费马点，， ， ， ， ∽， ， 已知，， ， 解得（负值舍去）； 证明：连接，过点A作，于点，， 和是等边三角形， ，，， ， 在和中，， ≌， ，，， ， 又，， ， 又， ， ， ， ， 点是的费马点； （3）解：以为边向下作等边，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，，如图， 根据题目可知当、、、四点共线时，此时，的值最小，且， 延长交于点，则，连接，如图， 又， ， ， ， 点为外接圆的圆心， ，即， 的值最小为， ， 即圆的半径为． 一、选择题 1．如图，为的外接圆，，，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，若，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，连接，由等腰直角三角形的性质得出，证明是等腰直角三角形，再由勾股定理求出，再证明，得出即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，， ， ， ， ． 在中， ． 作关于对称的图形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， 把代入中得， ． 故选B． 2．如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，．用表示点的运动路程，表示的面积下列图像适合表示与的对应关系的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别用含x的式子表示出的面积，即可求解． 【详解】解：当点P在上运动时，作于点E，如图： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 即当时，，可以排除C，D选项； 当点P在上运动时，如图： ∵， ∴， 即当时， ，可以排除B选项； 故选：A． 3．如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 二、填空题 4．如图．内接于，连，点D在上，连，交于，，过D作于F，交于G，若，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的性质，圆周角与圆心角的关系，直角三角形的性质，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 连接，过点O作，先利用题目中给的角度关系进行转换，得到，再证明垂直平分，从而证得是等腰直角三角形，根据题意设，，用含有x的式子将的三边表示出来，并用勾股定理列方程，求解出的值，再分类讨论，即可求解． 【详解】解：连接，过点O作， 根据图形，可知， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，， ， ， 在中，， 解得或， ， ， 当时，，， ， ， ， 当时，，， ， ， 此情况不成立， 综上所述，． 故答案为：． 三、解答题 5．如图，内接于，连接并延长交于点，与相切于点，． (1)求证：； (2)如图，作的弦，连接，，在上取点，连接，，求证：是正三角形； (3)如图，在（2）的条件下作交于，在上取点，连接交于点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（）利用圆的切线的性质定理，平行线的性质，垂径定理和线段的垂直平分线的判定与性质解答即可； （）作延长线于，连接，利用圆的有关性质，等边三角形的判定与性质得到，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用等边三角形的判定定理解答即可； （）在上截取，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用等边三角形的判定与性质得到；作交的延长线于点，利用平行四边形的判定与性质得到，，作于，利用直角三角形的边角关系定理设，则，故，，最后利用勾股定理求得值即可． 【详解】（1）证明：∵与相切于， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵延长线交于点， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）证明：作延长线于，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴，由（）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是正三角形； （3）解：在上截取，连接， 由（）得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 作交的延长线于点， ∵，， ∴四边形与四边形都是平行四边形， ∴，， 作于，设，则， ∴， ∴，，， 在中由勾股定理得， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】（1）（2）（3）①6②的值为或 【分析】（1）由题可知，再利用中建立勾股方程求解即可； （2）由相切可知，再由，代入求解即可； （3）①由与直线相切可得四边形是正方形，所以，再利用切线长定理，，从而的周长； ②证出，进而得到，代入，解得，则可得出答案． 【详解】解：（1）连接， 四边形是矩形， ，，， 过点， ， ， ， 在中，， 即， 解得； （2）过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， ， ，， ， ， 即， 解得； （3）①如图，过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， 四边形是正方形， ， 与圆相切，与圆相切，与圆相切， 由切线长定理可得，，， 的周长 ； ②在和中， ， 同理可证， ， ， ， ， 整理得， 解得或（舍）， 当时，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得，； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．如图，是的直径且，点C是的中点，过点C作交延长线于点E． (1)证明：是切线； (2)如图1，连接交于点，点F在直径上，若，求的长． (3)如图2，的角平分线交于点F，延长交于点G，连接，点H是外一点，交于点P，连接，已知，延长交的垂线于点M，垂足为G，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理结合已知证明，由垂径定理得到，则，即可证明是切线； （2）过点作于点，连接，先证明平分，则，可得四边形是矩形，则，，然后得到，在中，由勾股定理得，证明，则，，求出，最后在中，由勾股定理求解即可； （3）过点作于点，先得到点四点共圆，则，然后导角得到为等腰直角三角形，则由勾股定理得，同理为等腰直角三角形，则，那么在中，由勾股定理求得，则，然后得到为等腰直角三角形，则，，，然后在中由勾股定理求解得到，最后证明，则． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵在中，点C是的中点 ∴ ∴， ∴ 又是的半径 ∴是的切线； （2）解：过点作于点，连接， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴平分， ∵ ∴， ∵结合（2）可得， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，为半径， ∴， ∵ ∴在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，； （3）解：过点作于点， ∵是的直径， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴由勾股定理得， ∵是直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴在中， ∴， ∵， ∴由点四点共圆得，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，涉及圆周角定理，圆的切线的判定，勾股定理，垂径定理，矩形的判定与性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，难度很大，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 8．如图，点是半圆上的一个动点，连接并以的中点为圆心，为半径作，交线段于点，连接，记与直径除点外的另一个交点为点，连接． (1)求证：点是中点； (2)若，求的值； (3)过点作半圆的切线，交直线于点．若，连接、，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1） 连接，利用直径所对圆周角为直角得，结合等腰三角形三线合一证是中点． （2） 连接，设半径为，证，结合相似比与勾股定理，用表示相关线段平方后求比值． （3） 连接 ，过 作 ，设 半径为 ，证 为等腰三角形及角度关系，用 表示 和 后求比值． 【详解】（1）解：连接， 是的直径， ，即， 又， ，即点是中点； （2）解：连接，设的半径为，则，， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得（负根舍去）， ∴在中， ， ∴在中， ， 是中点 又 ； （3）解：连接 ，过 作 于 ，设 的半径为 ，则 ， 是半圆 的切线， ， ∵， ∴， 是的直径， ，即， ∴， 是等腰三角形， ∵， ， ，， ，， ， ， ， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ，，， ，， ∴，， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握圆的相关性质及三角形的判定与性质是解题的关键． 9．如图1，在正方形中，点在上（不与点，重合），点在边上，，连接，交于点． (1)如图，连接与交于点，连接交于点． 求证：； 当时，求的值； (2)如图，若是的中点，以点为圆心，为半径作，是上的一个动点，连接交于点，求的最大值． 【答案】(1)见解析；； (2)． 【分析】（）证明，得到，再证明，得，证明出 即可； 作于，利用，得出，，设为单位，，，利用表示出，再由列出方程，解得，即，在中，由勾股定理得，则，由四边形是正方形得，证明，求出，然后代入求值即可； （）过点作，交的延长线于，连接，延长交于点，分析出当点与相切时，满足题意，设为单位，求出，再计算解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：作于，如图， 由（）知：， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴，， 由（）得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 设为单位，则，设，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 由（）得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，交的延长线于，连接，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵为定值， ∴当最大时，的值最大，即的值最大， ∴当与距离最大时，即当点与相切时，满足题意， ∴， ∵， ∴共线， 设为单位， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点Q和，给出如下定义：若存在点Q在内（包含圆周），则称为的关联三角形． (1)如图1，若点 ①已知点，，则在，中为⊙O的关联三角形的是 ； ②P是x轴上的动点，且为的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 ； (2)如图2，若点，直线上存在点P使得．为的关联三角形，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一元二次不等式的解； （1）①Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的，根据旋转性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质，可分别求出、的坐标，计算与圆心的距离可确定是否在圆内； ②P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在内，求出Q点坐标，利用来求出m的范围； （2）分将P顺时针和逆时针旋转来讨论，思路是一样的先求出对应的Q点的坐标，然后利用勾股定理计算出与圆心的距离，让这个距离小于等于2即可，要注意的是建立的关于t的一元二次不等式是含有参数b的，再利用一元二次不等式要有解，判别式来求出b范围. 【详解】（1）解：由题意得 ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的， ①如图所示，过A作轴平行线，过作，过作，过A作轴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， ∵在x轴上， ∴， ∴点的坐标为， ∵圆心为O的坐标为，圆的半径为2， ∴等于半径，小于半径， ∴、分别在的内部和圆周之上，都符合关联三角形的定义， ∴，都是的关联三角形. 故答案为：，. ②如图所示：P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在⊙O内（包含圆周） ∵P是x轴上的动点，点P横坐标m， ∴， 由①得， ∴Q点坐标， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即，即在数轴上m到的距离小于等于2， ∴， 故答案为：. （2）解：当点，点P在直线上，设P点坐标为，此时由Q点可由顺时针或逆时针旋转得到，分类讨论， 当Q由顺时针旋转得到时，如图所示： 由（2）得， ∴，， ∴Q点坐标为， 由勾股定理的， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即， 整理得， 若此时Q点存在，则此不等式一定要有解， ∴， 解得； 当Q由逆时针旋转得到时，如图所示： 同理可得Q点的坐标为， 由勾股定理的， 整理得， 同样的道理若要存在Q点，则此不等式要有解， ∴， 解得. 综上所述：或. 11．已知E为x轴正半轴上一点，交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，P点为劣弧上一个动点（点P不与B，C重合），且，． (1)如图1，连接，取的中点G，连接，，则与具有怎样的关系？并求的最大值； (2)如图2，连接，，，其中与y轴交于点F，平分交于点Q； ①求点Q的运动路径长； ②记，，求y关于x的函数关系式； (3)如图3，连接，，，求证：定值． 【答案】(1)关系为，，的最大值为 (2)①；② (3)见解析 【分析】（1）由题意得：为的直径，，利用垂径定理得到，利用三角形的中位线定理和直径是圆中最长的弦的性质解答即可； （2）①连接，利用勾股定理得到，利用等腰三角形的判定与性质得到，进而得到点Q的运动轨迹为以A为圆心，2为半径，圆心角为的，最后利用弧长公式解答即可； ②连接，利用勾股定理，圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论； （3）在的延长线上取一点H，使，连接，，过点A作于点K，利用全等三角形的判定与性质得到，利用等腰三角形的三线合一的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：与具有的关系为：，，理由如下： 由题意得：为的直径，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∴当取得最大值时，取得最大值． ∵直径是圆中最长的弦， ∴当为圆的直径时，最大， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为4， ∴的最大值为2； （2）解：①连接，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵P点为劣弧上一个动点（点P不与B、C重合）， ∴点Q的运动轨迹为以A为圆心，2为半径，圆心角为的， ∴点Q的运动路径长； ②连接，如图， 由①知：，， ∴，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在的延长线上取一点H，使，连接，，，   过点A作于点K，如图， 由题意得：为的直径，， ∴， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴为定值． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的弧长公式，连接直径所对的圆周角，作出弦心距是解决此类问题常添加的辅助线． 12．探究与应用 【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴．    ① 在中，∵，∴ ．    ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ． ∴． …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 ． 【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积． 【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长． 【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为 ． 【答案】（1），，，见解析（2）（3）（4） 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）利用（1）中结论得到，进而求出，即可得出结果； （3）延长交于点，连接，利用（1）中结论得到，证明，得到，推出，代入中，进行求解即可； （4）设，根据三角形的外角结合三角形的内角和定理推出，作，垂足分别为，则：，根据，设，则，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，分别求出的长，进行求解即可． 【详解】解：（1）如图（1），过点A作于点D， 在中， ∵， ∴．① 在中， ∵， ∴．② 由①－②得：． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∵， ∴； 由（1）中结论可知：，即：， ∴， ∴正方形的面积； （3）延长交于点，连接，则：， 由（1）中结论可知：，即：， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （4）∵， ∴， 设， 则：， ∵， ∴， ∴， 作，垂足分别为，则：， ∵， ∴设，则， 在中，， ∴，， ∴，， 同理：，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1 / 104 学科网（北京）股份有限公司 $